Razones y Proporciones Ejercicios resueltos

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ATA AS 
 
Razones y 
go jalo lalo l4TaS 
Teoría y práctica twitter.com/calapenshko 
 
Oscar Espinoza Anccasi Lumbreras
Asociación Fondo de Investigadores y Editores A 
Razones y 
proporciones 
Oscar Espinoza Anccasi 
twitter.com/calapenshko 
Lumbreras 
Editores
twitter.com/calapenshko 
Razones y proporciones 
e 
Autor; Oscar Espinoza Anccasi 
Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av. Alfonso Ugarte N." 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: diciembre de 2012 
Primera reimpresión: octubre de 2015 
Segunda reimpresión: enero de 2017 
Tercera reimpresión: junio de 2018 
Cuarta reimpresión; agosto de 2019 
Tiraje: 1000 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-275-9 
Registro del proyecto editorial N.* 31501051900582 
"Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.? 2019-06904 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.? 822 
Distribución y ventas al por mayor y menor 
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¿ventas OD elumbreras.com.pe 
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación 
Fondo de Investigadores y Editores en el mes de agosto de 2019. 
Calle Las Herramientas N.? 1865 / Av. Alfonso Ugarte N.* 1426, Lima-Perú. 
Teléfono: 01-336 5899
 
S .1/naIce 
TRE A EE 
9) INTRODUCCIÓN 
a RAZÓN 
De e 
a o A O 
E 
Razón geométrica 
Observaciones de las razones geométricas canina acaricia 
Uso de las razones en problemas de edades, mezclas y móviles... iconos 
En problemas de edades cocinan. 
En problemas de Mezclas... cnniiiicnnciaicia 
En problemas de móviles ci cc 
Problemas resueltos 
Problemas propuestos coccion icono 
"N PROPORCIÓN 
Definición... UCEaRS 
Clases de PrODOrCIÓN coc cc 
Proporción aritmética nin a a 
oO ió rta A A 
Propiedades de la proporción geométrica coo. 
Serie de razones geométricas equivalentes [SRGE) 
11 
11 
11 
13 
14 
16 
16 
17 
18 
20 
62 
74 
74 
74 
76 
78 
30 
twitter.com/calapenshko
DiSfiniCión: san a 
Propiedades de la serie de razones geométricas equivalentes cc 
Serie de razones geométricas equivalentes CONtiINnuUa cnica irc 
Proa ere ai 
il IMA 
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twitter.com/calapenshko
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 + PRESENTACIÓN 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Rozones y 
proporciones, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se 
realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. 
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los 
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus 
conocimientos en temas especificos en los cursos de matemáticas, ciencias 
naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores 
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didác- 
tico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profun- 
dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso 
nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu- 
trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los 
estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos 
y problemas resueltos y propuestos por niveles. 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig- 
nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio- 
nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro 
anhelo de una educación cientifica y humanística integral. En este proceso, 
deseamos reconocer la labor del profesor Oscar Espinoza Anccasi, de la 
plana de Aritmética de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en 
la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la 
enseñanza preuniversitaria. 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
¿INTRODUCCIÓN 
as rercenesmc il 
Una de las actividades que realizamos diariamente es la de comparar can- 
tidades; por ejemplo, comparamos precios, longitudes, volúmenes, pesos, 
etc. Dentro de estas comparaciones hay dos formas de comparar estas can- 
tidades, una de ellas es la que nos permite averiguar cuál es la mayor de 
ellas, que se realiza mediante una sustracción, y la otra nos permite averi- 
guar cuántas veces está contenida una en la otra, que se realiza mediante la 
división; a estas comparaciones se las denomina razón. En las comparaciones 
que pudiéramos realizar con las cantidades, encontraremos razones que son 
iguales; y al formar una igualdad de dos razones se está generando una pro- 
porción. 
Esta idea de proporción es usada desde tiempos muy remotos, como es 
el caso de los babilonios y egipcios, quienes usaban las proporciones para 
realizar cálculos comerciales y construcciones arquitectónicas. En el cam- 
po de la geometría, Tales de Mileto estableció proporciones entre magni- 
tudes geométricas, que posteriormente fueron usadas por Arquímedes y 
otros geómetras griegos. En el Renacimiento se usaba las proporciones en 
las obras de arte, especialmente la proporción áurea o la divina proporción, 
que muestra una armonía visual entre el objeto y sus partes. El uso de las 
razones también se extiende a otras ciencias como la fisica, en el estudio 
del movimiento; la química, en la combinación de elementos para formar 
compuestos; y la aritmética, para resolver situaciones relacionadas a magni- 
tudes, tanto por ciento, interés y descuento. 
El presente texto tiene como propósito ofrecer una explicación más 
amplia y detallada sobre razones y proporciones utilizando las herramientas 
didácticas para su mejor conocimiento de este capítulo del curso de Aritmé- 
tica; no solo porque sea necesario para una preparación preuniversitaria, 
sino también porque se usa con mucha frecuencia en nuestras actividades 
cotidianas.
Para ello, este libro presenta un método didáctico para conocer el capíi- 
tulo, ya que de manera sencilla se abordan los aspectos teóricos para luego 
ver la aplicación de la misma en problemas resueltos. Como parte del texto 
se ha incluido problemas propuestos, los cuales están en relación directa con 
los problemas resueltos, de forma que si no se supiese hacer un determina- 
do problema propuesto, siempre existen uno o más problemas resueltos de 
igual característica, por ende se sugiere hacer todos los problemas resueltos 
antes de hacer los propuestos. 
Agradecemos a la Asociación Fondo de Investigadores y Editores, a tra- 
vés de su sello editorial Lumbreras Editores, por el respaldo y las facilidades 
en la publicación de este libro, esperando que sirva de estudio para futuras 
publicaciones en beneficio de la sociedad. 
 
 
“El DEFINICIÓN 
 
Es la comparación de dos cantidades mediante una operación matemática. 
Ejemplo 
Mijail y Verónica fueron al tópico de su academia, y la enfermera les tomó algunos datos que a con- 
tinuación se muestran: 
a 
a Nombre: Verónica 
| Edad: 18 años Ea ¡ Edad; 16 años 
; Peso: 64 kg De ' Peso: 52 kg 
Estatura: 1,68 m : Estatura: 1,60m 
| Nombre: Mijail 
 
A partir de la información brindada por estos jóvenes se pueden crear muchos enunciados compara- 
tivos, como por ejemplo que Mijail pesa 12 kg más que Verónica o que la relación de las edades de 
Verónica y Mijail es de 8 a 9. 
 
24] CLASES DE RAZÓN 
 
RAZÓN ARITMÉTICA 
Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Consiste en determinar en cuánto 
excede una de las cantidades a la otra. 
11
LUMBRERAS EDITORES 
Es decir, si a y bson las cantidades,su razón aritmética será 
a—-b=r 
Donde UN 
* (: antecedente 
* — b: consecuente 
* r: valor de la razón aritmética 
Ejemplo 
El sueldo mensual de Aurora es 5/.1500, mientras que el de Carlos es 5/,1200, Realicemos la compa- 
ración de sus sueldos mediante la razón aritmética. 
sueldo de sueldo de 
Aurora Carlos 
A partir de la comparación realizada podemos concluir lo siguiente: 
*« El sueldo de Aurora excede al sueldo de Carlos en 5/.300. 
+ El sueldo de Carlos es excedido por el de Aurora en 5/.300. 
* El sueldo de Aurora es mayor en 5/.300 al sueldo de Carlos, 
* El sueldo de Carlos es menor en 5.300 al sueldo de Aurora. 
APLICACIÓN 1 
Si la suma de dos números es 80 y su razón aritmética es 16, ¿cuál es el menor de los números? 
Resolución 
Sean A y B los números. Por los datos tenemos 
A+B=80 
JE) 
A-B=16 
24=96 
> A=38 y B=32 
Por lo tanto, el menor de los números es 32, 
12
a RAZONES Y PROPORCIONES 
APLICACIÓN 2 
La edad de Alberto excede a la de Bono en 8 años, mientras que la edad de Cecilia es excedida por 
Bono en 2 años. Si se sabe que Cecilia tiene 15 años, determine la edad de Alberto. 
Resolución 
Sean A, B y Clas edades de Alberto, Bono y Cecilia, respectivamente; por lo tanto 
.« A-B=8B (Alberto excede a Bono en 8 años). 
e. B-C=2 [Cecilia es excedida por Bono en 2 años). 
e — C=15 
De las razones aritméticas se determina que 8=17 y A=25. 
Por lo tanto, Alberto tiene 25 años. 
RAZÓN GEOMÉTRICA 
Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Consiste en determinar cuántas veces 
cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia. 
Es decir, si a y b son las cantidades, su razón geométrica será 
F
l
a
 
1 >=
 
Donde 
* a:antecedente 
* b:consecuente 
* ki valor de la razón geométrica 
Ejemplo 
El peso de un león es 200 kg, mientras que el de una cebra es 300 kg. Realicemos la comparación de 
los pesos mediante la razón geométrica. 
peso del león 
200 :2! 
300 ¡3 — valor de la razón 
peso de la cebra 
13
A partir de la comparación realizada podemos concluir lo siguiente: 
Los pesos del león y de la cebra están en la relación de 2 a 3. 
La razón geométrica de los pesos del león y de la cebra es 2/3. 
La relación de los pesos del león y de la cebra es de 2 a 3. 
Los pesos del león y de la cebra son entre sí como 2 e5 a 3. 
Por cada 2 kg que pesa un león, la cebra pesa 3 kg. 
Observaciones de las razones geométricas 
1. 
14 
De las dos razones (aritmética y geométrica), la de mayor aplicación es la razón geométrica; es 
por ello que cuando un texto solo menciona la palabra razón, se entenderá que se trata de la 
razón geométrica. 
Si al antecedente y al consecuente de una razón se les multiplica una cantidad, esta no se altera. 
Ejemplo 
Silos números A y 8 son entre sí como 3 es a 5, esto significa que 
A_3x1_3x2 3x3 _3x4_ _3xk 
B 5x1 5x2 5x3 5x4 — 5xk 
 
Si en dos o más razones geométricas hay una cantidad que se repite, esta debe tomar un único 
valor. 
Ejemplo 
Tenemos tres cantidades, 4, 8 y €; donde 4 y 8 son entre sí como 3 es a 2, mientras que B y C son 
entre sí como 5 es a 7; entonces se debe cumplir que 
A E 3X5k B Ñ 5x2k 5e puede observar en la primera razón que 8 es como 2 y en la segunda 
 
= - razón es como 5; pero como se trata de la misma cantidad, multiplica- B 2x5k C 7x2k pe ' 
mos al primero por 5k y al segundo por Zk, 
Con esto tenemos las cantidades de la siguiente forma: A=15k, B=10k y C=14k.
y RAZONES Y PROPORCIONES 
4. Enel planteamiento de los problemas debemos distinguir el término veces con el de veces más. 
Ejemplos 
+ Aes2veces B significa que A=28B 
+ Aes2veces más que £ significa que 4=38 
+ Mes 7 veces más que ÑN significa que M=8N 
* Pesmedia vez más que O significa que p=0+5> Q 
2 
APLICACIÓN 3 
3 
En un salón de 60 alumnos, la razón de varones y de mujeres es 7 ¿Cuántas mujeres hay en el salón? 
Resolución 
Sean V y M las cantidades de varones y de mujeres que hay en el salón, de las cuales se sabe que 
V+M=60 e pia M 2k 
Luego V+/M=60 
3 3k+2k=60 
k=12 twitter.com/calapenshko 
Por lo tanto, hay 24 mujeres. 
APLICACIÓN 4 
En una granja se observa que las cantidades de gallinas y de conejos están en la relación de 3 a 2, 
mientras que las cantidades de conejos y de patos son entre sí como $ es a 3. Si en total se contaron 
124 animales, ¿cuántos conejos hay en el corral? 
Resolución 
De las comparaciones tenemos 
N.? de gallinas _ 3(5k) 
N.? de conejos 2(5k) La cantidad de conejos debe ser la misma en 
ambas relaciones, por eso a una multiplicamos- 
N.? de conejos _ 5 (2k) por Sk y ala otra por 2k. 
N.o de patos 3(2k) 
15
LUMBRERAS EDITORES 
Además 
gallinas + conejos + patos = 124 
15k + 10k + 6k = 124 
k=4 
Luego twitter.com/calapenshko 
conejos = 10k = 40 
Por lo tanto, hay 40 conejos. 
APLICACIÓN 5 
El dinero que tiene Kevin es dos veces más que el de Elizabeth, y esta tiene el doble que Patricia, Si 
Patricia tiene 5/.40, ¿cuánto dinero tiene Kevin? 
Dos veces más equivale 
a res Veces. 
+ Dinero de Kevin=3 (dinero de Elizabeth) 
Resolución 
De los datos tenemos 
* Dinero de Elizabeth=2 (dinero de Patricia) => dinero Elizabeth =5/.80 
q€E-_xAAAá<-—<-<<<MMM«M¿¿SIAA¡¿ 
5/40 
Luego, el dinero de Kevin es 3(80) =5/.240 
Por lo tanto, Kevin tiene 5/.240. 
 
 
EN PROBLEMAS DE EDADES 
Se cumple que la diferencia de edades de dos personas siempre es la misma a lo largo del tiempo 
(presente, pasado y futuro). 
Ejemplo 
Si Rocío y Natalia tienen 18 y 12 años, respectivamente, la diferencia que existe entre sus edades 
siempre será la misma. 
16
E RAZONES Y PROPORCIONES 
 
 
 
PASADO PRESENTE | FUTURO 
Rocío 14 | 18 | 30 
E O A , 
NATALIA g ' 12 | 24 
diferencia 
( de edades ) dl 6 e 5 
 
Observe que la diferencia de las edades de 
estas dos personas siempre es la misma, 
APLICACIÓN 6 
Las edades de Arturo y Raúl están en la relación de 4 a 1; pero dentro de 10 años, sus edades estarán 
en la relación de 7 a 3. Halle la edad de Raúl, 
Resolución 
Elaboramos un cuadro con las edades de Arturo y Raúl. 
 
 
 
 
 
 
 
10 años 
A 
PRESENTE FUTURO | 
ARTURO. 4 (4k) 7 (3k) " Observe que para que las diferencias sean las ] 
A ] > | mismas, multiplicamos por factores que hagan 
RAUL : 1 (4k) 3 (3k) | que cumplan la igualdad. 
dif ¡ 
(decdodes) — 314K) 4 (3) 
_—_—_—__ e] 
Estas diferencias deben 
ser las mismas, 
Del cuadro - 
twitter.com/calapenshko 
16k+10=21k 
k=2 
Por lo tanto, la edad de Raúl es 4k=8 años. 
EN PROBLEMAS DE MEZCLAS 
Se cumple que al extraer una cantidad de una mezcla, la relación de los ingredientes de la mezcla 
inicial y de lo extraído debe ser la misma. 
17
LUMBRERAS EDITORES % 
Ejemplo 
Si tenemos una mezcla de 30 L de agua con 45 L de alcohol y de esta extraemos 30 L, tendremos 
 
mezcla inicial mescla final 
extrae 
e Como en la mezcla inicial - a 
agua Da los ingredientes están en agua 30-12 181 
A la relación de 23 3, loque 
alcohol se extrae también debe alcohol |£ 
estar en esa relación. 
total=75 L total=30 L=5k total=45 L 
6 L=k 
APLICACIÓN 7 
De un recipiente que contiene 40 L de alcohol y 20 L de agua se extraen 18 L de la mezcla. ¿Cuál es la 
razón aritmética de los volúmenes de alcohol y de agua que queda en el recipiente? 
Resolución 
mezcla inicial mezcla final 
 
extrae 
alcohol 
 
agua 
Por lo tanto, la razón aritmética de los volúmenes de alcohol y de agua de la mezcla final es 14 L. 
EN PROBLEMAS DE MÓVILES 
Se cumple que para un mismo tiempo, la relación de los espacios recorridos por dos móviles es igual 
ala relación de sus velocidades. 
18
Miaarrrras RAZONES Y PROPORCIONES 
Ejemplo 
Si un auto se mueve a una velocidad de 60 km/h y un bus, a 40 km/h, tal como se ve en el gráfico, 
tendremos 
 
__ Y SAA 
——————_—_—_—_—_—— 
 
Cato dbus 
Para un mismo tiempo se cumple que 
dauta E 60 sE 3k 
deus 40 2k 
APLICACIÓN 8 
Dos móviles salen de lasciudades A y 8 rumbo a su encuentro uno del otro con velocidades que 
están en la relación de 7 a 3, Si hasta el encuentro las distancias recorridas por ambos se diferencian 
en 80 m, ¿cuál es la distancia entre las ciudades A y B? 
Resolución 
Graficamos el problema. 
E punto de 
 
 
> al 
=0 | E 
A, ) | E 8 
7k 3k 
 
Observe que las distancias que recorren 
hasta el encuentro están en la misma 
relación que las velocidades. 
 
 
Además tenemos 
7Tk-3k=80 
k=20 
Por lo tanto, la distancia entre A y B es 10k=200 m. 
19
++ PROBLEMAS RESUELTOS 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.? 1 
Al comparar los pesos de cuatro amigos, resultó 
que el peso de Alejandro excede al de Bruno en 
8 kg, el peso de Gabriel es excedido por el de 
Bruno en 2 kg, y Daniel, que pesa 4 kg más que 
Alejandro, pesa 58 kg. Halle el peso de Gabriel. 
A) 42 kg B) 40 kg C) 52kg 
D) 44 kg E) 50kg 
Resolución 
Sean 
A: peso de Alejandro 
B: peso de Bruno 
G: peso de Gabriel 
D: peso de Daniel 
Por los datos tenemos que 
A-B=8 kg (Alejandro excede a Bruno en E kg). 
B-=-G=2kg (Gabriel es excedido por Bruno en 2 kg). 
D-A=4 kg 
—— 
58 kg 
Entonces 
A=54 kg, B=46kg y G=44 kg 
20 
paa 
¿0 
m 
Por lo tanto, Gabriel pesa 44 kg. 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.” 2 
Calcule la razón aritmética de dos números cuya 
suma es 64 y se encuentran en la relación de 
11la5. 
A) 20 Bj) 18 C) 24 
D) 12 Ej] 30 
Resolución 
Sean M y N los números; donde 
.« M+N=64 
mM 11 
. === —3 M=11k y N=5k 
N 5 
Como 
M+N=64 
11k+5k=64 
k=4 
Por lo tanto, la razón aritmética de los números 
es 11k-5k=6k=24. 
CLAVE 
HUA KÁZO-Á
EROS 
PROBLEMA N.* 3 
La suma, la diferencia y el producto de dos nú- 
meros están en la relación de 13, 1 y 84, respec- 
tivamente. Halle el mayor de los números. 
A) 14 Bj 24 O 32 
Dj) 16 Ef 12 
Resolución 
Si los números son A y B, tenemos 
A+B=13k (1) 
A=B=1k (11) 
AXB=84k (111) 
De (1) y (11) 
A+B=13k 
apar 20 
2A4=14k 
4A=7k (el mayor de los números) 
B=6k 
Reemplazamos los valores de A y B en (111) 
(7k)(6k)=84k 
k=2 
Por lo tanto, el mayor de los números es 
A=7k=14. 
_Cave (A) 
PROBLEMA N.* 4 
Dos números están en la relación de 3 a 1. La 
razón aritmética del producto y la suma de los 
números dan coma resultado 32. Calcule el ma- 
yor de los números. 
RAZONES Y PROPORCIONES 
A) 15 Bj 12 Cc) 24 
Dj) 18 E) 9 
Resolución 
Sean P y Q los números. De los datos tenemos 
q 
. === — 
Q 1 
P=3k [el mayor de los números) 
Q=1k 
razón aritmética 
— o 
* PxQ-(P+Q)=32 
(3k)(k) -(3k+k)=32 
3k*-4k=32 
k(3k-4)=32 
TE 
k=4 
Por lo tanto, el mayor de los números es 
P=3k=12, 
_Cave(B) 
PROBLEMA N.? 5 
En una granja donde solo hay cerdos y pollos, 
la relación entre las cantidades de cabezas y 
de patas es de 4 a 13. Determine la relación de 
cerdos y de pollos que hay en la granja. 
A) 3a2 
Bj) 5a3 
C) 7a4 
D)] 3as5 
E) 1a2 
21
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Sean C y P las cantidades de cerdos y de pollos 
que hay en la granja. 
c+P 4 N.?* de cabezas 
N.* de patas 
E 
40+2P 13 
 
 
 
 
Cada cerdo tiene 4 
patas, entonces el 
total de patas es 40. 
Cada pollo tiene 2 
patas, entonces el 
total de patas es 2P. 
 
 
Entonces 
C+P _4 
ac+2P 13 
13C+13P=16C+8P 
5P=3C 
L
u
 
| 
un
 
a
l
s
 
Por lo tanto, la relación de cerdos y de pollos es 
de 533. 
_Clave 
PROBLEMA N.? 6 
La suma de dos números es 40, y cuando se 
le agrega 10 unidades a cada uno de ellos, su 
razón es 7/8. Determine la razón aritmética de 
los números. 
A) 8 
D) 10 
B) 4 Cc) 6 
E) 12 
22 
Resolución 
Sean A y 8 los números; donde 
 
+ A+B=40 
—E> 3 
A+10_7k _ A=7k-10 
B+10 8k B=8k-10 
e 
Reemplazamos los valores de A y B en el primer 
dato 
A+B=40 
> (7k-10)+(8k-10)=40 
15k=60 
k=4 
Luego 
A=7k-10=18 
B=8k-10=22 
Por lo tanto, la razón aritmética de los números 
es B-A=4, 
_CLavE 
PROBLEMA N.* 7 
En un aula de 60 alumnos se observa que la 
cantidad de mujeres es dos veces más que 
la cantidad de varones. Si en el salón hubiera 
5 mujeres y 3 varones menos, ¿cuál sería la 
relación de mujeres y de varones? 
A) 1013 B) 5a2 
D) 742 
C) 331 
El 337.
"un 
Resolución 
Como el total de alumnos es 60, esta cantidad 
resulta de sumar las cantidades de varones (V) y 
de mujeres (M1), entonces 
Mes dos veces más que V, 
entonces M=3V. 
 
V+M=60 
V+3V= 60 
V=15 
M=3V=45 
Luego, si hubiera 5 mujeres y 3 varones menos, 
tendríamos 
EE A 
varonesfinal 15-3 12 3 
Por lo tanto, la relación de mujeres y de varones 
sería de 10 a 3. 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.? 8 
Si las edades de Santiago y de Jorge suman 32 
años, y dentro de 4 años sus edades estarán en 
la relación de 3 a 5, halle la diferencia de sus 
edades dentro de m años. 
A) 8 B) 10 o 12 
D) 6 El 4 
Resolución 
Elaboramos un cuadro con las edades de 5an- 
tiago y de Jorge. 
RAZONES Y PROPORCIONES 
daños 
¡Presente | Futuro | 
 
 
 
Santiago | 3k-4 | 3k | 
As A | 
Jorge | 5k-4 5k | 
| 
A —Áá 
La suma de 
edades es 32 
> (3k-4)+(5k-4)=32 
k=5 
En consecuencia, la edad de Santiago es 11 y la 
de Jorge es 21; además, la diferencia de eda- 
des en el presente es 10, 
Como la diferencia de edades de dos personas 
siempre es la misma, dentro de m años la dife- 
rencia seguirá siendo 10 años. 
_Cuave 
PROBLEMA N.? 9 
Las cantidades de problemas resueltos por Da- 
niela y Érika en una hora están en la relación de 
3 a 4, y las cantidades de problemas resueltos 
por Érika y Fiorella en el mismo tiempo están en 
la relación de 6 a 5. Si en una hora ellas lograron 
resolver 93 problemas en total, ¿cuántos pro- 
blemas hizo Érika? 
A) 27 
B) 48 
c) 12 
D) 36 
E) 30 
23
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Sean D, E y F las cantidades de problemas re- 
sueltos por Daniela, Érika y Fiorella en una hora. 
De las relaciones tenemos 
 
 
La cantidad D = 3x3k 
de problemas E 4x3k 
resueltos por ( 
Érika debe E 6x2k 
ser la misma F 5x2k 
=> D=9k, E=12k y F=10k 
Como en total resolvieron 93 problemas 
—> 9k+12k+10k=93 
k=3 
Por lo tanto, Érika hizo 12k=36 problemas. 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.” 10 
La cantidad de dinero que tiene Aurora es a la 
cantidad de dinero que tiene Karen como 3 es a 
2; además, la cantidad de dinero que tiene Ka- 
ren esa la cantidad de dinero que tiene Veróni- 
ca como 5 es a 3. Si entre las tres tienen 5/.248, 
¿cuánto tiene Aurora? 
A) 5/.240 
B) s/.180 
C) S/.120 
D) S/.210 
E) 5/.200 
24 
A a 
Resolución 
Sean A, K y V las cantidades de dinero que tie- 
nen Aurora, Karen y Verónica. Al comparar estas 
cantidades tenemos 
 
 
A _3x5k 
K 2x5k 
Deben ser 
iguales ( 
K_5x2k 
VW 3x2k 
=> A=15k, K=10k y V=6k 
Además 
A+K+V=5/.248 
31k=5/.248 
k=S/.8 
Por lo tanto, Aurora tiene 15k=5/.120. 
_Cuave (C) 
PROBLEMA N.” || 
Dos recipientes de 60L de capacidad están 
completamente llenos de vino y de gaseosa; en 
el primero, la relación de la cantidad de vino y 
gaseosa es de 7 a 3, y en el segundo, por cada 
2 L de gaseosa hay 3 L de vino. Calcule la razón 
aritmética entre la cantidad de vino del primer 
recipiente y la cantidad de paseosa del segundo 
recipiente. 
A) 12L 8) 181 C) 10L 
Dj 9L E) 8L
Resolución 
Como los dos recipientes contienen vino y ga- 
seosa tendremos 
1.4 recipiente 2? recipiente 
wnó 
 
Baseosa Ko 
 
601 
10k=60 Sm=60 
k=6 m=12 
Entonces hay 42 L 
de vino y 18 L de 
Bascosa 
Entonces hay 36 L 
de vino y 24 Lde 
faseosa 
Luego 
42-24=18 
Por lo tanto, la razón aritmética de la cantidad 
de vino del primer recipiente y la cantidad de 
gaseosa del segundo recipiente es 18 L. 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 12 
Lo que gana y lo que gasta un taxista todos los 
meses suman 5/.800. Si el mes pasado lo que 
ganó y lo que gastó estaban en la relación de 3 
a 2 y este mes lo que ganó y lo que gastó están 
en la relación de 5 a 3, ¿en cuánto ha variado lo 
que ahorra en estos meses?RAZONES Y PROPORCIONES 
A) S/.80 B) S/.60 C) S/.40 
D) 5/.30 E) s/.20 
Resolución 
 
Tenga en cuenta 
fatal ] a gasto 1. ahorro 
mensual mensual mensual 
 
Mes pasado 
ncia 3k 
SAA == ahorro=k 
gasto 2k 
Por condición del problema 
3k+2k=800 
k=160 
Por lo tanto, el mes pasado ahorró S/.160, 
Mes actual 
anancia 5m 
tt =—— —=3 ahorro=2m 
gasto 3m 
Por condición del problema 
5m+3m=800 
m=100 
Por lo tanto, el ahorro de este mes fue 5/,200. 
Finalmente, la variación del ahorro en estos dos 
meses es $/,200-5/.160=5/.40, 
_Cuave (C) 
25
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.? 13 
Se tienen dos barriles con igual capacidad total- 
mente llenos; el primero contiene 3 L de vino 
por cada 2 L de agua, y en el otro la cantidad de 
vino es tres veces la cantidad de agua. 5í se mez- 
claran ambos barriles, ¿cuál seria la relación de 
vino y de agua? 
A) 27313 
8) 2a1 
C) 334 
D) 17312 
Ej) 2738 
Resolución 
Los recipientes están completamente llenos y 
tienen la misma capacidad (mismo volumen). 
Entonces de los datos tenemos 
 
total: 5(4k) total: 4(5k) 
Pará que los totales sean iguales, 
multiplicamos al primero por 4 
yalsegundo por 5 
Si mezclamos estos dos recipientes en uno solo, 
tendremos 
 
26 
Por lo tanto, la relación de vino y de agua es de 
27313, 
_CLave (a) 
PROBLEMA N.* 14 
A una reunión asistieron 60 personas, donde 
por cada 5 varones hay 7 mujeres. ¿Cuántas 
parejas deben retirarse para que la relación de 
varones y de mujeres sea de 2 a 3? 
A] 10 B) 5 a 4 
DJ 8 El 6 
Resolución 
De los datos tenemos 
5ise retiran x parejas, se 
retiran Y varones y «mujeres 
SS 
 
Inicio Final 
Varones 5/5) =25 (25=x) 
Mujeres 7(5)=35 (35=x) 
Total 12(5)=60 
Donde 
25-x_2 
35-x 3 
> x=5 
Por lo tanto, deben retirarse 5 parejas.
A 
Otra forma 
Seretiran x parejas 
Inicia Final 
Varones 5(5)=25 2k 
Mujeres — 7(5)=35 3k 
Total 12(5)=60 
Debemos tener en cuenta que si se retiran o in- 
gresan la misma cantidad de varones y mujeres, 
la diferencia entre los varones y las mujeres no 
cambia. 
Entonces 
Inicia Final 
Varones 25 2k=20 
Mujeres 35 3k=30 
Diferencia 10 —BBE_ k=10 
Por lo tanto, deben retirarse 5 parejas. 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 15 
En una canasta llena de manzanas se observa 
que el peso de todas las manzanas es al peso 
de la canasta llena como 3 es a 4. Si se venden 
15 kg de manzanas, la nueva relación es de 2 
a 3. Calcule cuántos kilogramos de manzanas 
quedaron después de esta venta. 
RAZONES Y PROPORCIONES 
A) 45 B) 42 C) 30 
DJ 36 E) 24 
Resolución 
Sea P el peso de la canasta vacía. Luego según 
los datos del problema tenemos 
* Situación inicial 
f peso de sr) =N 
( manzanas / 
A — (Pes de | -p 
: canasta 
 
* Situación final 
Cuando se venden 15 kg de manzana, 
queda (N —15) kg de manzana 
 
peso de las 
manzanas 
N-15=3k-15 
— peso de la canasta 
P=k 
3k-15 2 
(3k-15)+k 3 
9k-45=2(4k-15) 
9k=45=8k-30 
k=15 
27
LUMBRERAS EDITORES 
Por lo tanto, al final de la venta la cantidad de 
manzanas que queda es 
3k-15=3(15)-15=30 kg. 
_Cave (€) 
PROBLEMA N.? 16 
Sonia nació 6 años antes que Miguel. Hace 
m años la relación de sus edades era de 5 a 2 y 
dentro de m años será como 11 esa 8, ¿Cuál es 
la edad de Miguel? 
A) 9 años 
B) 12 años 
C) 15 años 
D) 10 años 
E) 11 años 
Resolución 
Si Sonia nació 6 años antes que Miguel, la dife- 
rencia de edades de Sonia y de Miguel siempre 
será 6 años. Luego tendremos 
 
 
 
 
maños maños 
E A 
| Pasado Presente Futuro | 
Sonia (2) 112) | 
| Miguel 2(2) E 8(2) ! 
are ars 
De la tabla 
10+2¿m=22 
m=6 
28 
Por lo tanto, la edad de Miguel es 44+m=10 años. 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.* 17 
Las edades de Alberto y de Jorge están en la re- 
lación de 7 a 3, pero hace 3 años estaban en la 
relación de 5 a 2. ¿Cuál será la edad de Alberto 
dentro de 8 años? 
A] 67 años B) 71años C) 65 años 
D) 70 años E) 60 años 
Resolución 
Recuerde que la diferencia de las edades de dos 
personas siempre es la misma. 
Entonces tendremos 
 
 
 
 
3años 8 años 
PE | | 
Pasado Presente | Futuro | 
| Alberto 5(4k) 7(3k) X | 
Jorge 2(4k) | 3(3k) | 
diferencia 
hos minas) 7 AN 3) 
AS 
iguales 
De la tabla 
21k-3=20k 
k=3 
x=21k+8=71 años 
Cue
PROBLEMA N.* 18 
Las edades de Ana y de Beatriz están en la rela- 
ción de 8 a 5, pero hace 8 años la edad de una 
de ellas era el doble de la otra. ¿Cuál será la 
suma de sus edades dentro de 4 años? 
A) 56 años 
B) 60 años 
C) 64 años 
D) 52 años 
Ej 48 años 
Resolución 
Graficamos una tabla con las edades de Ana y 
de Beatriz, 
 
 
 
 
Baños daños 
Pasado Presente Futuro 
Ana | 2(3k) | ek) | | 
Esos Mo 
Beatriz | 1(3k) 5(k) 
¡ 
A 
recia) sn 1(3k) 31) — Pidentasuma 
: TA A de edades iguales 
De la tabla se observa que 
E2k-8=6k 
k=4 
Dentro de 4 años, ellas tendrán (8k+4) y (5k+4) 
años. Por lo tanto, la suma de sus edades dentro 
de 4 años será 
13£k+8=060 años 
| 
_ CLAVE 
twitter.com/calapenshko 
RAZONES Y PROPORCIONES 
 
PROBLEMA N.” 19 
Las edades de Edwin y de Arturo están en la re- 
lación de 7 a 5, respectivamente, y hace x años 
estaban en la relación de 3 a 2. Si dentro de 2 
años sus edades sumaran 64, halle x. 
A] 2 
B) 8 
C) 6 
D) 5 
E) 4 
Resolución 
De los datos tenemos 
 
 
 
 
 
xaños 2¿años 
a A 
Pasado Presente Futuro - 
Edwin — 3(2k) | 7K) | 72 
E A | Suman 
Arturo 2(2k) | 5(K) | 5k+2" 
diferencia 
(de edodes) > z (2k) 21k) 
SA 
Iguales 
De la tabla se observa que 
e 7k-x=6k 
x=k 
* (7k+2)+(5k+2)=64 
k=5
LUMBRERAS EDITORES . 
PROBLEMA N.” 20 
Se mezclan 48 L de gaseosa con 64 L de agua. Se extraen 35 L de dicha mezcla y se reemplazan por 
gaseosa, luego se extraen 28 L de la nueva mezcla y se reemplazan por agua. ¿Cuál es la razón arit- 
mética entre las cantidades de agua y de gaseosa obtenida al final? 
A) 10L 8) 30L €) 20L DJ 25L E) 15L 
Resolución 
De los datos tenemos 
mezcla inicial queda 
extrae (35 1) se reemplazó 
Dor Easebsa 
 
gaseosa 
agud agua 
nueva mezcla mezcla final 
 
 
extrae (28 L) 
- E 
gaseosa A 
- gaseosá Se reemplazó 
AEUZ A por agua 
 
112 L 281 
Luego hallamos la razón aritmética de agua y de gaseosa de la mezcla final 
61-51=10 
Por lo tanto, la razón aritmética de agua y de gaseosa al final es 10 L. 
30
e A acia 
PROBLEMA N.+? 21 
De un recipiente que contiene 30 L de agua y 50 L de alcohol se extraen 24 L y se reemplazan por 
alcohol. ¿Cuántos litros de agua se tendría que agregar a la mezcla para que las cantidades de agua 
y de alcohol sean iguales. 
A) 38 B) 24 C) 36 D) 72 E) 28 
Resolución 
De la mezcla inicial 
queda 
 
 
 
extrae (24 L) 
 
 
— 5e reemplaza 
tica por alcohol 
Sicono 
ne ===". 
8(3) 
Como se debe agregar agua para que al final los volúmenes de agua y de alcohol sean iguales, en- 
tonces 
21+x=59 
x=38 
Por lo tanto, se debe agregar 38 L de agua. 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.* 22 
De 75 L de una mezcla de gaseosa y de vino se extraen 20 L, de los cuales 12 L son de gaseosa. Calcule 
la razón aritmética de los volúmenes iniciales de gaseosa y de vino. 
A) 8L 8) 15L €) 10L D) 251L El 35b 
31
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Tenemos una mezcla de gaseosa y de vino, de la cual no sabemos las cantidades iniciales. 
mezcla inicia! 
extrae (201) 
 
 
 
La gaseosa y el vino 
están en la relación 
deja? 
gaseosa 
 vino pi e 
Como la relación de gaseosa y de vino que se extrajo es de 3 a 2, en la mezcla inicial la relación de 
gaseosa y de vino también debe ser de 3 a 2. Entonces 
3k+2k=75 —= k=15 
volumen inicial MN ¡E volumen inicial 
de gaseosa de vino 
Por lo tanto, la razón aritmética de gaseosa y de vino es 3k-2k=k=15 L. 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 23 
En una fiesta se observa que por cada 5 varones hay 7 mujeres. La relación entre los que bailan y 
los que no bailan es de 1 a 2, respectivamente.¿Cuántas mujeres no bailan, si de los varones 50 
bailaban? 
Aj 125 B) 120 C) 100 D) 75 E] 80 
Resolución 
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll. 
 
Varones 5(1k) | Mujeres 7(1k) 
 
| 
iguales 
dá 2k 
| 3k | Sk ' No bailan 2(4k) 
| . 
2k | Bailan 1(4k) 
 
32
Donde 
varones+mujeres=12(1k) — Deben ser iguales 
porque ambos 
aora ol 
Además 
2k=50 — k=25 
Por lo tanto, hay 5k=125 mujeres que no bailan. 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.* 24 
En una fiesta, la cantidad de varones y de muje- 
reses de 3 a 1; además, la cantidad de varones 
que bailan es a las mujeres que no bailan como 
4 es a 3. Halle la relación entre la cantidad de 
personas que bailan y las que no bailan. 
A) 1/2 B) 2/3 C) 2/5 
D) 3/5 E) 2/7 
Resolución 
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll. 
 
 
 
 
Varones 3(7k) - Mujeres 1(7Kk) 
a en 
ak PE a aan 
- | ' "e ; 
AA 
17k E No bailan 
SC 
Lsumando resulta TK) 
Entonces 
personas que bailan —_ 8k 
 
2 
personas que no bailan -20k 5 
_ CLAVE (0) 
RAZONES Y PROPORCIONES 
PROBLEMA N.* 25 
En una fiesta, las cantidades de varones que 
bailan y de mujeres que no bailan están en la 
relación de 3 a 2; además, la cantidad de muje- 
res es tres veces más que la de varones que no 
bailan. Si hay 52 personas que no bailan, ¿cuán- 
tas personas asistieron a la fiesta? 
A) 148 
B) 152 
Cc) 140 
D) 132 
E) 120 
Resolución 
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll. 
 
 
Varones Mujeres 4(5k) 
3(4k) A (4k) | Bailan 
1(5k) | | 2 ' (4k) | No bailan 
Observe que las mujeres es como 4 pero tam- 
bién como 5, por tanto homogeneizamos las 
relaciones. 
Como hay 52 personas que no bailan 
=> 5k+8k=52 
k=4 
Por lo tanto, a la fiesta asistieron 37k=148 per- 
sondas. 
_cuave (A) 
33
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 26 
Las velocidades de los móviles A y B están en 
la relación de 7 a 5. Si cuando el más veloz 
llegó al punto de partida del más lento a este 
le falta 180 m para llegar al punto donde partió 
el más veloz, halle la distancia que los separaba 
inicialmente. 
A) 420m 
B) 315m 
C) 700 m 
D) 630 m 
E) 180 m 
Resolución 
Sea D la distancia que los separa inicialmente. 
 
 
 
V¿=/ AE A == A 
=> Py 2 
-— 180mM d¿=5k 7 ] 
¡ 
A lega al punto 
de partida de 8 
Del gráfico 
1804+5k=7k 
90=k 
D=7k=630 m 
_ Crave (D) 
PROBLEMA N.*? 27 
Rafael y Sandro que están separados 400 m par- 
ten uno al encuentro del otro con velocidades 
que son entre sí como 3 es a 2. Hasta el momen- 
to en que están separados 80 m por primera 
34 
vez, Rafael recorrió A metros; mientras que has- 
ta que estén separados 80 m por segunda vez, 
Sandro recorrió B metros. Halle la razón aritmé- 
tica de By A. 
 
 
 
 
 
A) 10 B) 108 C) 40 
D| 80 E) 20 
Resolución 
De la primera condición 
Va=3 v=2 
O APS CO 
TASK g0m 2k 
400 m 
Del gráfico 
3k+80+2k=400 
k=64 
= A=3k=192 m 
De la segunda condición 
0 Ss 50 
A 
80 m 
3P “SP-80 
A 
B=5P 
Como la distancia de separación es 400 m, ten- 
dremos 
3P+(SP-80)=400 
P=60 
=> B=5P=300 m 
Finalmente, la razón aritmética de By A es 
B-A=300-192=108 m. ala 
_ CLAVE
PROBLEMA N.? 28 
Dos personas que están separadas 3600 m sa- 
len al encuentro con velocidades que son entre 
sícomod es aS, Luego del encuentro continúan 
en la misma dirección y el más veloz llega al ex- 
tremo opuesto luego de 96 minutos. ¿Cuánto 
tiempo (en minutos) más se demoró la otra per- 
sona en llegar? 
A) 40 
B) 45 
C) 48 
D) 52 
E) 54 
Resolución 
De las condiciones del problema 
 
 
 
 
 
v¿=4 encuentro Va=5 
ao Sk 
Va=5' v¿=4 : 
4k Sk 
Por MRU 
96(5)_4 
t(4) 5 
> t=150 minutos 
En consecuencia, A se demoró 150-96=54 mi- 
nutos más que la otra persona. 
_Cuave (E) 
RAZONES Y PROPORCIONES 
PROBLEMA N.? 29 
En la academia Aduni, por cada 3 varones hay 
5 mujeres, mientras que en la academia César 
Vallejo por cada 7 varones hay 2 mujeres, Si por 
cada 7 varones de Vallejo hay 10 mujeres de 
Aduni, calcule la cantidad de estudiantes que 
hay en la academia César Vallejo, si en Aduni 
hay 240 mujeres más que varones. 
A) 300 B) 540 E) 2000 
D) 1800 E) 1200 
Resolución 
De los datos tenemos 
Academia Aduni Academia César Vallejo 
 
 
varones _ 3k varones _ 7m 
mujeres 5k mujeres 2m 
Además 
varones de Vallejo 7 _7m 
===— | 
mujeres de 4duni 10 5k (0 
Como en la academia Aduni hay 240 mujeres 
más que varones 
=> 5k-3k=240 
k=120 
Reemplazamos en (1) 
2 m_ 
10 5(120) 
B0=m 
Por lo tanto, el total de alumnos de la academia 
César Vallejo es 9m=540. 
_Cuave (B) 
35
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 30 
En una reunión se observa que por cada 8 muje- 
res hay 7 varones, y la relación entre peruanos y 
extranjeros es de 3 a 2. Si el total de asistentes 
es 300 personas, ¿cuántos varones peruanos 
asistieron sabiendo que son la mitad del total 
de extranjeros? 
A) 40 Bj) 50 C) 35 
D) 60 E) 80 
Resolución 
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll. 
total =300 
 
Mujeres 8(20) Varones 7(20) 
 
1 
 
| ) peruanos 
| po * 3(60) 
1 total 
| extranje A 300 
 
total de extranjeros 
A 
x= 74120) =60 
_ciave (D) 
NIVEL INTERMEDIO 
PROBLEMA N.” 31 
Si al antecedente de una razón aritmética se le 
duplica y al consecuente se le reduce a su mi- 
tad, el valor de la razón aritmética se quintupli- 
ca. Calcule la razón geométrica de los términos 
de la primera razón. 
A) 3al 
D) 7a5 
B) 332 Cc) 245 
E) 4a3 
36 
Resolución 
Razón inicial 
a-b=r (1) 
Razón final 
b 
2a--=5 !l a > r (11) 
Reemplazamos (1) en (11) 
2 le =b) 
2 
Por lo tanto, la razón geométrica de los térmi- 
nos de la primera razón es de 3a 2. 
_Cuve 
PROBLEMA N.? 32 
Si A esal doble de B como 2 esa 3, mientras que 
el triple de B y el doble de € están en la relación 
de 7 a 5, halle en cuánto es excedido C por A, si 
la suma de 4, B y Ces 429. 
A) 11 
B) 43 
C) 56 
D) 36 
E) 33
Resolución 
De los datos tenemos 
A 2 A 4(14k) 
* 783738304) 
28 3 B 3 hi tener el 
mismo valor 
38 _7 B_14(3k) 
. — ZA o A == 
20 5 Cc 15(3k) 
Homogeneizamos el valor de B, con lo cual te- 
nemos 
A=56k, B=42k y C=45k 
Además 
A+B+C=429 
143k=429 
k=3 
> A-C=11k=33 
Por lo tanto, Ces excedido por 4 en 33, 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 33 
Enunagranjase observa que la cantidad de galli- 
nas es tres veces mas que la cantidad de pavos, 
y la relación de gallinas y de pollos es de 3a2, 
Si la cantidad de pollos excede a la cantidad de 
pavos en 40, ¿cuántas gallinas hay en la gran- 
ja? 
A) 48 
D] 96 
B) 72 C) 36 
E) 108 
RAZONES Y PROPORCIONES 
Resolución 
Desarrollamos las relaciones entre la cantidad 
de gallinas, pavos y pollos. 
gallinas _ 4 (3k) 
pavos 1(3k) Homogeneizamos la 
cantidad de gallinas 
gallinas _ 3 (4k) 
2 (4k) 
 
pollos 
Luego 
gallinas=12k 
pavos=3k 
pollos=8k 
Además 
pollos =pavos=40 
Bk-3k=40 
k=8 
Por lo tanto, en la granja hay 12k=396 gallinas. 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.? 34 
La cantidad de dinero que tienen Paulo y Vale- 
rio está en la relación de 3 a 7, mientras que la 
de Valerio y Ethel está de 5 a 3. ¿Cuánto dinero 
tiene Valerio sabiendo que si Ethel le diera 5/.18 
del dinero que tiene a Paulo, estos dos tendrian 
la misma cantidad? 
A) S/.160 
D) S/.175 
B) 5/.210 Cl :5/.350 
E) 5/.420 
37
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
De las comparaciones tenemos 
3(5k) 
Valerio > 7(5k) 
| Homogeneizamos la canti- 
Valerio ai 5(7k) dad de dinero de Valerio 
Ethel 3(7k) 
Paulo 
 
 
Entonces 
Paulo=15k 
Valerio=35k 
Ethel=21k 
Además, si Ethel le diera 5/.18 a Paulo, ellos ten- 
drian la misma cantidad. 
21k-18=15k+18 
k=6 
Por lo tanto, Valerio tiene 35£k=5/.210, 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.”? 35 
Un grupo de 300 personas hacen apuestas 50- 
bre dos equipos (4 y B) favoreciendo inicialmen- 
te al equipo A en una razón de 3 a 2 frente al B: 
luego favorecen al 8 frente al A en una razón de 
5 31. Determine cuántos hinchas de A se pasa-ron a 8, sl esta cantidad es mínima. 
A) 95 
D) 130 
B) 100 €) 115 
E) 140 
38 
Resolución 
El total de personas siempre es 300. 
1.* apuesta 2. apuesta 
A_3k A im 
B 2k B 5m 
5k=300 5m=300 
k=50 m=50 
Disminuye en 130 
l | 
A_ 180 A _ 50 
== =—_ =— a 
B 120 B 250 
Por lo tanto, 130 hinchas se pasaron de A hacia B. 
_cuave(D) 
PROBLEMA N.” 36 
De un examen de Matemática se sabe que las 
cantidades de varones aprobados y de muje- 
res aprobadas están en la relación de 3 a 2; los 
varones desaprobados y las mujeres desapro- 
badas son entre sí como 2 es a 5; además, las 
cantidades de varones y de mujeres están en la 
relación de 4 a 5, Si la cantidad de varones que 
no aprobaron es excedida en 18 por las mujeres 
que aprobaron, ¿cuántas mujeres fueron desa- 
probadas? 
A) 24 
B) 105 
Cc) 30 
D) 32 
E) 120
Resolución 
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll, 
 
Varones 4 Mujeres 3 
3n in aprobados 
2m 5m desaprobados 
Donde 
varones — 3n+2m_4 
 
mujeres — 2n+5m 5 
= 15n+10m=8n+20m 
7n=10m 
n _ 10 
m 7k 
Por dato tenemos 
varones que | _ flecos que )- 
noaprobaron) aprobaron 
— ¿2n - 2¿m =18 
2(10k)-2(7k)=18 —= k=3 
Por lo tanto, no aprobaron 5(7k)=105 mujeres. 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 37 
Las edades de Sharon y Ximena están en la rela- 
ción de 5 a 3, pero hace n años estaban en la re- 
lación de 7 a 4. Si dentro de ¿n años sus edades 
sumarán 56 años, ¿cuál es la edad de Sharon? 
A) 45 años 
Dj 60 años 
B) 30años C) 1l5años 
E] 75 años 
RAZONES Y PROPORCIONES 
Resolución 
No olvidemos que la diferencia de las edades de 
dos personas siempre es la misma. 
 
 
 
naños ¿n años 
ES GE 
Pasado Presente Futuro 
3 ] 
Ñ An 7(2k) | 5(3k) 15k+2n- Suman 
pan E: A 6 años 
Ximena 4(2k) | 3(3k) 9k+2n 
ide edades 
De la tabla 
n=k 
Además 
17k+11k=56 
k=2 
Por lo tanto, la edad de Sharon es 15k=30 años. 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.” 38 
La edad que tiene Lourdes y la que tendrá Dario 
dentro de 12 años están en la relación de 5 a 6; 
además, la edad que Darío tuvo hace 15 años 
es la mitad de la que tendrá Pedro dentro de 12 
años. Si actualmente las edades de Dario y de 
Pedro son entre sí como 6 es a 5, halle la edad 
de Lourdes dentro de 8 años. 
B) 47años. Cl) 48 años 
E) 52 años 
A) 39 años 
D) 50 años 
39 
%
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Graficamos una tabla con las edades de Lour- 
des, Dario y Pedro. 
15 años 12 años 
e 
Pasado Presente Futuro 
 
 
Lourdes 3 
Dario lm 6 | 6 
Pedro 5 0) 2m 
 
Nos piden la edad de Lourdes dentro de 8 años. 
Del cuadro tenemos 
m+15 _6 
2lm-12 5 
 
5m4+75=12m-72 
21=m 
Reemplazamos 
15 años 12 años 
PAS 
Pasado Presente Futuro 
 
Lourdes | TÍ (8) 
Dario | 21 
; Pedro 4 
 
Por lo tanto, Lourdes tiene 40 años y dentro de 
_ CLAVE (0) 
8 años tendra 48 años. 
40 
PROBLEMA N.? 39 
Se tienen tres recipientes de vino, cuyos conte- 
nidos están en la relación de 9, 5 y 10. 5e pasan 
a litros del primer al segundo recipiente, y luego 
b litros del tercero al segundo, pasando a ser la 
nueva relación de sus contenidos de 4, 6 y 5, 
respectivamente. Calcule el volumen final del 
segundo recipiente, si o+b=69, 
A) 1201 
B) 1801 
C) 96L 
D) 126L 
E) 1441 
Resolución 
De los datos tenemos 
Contenidos iniciales 
a b 
 volumen 
total 
24(5k) 
=== 
10(5k) 
 
9(5k) S(5k) 
el total 
Homogeneizamos 
Contenidos finales 
volumen 
total 
15(8k) 
 
4(8k) 6(8k) 5(8k) 
Debemos tener en cuenta que los contenidos 
de cada recipiente han cambiado; pero el volu- 
men total de vino no tiene que cambiar ya que 
solo se está realizando un traspaso de vino.
Ahora comparamos los contenidos iniciales con 
los finales para saber el valor de a y b. 
a=45k-32k=13k 
b=50k-40k=10k 
Pero 
o+b=23k=69 
k=3 
Por lo tanto, el volumen final del segundo reci- 
piente es 48k=144 L. 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.? 40 
Tenemos tres recientes (4, 8 y C) que contie- 
nen gaseosa; donde el contenido de A es al de 
B como 3 es a 2 y el contenido de B es al de € 
como 4 es a 3. Si de A se pasan m litros a B y lue- 
go de 8 se pasan n litros a C de manera que los 
contenidos de los tres recipientes sean iguales, 
halle en qué relación se encuentran m y n, 
A) 334 B) 5a4 C] 3a2 
D) 2a3 E) 5a3 
Resolución 
Realizamos la comparación de los volúmenes de 
A,ByC. 
volumen de 4 e Ix2 
volumendeB 2x2 
| Deben ser iguales 
volumendeB_4 
volumende € 3 
RAZONES Y PROPORCIONES 
Con ello tenemos los volúmenes iniciales 
litros m litros 
 
 
 
volumen 
total 
6(3k) 4(3k) 3(3k) — 13(3k) 
d 
Deben ser 
iguales 
Contenidos finales ¿ 
volumen 
total 
13k 1113k 1(13k 3(13k A ) 1 ) Ll ) 3(13k) 
iguales 
Luego 
m=18k-13k=5k 
n=(12k+5k)-13k=4k 
Por la tanto, la relación de my nes de 5 24. 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 41 
En una reunión, las cantidades de varones que 
bailan y de mujeres que no bailan están en la 
relación de 3 a 5; además, el número de muje- 
res que bailan es una vez más que el número de 
varones que no bailan, Si hay 78 personas que 
no bailan, ¿cuántas mujeres están bailando? 
A) 12 
D) 48 
B) 72 C) 36 
E) 24 
41
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
De los datos tenemos 
 
 
 
 
Varones Mujeres 
3(2k) ELE 23 bañan 
1(3k) 5(2k) No bailan 
Además 
nó bailan=13k=78 
k=6 
Por lo tanto, hay 6k=36 mujeres bailando. 
_ CLAVE (O) 
PROBLEMA N.? 42 
En una reunión, la cantidad de varones que 
bailan y de mujeres que no bailan están en la 
relación de 3 a 2, y la cantidad de varones que 
no bailan y la cantidad de mujeres son entre sí 
como 5 es a 7. Además se sabe que si 24 pa- 
rejas se retirasen, la cantidad de varones y de 
mujeres estaría en la relación de 40 a 29. Halle 
cuántas mujeres no bailan. 
A) 56 
B) 14 
C) 28 
D) 12 
E) 18 
Resolución 
Graficamos el un diagrama de Lewis Carroll. 
42 
 
 
 
o E 
Varones Mujeres 7(5k) 
ar EE! 37) 0 Batan 
5(5k) :2(7K) i ¡Nobailan 
ia pan + ¡ 
 
Está suma (3) nos da el total 
de mujeres, pero por dato 
tenemos que es como 7. 
Entonces homogeneizamos 
Además nos dicen que si se retiran 24 parejas 
(24 varones y 24 mujeres), la relación de varo- 
nes y de mujeres seria de 40 a 29. 
En consecuencia 
a6k-24 _ 40 
35k-24 29 
1334k-696=1400k-960 
k=4 
Por lo tanto, hay 14k=56 mujeres que no bailan. 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 43 
Un depósito contiene 64 L devino y 16 L de agua. 
Si se extraen 20 L de la mezcla que se reempla- 
zan por agua y nuevamente se extraen 20L 
que también se reemplazan por agua, calcule 
la razón aritmética de las cantidades de vino y 
de agua que hay al final. 
A) 8 
D) 3 
B) 12 qu 
E) 17
a RAZONES Y PROPORCIONES 
Resolución 
Tenemos una mezcla de 80 L de vino y de agua (64 L y 16 L), de la cual se extraen 20 L y se reempla- 
zarán con agua. 
mezcla inicial mezcla resultante 
extrae (20 L) 
 
 
 
Luego de la mezcla resultante se vuelve a extraer 20 L y también se reemplaza por agua. 
mezcla resultante mezcla final 
extrae (20 1) 
agua 
vino 
 
total: B0L 
Por lo tanto, al final la razón aritmética de agua y de vino es 44-36=8. 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.? 44 
En un recipiente se mezclan 30, 20 y 50 L de vino, gaseosa y agua, respectivamente; luego de la 
mezcla se extraen 20 L, pero es reemplazado por una mezcla solo de vino y de gaseosa. Si al final la 
razón aritmética de la cantidad de agua y de vino es 4 L, halle la cantidad de gaseosa que se tiene al 
final. 
A) 181 B) 20L C) 28L D) 24L E) 221 
43
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Planteamos la mezcla inicial, la extracción y la mezcla final. 
Se extraen 20 L y 
solo se reemplaza 
mezcla inicial por una mezcla de mezcla final 
vino y de gaseosa 
vino vino | (24+m)L 
gaseosa gaseosa | (16+m)L 
agua agua - 40 L 
Er 
total: total: 100 L 
De la mezcla final m+n=20 
Pero 
agua final- vino final=4 
40-(244m)=4 
m=12 
=> 12+n=20 => n=8 
Por lo tanto, al final se tiene 24 L de gaseosa._ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.? 45 
Dos autos separados por cierta distancia parten hacia su encuentro con velocidades de 40 km/h y 
de 56 km/h. Si cuando están separados 80 km por segunda vez al de menor velocidad le falta 88 km 
para llegar al punto donde partió el otro, ¿cuál es la separación inicial? 
A) 220 km B) 208 km C) 300 km D) 420 km E) 320 km 
Resolución 
Sean A y B autos; como sus velocidades son 40 km/h y 56 km/h, estas se encuentran en la relación 
de5a?7. 
44
Planteamos el problema mediante un gráfico. 
 
Del gráfico se deduce 
 
x+E80 _3 
280+88 7 
x=40 
Por lo tanto, la separación inicial es 208 km. 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.”* 46 
Dos amigos, Santiago y Antonio, se encuentran 
separados 240 m y parten con el objetivo de 
llegar al punto de donde partió su amigo con 
velocidades que están en la relación de 3 a 5, 
respectivamente, Si luego del encuentro sus ve- 
locidades son proporcionales a 2 y 3, respecti- 
vamente, ¿cuánto le faltará al más lento cuando 
el otro ya logró su objetivo? 
A) 60m 
B) 90m 
C) 120m 
D] 150m 
E) 80m 
Resolución 
Planteamos el problema mediante un gráfico. 
RAZONES Y PROPORCIONES 
 
 
 
 
 
 
v.=3 V¿=5 
A encuentro E 
A a e 
| ¡240 | 
3k=90 5k=150 
DE E 
% F A A 
ZN ¿A $ E 
90 150 
3P 2P 
Se deduce que Antonio llega primero a su des- 
tino, mientras que a Santiago le faltará 150—2P 
para llegar a su destino. 
Del gráfico 3P=90 
P=30 
=> 150-2P=90 
Por lo tanto, a Santiago le faltará 90 m para lle- 
gar a su destino. 
_ CLAVE (B) 
PROBLEMA N.” 47 
Dos móviles (4 y 8) parten de M rumbo a ÑN, y 
C parte de N rumbo a M. Las velocidades de A, 
B y C están en la relación de 3, 5 y 2, respec- 
tivamente. Producido el primer encuentro, las 
velocidades de 4, B y C cambian a la relación 2, 
xy 7, respectivamente. Si cuando se produce el 
segundo encuentro lo que le falta recorrer a € 
para llegar a M y lo que le falta a B para llegar a 
N están en la relación de 31 a 12, halle x. 
A) 6 
D) 4 
B) 5 Cc) 1 
'E 3 
45
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Graficamos 
Ca 2 
o 28) ¡CE E Ye 
A 
ca 
 
 
 
Ñ 
3(9k) 2(9k) 29k) 
En encuentro | 
a LA 
ATREA 
Mi e N 
-2(2k) 7(2k) x(2k) 
Observe que la distancia de separación entre 
A y B cuando se produce el primer encuentro 
debe ser el mismo en el primer y en el segundo 
gráfico; entonces podemos homogeneizar las 
razones, 
Por el último dato 
31k _ 31 
18k-2xk 12 
x=6 
ao 
PROBLEMA N.* 48 
En una carrera de 100 m, Wálter le gana a Vic- 
tor por 20 m, y en una carrera de 200 m, Victor 
le gana a Simón por 20 m. ¿Por cuánto ganará 
Wiálter a Simón en una carrera de 100 m? 
A] 40m 
D) 28m 
B) 56m O 48m 
E) 64m 
46 
Resolución 
Sl en una carrera de 100 m Wálter le ganó a Vic- 
tor por 20 m, quiere decir que Wálter recorrió 
100 m, mientras que en ese mismo tiempo Vic- 
tor solo recorrió 80 m. 
velocidad de Wálter 
velocidad de Victor 
_100_5s(5k) 
80 4(5k) 
 
Ahora, si en una carrera de 200 m Victor le gana 
a 5imón por 20 m, por lo anterior tendremos 
velocidad de Victor _200_ 10(2k) 
180 9 (2k) 
 
velocidad de Simón 
Al homogeneizar las relaciones tenemos que la 
velocidad de Victor debe ser la misma. 
Finalmente en una carrera de 100 m entre Wál- 
ter y Simón tendremos 
 
 
 
 
2 a 
Simón e 
y é E 
- 18P | 7P 
100 | 
25P 
Donde 25P=100 —= P=4 
Porlo tanto, Wálter le ganará a Simón por 7P=28, 
_ciave(D) 
PROBLEMA N.” 49 
El costo de 3 pantalones es equivalente al de 7 
camisas, y el costo de 3 camisas es equivalente 
al costo de 2 chompas. Con el costo de 14 chom- 
pas, ¿cuántos pantalones se podrá comprar? 
A] 9 
D) 5 
B) 6 O 7 
E) 4
Resolución 
Sean 
a: el precio de un pantalón 
b: el precio de una camisa 
c: el precio de una chompa 
Donde 
* 3a=7b 
a 7(2k) 
b 3(2k) - 
Deben tener la 
*. 3b=2c ñ misma cantidad 
b_2(3k) 
c 3(3k) 
Nos piden 
l4c=x-a 
Reemplazamos 
14(9k)=x/14k) 
9=x 
Por lo tanto, se puede comprar 9 pantalones. 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 50 
Milenko salió el fin de semana con S/N. Prime- 
ro fue al cine donde la relación de lo que gastó y 
no gastó fue de 2 a 7; luego fue a cenar y del di- 
nero que le quedaba, la relación de lo que gastó 
y no gastó fue de 2 a 3. Si luego de esto solo le 
queda 5/.42, halle cuánto gastó en el cine. 
A) S/.20 
D) 5/.12 
B) $/.15 C) $/,18 
E) 5/.40 
RAZONES Y PROPORCIONES 
Resolución 
Como 5/.N es el dinero inicial, realizamos un 
gráfico que represente a S/N. 
 
 
 
 
Gastó en No gastó 
el cine enelcine 
2k 7k 
e 2 ps 
pa A A at 
Gasto en No gastó 
cenar en cenar 
2(14) 3(14) 
E 
Lo que la 
queda es 5/42 
Observe que lo que no gastó en el cine es ¡igual 
a lo que gastó en cenar más lo que no gastó en 
cenar. 
7k=28+42 
k=10 
Por lo tanto, en el cine gastó 2k=5/.20. 
_ CLAVE (A) 
NIVEL AVANZADO 
PROBLEMA N.? 51 
La razón de dos números, cuya diferencia de 
cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 al me- 
nor y restar 6 al mayor. Determine el producto 
de dichos números. 
A) 184 
D) 256 
B) 198 C) 216 
E) 300 
47
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Sean a y b los números. 
Dato: 
o*-b?*=180 (el menor es b) 
Además 
a-6_b 
b+6 a 
a*-60=b*+6b 
a?—b?*=6(a+b) 
(o—b](a+b)=6(a+b) 
a—=b=6 (1) 
Del primer dato 
a*-b?*=180 
(a—b)(a+b)=1830 
6(a+b)=180 
a+b=30 111) 
De (1) y (1) 
o=18 => b=12 
oxb=216 
_ciave(C) 
PROBLEMA N.? 52 
Las razones aritmética y armónica de dos núme- 
ros enteros positivos son 3 y 3/40, respectiva- 
mente. Halle la razón del doble del menor con 
el mayor de los números. 
A) 2a3 
D) 5a4 
B) 4a3 C) 1a2 
E) 3a2 
48 
Resolución 
 
Nota 
La razón armónica es la comparación de las 
inversas de dos cantidades mediante la sus- 
tracción. 
Si las cantidades son y y b, su razón armónica 
será 
la. 
=-==h 
o b 
ga: antecedente 
hb: consecuente h: valor de la razón armónica L 
Sean a y b los números; siendo a>b, de los da- 
tos tenernos 
* a-b=3 (1) 
bxa=40 (11) 
De (1) y (11) 
a=8 => b=5 
Luego 
doble del menor — 2b _2(5)_5 
mayor —= q B 4 
Por lo tanto, la razón del doble del menor con el 
mayor de los númerosesde5a4, 
_Cuave (D)
PROBLEMA N.? 53 
La razón de dos números es 3/5 y la razón ar- 
mónica del doble del menor con el triple del 
mayor es 1/40. Halle la razón aritmética de los 
números. 
A) 10 B) 9 Cc) 8 
D) 6 E) 12 
Resolución 
Sean a y b los números; donde a < b, por los 
datos tenemos 
a 3k 
b 5k 
111 1 
2a 3b 40 
1. 1 1 
6k 15k 40 
5-2 1 
30k 40 
En consecuencia 
b-0=2k=8 
=> k=4 
Por lo tanto, la razón aritmética de los números 
es 8, 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA N.? 54 
Al comenzar una fiesta de promoción, la canti- 
dad de varones y de mujeres estaba en la rela- 
ción de 7 a 3, pero luego de 2 horas se retiraron 
x parejas, por lo que la relación fue de 4 a 1, 
pero luego de una hora más llegó z parejas y la 
nueva relación fue de 13 a 7. Six+*z=150, halle 
la cantidad de asistentes al inicio. 
RAZONES Y PROPORCIONES 
A) 120 
B) 100 
Cc) 90 
D) 150 
E) 180 
Resolución 
Debemos tener en cuenta que sia un grupo de 
personas se le incorpora o retira cierta cantidad 
de parejas (un varón y una mujer), la diferencia de 
las cantidades debe ser la misma. 
Se retiran Llegan 
x parejas ¿parejas 
e 
inicio queda final 
Varones 7(3k) 4(4k) 13(2k) 
Mujeres 3(3k) 1(4k) 7(2k) 
diferencia 
de varones 43K) 3(4k) 6(2k) 
y mujeres | ] 1 | 
 
Estas diferencias 
deben ser las mismas 
De donde 
x=21k-16k=5k 
¿=26k-16k=10k 
Pero 
x+2=15k=150 
k=10 
Por lo tanto, la cantidad de asistentes al inicio 
es 12k=120. | 
_Cuave (A) 
49
LUMBRERAS EDITORES a 
PROBLEMA N.? 55 
Las capacidades de tres tanques cúbicos son proporcionales a 1, 27 y 125; se distribuye 2800 L de 
agua en los tres tanques, de modo que todos tengan el mismo nivel. Determine la razón aritmética 
de los volúmenes del mayor y del menor recipiente, 
A) 600L B) 19201 C) 830L D)2001 E) 9601 
Resolución 
Tenga en cuenta que si los tanques son cubos, la capacidad está dada por su volumen, cuyo cálculo 
es la longitud de su arista elevada al cubo. 
volumen=125k? 
volumen=27k? _ 
volumen=1k? ledouak lado=5k 
lado=k 
 
 
 
 
lr k d e 
k 3k 
volumen de agua=k*[ volumen de agua volumen de agua 
(31) =9k*% (Sk) =25k 
Como el agua que se distribuyó fue 2800 L, tendremos 
K' (+9 +25k"(=28000 twitter.com/calapenshko 
k*(=80 
> 25k 1-k=24k (=24(80)=1920 
Por lo tanto, la razón aritmética de los volúmenes del mayor y del menor recipiente es 1920 L, 
AO 
50
PROBLEMA N.” 56 
En la librería Ortiz por cada 3 cuadernos que 
venden regalan 2 lapiceros, y por cada 2 libros 
que venden regalan 5 lapiceros. 5i la razón en- 
tre el número de libros y de cuadernos vendidos 
es de l a4 y en total regalaron 124 lapiceros, 
¿cuántos libros vendió esa librería? 
A] 24 Bj 40 C) 36 
D) 830 E) 16 
Resolución 
De los datos tenemos 
N.? de cuadernos vendidos _ 3m 
N.*de lapicerosregalados 2m 
N.* delibros vendidos _2n 
N.* de lapicerosregalados 5n 
 
 
N.*? delibros vendidos _1_2n 
N.* de cuadernos vendidos 4 3m 
*x_n 
Bk m 
 
—»Y 
Además sabemos que el total de lapiceros rega- 
lados es 124 
2¿m+5n=124 
2(8k)+5/34)=124 
k=4 
Por lo tanto, la librería Ortiz vendió 
2n=2(3k)=24 libros. 
 
SS 
| Observación 
5i bien el número lapiceros regalados apare- 
cen en ambas relaciones, no podemos homo- 
geneizar estas porque se trata de cantidades 
| diferentes. 
AS 
_ CLAVE (A) 
 
RAZONES Y PROPORCIONES 
PROBLEMA N.? 57 
Susana gana en 2 días lo que Nelly gana en 3 
días; Pilar gana en 5 días lo que Rosmery gana 
en 3 días; y lo que ganan Susana en 4 días, Pi- 
lar lo gana en 5 días. Si lo que ganan Nelly y 
Rosmery juntas en 2 días excede en S/, 66 a lo 
que ganan Susana y Pilar en un día, halle cuánto 
gana Rosmery en 4 días. 
A) 5/.120 B) S/.160 C) 5/.80 
Dj 5/.40 E) 5/,88 
Resolución 
Sean 
$: lo que gana Susana en un día 
N: lo que gana Nelly en un día 
P: lo que gana Pilar en un día 
R: lo que gana Rosmery en un día 
Donde 
5 3x5k 
* 25=3MN => N 2x5k Deben ser 
iguales 
+ SP=3R > ÓN o 
MN: A | Deben ser 
S 4S=3pP 5_5x3k iguales 
P 4x3k 
Además 
2(N+R)-(S+P)=66 
2(10k+20k)-(15k+12k)=66 
k=2 
Por lo tanto, Rosmery gana 4/20k)=5/,160 en 
á dias. 
_Ciave (B) 
51
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 58 
En una granja se observó que el número de pa- 
vos, gallinas y gansos están en la relación de 2, 
3 y 5, respectivamente, Luego de cierto tiem- 
po se vendió tantas gallinas como gansos y se 
compró tantos pavos como la mitad del total de 
aves que había al inicio, siendo la nueva rela- 
ción de gallinas, pavos y gansos de 1, 7 y 3. Si la 
cantidad inicial de animales estuvo comprendi- 
da entre 142 y 158, ¿cuántos gansos y gallinas 
quedaron? 
A) 60 B) 70 €) 80 
DJ 90 E) 100 
Resolución 
Inicio Final 
pavos=2k Se vende la misma payos=7m 
gallinas =3k “entidad de gallinas ¿¿Jinas=1m 
a yde gansos, pero se E 
gansos=5kK compró 5kpavos E3nmsos=3m 
total =10k 
Como se compraron 5k pavos, tendremos 
2k+5k=7m 
k=m 
Además 
142 <10k<158 
total de 
ánimales 
al inicio 
14,2 <k<15,8 
115 
Por lo tanto, la cantidad de gallinas y de gansos 
que quedaron es 4m=4k=60. 
_ CLAVE (A) 
52 
PROBLEMA N.? 59 
Las edades de Elizabeth y Katherine se encuen- 
tran en la relación de 9 a 10. Si hace 6 años la re- 
lación de las edades de Elizabeth y de Cristian era 
de 2 a 3 y dentro de 8 años las edades de Katheri- 
ne y Cristian estarán en la relación de 7 a 8, halle 
la edad que tendrá Cristian dentro de 2 años. 
A) 22 años B) 24 años C) 20 años 
D) 26 años E) 30años 
Resolución 
De las edades de las tres personas tenemos 
 
 
 
6años 8. años 
LAA AA 
Pasado Presente Futuro 
T 
Elizabeth 2m 9 
Katherine 10 | 7n 
de ¿ ei ira 4 e presea E a 
Cristian 3m po Bn | 
| 
i— MNecesitamos hallar 
la edad de Cristian 
 
De la tabla 
y ¿am+6_9 
Tn-8 10 
20m+60=63n-72 
20m+132=63n (1) 
* 3m+14=8n (11) 
De (1) y (11) 
n=4 y m=6 
Por lo tanto, dentro de 2 años Cristian tendrá 
(3m+6)+2=26 años. 51 
_Cuave (D)
PROBLEMA N.” 60 
Las edades de Teodora y de Josefina están en la 
relación de 4 a 3; la edad de Francisca y la que 
tuvo Teodora hace 6 años son entre si como 5 es 
a 6; además, la edad que tendrá Francisca den- 
tro de 9 años será una vez más la edad que tuvo 
Josefina hace 6 años. Dentro de cuántos años 
la edad de Teodora será media vez más que la 
edad de Francisca, 
A) 2años B) 5años C) 3 años 
D) 6 años E) 8. años 
Resolución 
Planteamos un cuadro con las edades de las 
personas. 
 
 
 
 
6baños S años 
EA 
Pasado Presente Futuro 
Teodora | 6n 4m | 
Josefina 1 | EC 
Francisca | 5n 2 
Donde 
.« 6n+6=4m 
3n+3=2m (0) 
im-6 1 
+ =-— 
5n+9 2 
6m-12=5n+9 
6m=5n+21 (11) 
De (1) y (11) 
m=6 y n=3 
RAZONES Y PROPORCIONES 
Entonces Teodora y Francisca tienen 24 y 15 
años, respectivamente. 
Luego 
(24 +x)=(15+ x)+=(15+x) 
3 
AAN AN 
—> x=3 
Por lo tanto, dentro 3 años la edad de Teodora 
será media vez más que la edad de Francisca. 
_cuave(C) 
PROBLEMA N.” 61 
En una fiesta la relación de varones y personas 
que no bailan es de 5 a 7; además, la relación de 
los varones que no bailaban y del total de mu- 
jeres era 2 a 3. Si el total de asistentes es mayor 
que 100 pero menor que 200, halle la cantidad 
de personas que están bailando. 
A) 40 B) 36 €) 38 
D) 44 Ej 60 
Resolución 
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll. 
 
Varones 5n Mujeres 3m 
iguales 12. * . 
5n=2m A 52m ; | Bailan 
em 
mi Noballan?n 
 
2m '7n-=2m; 
e 
Es a sumar 3m 
53
LUMBRERAS EDITORES 
Del diagrama 
(5n—2m)+(7n—2m)=3m 
12n=7m 
»_ Tk 
m 12k 
Además 
100 < total < 200 
100<5n+3m=< 200 
100 < 5(7k)+3(12k) < 200 
114..<k<2,9 
LL 2 (único valor) 
Por lo tanto, la cantidad de personas que bailan 
es 2(5n—2m)=22k=44, 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.* 62 
A una fiesta asistieron 65 varones y m mujeres, 
de los cuales en un determinado momento se 
observó que la cantidad de varones que bailan 
pero no fuman con las mujeres que bailan pero 
sí fuman están en la relación de 3 a 2; y la rela- 
ción de las mujeres que bailan pero no fuman 
y de los varones que bailan y fuman es entre sí 
como 7 esa 5, Si la cantidad de varones que no 
bailan es 10 y esta es la mitad de las mujeres 
que no bailan, halle la cantidad de personas que 
bailan y fuman, 
54 
 
7 
A) 42 Bj) 65 Cc) 18 
Dj) 40 E) 45 
Resolución 
Recuerde 
h 
En los problemas donde haya personas bai- 
lando estas deben hacerlo en pareja, es decir, | 
la cantidad de varones ballando es igual a la 
de mujeres bailando, | 
 
 
Varones (65) Mujeres 
 
Fuman| 
3m AAA A 
Sn | 2m >, 
7 AMAIA IUUAAAAAI; ¡IA 
Bailan 
¿No bailan 
 
 Esta cantidad es la 
mitad de las mujeres 
que no bailan. 
 
 
Nos piden hallar 5n+2m. 
Del gráfico se deduce 
* 3m+5n=55 (1) 
Además 
3aim+5Bn=¿m>+7n 
m=2n (11) 
De (1) y (11) se concluye que 
n=5 y m=10 
5n+2¿m=45
y RAZONES Y PROPORCIONES 
PROBLEMA N.” 63 
Dos clases de pisco (quebranta y acholado) están mezclados en tres recipientes. En el primero en la 
razón de 2 a 1, en el segundo en la razón de 1 a 3 y en el tercero en la razón de 1 a 1. Luego se extrae 
cierta cantidad de cada recipiente, tal que los volúmenes que se extrajeron del primero y del segundo 
están en la relación de 2 a 3, mientras que la relación de lo que se extrajo del tercero y del segundo es 
de 2 a 1.5Si con lo extraído se forma una nueva mezcla que contiene 284 L de pisco acholado, ¿cuán- 
tos litros se extrajo del segundo recipiente? 
A) 721 B) 801 Cc) 1201 D) 1321 E) 1441 
Resolución 
Recuerde que si de una mezcla se extrae cierta cantidad, los ingredientes deben estar en la misma 
relación que la mezcla inicial. 
Tenemos 
quebranta 
acholado 
|extrae Y [extrae Va 
Para que la relación de los 
piscossean enteros, esta 
cantidad debe tener tercia ¡ EPPEA 
V,_ 2x1x3x4k 
W," 3x1x3x4k 
Donde 
 
 
 
5o0n iguales 
As V, 2x3x3x4k 
> 1x3x3x4k 
Entonces tenemos 
quebranta [E 
(0) 
acholado 
[Aj 
 
55
LUMBRERAS EDITORES 
Como se mezclan estos tres, la cantidad de pis- 
co acholado será 
8k+27k-+36k=284 
=> k=4 
Por lo tanto, del segundo recipiente se extrajo 
36k=144 L. 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.”? 64 
De un recipiente que está completamente lleno 
de vino se extrae 1/4 de lo que no se extrae y se 
completa con agua; luego de la mezcla resultan- 
te se extrae otra vez 1/4 de lo que no se extrae 
y se completa con agua. 5i este procedimiento 
se realiza cuatro veces luego del cual la razón 
aritmética de los volúmenes de vino y de agua 
es de 452 mL, ¿cuál es el volumen de vino que 
se tenía inicialmente? 
A) 3L 
D) 6,251 
B) 2,51 C) SL 
E) 3,4L 
Resolución 
 
Nota 
5i de una mezcla se extrae la mn parte, entonces 
de cada ingrediente también sale la món parte. 
Ejemplo 
Sica extrae 1/5 de la mezcla, 
entonces sale 1/5 de cada 
ingrediente y quedará 4/5 
de cada ingrediente. 
vino | 
gaseosa | 
 
 
 
extrae== no extrae 
noéxtrae extrae 1k 
noextrae 4k 
 
56 
En conclusión siempre se va sacar 1/5 del total. 
Si siempre se va a sacar 1/5 de la mezcla y se 
va a completar con agua, el volumen total siem- 
pre será el mismo. Pero los volúmenes de vino 
y de agua siempre estarán cambiando en cada 
extracción. 
inicio 
luego de 4 
AA 
3 extracciones 
pe la 4 4 A ty) v)))= 28 
de vino 625% 
volumen final del 256 28 369 
 
de agua 625 625 
369V 256Y e A SN 
a 
V=2500 ml =2,5 L 
_ CLAVE 
PROBLEMA MN.” 65 
De un recipiente lleno de vino se extrae n litros, 
luego el recipiente se llena con agua. Ahora, de 
esta mezcla se extrae n litros y nuevamente es 
llenado con agua, tal que la relación entre la 
cantidad de vino y la cantidad de agua sea de 
9 a 16. Halle la relación entre la capacidad del 
recipiente y la cantidad extraída. 
322. 
E) 2a5 
Al la5 
D) 5a2 
B) 233
Resolución 
Sea V el volumen del recipiente. 
5 A 
Entonces se extrae n, lo cual viene a ser la — 
. W=n 
parte del volumen y quedará q como esto 
se realiza dos veces, tendremos 
inicio 
agua 
luego de 2 
d extracciones 
E vino Y 
 
pa final ANA 
de vino V A V 
Como al final la relación de vino y de agua es 
de 9 a 16, quiere decir que el volumen total es 
como 25, de donde 
 
z 
5 
Por lo tanto, la capacidad del recipiente y lo que 
se extrajo están en la relación de 5a 2. 
e 
RAZONES Y PROPORCIONES 
PROBLEMA N.? 66 
Para ser parte de la empresa ABC se tiene que 
dar tres exámenes eliminatorios y solo será 
aceptado aquel que apruebe los tres exámenes. 
En el primer examen pasaron 5 de 8, luego en el 
segundo examen pasaron 2 de 3 y en el último 
examen pasaron 1 de 3, Si 496 postulantes no 
fueron aceptados, ¿cuántas personas si forma- 
rán parte de la empresa? 
A) 90 B) 30 C) 45 
DJ) 120 Ej 80 
Resolución 
 
Tenga en cuenta 
5i el texto menciona que pasaron 5 de 8, 
se entenderá que de un grupo de 8 per- 
sonas pasaron 5 y no pasaron 3. 
 
Como se tiene tres fases podemos ayudarnos 
de un gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
SxX3X3k 3X3X3k 
pasaron no pasaror 
1. examen 
2X5X3k 1X5x3k Estas cantidades 
pasaron nó pasaron deben ser las mismas 
¡ 2.* examen 
1x10k 2 x10k Deben ser 
pasaron no pasaron iguales 
AR a a, ds — 
' 3." examen 
 
57
LUMBRERAS EDITORES E 
Entonces se concluye que 
+ total de postulantes=5x3x3k+3x3x3k=72k 
+ total de personas que forman parte de la empresa =10k 
»* total de personas que no fueron aceptadas=72k-10k=496 
=> k=8 
Por lo tanto, el número de personas aceptadas es 10k=80, 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 67 
Al recorrer una distancia de 500 m, A le saca a B 100 m de ventaja; al recorrer una distancia de 
1000 m, 8 le saca a € 200 m de ventaja. ¿Cuántos metros de ventaja le sacará A a Cen un recorrido 
de 800 m? 
A) 200 8) 300 C) 160 D) 288 E) 140 
Resolución 
Graficamos 
1. comparación 
 
 
 
Va _500_5x5k 
e Va 400 4x5k 
400 m 100 m 
Deben ser 
2.2 comparación iguales 
*—= E E Va _1000_ 5x4k 
A 
Ve 800 4x4k 
300 m - 200m 
3. comparación 
 
 
B00= e 
58
o o RAZONES Y PROPORCIONES 
 
 
 La relación de velocidades 
debe ser la misma que la 
relación de sus distancias. 800__25 
800-x 16 
 
x= 288 
Por lo tanto, A le sacará 288 m de ventaja a €. 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.? 68 
Dos amigos, Alberto y Benito, parten de la ciudad M rumbo a N, mientras que en ese mismo instante 
sale Carlos de N rumbo a M; sus velocidades están en la relación de 3, 5 y 4, respectivamente. Produ- 
cido el primer encuentro, Alberto aumenta en un tercio su velocidad, Benito disminuye a la mitad su 
velocidad y Carlos disminuye a la mitad su velocidad; por lo que en el momento en que se produjo 
el segundo encuentro, a Benito le falta 114 m para llegar a su destino. Halle la distancia entre M y N. 
A] 162 m B) 720m C) 628 m D) 200 m E) 324 m 
Resolución 
Al ser las velocidades proporcionales a 3, 5 y 4, pero luego se va a necesitar que la segunda velocidad 
tenga mitad, trabajaremos con la relación 6, 10 y 8. 
1. encuentro 
LARA OA lA AA GO a ae o 
Entonces tendremos 
 
Mo | N 
6(3k) —; 4(3k) 8(3k) | 
E 
E YO 
Mi 
SK) 4) S(Kk) 114m 
AX 
Esta distancia debe 
ser la misma 
59
LUMBRERAS EDITORES 
Del gráfico 24k-5k=114 
k=6 
Por lo tanto, la distancia de Ma Nes 54k=324 m. 
_Ctave (E) 
PROBLEMA N.? 69 
Tres ciclistas (A, B y C) parten simultáneamente de las ciudades P y Q; el ciclista A en dirección de P 
a Q, mientras que los otros dos ciclistas partieron de Q a P. Las velocidades están en la relación de 
6, 5 y 13, respectivamente; además cuando se produce el segundo encuentro el más veloz ya habia 
llegado a su destino 38 minutos antes. Si el primer encuentro se produjo a las 18 horas, ¿a qué hora 
partieron? 
 
 
A) 15:29 B) 15:31 O) 15:33 D) 15:35 Ej 15:37 
Resolución 
Graficamos 
1." encuentro t=11k 
6 t=11k 18:00 h t=11k 13 
¡AY Bi O 
p 4 a 
6(11k) + 8(11k) S(11k) 
so: EEE r=8k-38 “— ¡e t=Bk t=Ek =— 
(O YO 
p 
 
 
6(8k) — 5(8k) 
 
66k=13(8k-38) 
k=13 
Por lo tanto, la hora en que partieron es 
18:00-11(13) min=15:37. 
_Cuave (E) 
60
PROBLEMA N.* 70 
Una liebre perseguida por el galgo le lleva a este 
175 saltos de ventaja; por cada 8 saltos que 
hace el galgo, la liebre hace 9; pero los saltos 
del galgo equivalen a 2 de la liebre. ¿Cuántos 
saltos había dado la liebre hasta el momento en 
que es alcanzada por el galgo? 
A) 125 
B) 850 
C) 135 
D) 225 
E) 300 
Resolución 
Realizamos un gráfico. 
RAZONES Y PROPORCIONES 
 
asaltos 
á si A AR 
y 
175 saltos 
de la liebre 
Donde 
a_8k 
b 9k 
Además, como los saltos del galgo es el doble 
de la liebre, entonces 
o saltos del galgo=2a saltos de la liebre 
En consecuencia 
2a-b=175 
2(8k)-(9k)=175 
k=25 
b=9k=225 
61
62 
+ PROBLEMAS PROPUESTOS 
NIVEL BÁSICO 
La edad de Mario excede a la edad de Roxa- 
na en 2 años, y la edad de Vilma es excedida 
por la edad de Roxana en 6 años. Si Vilma 
tiene 17 años, ¿cuál es la edad de Mario? 
A) 18 
D] 25 
B) 12 C) 16 
E) 22 
Si la relación de dos números es de 3 a 4 y 
su producto es 768, halle la razón aritmét- 
ca de dichos números. 
A) 16 
Bj 12 
C) 64 
D) 24 
EJ 8 
Las razones aritmética y geométrica de 4 y 
B (4 >B) son 144 y 5/2, respectivamente; 
además B es dos veces más que €, Halle €. 
A) 15 B) 30 Cc) 32 
D) 36 Ej 18 
La suma, la diferencia y el producto de dos 
números están en la relación de 5, 1 y 24, 
respectivamente, Halle en cuánto es excedi- 
do el doble del menor por el triple del mayor. 
A) 24 B) 20 C) 12 
D) 16 EJ 8 
Antes de que empiece una asamblea había 
690 personas, y por cada 8 varones habia 
15 damas. Iniciada la asamblea llegaron 30 
damas. Halle la nueva relación de los varo-nes con respecto de las damas. 
A) 24/25 B) 1/2 C) 1/3 
D) 8/45 E) 7/16 
UNMSM 2008-11 
En una granja en donde solo hay gallinas 
y conejos, la relación entre las cantidades 
de cabezas y de patas es de 5 a 16. Si la 
cantidad de conejos excede a la cantidad 
de gallinas en 8, halle cuántos conejos hay 
en la granja. 
A) 26 B) 30 EC) 24 
D) 20 E) 18
Se sabe que 500 pobladores votaron dos ve- 
ces por una moción sin abstenerse. En la 
primera votación por cada 2 votos a favor 
había 3 en contra, En la segunda votación 
por cada 4 votos a favor hubo 1 en contra. 
¿Cuál es la diferencia entre los votantes en 
contra de la primera y los de la segunda vo- 
tación? 
A) 220 pobladores 
B) 200 pobladores 
C) 250 pobladores 
D) 260 pobladores 
E) 270 pobladores 
UNMSM 1999 
Se agrega 40 g de sal a 6 L de agua. ¿Cuán- 
tos litros de agua se deben agregar a dicha 
mezcla para que por cada litro de la mezcla 
haya 5 g de sal? 
A) 1 
D) 6 
B) 4 cd 8 
Ej 2 
En una competencia automovilística, un co- 
piloto observa que el número de personas 
participantes es al número de autos como 
23312. Luego de cierto tiempo se retiran n 
autos, y un piloto participante observa que 
el número de pilotos es al número de autos 
como 9 es a 10. Halle n. 
A) 2 
D) 6 
B) 3 C) 4 
E) 7 
11. 
12, 
RAZONES Y PROPORCIONES 
La relación de canicas que tienen Abel y 
Beto es de 3 a 2, mientras que la relación 
de canicas que tienen Beto y Carlos es de 
3 a 5. ¿En qué relación se encuentran las 
cantidades de canicas de Abel y de Carlos? 
A) 3a5 
B) 337 
C) 9a10 
D) 332 
E) 2a3 
En una veterinaria, las cantidades de pe- 
rros schnauzer y labrador son entre sí como 
de 3 a5. Luego de vender 4 schnauzer y 6 
labradores, queda un total de 38 perros. 
¿Cuántos perros schnauzer habia al inicio? 
A) 18 
D) 24 
Bj 12 C) 30 
E) 15 
En una fiesta, los hombres y las mujeres 
asistentes están en la relación de 3 a 1. 
Después de transcurridas 6 h se retiran 20 
parejas y ocurre que la nueva relación de 
hombres y de mujeres es de 5 a 1. Entonces 
el número original de asistentes a la fiesta 
fue de 
A) 160. 
B) 180. 
C) 200. 
D) 220. 
E) 240. 
UNI 2000441 
63
LUMBRERAS EDITORES 
13, 
14, 
15. 
64 
Héctor fue a un centro comercial y se dio 
cuenta que el costo de un televisor es al de 
una cocina como de 71 esa 5, mientras que 
al comparar el precio de esa cocina y el de 
un equipo de sonido la relación era de 3 a 
2. 5i para poder comprar los tres artefactos 
necesita 5/.2760, ¿en cuánto excede el pre- 
cio del televisor al equipo de sonido? 
A) 5/.350 
D) S/.580 
B) 5/.300 C) S/.640 
E) S/.660 
Manuel va de compras llevando cierta can- 
tidad de dinero. ¿Cuál es esta cantidad si 
por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y 
gastó 800 soles más de lo que ahorró? 
A) 5200 B) 4800 C) 4200 
D) 3800 E) 3200 
UNMSM 2005-11 
La señora Vilma tuvo su primer hijo a los 
24 años, y en el año 2010 sus edades eran 
como 5 es a 3. ¿En qué año nació su primer 
hijo? 
A) 1980 
D) 1974 
B) 1987 Cc) 1976 
E) 1983 
Las edades de Kelly y Juana están en la re- 
lación de 3 a 1, pero dentro de 2 años sus 
edades serán como 5 es a 2. Cuando Juana 
nació, ¿cuál era la edad de Kelly? 
A) 6 años 
D) 4años 
B) l2años C) 3años 
E] 15 años 
1. 
13. 
20. 
Las edades actuales de Carlos, Eduardo y 
Roció están en la relación de 4, 7 y 5. Hace 
10 años estaban en la relación de 3, 9 y 5. 
Halle la razón aritmética de las edades de 
Carlos y Eduardo dentro de 8 años. 
A) 6 
D) 14 
B) 8 Cc) 10 
E) 12 
Las edades de Vilma y Patricia están en la 
relación de 5 a 7, respectivamente, y hace 
m años estaban en la relación de 2 a 3. Si 
dentro de 17 años sus edades sumarán 70, 
halle m. 
A) 6 
D) 3 
B) 8 Cc) 9 
E) 12 
En un recipiente se ha mezclado 40L de 
agua con 80L de vino, Cristina saca de 
esta mezcla 36L y lo reemplaza con agua. 
¿Cuánto habrá ahora de agua en el reci- 
piente? 
A) 64L 
D) 601 
B) 28L C) 32L 
E) 76L 
De un recipiente que contiene gaseosa y 
vino se extraen 40 L por lo que en el reci- 
piente quedan 54 L de gaseosa y 36L de 
vino. Halle la razón aritmética de los volú- 
menes de vino y de gaseosa que había al 
inicio. 
Cc) 16L: 
E) 391 
A) 13L 
D) 26L 
B) 18L
21. 
22, 
23. 
24, 
De un recipiente que contiene 30 L de agua 
y 60 L de alcohol se extraen 24 L, ¿Cuántos 
litros de agua se deben agregar a lo que 
queda de la mezcla para que la relación de 
las cantidades de agua y de alcohol sea in- 
versa a la relación inicial? 
A) 22 
D) 24 
B) 66 C) 48 
E) 88 
De una mezcla que contiene 30 L de alcohol 
y 20L de agua se extraen 15 L y se reem- 
plazan con alcohol. ¿Cuántos litros de agua 
se deberán echar a esta nueva mezcla para 
que la razón entre alcohol! y agua sea 3/4. 
A) 20 
D) 34 
B) 60 C) 30 
E) 10 
En el cumpleaños de Mijaíl se observa que 
las cantidades de varones y de mujeres es- 
tán en la relación de 4 a 3, y por cada 5 mu- 
jeres que bailan hay 3 varones que no lo ha- 
cen. 5i 9 son los varones que no bailan, halle 
la cantidad de asistentes al cumpleaños. 
A) 84 
D) 91 
B) 42 C) 76 
E) 70 
En una reunión se observa que los hombres 
y las mujeres están en la relación de 3 a 5; 
los que bailaban y los que no bailan están 
en la relación de 2 a 3. ¿En que relación es- 
tán los hombres que bailan y las mujeres 
que no bailan? 
25. 
26. 
21. 
RAZONES Y PROPORCIONES 
A) 9a2 
D) 2a3 
B) 7a2 C) 5a4 
E) 8a17 
En una reunión, las cantidades de varones 
y de mujeres están en la relación de 2 a 7; 
pero luego de que llegan 51 parejas, la nue- 
va relación es de 5 a 9. ¿Cuántas parejas 
deben llegar después de esto para que la 
nueva relación sea de 5 a 7? 
A) 50 
D) 70 
B) 60 C) 75 
E) 55 
En una reunión se observa que el número 
de personas solteras es al número de per- 
sonas casadas como 3 es a 2; el número de 
varones y el número de mujeres es como 2 
es a 1. Si la cantidad de varones excede al 
total de personas solteras en 20, ¿cuántos 
personas asistieron en total? 
A) 240 
D) 180 
6) 120 C) 300 
E) 250 
Jaime y Máximo están distanciados 800 m y 
parten hacia su encuentro, Si producido el 
encuentro lo que recorrió Máximo excede 
a lo que recorrió Jaime en 200 m, halle la 
relación de sus velocidades. 
A) 8a1 
B) 5a3 
ca 71 
DJ 332 
El 1a3 
65
LUMBRERAS EDITORES 
28, 
29. 
66 
Rubén y Samuel parten de la ciudad M rum- 
bo a N, mientras que Ulises parte de Na 
M, simultáneamente, con velocidades que 
están en la relación de 5, 3 y 2, respectiva- 
mente. Si la distancia que existe desde el 
punto donde sucedió el primer encuentro 
hasta el punto donde sucedió el segundo 
encuentro es de 240 m, halle la distancia 
entre My N. 
A) 2000 m 
B) 2300 m 
C) 2600 m 
D) 1800 m 
E) 2100 m 
Las velocidades de dos móviles (4 y B) es- 
tán en la relación de 7 a 5. Cuando el más 
veloz llegó al punto de partida del más len- 
to, a este le falta 240 m para llegar al punto 
donde partió el más veloz. Calcule la dife- 
rencia de las distancias recorridas por am- 
bos móviles hasta el momento en que se 
produjo el encuentro. 
A) 220 m B) 240 m 
D) 140 m 
C) 70m 
Ej) 120m 
Sia y b son enteros mayores que 100, tal 
que a+b=300, ¿cuál de las siguientes alter- 
nativas es la razón exacta de a/b? 
A) 9/1 8) 5/2 C) 5/3 
D) 4/1 E) 3/2 
UNI 2005-11 
31. 
32. 
33. 
NIVEL INTERMEDIO 
Se sabe que A-B y B-C están en relación 
de la5, y Ces siete veces A; además su- 
mando A, 8 y € obtenemos 100. ¿Cuánto 
es (CA)? 
A) 3600 
B) 2500 
C) 3025 
D) 2304 
E) 3364 
Al comenzar una fiesta se observó que por 
cada 3 varones había 2 mujeres, trascurrido 
2 horas llegaron 26 varones y 24 mujeres 
con lo que la nueva relación de varones y 
de mujeres fue de 4 a 3. Determine cuántas 
personas habla al comenzar la fiesta. 
A) 120 
D) 96 
8) 86 Cj 90 
Ej 84 
Una competencia se inició con una deter-