Polinomios

Matemáticas

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rosario

22/8/2023

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Matemáticas

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Polinomios 
Un polinomio en una variable x es una expresión algebraica que vincula números y letras 
(también llamadas variables) con operaciones matemáticas de: suma, resta, multiplicación y 
potenciación con exponente natural o cero. En los polinomios los exponentes de las variables 
son siempre números enteros positivos o cero. 
Por ejemplo: 5x4 + 2x2 + 7 ; -3,5x6 + 8x4 - +x2
1 
En forma más general podemos decir que: 
Llamamos polinomio en x con coeficientes en R a toda expresión de la forma 
an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x  + a0 (1) 
dónde n N0∈ y an , an-1  ,... , a1 , a0 son números reales llamados coeficientes del 
polinomio 
Las expresiones de la forma ak xk  que conforman al polinomio son los términos del 
polinomio. 
El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo. 
Si an 0, decimos que el polinomio tiene grado n.=/ 
 
Por lo tanto 5x4 + 2x2 + 7 es un polinomio de grado 4 
-3x7 + 2x3 – 0.4x2 + x es un polinomio de grado 7 
Una constante no nula es un polinomio de grado 0, así, 8 es un polinomio de grado 0. 
La constante cero se considera también un polinomio; sin embargo, no se le asigna grado. Es 
decir, el polinomio nulo carece de grado. 
A an se lo denomina coeficiente principal del polinomio y al término a0 término 
independiente. 
En el siguiente polinomio -3x6 + x4 - 8 x3 - x +93
2 podemos observar que: 
Sus coeficientes son: -3, 0, 1, -8, 0, - , 9 (considerando el polinomio completo y3
2 
ordenado); es de grado 6, su coeficiente principal es -3 y su término independiente es 9. 
Observemos algo muy importante: 
Si en (1) le damos cualquier valor real a la variable x y realizamos las operaciones 
involucradas en la expresión, obtenemos un único valor real, por lo tanto: 
Es posible asociar a cada polinomio an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x  + a0 
una única función que llamaremos p de los reales en los reales : p: ℜ → ℜ 
definida por p(x) = an xn + an-1 x n-1 + ... + a1 x  + a0, 
 y recíprocamente, a cada función de esta forma es posible asociar un polinomio. 
Llamamos a la función p(x) función polinómica. 
Bajo esta identificación hablamos indistintamente de polinomios o funciones polinómicas. 
 
 Valor numérico de un polinomio 
El valor numérico de un polinomio p(x) para x = a es el número real que se obtiene al 
reemplazar la variable x por el número a y efectuar todas las operaciones indicadas. Se 
simboliza p(a). 
Si en particular p(a) = 0, se dice que el número real a es un cero o una raíz del polinomio. 
Por ejemplo: 
Dado el polinomio p(x) = -5x4 + 2x2 +3 tenemos que: p(2) = -5 . 24 + 2 . 22 + 3= -69 
Y, como p(1) = 0 decimos que el número 1 es un cero del polinomio p(x). 
 
Operaciones con Polinomios 
De igual manera que con los números, los polinomios pueden manipularse y realizar 
operaciones entre ellos. La suma, la resta y el producto de dos polinomios es un polinomio. 
 
Adición 
Calculemos la suma de los siguientes polinomios: 
p(x) = - x3 + 3x + 2 y q(x) = 2x 3 - 7x2 + 5x + 1 
Sumar es muy simple, la idea es combinar ¨términos semejantes¨ (términos con la misma 
parte literal, es decir con las mismas variables y los mismos exponentes), usando las 
propiedades asociativa y conmutativa para la suma de números reales. 
 
p(x) + q(x) = (- x3 + 3x + 2) + (2x 3 - 7x2 + 5x + 1) = - x3 +3 x + 2 + 2 x 3 - 7x2 +5x + 1= 
 = (- x3 + 2x 3) - 7x2 + (3x +5x) + (2+1) = agrupación de términos semejantes 
 = x3 - 7 x2 + 8x + 3 
 
Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios en forma decreciente 
respecto a los exponentes y luego escribirlos uno debajo del otro. Si falta algún término 
intermedio en algún polinomio, lo completamos expresando dicho término con coeficiente 0. 
 p(x) = -x3 + 0x2 + 3x + 2 
 + 
 q(x) = 2x3 - 7x2 + 5x + 1 
 ______________________________________ 
 p(x) + q(x) = x3 - 7x2 + 8x + 3 
 
 
Sustracción 
Calculamos ahora la resta de los polinomios: 
 p(x) = x5 - 3x4 + x3 - 2 y q(x)= 2x5 - 4x4 + 2x2 -3 
p(x) - q(x) = (x5 -3x4 + x3 - 2) - (2x5 - 4x4 + 2x2 -3) = x5 -3x4 + x3 - 2- 2x5 +4x4 - 2x2 +3 = 
 = (x5 - 2x5) + (-3x4 + 4x4) + x3 - 2x2 + (-2 + 3) = agrupación de términos semejantes 
 = -x5 + x4 + x3 - 2x2 + 1 
 
O bien,si trabajamos como lo hicimos antes, para operar es conveniente ordenar y completar los 
polinomios y escribirlos uno debajo del otro. 
 p(x) = x5 - 3 x4 + 1x3 + 0x2 + 0x - 2 
_ 
 q(x) = 2x5 - 4 x4 + 0x3 + 2x2 + 0x - 3 
_____________________________________________ 
 p(x) – q(x) = -x5 + x4 + x3 - 2x2 + 0x + 1 
Multiplicación 
Para calcular el producto de dos polinomios, la propiedad distributiva es la herramienta 
fundamental. Multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los 
términos del otro, y sumamos. 
 
 Para multiplicar los polinomios p(x) = 2 x3 - 3 x + 8 y q(x) = -4 x2 + x + 3 
p(x) . q(x) = (2 x3 - 3 x + 8) . (-4 x2 + x + 3) = 
 = 2x3 . (-4x2 + x + 3) - 3x . (-4x2 + x + 3) + 8 . (-4x2 + x + 3) = 
 = -8x5 + 2x4 + 6x3 + 12x3 - 3x2 - 9x - 32x2 + 8x + 24 = 
 = -8x5 + 2x4 + (6x3 + 12x3) + (-3x2 - 32x2) + (-9x + 8x) + 24 = 
 = -8 x5 + 2x4 + 18x3 - 35x2 - 1x + 24 
 
O utilizaremos una disposición más práctica que es la siguiente (recordar ordenar y 
completar los polinomios). 
Para multiplicar los polinomios p(x) = 3 x3 - 2x + 5 y q(x) = -2x2 + x + 4 
 
 
 3x3 + 0x2 - 2x + 5 
 X 
 -2x2 + x + 4 
 ___________________________ 
 12 x3 + 0x2 - 8x + 20 
  + 3 x4 + 0x3 - 2x2 + 5x 
 -6 x5 + 0x4 + 4x3 - 10x2 
___________________________________ 
 p(x) . q(x) = -6 x5 + 3x4 + 16x3 - 12x2 - 3x + 20