Teoría y problemas con Congruencia de Triángulos

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Colección Temas Selectos A 
 
 
oa 
de triángulos 
Teoría y práctica 
Niveles básico - intermedio - avanzado 
AA le EE e) 
Erick Huajan Ragas Lumbreras
Asociación Fondo de Investigadores y Editores pa 
 
Congruencia 
de triángulos 
Erick Huajan Ragas Lumbreras 
Editores
 
twitter.com/calapenshko 
Congruencia de triángulos 
o 
Autor: Erick Huajan Ragas 
Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av. Alfonso Ugarte N.? 1426 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: octubre de 2012 
Primera reimpresión: diciembre de 2018 
Tiraje: 800 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-233-9 
Registro del proyecto editorial N.* 31501051800693 
*Hecho el depósito lagal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.* 2018-09904 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.? 822 
Distribución y ventas al por mayor y menor 
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713 
ventas € elumbreras.com.pe 
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación 
Fondo de Investigadores y Editores en el mes de diciembre de 2018. 
Calle Las Herramientas N.* 1873 / Av, Altonso Ugarte N.? 1426, Lima-Perú. 
Teléfono: 01-336 5889 
 
EAN 
RUN 
"MW CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Definida parco acer e era uo ceo ere od e 
Criterios para que dos triángulos sean CONgruentes ..cccicinincconcsmnrenees 
Lado - ángulo -lado LA. 
E a Ad cad 
tado 14d ad A A e O 
Aplicaciones de los criterios de la CONgruencia.........c.o ninio maracas 
Teorema de la bisectriz de Un Ángulo... tii 
Teorema de la mediatriz de un segmento ci conoció: 
Teorema de la base media crece 
Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa cnica 
Triángulos rectángulos notables... 0 ejer airis 
O A 
TANEUlO Notable AS. circo nin ici 
Triángulo notable de 20% y 60”... ocre ceci 
Triángulos notable de 15% y 75 dd 
AO OS ea 
TSAEUÍO potable de YO 
Triángulo notable de 539/2 y 1272 cccccacioncocimmitieciniajal 
Triángulo notable de 37%/2 y 1432 ccoo 
Triómgulo notable de 14% y 76 ii 
Triángulo notable de 8% y 8200 e a 
Triángulo notable de 16% y 740 ii 
11 
14 
14 
16 
16 
18 
18 
18 
20 
21 
21 
21 
21 
22 
22 
23 
23 
24 
24 
24 
24 
24
am PROBLEMAS RESUELTOS 
Nivel BÁSICO css 
Nivel intermedio cc caes 
Nivel avanzado ....... 
"a PROBLEMAS PROPUESTOS 
Nivel básico o 
Nivel intermedio 
Nivel IVINZIOO iiem 
7 CLAVES 
"E BIBLIOGRAFÍA 
 
26 
71 
96 
123 
132 
136 
142 
143 
d
a
 
E
 
A
 
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A
 
A
 
A
A
 
L
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+ PRESENTACIÓN 
ao 38 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Congruencia 
de triángulos, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se 
realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. 
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los 
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus 
conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias 
naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores 
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didác- 
tico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profun- 
dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso 
nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu- 
trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los 
estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos 
y problemas resueltos y propuestos por niveles. 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig- 
nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio- 
nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro 
anhelo de una educación cientifica y humanística integral. En este proceso, 
deseamos reconocer la labor del profesor Erick Eduardo Huajan Ragas, de 
la plana de Geometría de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor 
en la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en 
la enseñanza preuniversitaria., 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
+ INTRODUCCIÓN 
En 
Muchas veces cuando hablamos a diario mencionamos algunos términos 
como igualdad, parecido, similares, etc., para comparar los objetos de nues- 
tro entorno; pero no existen dos objetos que presenten características to- 
talmente exactas (por ejemplo: peso, longitud, ancho, masa, etc.). Solo en 
la matemática podemos hacer algunas comparaciones; la igualdad y la con- 
gruencia se utilizan para comparar cantidades y figuras, respectivamente. 
La congruencia de triángulos es uno de los temas más interesantes y 
creativos de la geometria. Muchos estudiantes no solo se conforman con 
las soluciones que se plantean para los problemas, sino que buscan otras 
soluciones, permitiéndoles tener más posibilidades de cómo encarar futuros 
problemas 
El contenido de este tema se ha trabajado de manera práctica y didác- 
tica para su buen aprendizaje. Las teorías han sido desarrolladas, paralela- 
mente, con aplicaciones (a modo de ejemplos) para su mejor entendimiento; 
asi también problemas resueltos y propuestos que permitirán afianzar el de- 
sarrollo del tema, dentro de los cuales se ha colocado problemas de examen 
de admisión para tener una visión de los problemas más recurrentes en este 
tipo de pruebas. 
Esperamos que el presente libro sirva de apoyo para futuros estudios 
relacionados a esta materia, y agradecemos a la Asociación Fondo de Inves- 
tigadores y Editores - Afined por promover la cultura en los estudiantes.
twitter.com/calapenshko
$ CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
A A A A NS ¿BR : 
| bERNICIÓN twitter.com/calapenshko 
 
 
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos 
correspondientes tienen la misma medida. 
 
AABC= ADEF 
Se lee “el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF". 
"| Elsimbolo que se usa para denotar la congruencia es =, y se lee “es con- 
gruente a”. 
* Al hacer la notación de los triángulos congruentes se debe mantener el 
orden de los elementos congruentes. 
 
Además, en la congruencia de dos triángulos se presenta una relación biunivoca entre los elementos 
congruentes (llámese lados y ángulos congruentes), esto quiere decir que a cada par de lados con- 
gruentes le corresponde otro par de ángulos congruentes que se le opone y viceversa. 
11
LUMBRERAS EDITORES 8 
 
Por ejemplo, los triángulos ABC y MNP son congruentes, y como BC y NP son iguales, entonces las 
medidas angulares que se oponen serán iguales. 
E Observación iS 
e . PP. al 
 
 
Los lados de igual longitud y los ángulos de 
a | igual medida que presentan dos triángulos 
Sy congruentes se denominan lados homólogos o 
A C | ángulos homólogos. 
APLICACIÓN 1 ' 
En el gráfico mostrado, las regiones sombreadas son congruentes, AB=2 y BC=6, Halle DE. 
D 
Resolución 
Nos piden DE=x. 
 
Como las regiones sombreadas están limitadas por los BCE y E. BDA, entonces dichos triángulos 
són congruentes: 
ELEBC=ESABD 
12
a CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 
En el. EBC, el lado BC mide 6, entonces en el ABD debe existir un lado de la misma longitud. Como 
AD y AB no tienen igual longitud, entonces BD=6; de manera análoga, AB=BE, entonces BE=2. 
=> x=6-2 
x=4 
APLICACIÓN 2 
Del gráfico, los triángulos 4BC y CDE son congruentes, AC=3 y BD=2. Halle DE. 
 
 
Resolución 
Hallamos DE=x,Por la relación biunivoca que existe entre dos triángulos congruentes se observa que, en el 
AABC, al ángulo de medida f se le opone un lado que mide 3, entonces, en el ACDE, al ángulo cuya 
medida es fi se le opondrá un lado cuya longitud es 3; por lo tanto 
CD=3 
13
LUMBRERAS EDITORES 
Finalmente, si aplicamos el mismo razonamiento, en este caso, para el ángulo de medida «£, dedu- 
ciremos que 
BC=DE 
2+3=x 
x=5 
 
A dos triángulos congruentes, de lados igua- 
les, les corresponden ángulos de igual medida 
y viceversa, 
 
El CRITERIOS PARA QUE DOS TRIÁNGULOS SEAN CONGRUENTES 
 
Reconocer dos triángulos congruentes no es tan 
evidente en muchos ejercicios de geometría; se 
necesitan ciertos criterios que nos permitan de- 
ducir que dos triángulos son congruentes. Para 
eso no es necesario demostrar que los seis ele- 
mentos de un triángulo sean iguales a los otros 
seis elementos de otro triángulo (llámese ele- 
mentos a los tres lados y tres ángulos), sino que 
solo son necesarios tres elementos que se repi- 
tan en ambos triángulos, donde por lo menos 
uno de ellos sea un lado. 
A continuación veremos cuáles son dichos 
criterios. 
LADO-ÁNGULO-LADO (L-A-1) 
Si dos triángulos tienen, respectivamente, dos 
lados de igual longitud y los ángulos determina- 
dos por dichos lados son de igual medida, en- 
tonces dichos triángulos son congruentes. 
B 
Ps Es A 
14 
Si AB=MN, BC=NP y mxABC=m<MNP=P, 
entonces 
AABC= AMNP 
APLICACIÓN 3 
En el gráfico, AB=2, BC=6 y BM es la mediana. 
Halle el máximo valor entero de BM. 
B 
 
Resolución 
Nos piden el máximo valor entero de BM:x. 
 
 
al CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 
Prolongamos BM hasta N, tal que MN=x. 
Además, se observa que A ABM= ACNM (L-A-L), entonces 
AB=CN=2 
Luego, en el ABCN, por el teorema de la existencia triangular, tenemos 
6-2<2x<6+2 
2x<B 
x<d 
Por lo tanto, el máximo valor entero de 8M es 3. 
€—— A ———— y Nota 
Algunos casos de la congruencia L-A-L con triángulos equiláteros 
* Si AABC y ABDE son equiláteros, entonces AABE = ÁACBD (L-A-L). Luego AE=CD. | 
 
 
15
LUMBRERAS EDITORES o se 
 
ÁNGULO-LADO-ÁNGULO (A-L-A) 
Si dos triángulos tienen, respectivamente, dos 
ángulos de igual medida y los lados adyacentes 
a dichos ángulos son de igual longitud, entonces 
dichos triángulos son congruentes. 
B Ñ 
A A A A 
A b Cc MM b P 
Si maBAC=maINMP=a, mxACB=mamMPN=0 
y AC=MP=b, entonces 
AABC= AMNP 
APLICACIÓN 4 
Si BC//DE, AB=CD y AC=8, halle DE. 
D 
A c E 
Resolución 
Hallamos DE=x, 
 
 
16 
Sea AB=CD=m. 
Por las paralelas BC// DE, tenemos 
m<BCD=mxcCDE=0 
En el AABC por el teorema del ángulo exterior 
se deduce 
m«xABC=mxECD=0: 
Se observa que AABC= ADCE (A-L-A), enton- 
ces por la correspondencia biunivoca 
x=6 
 
dl y 
 
Desafio 
Demuestre que 4M=/MB si AC=CD y BC=CE. 
B 
M 
A 
E 
D E 
¡ 
 
LADO-LADO-LADO (L-L-L) 
Si dos triángulos tienen sus tres lados iguales, 
entonces dichos triángulos son congruentes. 
B E 
 
Si BC=EF=0, AC=DF=b y AB=DE=c, entonces 
AABC= ÁADEF
mr. . o CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
APLICACIÓN 5 
Si AB=BD, BC=BE y AC=DE, calcule x/y. 
Resolución 
Nos piden x/y. 
 
Sean AB=BD=a, BC=BE=b y AC=DE=cCc. 
Se observa que AABC= ADBE (L-L-L), por lo tanto, como los lados AC y DE son homólogos, 
entonces 
m«ABC=m+< DBE 
x+0=y+0 twitter.com/calapenshko 
x/y=1 
A Observación plo 
e A q 
En este último caso se sugiere aprovechar | 
las medidas angulares interiores. | 
 
17
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
El tema que se desarrollará a continuación es 
una consecuencia de las aplicaciones de los 
criterios de la congruencia. La mediana de un 
triángulo, la bisectriz de un ángulo, la mediatriz 
de un segmento o el punto de dicho segmento 
son las herramientas con las que desarrollare- 
mos dicho tema. 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO 
 
Si OP es bisectriz del <A0B, entonces 
Además 
OC=0D=b 
tÍNota A 
| El teorema de la bisectriz de un ángu- 
| lo se cumplirá para todo punto de la 
| bisectriz del ángulo. 
 
18 
Teorema 
Si MA=MB, entonces 
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO 
 
L 
Pl 
0 0 
Ja 5 al, 
A m M m B 
Si FG es la mediatriz de AB, entonces 
Además 
 
m« PAM=m=<PBM=ct ] 
 
Nota, 
| 
| El teorema de la mediatriz de un seg- 
| mento se cumple para todo punto de 
la mediatriz. 
 
a o o CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 
Teorema 
En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la base es la mediana, la bisectriz interior y la parte 
de la mediatriz de la base, 
B 
LN 
En el AAEC: isósceles O 
BH: altura 
BH: bisectriz, mediana, parte de mediatriz 
 
 
APLICACIÓN 6 
Si AB=BC, AM=m y MN=n, halle MC. 
B 
N 
A M € 
Resolución 
Hallamos CM, 
 
 
d 
A M H € 
Hú— M — NN + M+N 
Se sabe que el AABC es isósceles, ya que AB=BC=0, 
19
LUMBRERAS EDITORES 
 
Luego trazamos la altura relativa a la base BH, Teorema 
entonces BH: bisectriz, maABH=m=<CBH=20. 
Se observa que BM: bisectriz, en consecuencia 
por el teorema de la bisectriz de un ángulo te- 
nemos M N 
MN=MH=n 
Luego se sabe que BH es mediana, entonces aL 
AH=HC=m+n Á Cc 
Finalmente, MC=n+m+n Si AM=MB y AC// MN, entonces 
MC=m+24n 
 
 
| MN: base media del AABC ] 
 
TEOREMA DE LA BASE MEDIA - 
Además 
ES y | ac=20mm | 
 
 
APLICACIÓN 7 
Del gráfico, A8=12 y AM=MC. Calcule MH. 
B 
 
 
Si AM=MEB y BN=NC, entonces 
20 OL 
AC=2[MN] Á mM H Cc 
 
MER Resolución 
——— Nos piden MH=x. 
AC//MN 
Sea AM=MC=m. 
tu Nota / A 
| El segmento cuyos extremos son los puntos 
| medios de dos lados de un triángulo es de- 
nominado base media. 
 
¡Todo triángulo presenta tres bases medias. 
 
 
 
20
Á CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 
Trazamos MP _L BC, entonces Además 
mxBAM=m=xPMH=2a y mí PMN=ct 
Se observa que MN es la bisectriz del <PMH, 
entonces por el teorema de la bisectriz de un 
ángulo tenemos que e Observación : 
 
AMABM y ABCM son isósceles. ] 
 
x=6 ] 
Este teorema solo se puede aplicar 
triángul tángulos. 
TEOREMA DE LA MEDIANA RELATIVA A LA en triánguios rectángulos 
HIPOTENUSA 
 
Teorema 
m 
 
 
 
 
A M C 
H—— m ——— m ——= 
Si BM es la mediana relativa a la hipotenusa, 
entonces Si AM=BM=MC, entonces 
| TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 
 
 
Cuando se menciona el término notable se hace EXACTOS 
 
referencia a una importancia muy grande. Triángulo notable de 45? 
Por eso es normal escuchar productos notables, 
líneas notables, etc., debido a lo importante | 
que resultan estos conocimientos dentro de la 
matemática. | 
La importancia de los triángulos rectángulos 
notables radica en que si es posible conocer la 
longitud de sus lados, también es posible cono- 
cer las medidas de sus ángulos interiores, y vi- 
ceversa, y si conocemos las medidas angulares, Observación 18 
podemos conocer la relación entre sus lados. A _—__EA NH K 
Los triángulos rectángulos notables se dividen Presenta catetos de igual longitud. | 
en exactos y aproximados, | 
 
21
LUMBRERAS EDITORES 
 
Teorema 
B 
m 
x 
A H C 
HH 21M ————A 
Si AC=2(8H), entonces 
Triángulo notable de 30* y 60* 
Pa, 
l 
tg “¿Observación j 
 
 
La hipotenusa mide el doble de la 
longitud del menor de los catetos. 
 
Teoremas 
 
— 
h P 
 
Si AB=BC y mx ABC=120", entonces 
A= mal3 
22 
60? 30 
A H C 
HL mM — 3m j 
 
 
SiESABC: notable de 30* y 60%, entonces 
CH=3(4H) 
Triángulo notable de 15% y 75* 
| Re 
(V6+/2)k 
L
—
 
 
AS —— 
“Observación 
Se suglere que la longitud de la 
hipotenusa sea múltiplo de 4. 
 
Teorema 
m 
qe 
1 152 
A H C 
Am 
SiEs, ABC; notable de 15* y 75%, entonces 
AC=4(BH) 
(BH: altura relativa a la hipotenusa)
A a CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
APLICACIÓN 8 
Si AB=2, halle CD. 
159 
30 
Á C 
Resolución 
Calculamos CO=x, 
 
 
 
En el 548€: notable de 30% y 60%, AC=2(4B), 
AC=4. 
Se observa que m<DAC=45", luego Es. ADC; no- 
tablede 45%, entonces 
AC=WV2(CD) > 4=w421x) 
x=2WV/2 
APLICACIÓN 9 
Del gráfico, halle BD si AC=8, 
D 
15 
 
Resolución 
Nos piden BD=x, 
 
 
 
En elEs 48C: notable de 15* y 75%, por teorema, 
AC=4(8H), entonces 8=4(BH), BH=2. 
Luego por el teorema de la bisectriz (28) se 
cumple que 
x=2 
APROXIMADOS 
Triángulo notable de 37* y 53" 
530 
k 3k 9 
37 
 
n
l
 4k 
-———. Observación > 
Se sugiere colocar o adecuar las lomgitu- 
des de los lados según la multiplicidad de 
los lados, 
 
23
LUMBRERAS EDITORES + 
 
Triángulo notable de 53%/2 y 127%/2 Triángulo notable de 8? y 82" 
] 82" 
k A 
1 go 
Tk | 
 
 
Triángulo notable de 16" y 749 
1 
Ls 
24k - 1 
 
 
 
 
A .. Observación Ye 
Triángulo notable de 14* y 76? 
 
5e llaman aproximados debido a que con 
e las longitudes de los lados de los triángu- 
I 762 a/17 los rectángulos, las medidas de los ángulos 
a A no necesariamente corresponden exacta- 
| 145 mente, sino que se aproximan a ellas. 
| da 
 
si Tenga En cuenta —_————J——e —_ mom —_——Á A 
Los triángulos rectángulos llamados pitagóricos son aquellos cuyos lados son enteros; pueden 
existir muchos. Aquí presentamos e de los cuales nos ayudarán en los problemas. 
(ss Ss 
A NS A 
 
24
A CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
APLICACIÓN 10 
Si AB=2 y BC=3, halle x. 
20 
 
Resolución 
Hallamos x. 
 
 
Prolongamos AD y trazamos CH 1 AD. 
Se observa que mxBDC=90*-6, sin embargo notamos que m< CDH=90%-B, 
Como DC es la bisectriz del <«BDH, entonces por el teorema de la bisectriz se cumple que 
CB=CH=3 
Luego, en el En AHC, AC=5 y CH=3, entonces AHC: notable de 37* y 539. 
x=37" 
25
+ PROBLEMAS RESUELTOS 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.” 1 
Del gráfico, las regiones sombreadas son con- 
gruentes. Calcule la m«<AcB. 
 
378 
8 C 
A 
A) 7? B)] 8? CE) 140 
D) 15* El] 16% 
Resolución 
Nos piden la ma ACB=x. 
Dato: Las regiones sombreadas son congruentes. 
 
A É 
Asignamos nombres a los vértices de las regio- 
nes congruentes, y tenemos 
EDAE = ECBD 
26 
Como son regiones triangulares rectangulares, 
las hipotenusas tienen la misma longitud. 
=3 AD=DC=m 
Ahora como AD + DE, entonces DB=AE y 
mxADE=m=xBCD=37" 
Luego se observa que m«*ADC=90%, y como 
AD=DC, entonces Ea, 40€: notable de 452, 
+ m+<DCA=45% 
Calculando x tenemos 
x=45%-37* 
x=89 
_CLAvE (B) 
PROBLEMA N.” 2 
Silos triángulos que limitan a las regiones som- 
bredas son congruentes, calcule x. 
 
 
A] 60% 8) 1200 C) 45% 
Dj) 90* E) 135* 
E
]
Resolución 
Dato: Los triángulos que limitan a las regiones 
sombreadas son congruentes. 
 
 
 
 
Recuerde 
En dos triángulos congruentes, uno de sus án- 
gulos siempre se encuentra en el otro triángulo 
congruente. 
 
Asignamos nombres a los vértices de la figura, 
y por dato 
AABC= ACDE 
De acuerdo al principio anterior, si x se encuen- 
tra en el ACDE, entonces también debe encon- 
trarse en el AABC. Analizamos las posibilidades 
y descartamos que el ángulo se ubique en los 
vértices A y B (debido a que los ángulos en A y B 
son de menor medida que x). 
Entonces como única posibilidad, el ángulo x 
debe encontrarse en el vértice C. 
Luego en el vértice € se cumple que 
x+x=180% 
x=908 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.”* 3 
En el gráfico mostrado, los triángulos ABC y DBE 
son congruentes. Calcule x. 
 
C 
Xx 
Á B E 
A) 30% B) 37% C) 45% 
D) 532 E) 60* 
Resolución 
Nos piden x. 
Dato: Los triángulos ABC y DBE son congruentes. 
 
 
Se sabe que los 4ABC y ADBE son congruentes, 
entonces dichos triángulos son rectángulos, rec- 
tos en B (ver problema anterior). 
AC=DE=m 
27
LUMBRERAS EDITORES 
 
Luego, en el Es, ABC asignamos 48=0, entonces 
en el .DBE debe haber un lado cuya longitud 
5ea 0. 
Analizando el gráfico se deduce que 
BD=0 
Finalmente, el Es ABD es notable de 45% 
=> m«BAD=mxADB=45* 
x=459 
_ELAVE O 
PROBLEMA N.? 4 
Se tiene un triángulo escaleno ABC. En la pro- 
longación de AC y en la región exterior relativa 
a BC se ubican M y N, respectivamente, tal que 
AB=CM y mxBAC=60%; además, el ABCN es 
equilátero, Calcule la mxCcMN. 
A) 309 
B) 37* 
C) 459 
D) 60* 
E) 750 
Resolución 
Nos piden la mx<CMN=x. 
Datos: 
* AB=CM 
* m«BAC=60% 
* El triángulo BCN es equilátero. 
28 
 
 
Sea AB=CM=a, y como el ABCN es equilátero, 
entonces BC=CN=BN=m. 
En el AA4A8C, por el teorema del ángulo exterior 
mxBCM=60%+0 => m«XMECN=c 
Se observa que A4ABC= AMEN (L-A-L), en con- 
secuencia maBAC=m=-xCMN. 
x=60% 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.?” 5 
En el gráfico, AB=BE, AD=CE y BC=BD. Calcule 
la m<CAD. 
 
B 
709 
A E € 
D 
A) 709 B) 609 C) 550 
D) 409 E) 352
 
o CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Resolución A) 2/3 
Nos piden la mxCAD=x. 8) 3 
Datos: AB=BE, AD=CE y BC=BD Cc) 342 
D) 6 
E) 643 
Resolución 
 
 
Sean AB=BE=a, AD=CE=b y BC=BD=c. 
En el AABE, AB=BE 
=3 m<BAE=mx<BEA=70* y m«BEc=110* 
Se observa que 4 ABD = AEBC (L-L-L), entonces 
se cumple que 
m«BAD=m«xBEC 
70%+x=110* 
x=409 
_CLavE 
PROBLEMA N.” 6 
En el gráfico, los triángulos ABC y BDP son equi- 
láteros y CD=6. Halle AP. 
AO 
Hallamos AP=x., 
Datos: 
* Los triángulos ABC y BDP son equiláteros. 
e DC=6 
 
 
Sean a y b las longitudes de los lados de los 
equiláteros BDP y ABC, respectivamente, 
Se observa que m«XDBP=60%, también 
mx ABC=60%, entonces AABP = ACBD (L-A-L). 
=> AP=CD 
x=6 
_cuave (D) 
29
twitter.com/calapenshko 
Heidi ea aj a 
PROBLEMA N.” 7 
Del gráfico, AB=BC y MN=3(8M). Calcule la 
m-tANM. 
 
B 
A M 
K 
ÑN Cc 
A) 149 B) 309 C) 37* 
D) 450 E) 530 
Resolución 
Nos piden la m<ANM=x. 
Datos: AB=BC, MN=3(BM]) 
 
 
 
 
0 
3a 
XxX a. IES 90% 
WN C 
Sea BM=o, entonces MA=30, además 
AB=BC=l. 
Se observa que Es. 4MB =E.BNC (A-L-A) 
= AM=BN=40 
30 
Luego, en el EÉAMN, MN=30 y AM=4a, 
entonces EsAMN: notable de 37* y 531. 
x=53" 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 8 
Se construyen exteriormente los triángulos 
equiláteros AEB y BFC sobre los lados AB y 
BC de un triángulo escaleno ABC, tal que 
AF y CE=(P). Calcule la mxAPC. 
A) m/2 B) 21/3 C) 37/4 
D) 4x1/5 E) 51/6 
UNI 2006-11 
Resolución 
Nos piden la ms APC=x, 
Dato: Los triángulos ABE y BFC son equiláteros. 
 
Sean a y b las longitudes de los lados de los 
triángulos ABE y BFC, respectivamente. 
Se observa que AABF = AEBC (L-A-L) 
= mxAFB=mxE£CB=(
 
Luego en la figura PACPFB se cumple que 
00+60%=macCPF+0 
> m«iCPF=60% 
Finalmente x+60%=180* 
x=120" = ya 
3 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.? 9 
En un triángulo isósceles ABC, de base AC, se 
traza la ceviana interior BD, tal que CD=40D+BD. 
Halle la mxBDC. 
A) 15% B) 379/2 Cc) 30% 
D) 45* E) 60% 
Resolución 
Nos piden la mxBDC=x. 
Datos: 
* El triángulo ABC es isósceles de base AC. 
* CD=AD+BD 
 
En CD se ubica E, de tal manera que CE=m; 
además ABAD= ABCE (L-A-L), entonces BE=n. 
Luego, en el ABDE, BD=DE=BE=n; en conse- 
cuencia, el triángulo BDE es equilátero., 
x=609 
_Clave (E) 
PROBLEMA N.* 10 
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto 
en 8; se traza la ceviana interior BD, tal que 
m<BAD=2(m<ABD) y AB=CD. Calcule moBac. 
A) 60% B) 539 C) 452 
D) 36* Ej 30% 
Resolución 
Calculamos la maBAC=2cx, 
Datos: 
* AB=CD 
* maBAD=2(m=<ABD) 
 
 
 
¡|Ñ|—- M NM 
Sean AB=BC=a, AD=m y BD=n, entonces del 
dato 
CD=m+n 
Sean AB=CD=a y m«*ABD=G0, entonces 
m<BAD=20 
Como m«DBC=90%-«x, trazamos DE, tal que 
mxBDE=20 y maCDE=0. 
31
LUMBRERAS EDITORES 
En el ABDE, mxBED=390%-«a, entonces el 
ABDE es isásceles; BD=DE=b 
Se observa que AABD= ACDE (L-A-L), luego 
m«<BAD=m«xDCE=20 
Finalmente en el Ea ABC se cumple que 
2004 20=3909 
201=450 
_Clave 
PROBLEMA N.” 11 
En el gráfica, los triángulos 4BD y CAE son con- 
gruentes, AB=1 y BC=3,. Calcule CD. 
D 
E 
A 
E 
A) /10 B) 243 0) 342 
D 5 El 6 
Resolución 
Nos piden CD=x. 
Datos: 
* Los triángulos rectángulos ABD y CAE son 
congruentes. 
+ AB=1* BC=3 
32 
Como los ta. 48D y E.CAE son congruentes, es 
notorio que AD=CE=m; además, analizando la 
posición de los lados se tiene que 
BD=AC=4 y AB=AEF=1 
En el 5.080, BC=3 y BD=4 
x=5 
_CLAVE 
PROBLEMA N.”* 12 
En las regiones interior y exterior relativas a AC 
de un triángulo ABC, se ubican D y E, respectiva- 
mente, tal que AB=CD, BE=AC, m«DAC=35?, 
meEAC=45* y me ADE=50*, Calcule la mxBED. 
A) 5* 
B) 109 
Cc) 150 
D) 209 
E) 259
Resolución 
Nos piden la m<BED=x. 
Datos: 
» AB=CD 
* BE=AC 
* mxÁDAC=35* 
* m«EAC=450 
* m<ADE=50* 
B 
 
 
 
Sean AB=CD=a y BE=AC=b, 
En el AADE, me ADE=50" y mxDAE=80%, en- 
tonces me AED=50* y AD=4AE=m. 
Se observa que AABE = ACAD (L-L-L) 
=> mx AEB=mxDAC=35* 
Finalmente, en el vértice E 
x=50*-35* 
x=15* 
_CLAve (0) 
 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.” 13 
Los triángulos ABP y BCQ son equiláteros, 
Calcule x. 
B 
a) 
pS 
E 
Q 
A) 302 B) 372 C) 45% 
D) 609 E) 759 
Resolución 
Nos piden x. 
Datos: Los triángulos A8BP y BCO son equiláteros. 
 
Sean m y n las longitudes de los lados de los 
equiláteros BCO y ABP, respectivamente. 
33
LUMBRERAS EDITORES 
 
Como ma ABP=m<0QBC=60*, entonces 
mx4ABQ=mxPBC=a 
Se observa que AABO = APBC (L-A-L), en con- 
secuencia m«AQB=m=«xPCB=0. 
Luego en la figura D<BCDAQ se cumple que 
60%+ 8 =x+ 4 
x=609 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.” 14 
En un triángulo ABC se traza la ceviana interior 
BD, tal que AB=CD; además m=A8D=30* y 
m-<CDB=70". Calcule la mxACB. 
Aj 30% B) 35* Cc) 40% 
D) 50% E) 709 
Resolución 
Calculamos la m«ACB=x. 
Datos: 
* AB=CD 
*« maABD=30* 
* m«xacDB=700 
 
 
 
5ea AB=CD=m. 
Luego, en el AABD, m<BAD=40P. 
En el ABCD se traza la ceviana interior BE, tal 
que ms 4EB=70* 
> BD=BE=a y AB=AE=m 
Como A£E=DC=m, entonces AD=EC=n. 
Se observa que AADB = ACEB (L-A-L), en conse- 
cuencia maBAD=m=xBCE. 
x=40* 
_cuave (C) 
PROBLEMA N.* 15 
Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes 
proposiciones. 
Dos triángulos rectángulos con la misma 
hipotenusa son congruentes. 
Il. Dostriángulos rectángulos isósceles con un 
cateto común son congruentes. 
Ill. Dos triángulos rectángulos con un ángulo 
agudo de igual medida son congruentes. 
A) FFF B) FVWF C) WFF 
D) WWF E) FVW 
UNI 2006-11 
Resolución 
Nos piden determinar si las proposiciones son 
verdaderas (V) o falsas (F). 
Falsa 
Existen infinitos triángulos rectángulos cu- 
yas hipotenusas son congruentes, pero di- 
chos triángulos no lo son.
1. 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
E PROBLEMA N.* 16 
D En el gráfico, AC=8BD. Calcule BC/CD. 
 
A € 
Se observa que Es ABC, Es ADC y 5.AEC no 
son congruentes entre si. 
Verdadera 
En efecto, por ser triángulos rectángulos 
isósceles, sus catetos son congruentes y se 
observa que Es, ABC = Ea, DBC (L-A-L). A) 1 B) 1/2 Cc) 2/3 
D) 3/4 E) 2/5 
 
 
Resolución 
Nos piden E. 
CD y 
Dato: AC=BD 
 
 
Falsa 
No necesariamente tienen que ser con- 
gruentes, porque hay la posibilidad de que 
sean semejantes. Además ABC = 5 ADE, 
 
 
 
pa 
m 
Pp
——
—A
r,
 
p Sea AC=BD=a0. 
Prolongamos AB hasta intersecar a CD en E 
_CLAVE. > m«EBC=30 y mxE£BD=20, 
35
LUMBRERAS EDITORES o 
Se observa que AABC= ABED (A-L-A), enton- 
ces BC=DE=x. 
Luego, en el ABCE, maBEC=mxEBC=30 
=> BC=EC=x 
Finalmente, CD=y=2x 
> 2x=y 
sz 
2 <= 
|x
 
_CLAve (B) 
PROBLEMA N.? 17 
Del gráfico, AB=CE, AC=DE y AB//DE. Calcule x. 
D 
J 
A] S* 
D) 20% 
B) 10% C) 15% 
E) 252 
Resolución 
Nos piden x. 
Datos: 
s AB=CE 
* AC=DE 
» AB//DE 
36 
 
 
 
Sean AB=CE=0 y AC=DE=b. 
Como AB//DE, entonces, por ángulos corres- 
pondientes, miBAC=m<DEC=ca. 
Tenemos que ABAC= ACED (L-A-L), entonces 
BC=DC=m y mxACB=mxEDC=x 
En el ABCD, BC=CD=m, entonces 3x=60", 
x=209 
_ CLAVE (D) 
- PROBLEMA N.” 18 
En el gráfico mostrado, AN=D/ y DN=iL, Calcule 
la m<iDN, 
 
D 
or 2 
Á Í L 
N 
A) 50% B) 60% C) 70% 
D) 802 E) 902
Resolución 
Nos piden la mx/DN=x, 
Datos: AN=D! y DN=IL 
 
 
Sean AN=DI=b y DN =IL=c. 
En el AADL, maDAL=mxALD 
=> AD=DL=04 
Se observa que MADN = ADLI (L-L-L) 
= m«ADN=m=<DL!=20% y maDAN=m=</DL=309 
En el AADL, por el teorema de la suma de me- 
didas angulares interiores, tenemos que 
20%+50%+x+20%=180% 
x=909 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.? 19 
En el gráfico mostrado, AB//CE, AB=CD y 
CE=AB+BD. Calcule la m<BED. 
A) 209 
B) 10* 
C) 150 
D) 250 
E) 59 
 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Calculamos la maBED=x. 
Datos: 
» AB//CE 
» AB=CD 
+ CE=AB4+BD 
 
 
Si 4B=0, entonces CD=a; y si BD=b, entonces 
CE=0+b. 
Como AB//CE, entonces, por ángulos alternos 
internos, maABC=m«xBCE=120", 
Se observa que AABC= ADCE (L-A-L), luego 
miAcB=mxDEC=209 
Como BC=CE=a+b, entonces el ABCE es 
isósceles, por lo tanto 
m«CBE=m«<BEC=30* 
En consecuencia 
x=30%-209 
x=10* 
_ CLAVE (B) 
37
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 20 
En el gráfico, AE=EC y DE=2. Calcule AB. 
 
D 
A a 
E aL c 
B 
A) 5/2 B) 3 O 772 
D) 4 Ej) 5 
Resolución 
Nos piden AB=x. 
Datos: 
e. AE=EC * DE=2 
 
 
Como CA es la bisectriz del <DCB, por el teore- 
ma de la bisectriz se cumple que 
DE=EH=2 (EH 1 BC) 
En el IxABC, como AE=EC=m y AB//EH, 
entonces EH es la base media de AB. 
_Cuave (D) 
38 
PROBLEMA N.? 21 
En el gráfico, AB=6, M es punto medio de AC y 
m<xBAC=2[m<NMH). Calcule HM. 
 
A 
mM 
H 
B Ñ € 
AJ 43 B) 2 C) 243 
DJ 3 E) 6 
Resolución 
Calculamos HM=x. 
Datos: 
* AB=6 
e maBAC=2(maNMH) 
+ Sea Mel punto medio de AC. 
 
 
Sean AM=MC=m, maáNMH=a y me<BAC=20t, 
Trazamos MDL BC, entonces MD es la base 
media y MD = > =3, 
Como MD//AB, entonces por ángulos corres- 
pondientes 
m«BAC=mxXDMC=2a y maDMN=cd
Se observa que MN es la bisectriz del <DMH; 
por el teorema de la bisectriz se cumple que 
DM=MH 
x=3 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.? 22 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
traza la bisectriz interior 4D y la altura BH, las 
cuales se intersecan en E, Si BE=6, calcule la dis- 
tancia de D hacia AC. 
A) 2443 B) 3 c) 342 
DJ] 6 E) 12 
Resolución 
Nos piden la distancia de D hacia AC=x. 
Dato: BE=6 
 
 
En el AHE, ma HEA=90%-=u, además por án- 
gulo opuesto por el vértice 
m«<BED=90*-0 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Luego, en el 48D, mxADB=90*%-=0x; y en el 
ABDE, maBDE=m<xBED=90%—«x 
=> BE=BD=6 
Como AD es bisectriz interior, por el teorema de 
la bisectriz se cumple 
x=6 
_CLAvE 
PROBLEMA N.” 23 
En el gráfico mostrado, AM=MN, AB=2 y 
AD=6. Calcule BC. 
 
C N 
e q 
B 
AY 
7 
B A D 
Aj 4 B) 5 O 6 
D) 7 E) 8 
Resolución 
Hallamos BC=x, 
Datos: AM=MN, AB=2 y AD=6 
 
 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
Sea 41 =MN=m, 
Desde M trazamos MH._LAD, y en el ADN 
tenemos que MH es la base media, entonces 
AH=HD=3, además ma AND=m-<AMH=0. 
Se observa que m<CMB=m=X<HMB=0+0, en- 
tonces MB es la bisectriz del <CMH. 
Luego por el teorema de la bisectriz (MB) se 
cumple 
BC=BH —= x=2+3 
x=5 
_CLAVE 
PROBLEMA N.” 24 
Del gráfico mostrado, Y es la mediatriz de 
AC: además AB=CD y m<ACB=40". Calcule la 
m«<ABC, 
 
 
A) 45* 
D) 70* 
Resolución 
Nos piden la mx ABE=x, 
Datos: 
+ F: mediatriz de AC 
+ AB=CD 
e m«xAcB=409 
40 
 
 
 
5ea AB=0, entonces CD=a. 
Como .Z esla mediatriz de AC, entonces Z LAC 
y AM=MC=m. 
Por el teorema de la mediatriz (7), AD=DC=0 
y m<DAC=m=xACD=408, 
Luego, en el AABD, AB=AD 
=> mxABD=mxADB=x 
Finalmente, en el AADC, por el teorema del án- 
gulo exterior 
x=400+400 
so x=80* 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.* 25 
En la bisectriz de un ángulo 408 se ubica un 
punto 7; la mediatriz de OT interseca en M a OA, 
y en Na OB, Calcule la medida del ángulo MTN, 
si OM=MN, 
A) 609 B) 280 C) 450 
D) 309 E) 839 
UNALM 2010-11
Resolución 
Nos piden la m<MTN=x. 
Datos: 
. OM=MN 
+ OT: bisectriz del < AOB 
 
Sea OM=MN=a. 
Como OT es la bisectriz del <AOB 
=> mxA0OT=mxBOT=0 
Además, MN es la mediatriz de OT 
> MN _O0T, OP=PT=m 
Enel AMON, míi0MN=m<ONM=90%=6 
=> 0OM=0N=a 
Por el teorema de la mediatriz (MN) se cumple 
que OM=MT=a y ON=NT=a 
Finalmente, en el AMNT, MN=NT=MT=a, 
entonces AMNT es equilátero. 
x=60* 
_Clave 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.”? 26 
En el gráfico mostrado, Z es la mediatriz de AC 
y AB=BD, Halle la m<8DC, 
 
 
A] 60% B) 65 E) 70* 
D) 759 E) 809 
Resolución 
Hallemos la m<BDC. 
Datos: 
* Z:mediatriz de AC 
» AB=BD 
 
 
 
Sea AB=BD=m, además F es la mediatriz de 
AC, entonces Z 1AC y AM=MC=n. 
Trazamos BC, y por el teorema de la mediatriz 
(D) se cumple AB=BC=m, m«ACB=40" y 
maMBC=500, 
En el ABCD, BC=BD=m 
=3 mxBDC=mxBCD=x 
41
AS OTE 
Luego, en el ABCD, por el teorema de la suma 
de medidas angulares interiores 
20+x+x=180% 
x=80* 
_CLAVE (E) 
PROBLEMA N.? 27 
En el lado AC de un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, se ubica D, tal que las mediatrices de 
AD y CD intersecan a AB y BC en M y ÑN, respecti- 
vamente. Si AM=5 y CN=12, calcule MN. 
A) 20 
D) 13 
B) 17 Cc) 15 
E) 7 
Resolución 
Nos piden MN=x, 
Datos: 
* AM=5 
e CN=12 
Li 
 
 
5 : E E 
At da 
d qA 10 m1] 
Emb n F n C 
at 
a m 
Sean P, y Z, las mediatrices de AD y DC 
> F, LAD, AE=ED=m 
además F, 1 DC, DF=FC=n 
42 
Luego, por el teorema de la mediatriz 
= Para A 
AM=MD=5 y maMAD=m=-</MDA= qt 
» Para Z, 
CN=ND=12 y me<NCD=m<NDC=B 
En el ABC, 01+60=90%; y en el vértice D se 0b- 
serva que 
o4Hm<MDN+0=1809 
A 
=> M<MDN=390% 
Finalmente, en el ESMON, por el teorema de 
Pitágoras 
=5?+12* 
x=13 
ue 
PROBLEMA N.* 28 
En el gráfico, P5=2 cm y 5R=7 cm. Halle PO. 
 
Q 
20 
pos R 
A) 6Gcm B) 7cm C) 5cm 
Dj 4cm Ej 3cm 
UNMSM 2011 -1 
Resolución 
Hallemos PQ=x.
Datos: P5=2 cm, SR=7 cm 
 
 
 
 
Para aprovechar la relación de las medidas an- 
gulares al y 201, trazamos la ceviana interior QT, 
tal que maTOR=m=x7TRQ, entonces 
m«xPTQ=20 y PQ=0T=TR=x 
Se observa que APQT es isósceles y QS es la al- 
tura relativa a la base 
=> Pi=5T=2 
Luego calculamos x 
x=3-2 
x=5 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.? 29 
Del gráfico mostrado, AC-AB=6 y BM=MC. 
Calcule DM. 
 
 
A) 2 
D) 4 
B) 3 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Nos piden DM=x. 
Datos: 
*. AC-AB=6 
. BM=MC 
 
 
 
 
Sean BM=MC=m, AB=0 y AC=b. 
Pordato 
b-a=6 (1) 
Prolongamos BD hasta intersecar a AC en E. 
Tenemos que, en el AABE, AD es bisectriz y al- 
tura, entonces 4 4BFE es isósceles 
AB=AE=0 y BD=DE=n 
En el ABEC, DM es la base media, por lo tanto 
(11) 
Reemplazamos (1) en (11) 
6 
x=- 
2 
x=3 
_Cuave (B) 
43
LUMBRERAS EDITORES o e A. 
PROBLEMA N.” 30 
5e tiene un triángulo ABC, donde m«ACB=40", 
además se ubica el punto P en su región inte- 
rior, tal que m«4PB=90%, maBAP=m«xPAC y 
AC=AB+2(8P). Calcule la m-BAP. 
A) 509 
B) 400 
C) 30* 
D) 209 
E) 100 
Resolución 
Calculamos la mxBAP=x. 
Datos: 
* mxAPB=90% 
* maBAP=maPAc 
* AC=AB+2(BP) 
 
 
 
YH 2 e, 
Como m«<BAP=x, entonces por dato 
mePAC=x 
Sean AB=m y BP=n, por dato 
AC=m+2n 
Prolongamos BP hasta intersecar a AC en D. 
En el A ABD, AP es altura y bisectriz, entonces 
44 
Z2ABD es isósceles, AB=4D=m, BP=PD=n y 
CD=2n. 
Luego, en el ABCD, BD=DC=2n, entonces 
m«XACB=m«DBC=40* y m< ADP=80* 
Finalmente, en el APD se cumple que 
x+80%=390* 
x=10% 
_Ciave (E) 
PROBLEMA N.” 31 
En un triángulo equilátero ABC se traza la altura 
BH y la ceviana interior AD, estas se intersecan 
en E, tal que ED=CD. Calcule la maDA4H, 
A) 109 Bj) 20% C) 259 
D) 309 Ej 15% 
Resolución 
Nos piden la maDAH=x. 
Datos: 
= AABC: equilátero 
s ED=CD 
 
 
"A a 
 
Sea ED=CD=0 
En el AABC: equilátero, BH es la altura 
—> ÁAH=HC=m, AB=2m=BC 
Se observa que EH es la mediatriz de AC. 
Trazamos EC 
=> AE=EC=[, mXIEAC=m<ECA=x 
Además en el ACDE, CD=DE=0 
—> m«*XDEC=mXECD=2x 
Luego se sabe que el AABC es equilátero 
=> 60%=x+2x 
x=20* 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.” 32 
En un triángulo ABC, M es el punto medio de BC 
y en AC se ubica L, tal que m<BAL=m<MLA, 
Si AB=8, calcule ML. 
A) 2 8) 3 04 
D) 442 E) 8 
Resolución 
Calculamos ML=x. 
Datos: 
* maBAL=m<MLA 
+ AB=8 
* M: punto medio la de BC 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 
 
5ea maBAL=mxMLA=c, además, como M es 
el punto medio de BC, entonces BM=MC=m. 
Trazamos BD//ML, entonces 
m«BDA=m<MLA=( 
En el AABC, m2BAD=m=<xBD4=0L 
=> AB=BD=8 
Luego, en el ABDC, ML es la base media 
— Mi=> 
x=4 
_Cuave (C) 
PROBLEMA N.? 33 
En un triángulo RPQ, $ es el punto medio de la 
mediana RM (M.en PQ), y MD es paralelo a QS y 
mide 30 (0 en RP). El valor de MD es 
A) 10. B) 20, C) 30. 
D) 40. E) 50. 
UNFV 2002 
Resolución 
Nos piden MO=x, 
Datos: 
+ MD//QS * Q5=30 
45
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
Sa y 
R ——Q 
Sean PIM=MOQ=m y M5=5R=n. 
Prolongamos más QS hasta intersecar a RP en 
N; luego, en el ADMR, NS es la base media, en- 
tonces 
DM=2(NS) > x=2(N5) 
ms=É 
2 
Luego, en el ANPQ, MD es la base media, en- 
tonces 
NQ=2(MD) > 7+30=2x 
392% 
2 
x=20 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.” 34 
si F es la mediatriz de BC, AB=6 y MN=2, 
calcule AC. 
A) 7 
BJ 8 
Cc) 9 
D) 10 
E) 12 
 
 
46 
Resolución 
Calculamos AC=x. 
Datos: 
+ 4: mediatriz de AC 
* AB=6 
e MN=2 
 
 
 
 
Como Z es la mediatriz de BC, entonces 
$ 1 BC y BM=MC=m. 
Luego se observa que F//AB y BM=MC=m, 
entonces ME es la base media, por lo tanto 
6 Xx 
ME===3 y AE=EC=-— 
2 Ñ 2 
Además, por ángulos alternos internos se cum- 
ple que m<BAN=m=<xENA=0x. 
En el AANE, m<ANE=m<NAE=a, entonces 
AANE es isósceles y 4E=NE, 
2 22+3 2 
x=10
PROBLEMA N.* 35 
En el gráfico mostrado, BR=2. Calcule AC. 
201 al 
A) 2 B) 242 Cc) 243 
D) 4 E) 8 
Resolución 
Calculamos Al=x. 
Dato; BR=2 
 
 
 x/2 
«
+
 
L
n
 
 
Para poder aprovechar la relación de las medi- 
das angulares ql y 2a, trazamos la mediana BM, 
entonces BM es la mediana relativa a la hipote- 
Xx 
nusa, AM=MC=8M=>, m<aBEM=m<MBC=0L, 
En el ABMC, por el teorema del ángulo exterior 
mxBMA=0a+0=2a 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
En consecuencia en el ABRÍM 
m<uBRM=mxBMR=2a 
BR=8M => 2== 
k=4 
_Ciave 
PROBLEMA N.? 36 
En el triángulo mostrado, BH es la altura y BM es 
la mediana. Halle la medida de O. 
 
B 
0 
509 
a H M E 
A) 20% B) 109 Cc) 309 
D) 28* E) 40% 
UNMSM 2004-11 
Resolución 
Nos piden 6. 
Datos: BH es altura y BM es mediana 
 
 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
Como BH es la altura, entonces BH _LAC y 
mu AHB=3908, 
En el 5, 4H8, mxABH=409 
Luego, como BM es la mediana, entonces 
BM es la mediana relativa a la hipotenusa y 
AM=MC=BM=m. 
En el A48M, AM=8BM, entonces 
50%=40*+08 
B=10* 
_CLave 
PROBLEMA N.? 37 
En un triángulo ABC se traza la altura BH; se 
ubican M y N como puntos medios de AB y CH, 
respectivamente, además, Q es punto medio de 
CM y AB=12. Halle QN. 
A) 2 
B) 3 
Cc) 4 
D) 243 
E) 6 
Resolución 
Nos piden QN=x. 
Datos: 
+ M: punto medio de AB 
= N: punto medio de CH 
+ Q; punto medio de CM 
+ AB=12 
48 
 
 
 
Como M es el punto medio de AB, entonces 
AM=MB=6 
Sabemos que N y Q son puntos medios de CH Y 
CM, entonces CN=NH=n y CA=QM=m 
En el la, HB, trazamos HM, entonces AM es la 
mediana relativa a la hipotenusa, HM=6. 
Luego, en el ACMH, NQ es la base media 
6 
— x=- 
x=3 
_ CLAVE 
- PROBLEMA N.* 38 
Del gráfico mostrado, 4M=/MC=BN. Halle x. 
 
A 
M 
Xx 
20 
B NÑN c 
A) 409 B) 459 C) 509 
D) 552 E) 609
Resolución 
Hallamos x. 
Dato: 4M=MC=8N 
 
 
Sea AM=MC=BN=m. 
En el IhLABC trazamos BM, entonces BM 
es la mediana relativa a la hipotenusa, 
AM=MC=BM=m y m<í MBEBN=2D%, 
En el AMBN, BM=B8N 
—= m*XBMN=m=XxANM=80* 
Luego, en el AMNC, por el teorema del ángulo 
exterior 
80*=x+20% 
x=509 
_cuave (E) 
PROBLEMA N.? 39 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
traza la ceviana exterior BN (N en la prolonga- 
ción de CA), tal que AB=AN y AC=2(8M). Calcule 
la mxABN, 
A) 159 
D) 32% 
B) 16* C) 249 
E) 36" 
. CONGRUENCIADE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Nos piden la m«ABN=x., 
Datos: AB=AN y AC=2[BN] 
 
 
 
Sean AB=4AN=n, BN=m y AC=2m. 
Enel AABN, AB=AN=n 
—> mMXABN=mxXANB=x y maBAC=2x 
Luego, en el ABC, trazamos la mediana BM, 
entonces BV es la mediana relativa a la hipote- 
nusa, 8M=4AM=MUC=m y mxABM=2x, 
Finalmente, en el ANBM, BN=BM=m 
=> mxBNA=mxBMA=x 
En el A ABM, por teorema de la suma de medi- 
das angulares interiores 
2x+2x+x=180% 
x=36" 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.* 40 
En un triángulo ABC se trazan las alturas AD y CE 
(E e AB, De BC). si Mes el punto medio de AC y 
m«xEMD=72*, entonces maMEC y meADM es 
A) 52*. B) 53%, C) 54%. 
D) 55*, El :56*. 
UNI 2008 +11 
49
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Nos piden la mxMEC+m=«xADM=x+ y. 
Datos: 
» ADyCE: alturas 
+ M: punto medio de AC 
* mxiEMD=72* 
 
 
 
M C 
Como M es el punto medio de AC, entonces 
AMM =MEC=m 
En el tm AEC, EM es la mediana, entonces 
EM es la mediana relativa a la hipotenusa, 
EM=AM=MC=m y maMCE=x. ] 
En el ADC, DM es la mediana, entonces 
DM es la mediana relativa a la hipotenusa, 
DM=AM=MC=m y mxaMAD=y. 
Se observa que m«LAME=2x y mxCMD=2y, y 
en el punto M se deduce que 
2x+72%+2y=1800 
2(x+y)=1080 
x+y=540 
50 
cnc 
PROBLEMA N.” 41 
En la prolongación del lado AC de un triángulo 
rectángulo ABC, recto en B, se ubica D, tal que 
AC=2(8BD) y m«DBC=3[(m=xCAB). Calcule la 
m«CAB. 
A) 10% B) 15% Cc) 209 
D) 259 Ej 5% 
Resolución 
Calculamos m< CAB=x. 
Datos: 
. AC=2(BD) 
* m«DBC=3(m«acaB) 
 
 
 ¿im 4 
además Sea BD=m, entonces AC=2m; 
m«xCAB=x, por lo tanto mx<DBC=3x. 
En el a ABC, trazamos la mediana relativa a la 
- hipotenusa BM, entonces AM=MC=BM=m, 
m=<ABM=x y maBMC=2x. 
Luego, en el AMBD, BM=BD=m 
=3 maBMD=m«xBDM=2x 
En el AABD, por el teorema de la suma de me- 
didas angulares interiores 
x+(90%4+3x) +2x= 1800 
=9(00 
x=159 
_CLave
PROBLEMA N.”* 42 
Del gráfico mostrado, el AABC es acutángulo, 
BM=MC y AB=4(AM). Halle la mxbBAC, 
 
B 
M 
A H E€ 
A) 30% B) 37/2 O) 539/2 
D) 37% E) 459 
Resolución 
Hallamos la mxBAC=x. 
Datos: 
. BM=MC 
» AB=4(HM) 
 
 
o 
A N HC 
Sean BM=MC=m, HM=0 y AB=4a. 
Para aprovechar el punto medio de BC trazamos 
BN L AC, entonces en el IBNC tenemos que 
MH es la base media, BN=20. 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Luego, en el ANB, BN=20, AB=4a, entonces 
ESANEB: notable de 30* y 60%, 
x=30* 
_CLAve (a) 
PROBLEMAS N.? 43 
En un triángulo ABC, mxACB=37%, BC=5 y 
AC=7. Calcule la mxBAC. 
A) 309 B) 370 C) 450 
D) 53" E) 60* 
Resolución 
Nos piden la mxBAC=x, 
Datos: 
* AC=7 
* BC=5 
* mxAcB=37* 
 
 
 
Para poder utilizar adecuadamente el lado que 
mide 5 y el ángulo cuya medida es 37%, debe- 
mos desarrollarlos en un triángulo rectángulo. 
Por lo tanto, trazamos la altura BH, entonces 
EsBHC: notable de 37% y 53%, BC=5 
3 BH=3 y HC=4 
51
LUMBRERAS EDITORES 
luego, en el E.A4H8, BH=4H=3, entonces 
EAHEB: notable de 45% 
x=45* 
_crave (C) 
PROBLEMA N.? 44 
Del gráfico mostrado, calcule la m«<BAC. 
 
 
E 
15% 
309 
A B 
Aj] 53% Bj 60% Cc) 759 
D) 127/2 E) 1439/2 
Resolución 
Calculamos la mxB4C=x, 
 
Recuerde 
En todo triángulo rectángulo notable de 30* y 
60* se cumple 
609 308 
— a —+ 3a 
 
52 
 
 
A A A Ss 
E 
59 
E dm 
159 
4450 x 
D m A 3m B 
Asignamos nombres a algunos vértices de la 
figura (D y E). 
En el BED: notable de 30* y 60%, AE es altura, 
entonces 48=3(4D), AD=m y AB=3m. 
Luego, en el 2CBD, m«<CDB=45", entonces 
ES.CBD; notable de 45%, BC=BD=4m. 
Finalmente, en el Es, 48C, AB=3m y BC=4m, en- 
tonces ts ABC; notable de 37? y 539. 
x=530 
_Cuave (A) 
- PROBLEMA N.* 45 
Halle el valor de x si BC=AD. 
 
B 
450 309 
A D Cc 
A) 10% B) 15* C) 309 
D) 12030' E) 209 
UNFV 2001
Resolución 
Nos piden x. 
Dato: BC=4D 
 
 
 
Sea BC=AD=2m (se le asigna este valor por 
conveniencia). 
En el AABC se traza la altura BH, y en eli. BHC: 
notable de 30* y 60% 
BH=m 
Además, en el ls AHB, AH=HB=m, entonces 
Es, AHB: notable de 45%, mxB4H=m-=XHBA=45*. 
De manera análoga, en el Es.BHD, BH=HD=m, 
en consecuencia mxHBD=m-<ADH=450, 
Finalmente, en el ABCD, por el teorema del án- 
gulo exterior 
45%=x430% 
x=15% 
_£tave O 
PROBLEMA N.* 46 
En el gráfico mostrado, AM=MC=4, DM=3 y 
20.+8=90%, Calcule BD. 
 
 
... CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
A) 5 
B) 5/2 
C) 543 
DI! 6 
E) 7 
Resolución 
Nos piden BD=x. 
Datos: 
* AM=MC=4 
*. DM=3 
*. 20+0=909 
 
 
En el in ABC, trazamos BM, entonces BM es la 
mediana relativa a la hipotenusa 
=3 BM=4, m<MBC=a 
En el ABMC, por el teorema del ángulo exterior 
maBMA=0 +0, maiBMA=20 
Luego se observa que maBMD=8+20, enton- 
ces por dato 
muBmMD=90% 
Finalmente, en el BMD, BM=4 y DiM=3, en- 
tonces BMD: notable de 37% y 532, 
x=5 
_Cuave (A) 
53
twitter.com/calapenshko 
LUMBRERAS EDITORES -— 
 
PROBLEMA N.* 47 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
traza la bisectriz interior AD, tal que CD=2(80). 
Calcule la mx. ACB. 
A) 15% B) 16% C) 539/2 
D) 30% Ej] 37% 
Resolución 
Nos piden la mo ACB=x. 
Datos: 
+» AD: bisectriz interior 
+ CD=2(8D) 
 
 
 
 a: 
O 
A H E 
Sea BD=a, entonces CD=2a; además, como AD — 
es bisectriz interior se cumple que 
msBAD=mauxDAC=a 
Por el teorema de la bisectriz (AD) 
DB=DH=0 
Luego, en el EsDHC, CD=20, DH=a, entonces 
ES. CHO: notable de 30* y 60%. 
x=30* 
_ CLAVE (D; 
(
A
 
E
 
PROBLEMA N.? 48 
En un triángulo ABC se traza la mediana BM, 
539 370 
además meBAC=-> y MEAR. Calcule 
la m<ABM. 
A] 379 B) 531 Cc) 30» 
D) 106% E) 1279 
Resolución 
Calculamos la muABM=x. 
Datos: 
+. BM: mediana 
o 
*« miBAc => 
370 
 
 
Sea AM=MC=m. 
5 
Para aprovechar el ángulo notable de a traza- 
6 
mos CH 1 AB, entonces ta AHC: notable de =, 
CH=a y AH=20, 
Además en el =BHC: notabie de 45* se cumple 
que 8H=HAC= 0, además AB=9
Se observa que, en el AHC, BM es la base me- 
dia, entonces BM//HC, y por ángulos correspon- 
dientes se cumple 
x=90% 
_Ciave 
PROBLEMA N.? 49 
En el cuadrilátero PQRS, PQ=1243 y QR= 843. 
Halle PS+R5. 
A) 20 R 
8) 60 
C) 50 1209 
D) 40 Q 
E) 80 Pp 
UNMSM 2004 -1 
Resolución 
Hallamos PS5+R5. 
Diatos: 
* pQ=1243 
 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Prolongamos los lados del cuadrilátero PQRS, 
intersecándose en M (SP y RA) y N (SR y PA). 
Se observa que Es QPM: notable de 30% y 60%, 
PQ=124/3, entonces QM =24413. 
Luego en el EsSRAM: motable de 30% y 60*, 
MR=324/3 
= 5R=32 (1) 
Además en el ESORN: notable de 30% y 60*, 
OR=8+/3, entonces QN=164/3. 
Luego en el ESNPS: notable de 30% y 60%, 
NP=28./3 
=> P5=28 (11) 
Finalmente, de (1)+(11) 
5R+PS5=32+28 
PS+5R=60 
_CLAVE 
PROBLEMA N.” 50 
En el gráfico, AB=5, BC=3 y AD=3. Calcule la 
m«xADC, 
 
B 
C 
04 
Á D 
A) 379 B) 455 C) 539 
D) 372/2 E) 539/2
LUMBRERAS EDITORES 
 
Luego, en el AABD, trazamos la altura DH, en- 
tonces 4AH=HB=4, 
Se observa que, en el En,4HD, AD=5 y AH=4, 
entonces Es AHD: notable de 37% y 532. 
x=37" 
_crave (A) 
PROBLEMAS N.* 54 
En el gráfico mostrado, AB=BC, Calcule la 
mxcCDA. 
 
E 
52 
D A 
A) 16% B) 37%/2 C) 53%/2 
D) 30* E) 379 
Resolución 
Nos piden la mxCDA=x. 
Dato: AB=BC 
 
 
de ida 
Sea AB=BC=0. 
En el 5DBE: notable de 150 y 759 se traza BH, 
que es la altura relativa a la hipotenusa 
— DE=4(8H) 
Luego sea BH=m 
=> DE=4m 
En el ls, AEC, BH es la base media, entonces 
CE=2(BH) —+ CE=2m 
Finalmente, en el ÁCED, CE=2m y DE=4m, 
. 539 
entonces EsDEC: notable de Ta 
530 
x=— 
2 
_Ciave(C) 
PROBLEMA N.* 55 
Del gráfico mostrado, calcule x. 
 
 
 
A 359 B) 16" G 370 
DJ 523 Ej 30"
PROBLEMA N.” 52 
Del gráfico mostrado, AR=W/3 y AS=43+1. 
Calcule la mx A75, 
 
 
A) 390% B) 105% c) 120* 
D) 127% El 135% 
Resolución 
Calculamos la mxaATS5=x. 
Datos: 
* AS=43+1 
$ AR=wW3 
 
 
Como AT es la bisectriz del <RAS, por el teo- 
rema de la bisectriz, RT=TH, AR=AH=w/3 y 
HS=1.En el IxTHA: notable de 30% y 60%, AH=4/3, 
entonces TH=1 y RT=1. 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Luego, en elE¿TAS, TH=H5=1, entonces. THS5: 
notable de 45%, m«HTS=45?, 
Finalmente 
x=60%+450 
x=1050 
_Cuve 
PROBLEMA N.” 53 
En un triángulo ABC, m«*ACB=2(m=xbBAC), 
AB=8 y BC=5. Calcule la mgBAC. 
A) 379 
D) 539/2 
B) 530 a 37/12 
E) 169 
Resolución 
Nos piden la mxBAC=x, 
Datos: 
« mxACB=2(mxBAC) 
» AB=8 
. BC=5 
 
 
A 5 D Cc 
Sea maBAC=x, entonces me<ACB=2x, 
Trazamos la ceviana interior BD, tal que 
m«ABD=x, entonces maBDC=2x, BD=4D=5, 
57
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Nos piden la maADC=x. 
Datos: 4B=5, BC=3 y AD=9 
 
 
 
 
Para aprovechar y relacionar los datos trazamos 
CH LAD. 
Luego, por el teorema de la bisectriz (Ac), 
CH=3 y AH=5, además DH=4, 
En el is CHD, CH=3 y DH=4 
x=370 
_cuave (A) 
PROBLEMA N.” 51 
En la región exterior relativa a AC de un triángu- 
lo rectángulo ABC, recto en B, se ubica P, tal que 
m<APC=90%, mxaBCA=80*" y mxcCAP=35*. Si 
AC=10, calcule BP. 
A) 20 B) 15 C) 10 
D) 52 E) 5 
Resolución 
Calculamos BP=x. 
56 
 
 
Datos: 
.« m<CaAp=35* 
* mxBCA=800 
ss midpc=3909 
* AC=10 
A 
35% 
109 | 
5 
M a 
EN as 
sí Ns HP 
pa z 
4 809 
B E 
En el Es, 48C, maBCA=80" y maBAC=100, 
En el ln ABC se traza la mediana BM, entonces 
BM es la mediana relativa a la hipotenusa, 
- AM=MC=BM=5 y ma ABM=10%, 
En el EsAPC se traza la mediana PM, entonces 
PM es la mediana relativa a la hipotenusa 
AM=MC=MP=5 y maAPM=35*., 
Luego en /AABMP se cu mple que 
m«aBMP=10%+45%+35%, mxiBmP=900 
En el ELBIMP, BM=MP=S5, entonces BMP: 
notable de 45%, 
x=54/2 
_Cuave (D)
Resolución 
Nos piden x. 
 
Recuerde 
Las medidas de los ángulos interiores de un 
triángulo rectángulo dependen de sus lados. 
 
 
 
 
Asignamos valores a los vértices de la figura 
mostrada. 
En el 5 ABC: notable de 30% y 60%; sea AB=a, 
entonces 4C=¿0, 
Luego en el Es ACD: notable de 309 y 60, como 
AC=20, entonces AD=40, además BD=30. 
EnelEDBE: motable de 45% 
=> BD=BE=30 
Finalmente, en el EsABE, 4AB=ú y BE=3a, 
370 
entonces Es. 4BÉ: notable de Sa 
370 
Xx 
MES, _ Clave (C) 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.? 56 
En el gráfico mostrado, BC=4(DE). Calcule 6. 
 
B 
[ 
Á E Cc 
Aj 79 8) 8 Cc) 149 
D) 159 Ej 16% 
Resolución 
Calculamos O. 
Dato: BC=4(DE) 
 
 
Sea DE=0, entonces BC=40. 
En ela DBC, maDBC=90*-0 
=> m=«DCB=0 
Se observa que CD es la bisectriz del <BCA, 
entonces por el teorema de la bisectriz se curm- 
ple que DE=DH=a (DH : BC). 
Finalmente, en el EsBDC, DH=0 y BU=40, 
entonces .8DC: notable de 15* y 75%, 
$=159 
pe 
Crave 1D; 
E 
59
PROBLEMA N.* 57 
Se tiene un triángulo rectángulo ADN, recto en 
A, en la región exterior relativa a DN se ubica l, 
tal que ma4ND=m< IND, AN=3 y NI=4. Halle 
la moAND. 
A) 309 B) 379 C) 45% 
D) 530 E) 609 
Resolución 
Hallamos m<AND=x, 
Datos: 
* ÁN=3 
* Ni=4 
* mxAND=m=<IND 
 
 
Como ND es la bisectriz del <AN!, por el teo- 
rema de la bisectriz se cumple que AN=NH=3 
y HI=1. 
En el ELND/ trazamos la mediana relativa a la 
hipotenusa DM, entonces NM=MI=DM=2, 
MH=1 y maDMH=2x, 
60 
En el EÉDHM, DM=2 y MH=1, entonces 
*DHM: notable de 30* y 609 
—= m«<DMH=60% 
2x=60% 
x=30* 
_CLave 
PROBLEMA N.* 58 
Del gráfico, el triángulo ABD es isósceles, de 
base AD. Calcule la m<BCA. 
 
A 
D 
B E 
A) 30% B) 53%/2 C) 16? 
D) 37*/2 E) 169 
Resolución 
Nos piden la mx<BCA=x. 
Dato: El 4480 es isósceles de base AD. 
 
 
 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 
Del dato, AABD es isósceles, de base AD, en- 
tonces AB=BD=a, mx«BAD=mxADB=75% y 
m+<4BD=308, 
En ells BDC, mxDBC=60*, entonces E BDC: no- 
table de 30% y 60%, BD=a, por lo tanto BC=2a, 
Luego, en el ABC, AB=0 y BC=20, entonces 
Es, ABC: notable de = 
_Clave 
PROBLEMA N.”? 59 
En el gráfico mostrado, AM=MC=4 y MN=3. 
Calcule BN. 
 
 
B) 442 Cc) 443 
E) 7 
A) 4 
D) S 
Resolución 
Nos piden BN=x. 
Datos: 
+» AM=MC=4 
e MN=3 
 
 
 
Para aprovechar el punto medio M de AC, en el 
Ex ABC trazamos la mediana BM, entonces BM 
es la mediana relativa a la hipotenusa, por lo 
tanto 
BM=4, miABM=0a 
Se observa que m<MBC=90 —t 
== m«*uBMN=90* 
Luego en el Es.BMN, BM=4 y MN=3, entonces 
ELBMN: notable de 37* y 53*. 
x=5 
_CLAVe 
PROBLEMA N.* 60 
En la figura, AB+AM=12 cm y EM=5 cm. 
Halle MB. 
 
 
A) 7,5cm 
B) 8cm 
C) 7cm 
DJ) 6cm 
E) 6,5 cm 
C 
UNMSM 2007 -1 
61
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Hallamos MB=x. 
Datos: 
* AB+AM=12 cm 
* EM=5cm 
m 
12 
13 
A pp 
a M C 
n 
/ 5 
LS 
5 A L 
 
 
Sean AB=m y AM=n, entonces, del dato, 
m+n=12. 
Como AE es la bisectriz del «DAM, por el teo- 
rema de la bisectriz se cumple que EM=E£D=5 
y AM=AD=n. 
En el 5.8DE, BD=12 y DE=5, entonces EsBDE es 
pitagórico, por lo tanto, BE=13. 
Finalmente 
x=13-5 
x=B 
_ CLAVE 
62 
e A 
PROBLEMA N.” 61 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, Ñ 
se trazan las cevianas interiores AN y CM, tal 
que AM=10 y CN=24. Calcule la longitud del 
segmento cuyos extremos son los puntos me- 
dios de AN y CM. 
Aj 13 Bj) 14 Cc) 15 
D) 16 Ej 17 
Resolución 
Nos piden la longitud del segmento cuyos extre- 7 
mos son los puntos medios de AN y CM. 
Datos: 
* AM=10 
. CN=24 
 
 
Sean D y £ los puntos medios de AN y CM, respec- 
tivamente, entonces AD=DN=n y ME=EC=m. 
De manera conveniente se ubica F como punto 
medio de AC, entonces AF=FC=b., 
En el AAMC, EF es la base media, entonces 
EF=5 y mxiMAC=m=XEFC=Ct,
A e 
En el AANC, DF es la base media, entonces 
DF=12 y mxACN=m<AFD=P, 
Pero, en el 548€, a1+8=90*9, entonces, en el 
punto f se deduce que m<DFE=90", 
En el EsDFE, EF=5 y DF=12, en consecuencia 
EDFE es pitágorico 
x=13 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.* 62 
Del gráfico, AC es la bisectriz del <BAD, además 
AB=BC+AD. Halle qx. 
A) 1309 
D) 135% 
B) 1450 Cc) 1379 
E) 120? 
Resolución 
Nos piden Ct. 
Datos: 
e AC:bisectriz del <BAD 
. AB=BC+AD 
 
 
 
Sean BC=o0 y AD=b, entonces AB=a0+b. 
Como AC es la bisectriz, por el teorema de 
la bisectriz (AC) se cumple que CB=CH=a y 
AB=AH=0+b. 
Luego DH=0, entonces en el EsCHOD:; notable 
de 45% tenemos que m<HDC=450, 
a1=1359 
_Clave 
PROBLEMA N.? 63 
Se tiene un triángulo rectángulo DHP, recto 
en H; se ubica L en DP, tal que DL=3, HL=5 y 
LP=13. Halle la mxDPH. 
A) 37/12 B) 16* Cc) 539/2 
D) 379 E) 300 
Resolución 
Nos piden la maDPH=x., 
63
LUMBRERAS EDITORES 
Datos: 
* Di=3 
* HL=5 
. (P=13 
 
 
 
 
En el EÁDHP se traza HIM, que es la 
mediana relativa a la hipotenusa, entonces 
DM=PM=HM=8, maMHP=x y mxiDMH=2x. 
En el JAHML, mxilHM=2x; se sabe que si 
Hi=LM=5 y HM=8, entonces m</MLH=106*, 
por lo tanto 
106%+2x+2x=180* 
da = 740 
37% 
x=— 
2 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.* 64 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
ubica D en la región exterior relativa a AC, tal 
que el AACD es equilátero. Si M es el punto 
medio de AD, mxBAC=75* y MD=3w2, halle 
la distancia de M hacia BC. 
A) 2 B) 3 c) 243 
D) 342 E) 343 
64 
Resolución 
Hallamos la distancia de M hacia BC=x. 
Datos: 
+ M: punto medio de AD 
* m<=BAC=75% 
* MD=3V2 
B 
752 150 
 
 
Por dato, M es el punto medio de AD, además 
MD= 34/2, entonces AM =3W/2. 
Luego en el A4CD: equilátero trazamos CM, en- 
tonces CM es la altura y bisectriz, por lo tanto 
CM LAD y mxACM=m=<DCM=30", 
En el CMD: notable de 30* y 60%, MD=3W2, 
entonces CM = 346. 
En el 5. ABC, mxaAcB=15*, entonces CcHM: 
notable de 45*, CM=3W6. 
x=34/3 
_Cuave (E)
A CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.”* 65 Finalmente, en el EsMAN, MH=a y NH=2a, en- 
á : i ; z 
Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC, tonces Es MHNs notable de 530 
recto en 8, y en la prolongación de CB se ubica 2 
N, tal que MÍ interseca a ABen P(Mesel punto. y 
medio de AC) y NP=PM. Calcule la muMNC. — 2 
_cuave (E) 
A) 30% B) 37% C) 459 
D) 37%/2 E) 539/2 
PROBLEMAN.? 66 
Resolución 
En un triángulo 48C, AB=8 y BC=5, luego se 
traza la mediana BM, tal que m<CB8mM=530, 
Datos: Calcule la mxABM. 
* ENABC: isósceles recto en B 
Nos piden la m«/MNC=x. 
+ M: punto medio de AC A) 152 B) 37:/2 Cc) 30% 
» NP=PM D) 539/2 Ej 37* 
Resolución 
Calculamos la mxABM=x. 
Datos: 
+ BM: mediana 
» AB=B 
. BC=5 
* m<aCBM=539 
 
 
Sean AM=MC=m y NP=PM=n, En el Es. ABC, 
m«xBAC=m<BCA=45*, 
En el LL ABC trazamos MH _L BC, entonces MH 
es la base media, BH=HC=0. 
Además, en el MAC: notable de 45% 
 
 
> MH=a 
Luego, en el EsNHM, MP=PN=n y PB//MH, en- 4 
tonces BP es la base media, NB=BH=a. P 
65
LUMBRERAS EDITORES 
5ea AM=MC=m. 
Trazamos CN 1 BM y AP .L BM; se observa que 
ESCNM Es APM (A-L-A), entonces CN=A4P, 
Pero en el .BNC: notable de 37% y 53%, BC=5, 
entonces CN=4, y de la información anterior, 
AP=4, 
Luego, en el .APB, AB=8 y AP=4, en conse- 
cuencia Es. APB: notable de 309 y 60%, 
x=30% 
_CLAVE (0) 
PROBLEMA N.? 67 
En un triángulo ABC se traza la altura BH (H en 
AC) y la mediana AD, que se intersecan en M, tal 
que AM=MD y AB=5(MH). Calcule la mxABH, 
A) 309 B) 37” C) 45* 
D) 530 E) 5372 
Resolución 
Nos piden la mxABH=x. 
Datos: 
+ BH: altura + AD: mediana 
* AM=MD * AB=5(MH) 
 
 
66 
Sean BD=DC=a, AM=MD=m y MH=K, enton- 
ces AB=5K. 
Trazamos DP 1 HC, y en ells. APD, MH es la base 
media, entonces DP=2(MH)=2K. 
Además, en el IsBHC, DP es la base media, 
entonces 
BH=2(DP) 
=> BH=4K 
Luego, en el 5, 4HAB, AB=5K, entonces EsAHB: 
notable de 37% y 53%, 
x=370 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.” 68 
En el gráfico, BD es la bisectriz interior del 
AAEC, M es el punto medio de CD, MP=2 y 
AD=5. Calcule la mxBAC. 
 
A) 309 
B) 37% 
C) 459 
D) 530 
E) 60%
Resolución 
Nos piden la mxBAC=x, 
Datos: 
+ BD: bisectriz interior 
+ M: punto medio de CD 
+ MP=2 
* AD=5 
 
 
Como AD es la bisectriz interior, entonces 
m<ABD=m<CBD=PB. 
Trazamos DE y DF, perpendiculares a BC y AB; 
luego en el EÁ.DEC, por el teorema de la base 
media, entonces 
DE=2(PM) 
=> DE=2(2) 
DE=4 
También, por el teorema de la bisectriz, tene- 
mos DE=DF=4, 
Finalmente, en el Es 4FD, AD=5 y FD=4, 
entonces Es. 4FD: notable de 37% y 53%, 
x=530 
_Cuave (D) 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.? 69 
Del gráfico mostrado, halle x. 
 
 
530/2 
A) 159 B) 16% C) 37%72 
D) 53%/2 E) 309 
Resolución 
Hallamos x. 
Recuerde 
Si queremos conocer la medida de uno de los 
ángulos internos de un triángulo rectángulo, 
se suglere conocer dos de sus lados. 
 
539 
 4K 53%/2 
 
Asignamos valores a los vértices del gráfico 
mostrado, 
67
pintaban dale iii ci A Ac 
En el Es BHC: notable de 37% y 53%, sean HC=4K 
y BH=3KX. 
En el Es, ADC: notable + DH esla altura 
=> HC=4(AH) 
4K=4(AH) 
AH=K 
Luego, en el Es AHB, AH=K y BH=3K, entonces 
EA, AHB: notable de — 
_Cuave (€) 
PROBLEMA N.* 70 
En el gráfico mostrado, AB=BC. Halle la m<8DE. 
 
A D 
B 
Cc 
A) 7* B) 14" Cc) 16% 
D) 8* Ej 15% 
Resolución 
Nos piden la mx«BDE 
68 
Dato: 4AB=BC 
 
 
 
Sea AB=BC=mY42, entonces es la 4BC: nota- 
ble de 45%, AC=2m. 
En el isABC, BE es la altura 
—3 AE=EC=B=m 
Se observa que m«XWBCA=45% entonces 
m«ACD=45* y el CAD: notable de 45%, por lo 
tanto, AC=CD=2m y CD=2myw2. 
En el .DA4E, AE=m y AD=2m, entonces E.DAE: 
1] o o 53 37 
notable de =— m«ÁDE=-— Y mecpE=-. 
Luego, en el l»BCD, BC=myW2 y CD=2my2, 
¡O o 
entonces 80D: notable de a m«Boc==. 
Finalmente, calculamos x 
x=muBDC=m«xCDE 
530 37 
=—-— 
2 2 
x=8"
o coc cc 
PROBLEMA N.* 71 
En el gráfico, AM=MB y L es la mediatriz de 
BC. Si EM=6, calcule EN, 
 
 
A 
É 
M 
B N C 
¡E 
A) 342 B) 343 Cc) 6 
D) 12 E) 643 
Resolución 
Calculamos EN=x. 
Datos: 
+ 4: mediatriz de BC 
s. AM=MB 
. EM=6 
A A 
pr, E 
m D or 
m 
M 90% 
m 
09 + 
90* - a by al 
B n N n C 
LL 
5ea AM=MB=m, además 4 es la mediatriz de 
BC, entonces P' 1 BC y BN=NC=n. 
En el ls ADB, DM es la mediana relativa a 
la hipotenusa, entonces AM=MB=DM=m, 
mxMBD=m<BDM=a y mxAMD=20t, 
Luego, como 2 //AB, entonces por ángulos al- 
ternos internos m<4/MD=m-«DEN=20x, 
En el EsBDC, maDBC=90%-a, por lo tanto 
m=XBCD=cx. 
También en el 48€, MN es la base media, 
entonces MN//AC, m<«MNB=mx«ACB=0 y 
m<MNE=90*=cx, 
Finalmente en el AE£MN se deduce que 
m«EMN=390*-cxt, por lo tanto ME=EN. 
x=6 
_Cuave (€) 
PROBLEMA N.? 72 
Si LC=BC, M es el punto medio de BC y 
(48)? +(40)?=32, halle MD. 
A) 1 
BJ Y2 
Cc) 2 
D) 242 
EJ4 A L 
EY E 
D 
Resolución 
Hallamos MD=x. 
69
LUMBRERAS EDITORES 
Datos: 
s [C=BC 
* M: punto medio de BC 
» (4B)?+(40)?=32 
 
 
 
Sean BM=MC=m y LC=2m, también AB=0 y 
AC=b, entonces del dato . 
a*+b*=32 
En el Es ADB, trazamos la mediana relativa a 
la hipotenusa DN, entonces AN=NB=DN==, 
m«aANBD=m<BDN=0. 
En el ABCL, BUC=LC=2m, entonces 
m=<BLC=m<LBC=90%=a, por lo tanto DN L AL. 
En el Im ABC, trazamos MN, que es la base 
b 
media, entonces MN = 7 y maDNM 
En el Es.DNM, por el teorema de Pitágoras 
2 2 A 
2 (0 2) 2 0ó+b 
x*=|=—|+|- = 
(5) G e 4 
 
_ CLAVE 
70 
PROBLEMA N.? 73 
En el siguiente gráfico, BM=MD, AB=2(CM) y 
0+B=140". Calcule la m«BAC. 
A) 109 
B) 152 
C) 209 M 
D) 359 
E) 409 Á D E 
 
Resolución 
Calculamos la mxBAC=x. 
Datos: BM=MD, AB=2(CM) y a:+[)=140* 
 
 
Sean BM=MD=m, CM=o y AB=2a, 
Para aprovechar que M es el punto medio de 
BD, se traza ME//AB, entonces EM es la base 
media, EM=a, mx<EMD=b y mxMED=x. 
Luego, en el AEMC, mxEMC=a+B=140*, 
además EM=MC=a 
=23 m<MEC=mxMcCE=x 
Finalmente, en el AEMC, por teorema de la 
suma de medidas angulares interiores 
x+140%+x=180* 
x=200 
_ CLAVE (O)
PROBLEMA N.* 74 
En la prolongación de BC de un triángulo rectán- 
gulo 48€ recto en B, se ubica D, tal que AB=6 y 
CD=4. Calcule la longitud del segmento cuyos 
extremos son los puntos medios de BC y AD. 
A) 2 B) 3 Cc) 45 
D) 410 E) 413 
Resolución 
Calculamos la longitud del segmento cuyos ex- 
tremos son los puntos medios de BC y AD=x. 
Datos: 4B=6, CD=4 
 
 
 
Sean M y N los puntos medios de AB y BC, en- 
tonces 4M=MD=m y BN=NC=n. 
Se ubica Pcomo punto medio de AC, AP=PC=b, 
Luego, en el lx ABC, NP es la base media, enton- 
ces NP=3, AB//NP, por lo tanto m«< PNC=90% 
Además, en el AACD, PM es base media, enton- 
ces PM=2, PM//DC, por lo tanto maMPN=909, 
Finalmente, en el EsIMPN, por el teorema de 
Pitágoras 
=2%4+3* 
x=4/13 
_Cuave (E) 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
NIVEL INTERMEDIO 
PROBLEMA N.*? 75 
En un triángulo isósceles ABC, de base AC, se 
traza la ceviana interior BD y en la región in- 
terior del AABD se ubica E, tal que los trián- 
gulos ABE y BCD son congruentes, Calcule la 
moxADB+m<«AEB. 
A) 45% Bj) 609 Cc) 90% 
DJ) 1359 Ej 1809 
Resolución 
Nos piden mx40B+m=<AEB. 
Datos: 
* El AABC es isósceles, de base AC. 
e Los AABE y ABCD son congruentes. 
 
 
Sea AB=BC=m, además maiADB=( 
Como los triángulos ABE y BCD son congruentes 
y AB=BC=m 
=> m«xAEB=mxBDC=180% -( 
Luego reemplazamos 
maADB + m<AEB=0+180* —0x. 
m«xADB+m-xAEB=180% 
_ CLAVE (E) 
71
PROBLEMA N.” 79 
En los lados AB, BC y AC de un triángulo equilá- 
tero ABC se ubican P, Q y R, respectivamente, 
tal que el APOR es equilátero, PB=4 y RC=3. 
Calcule BC. 
Aj 6 
D) 12 
B) 7 Cc) 8 
E) 243 
Resolución 
Nos piden BC. 
Datos: 
* AABC y APQOR: equiláteros 
« PB=4 
. RC=3 
 
 
Sean m la longitud del lado del equilátero PQR 
(PQO=0R=PR=m) y maBPQ=0 
En el ABPO, por el teorema del ángulo exterior 
60%+m«“COR=60" +0 
m=COR=0a y me«PQB=m<aRrc=[ 
74 
Se observa que APQB = AQRC (A-L-A) 
> BQO=RC=3 y PB=0C=4 
Finalmente, BC=3+4 
BC=7 
_Cuve 
PROBLEMA N.? 80 
En el gráfico, BC=CE y CD=AC+DE, Calcule x. 
A) 309 B 
B) 37% 
C) 450 
D) 53% 
E) 60" MS 
Resolución 
Nos piden x. 
Datos: BC=CE y CD=AC+DE 
 
Sean BC=CE=0, AC=b y DE=c, entonces 
CD=b+c. 
Trazamos BH LCD, entonces EBHC=t CDE 
(A-L-A)Resolución 
Nos piden AB=x. 
Datos: 
« BC=CD 
» AC=5 
. DE=4 
 
 
En el AMABC, por el teorema del ángulo exterior 
m«*BCE=a0+45%, entonces mxDCE=459, 
En el Es.CED: notable de 45%, DE=4, entonces 
CD=442, además por dato BC = 4/2. 
En el AABC trazamos la altura CH, entonces 
EBHC: notable de 45% y BC =44/2, por lo tanto 
BH=HC=4 
En el E AHC, AC=5 y HC=4 
— 4AH=3 
Finalmente se observa que 
x=3+4 
x= 
_Cuave (D) 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.? 78 
Del gráfico, si AC=CD=DL, BC=3 y CL=8, calcule 
la m<CDL. 
Aj 90% A 
B) 106% 
c) 120% 
D) 127" V 
E) 1432 8 Cc E 
 
Resolución 
Calculamos la macCDl=x, 
Datos: AC=CD=DL, BC=3 y CL=8 
 
 
 
 
Sea AC=CD=DL=m. 
En el ACDL: isósceles, se traza la altura DH 
=> CH=HL=4 y m<CDH=m<LDH=2 
Luego, Es ABC =ECHD (A -L-A) 
=> AB=CH=4 
Finalmente, en ella. 48€, AB=4 y BC=3, enton- 
ces tuABC: notable de 37% y 539 
— ls 530 
2 
x=106% 
_Clave 
73
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 76 
Los triángulos ABC y EDC son congruentes, 
AB=DE. Calcule x. 
 
 
A) 10% 
D) 30* 
C) 250 
E) 409 
Resolución 
Nos piden x. 
Datos: 
e EABCyEEDC: congruentes 
* AB=DE 
 
Como EABC=EDC, entonces las hipote- 
nusas AC y CE son congruentes, es decir 
AC=CE=m 
Por dato, AB=DE=a, entonces es evidente y ló- 
gico que 
BC=CD=b 
72 
twitter.com/calapenshko 
Luego, en el AACE, AC=CE, entonces 
m<CEA=m«xEAC=B y mxuAcB=2P 
Además, en el ABCD, BC=CD 
=> m«aCDB=maDBC=a y mxDCE=2u 
En el ABFE ((F) =BD AE), por el teorema del 
ángulo exterior 
x=0+[) (1) 
En el ángulo C se sabe que 
20:+100%+28=180* 
a+p$=409 (11) 
De (1) y (11) 
x=409 
_cuave (E) 
PROBLEMA N.” 77 
Del gráfico mostrado, BC=CD, AC=5 y DE=4, 
Calcule AB, 
 
B 
/45 D 
aL 
CL 
A É E 
A) 9 B) 5 O 6 
D) 7 E) 8
Entonces, DE=HC=c y CD=BH=b+c 
Se observa que Es AHB, AH=HB=b+c, en conse- 
cuencia ba AHB: notable de 45% 
x=450 
_Ciave (E) 
PROBLEMA N.” 81 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
traza la altura BH y la bisectriz interior AD, las 
cuales se intersecan en F, tal que CD=2(BF), 
Calcule la meACB. 
A) 15% B) 37%/2 C) 53%/2 
D) 309 El 37% 
Resolución 
Nos piden la mx ACB=x. 
Dato: CD=2(8F) 
 
 
5ea BF=m, entonces CD=2m. 
Como AD es la bisectriz interior 
=> m<BAD=m«CAD=a 
además ma ADB=m=xA4FH=909=(xí 
Por los ángulos opuestos por el vértice 
m<AFH=m=<XBFD=90*—a 
En el ABFD, maiBFD=m«<XBDF=90*= ca 
== BF=BD=m 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Luego trazamos DE _L AC, y por el teorema de la 
bisectriz se cumple que BD=DE=m. 
Finalmente, en el EsDEC, DE=m y CD=2m, 
entoncesEs.DEC: notable de 30% y 602, 
x=300 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.? 82 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bi- 
sectriz del ángulo recto y la mediatriz de la hipo- 
tenusa forman un ángulo cuya medida es 25*, 
Calcule la medida del ángulo formado por la bi- 
sectriz del ángulo C con la hipotenusa AC. 
A) 10% B) 20? Cc) 30* 
Dj 40% E) 509 
UNALM 2007 -1 
Resolución 
Nos piden la medida del ángulo entre la bisec- 
triz del ángulo C y la hipotenusa AC=x. 
Dato: La medida del ángulo entre la bisectriz del 
ángulo B y la mediatriz de AC es 250. 
 
 
75
LUMBRERAS EDITORES 
Si £ es la mediatriz de AC, entonces Y L AC y 
AM=MC=m. 
Además, BD es la bisectriz del ángulo B, enton- 
ces me ABD=m=<XDBC=45* y maBDM= 25". 
Luego trazamos la bisectriz CÉ del ángulo € 
3 mxACE=m«xBCE=x 
En la figura BOMC se cumple 
902=45%+25%+2x 
x=109 
PROBLEMAS N.” 83 
 
 
Sea BN=NM=a, entonces % es la mediatriz de 
AC, además Z LAC y AM=MC=m. 
Por el teorema de la mediatriz (7) se cumple 
CLAVE AN=NC=n y m-<NAM=m«NCM=x 
—_ Ñ Luego como BN=MN=a, entonces AN es la 
bisectriz del 284€ —= maBaAN=m=xMAN=x 
En el ABC se cumple que 
2x+x=90* 
si F es la mediatriz de AC, además BN=NM, — . ¿=390 
 
 
halle la mo ACB. 
_Clave 
8 FP 
N 
PROBLEMA N.” 84 
Si F, y Z, son las mediatrices de AB y CE, 
Á pel EN respectivamente, calcule x. 
E 
A) 309 B) 37% C) 53%/72 g 
D) 37%/2 E) 159 s 
y 25 
Resolución A 2, | B Cc 
Nos piden la mx ACB=x. 
Datos: 
+ F:mediatriz de AC A) 50* B) 65" C) 75* 
76
ót 
Resolución 
Nos piden x. 
Dato: Z, y Z, son mediatrices de AB y CE. 
 
 
 
Como $, es la mediatriz de CE, entonces 
Y, 1 CE, CM=ME=m, además BC=BE y 
mxBCE=m-xBEC=25*, 
También A es la mediatriz de AB, enton- 
ces F, 1 AB, AN=NB=n, además AP=PB y 
m«PAB=m=xPBA=50", 
Finalmente, en el 4,APB, por el teorema del án- 
gulo exterior 
x=50%4500 
x=1009 
 
PROBLEMA N.* 85 
En un triángulo ABC, la mediatriz de AC inter- 
seca a BC en D, y la mediatriz de BD contiene al 
vértice A, tal que m<BAC=60*, Calcule mxaACcB. 
A) 30% 
D) 452 
B) 35* C) 40% 
E) 509 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Nos piden la mx ACB=x. 
Datos: 
* La mediatriz de AC interseca a BC en D. 
* La mediatriz de BD contiene a A. 
* muBACc=60* 
 
 
Sea F, la mediatriz de BD, entonces Z, 1BD 
y BN=ND=n. 
Sea L, la mediatriz de AC, entonces FP, LAC y 
BM=MC=m. 
Por el teorema de la mediatriz (Z, se cumple 
AD=CD=a y m <ACD=mxDAC=x 
Además, en F', por el teorema de mediatriz se 
cumple 
AD=AB=0 y mMiADB=mM=<ABD=2x 
Finalmente, en el AABC, por el teorema de la 
suma de medidas angulares interiores. 
2x+60%+x=180% 
3x=1200 
x=409 
_ CLAVE (O) 
2
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 86 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
se ubica M en la región interior, tal que M 
pertenece a la bisectriz del <ACB, además 
m<BMC=900+m«xACM, AB=8 y BM=3. Halle la 
mxBAC, 
A) 370 B) 127%/2 C) 1359/2 
D) 1439/2 E) 532 
Resolución 
Hallamos la maBAC=x 
Datos: 
* mxBMC=90% + mx ACM 
. AB=8 
* BM=3 
 
 
Como M pertenece a la bisectriz del <ACB, 
entonces maACM=0=m<xBCM, y por dato, 
maBmMCE=30%+01. 
En el AMBN, maBNM=m=xBMN=90* =ct 
=> BM=BN=3 y AN=5 
Por el teorema de la bisectriz NB=ND=3. 
Finalmente, en el ESADN, AN=5 y NB=3, 
entonces Es. 40N: notable de 37* y 53%, 
x=37" 
_Ciave (A) 
78 
PROBLEMA N.* 87 
En un triángulo A£C, recto en B, se trazan BM 
Y AD, mediana y bisectriz interior del ABC, 
respectivamente, que además son perpendicu- 
lares. Calcule la mxACbB, 
A) 30% B) 37% Cc) 142 
D) 169 E) 3792 
Resolución 
Nos piden la mx ACB=x. 
Datos: 
+ BM es mediana y AD es la bisectriz interior 
del ABC. 
. BMLAD 
 
 
¿Como BM es la mediana relativa a la hipote- 
nusa, se cumple que 
AM=MC=BM= mm 
Luego, como BM_LAD, en el 
m«<xABM=m=XAMB=390* q 
=> AB=AM=m 
Luego, en el ba ABC, AB=m y AC=2m, entonces 
ESABC: notable de 30% y 609. 
x=30" 
AABM 
_Clave
PROBLEMA N.” 88 
En un triángulo ABC se traza la ceviana inte- 
rior AD, tal que AB=AD, mxBAD=2(m=<CAD) y 
5(8D)=6(€CD). Calcule me<BAD. 
A) 30* B) 378 C) 45* 
D) 530 E) 53%/2 
Resolución 
Nos piden la mxBAD=20. 
Datos: 
+ AB=AD 
e 5(8D)=6(CD) 
+ mxBAD=2(m«xCAD) 
 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Luego, en el EsDEC, DE=3k y DC=5k, entonces 
ESDEC: notable de 37% y 53%, maDCE=37", 
Finalmente, en el ¿HAC se cumple que 
200+37%=909 
2¿a=539 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 89 
En el gráfico, los triángulos ABP y BDC son equi- 
láteros, además AC=6., Calcule MA. 
 
5ean AB=AD=m y m<CAD=0; 
entonces m<BAD= 20. 
Como 5(8D)=6(CD) se deduce que CD=5k y 
BD=6k. 
En el ABAD se traza la altura AH 
=> BH=HD=3k y m«BAH=m<DAH=0t 
Se observa que AD es la bisectriz del «CAH; por 
el teorema de la bisectriz se cumple DH=DE=3k 
(DE L AC). 
A) 243 
DJ 2/6 
MENE] 
E) 346 
B) 3 
Resolución 
Calculamos MN =x. 
Datos; 
* AABP y ABDC: equiláteros 
. AC=6 
79
LUMBRERAS EDITORES 
 
En el AABP, AB=2n, además AN es la altura 
—> BN=NP=n 
En el ABCD, BC=2m, además CM es la altura, 
entonces BM=MD=m. 
Se observa que AABC= APBD (L-A-L) 
=> AC=PD=6 
Luego, en el ABDP, MN es la base media 
=> k=7 
2 
x=3 
_cuave (B) 
PROBLEMA N* 90 
En un triángulo ABC se traza la mediana BM, tal 
que BC=2(8M) y mx ABM=2[m=CBM). Calcule 
la mamebc. 
A) 189 B) 249 C) 369 
D) 459 E) 50% 
Resolución 
Nos pidenla maMBC=x, 
80 
Datos: 
+ BM: mediana 
+ BC=2(8BM) 
* mxABM=2[m«xCBM) 
 
 
A m M m E 
Sean AM=MC=m y BM=a0, entonces BC=2a. 
En el AABC, por M se traza MN paralela a AB, 
entonces MN es la base media, m«BMN=2x y 
BN=NC=a. 
En el ABMN, BM=BN=0a 
=3 m«BMN=m<BNM=2x 
Finalmente, en el ABMN, por teorema de la 
suma de medidas angulares interiores 
x+2x+2x=180% 
5x=1809 
sa ax=36* 
_Cuave (€) 
PROBLEMAS N.? 91 
Del gráfico, 24C)=3(AB). Calcule ut. 
A) 159 
B) 20* 
Cc) 309 
D) 37%/2 
E) 53%/2 
 
Resolución 
Nos piden ct. 
Dato: 2(4C)=3(48) 
 
 
A 
20- . 
E 909 == 01.909 —2 
M k E k E 
 
¿rl 
3k 
 
 
Del dato, 2(AC)=3(48), hacemos que AC=3k, 
entonces 2(3k)=3(48B), AB=2k. 
Luego, prolongamos BD hasta que inter- 
seque a AC en El y en el AABE, 
m-_ABE=m-=XAEB=90- 
=> AB=AE=2k, EC=k 
En el ADE, trazamos la mediana DM, enton- 
ces DM es la mediana relativa a la hipotenusa, 
por lo tanto AM=ME=DM=k y m<DME=20x, 
Enel AMDC, míDME=2a y maDCM=90*-= 20 
=> m«MDC=90% 
Además, en el E MDC, DM=k y CM=2k, enton- 
ces EsMODC: notable de 30% y 60% 
=> m«*DMC=609 
2a1=600 
a1=309 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.? 92 
En los lados BC y AC de un triángulo rectán- 
gulo ABC, recto en 8, se ubican M y N, tal que 
BM=MC y AN=2(CN). Calcule la m«xBAM. 
Considere que me<AMN=909, 
A] 309 
D) 53* 
B) 37" C) 452 
Ej 602 
Resolución 
Nos piden la m<BAM=x. 
Datos: 
. BM=MC 
* AN=2[(CN) 
 
 
Sean BM=MC=m, CN =n y ÁAN=2n. 
Trazamos BD_L AM, entonces, en el ABCD, 
MN es la base media, por lo tanto CN=ND=n 
y AD=n. 
Luego, en el Es, AMN, DP es la base media 
AP=PM=a 
En ela BAM, BP es la mediana relativa a la hipo- 
tenusa, entonces BP=AP=PM=0. 
Finalmente, en el Ea. 4PB, AP=BP=a 
. x=45" 
_Cuave (€) 
81
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.”* 93 
Sobre ML y NL de un triángulo rectángulo NMIL, 
recto en M, se ubican 8 y D, tal que ND=DL, 
BL-BM=24 y MN=10, Calcule BD. 
A) 17 Bj 16 C) 14 
D) 13 E) 11 
Resolución 
Nos piden BD=x. 
Datos: ND=DL, BL—-BM=24 y MN=10 
_N 
 16 AA 
Mb Boa-bA H 
 
o+b/2 L 
a 
Sean ND=DL=m, BlL=a y BM=b, entonces por 
dato 
a-b=24 mM 
En el sNML se traza DH 1 ML, entonces DH es 
la base media, DH=5, además 
a+b 
MH iS TE 
Se observa que BH=BL-=HL 
BH =—— (11) 
82 
Luego reemplazamos (1) en (11) 
_24 
BH BH=12 
Finalmente, en el BHD, BH=12 y DH=5 
x=13 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.* 94 
Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B, 
Me AB y Ne EC, además T es punto medio 
de MN y Q es punto medio de AC. Si AM=4 u y 
NC=6 u, ¿cuánto mide TQ (en u)? 
A) 2 8) 3 Cc) 413 
D) 415 E) 4 
UNI 2005-11 
Resolución 
Nos piden TO=x. 
Datos: 
-« T: punto medio de MN 
* O: punto medio de AC 
« AM=4u 
* NC=6u 
 
 
Sean AQ=0C=n y MT=TN=m,. 
Se ubica P punto medio de CM, entonces 
MP=PC=p. 
En el AAMC, PQ es la base media 
=> AM=2(PQ) 
4 u=2(PQ), PO=2 u 
En el AMNC, PT es la base media 
=> NC=2[PT) 
6 u=2(PT) 
PT=3 u 
Luego, como AB BC, PQ// AB y TP//BC, 
entonces PO L TP, ma QPT=900, 
Finalmente, en el ELQPT, por el teorema de 
Pitágoras 
x=(2 u)?+(3 uy? 
x=y13u 
_CLAVE (0) 
PROBLEMA N.? 95 
En la figura, EF es la mediatriz de DC, AB//DE y 
AJ=20 cm. Calcule BE (en cm). 
 
G 
á 
e | 
E 
A D ¡F C 
A) 5 B)] 6 O 7 
DI 8 E) 10 
UNI 2007 -)1 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Nos piden BE=x, 
Datos: 
e EF: mediatriz de DC 
* AB//DE 
* Aj=20cm 
 
 
Sea BG=m, 
Como EF es la mediatriz de CD, entonces 
CF=FD=a y EF | CD. 
En ela. CDG, EF es la base media 
=3 GE=EC=m+x 
Luego, en el AFCD, mxECD=m«xEDC=0a, y 
como AB//DE, entonces maBAD=m<EDC=cz. 
Se observa que en el ABGJ 
m«xBGJ=m<BJG=90%—«a 
=2 BG=BJ=m 
Finalmente, en el AABC, maBAC=msxBCA=0a 
> AB=BC 
204 M=x+4[% +x) 
20=2x 
x=10 
_ CLAVE (E) 
83
A A A rc A 
PROBLEMA N.” 96 Luego se observa que DM=MN=b, entonces 
Si BD es la mediatriz de AC, DM=MN y BMesla bisectriz del <DBN, por lo tanto 
m«BAC=369, halle la mxgemc. mxDBM=m<aNBM=27" 
Finalmente, en el ExBDM, por el teorema del 
 
5 ángulo exterior se cumple que 
x=9004+27* 
N 
x=117* 
A D M c 
_Cuave (E) 
A) 110% Be) 1119 Cc) 1179 
D) 1159 E) 116% 
UNALM 2005-1 PROBLEMA N.? 97 
En un triángulo ABC se trazan las alturas AM 
y CN (M en BC y N en AB), tal que AC=2(MN). 
Resolución Calcule la m«ABC. 
Hallamos la mxBmMC=x. 
209: | A) 30% B) 459 E) 53% 
+ BD: mediatriz de AC D) 609 E) 909 
+. DM=MN 
e m«BAC=36* Resolución 
Nos piden la ma ABC=x. 
Dato: AC=2(MN) 
 
 
 
Sea DM=NM=b, además BD es la mediatriz de 
AC, entonces AD=DC=m y AB=BC=a, además 
m«<BAC=m«XBCA=369 
 
 
84
a 
Sea MN=m, entonces 4C=2m, 
En el ANC, trazamos la mediana relativa 
a la hipotenusa ND, luego AD=DC=ND=m, 
m<NAD=m=xXAND=ct. 
En el AMC, trazamos la mediana relativa a 
la hipotenusa MD, entonces AD=DC=MD=m, 
maDMC=maDCM=0 
En el AMND, MN=ND=MD=m, entonces el 
AMDN es equilátero, maNDM=608. 
En el SÓBMDN 
x+60%= 046 (1) 
Finalmente, en el AA4EC, por el teorema de la 
suma de medidas angulares interiores 
Q+0+x=1809 (11) 
Reemplazamos (l) en (11) 
(x+60%)+x=180" 
2x=1209 
x=60% 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.* 98 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en 
B, se traza la ceviana interior 4D, tal que 
m<BCA=2(m<BAD), BD=1 y CD=11. 
Calcule AB. 
A) 10 B) 9 Cc 6 
D) 5 E) 4 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Nos piden AB=x, 
Datos: 
e BD=1 
+ CD=11 
+ m<BCA=2(m<xBAD) 
 
 
 
Sea maBAD=a, entonces maBCA=20t. 
En la prolongación de CB se ubica E, tal que 
m«aBdE= cx. 
Se observa que Es. DBA =E.EBA (A-L-A) 
=> BD=BE=1 
En el AACE, miAEC=90%=0 y mxACcE=20, 
=> m=xEAC=90%-a 
Luego, en el AACE, muEAC=m«AEC=390" —(1 
Entonces 
AC=CE=13 
En el lx ABC, AC=13 y BC=12, entonces hs ABC 
es pitagórico. 
x=5 
_CLAVE (D) 
85
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMAS N.? 99 
En el siguiente gráfico, BC=6. Calcule DE. 
 
 
A) 2 B) 243 0) 3 
D) 343 E) 6 
Resolución 
Nos piden DE. 
Dato: BC=6 
 
 
Sea AC=2m, y en el Es5ADC trazamos la media- 
na DM, entonces DM es la mediana relativa a 
la hipotenusa, 4/4M=MC=MD=m, mxADM= «a 
y m<DME=20. 
86 
Luego en ell ABC trazamos MF 1 AB, entonces 
MF es la base media, MF = : =3, 
Se observa que Es DME =E.MAF (A -L-A) 
DE=3 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.* 100 
Del gráfico, BD=DE y AC=2(CE). Calcule la 
m=DCE. 
 
A) 159 
D) 539/2 
B) 16* C) 37%/2 
E) 309 
Resolución 
Nos piden la maDCE=x. 
Datos: 
* BD=DE 
* AC=2(CE) 
 
 
Sea BD=DE=m, además, de manera conve- 
niente para el problema hacernos que CE=20, 
> At=4a 
En el EÁ5A4ABC: notable de 159 y 75%, trazamos 
BH _L AC 
Luego se traza EP CD y se observa que 
ES.BHD= ES. EPD (A-L-A), por lo tanto BH=EP=a. 
Finalmente, en el En CPE, EP=a y CE=2a, enton- 
cesta.CPE: notable de 30* y 60%. 
x=30% 
_Cuve (E) 
PROBLEMA N.* 101 
Del gráfico mostrado, T es el punto medio de 
AS, AS=IR y 20.+8=900, Calcule la m<RIT. 
 
 
A) 150 B) 37%/2 C) 53%/2 
DJ 30* E) 379 
Resolución 
Nos piden la m«RIT=x. 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Datos: 
* T: punto medio de AS 
* AS=IR 
« 20+0=900 
 
 
2¿m 
Sea AT=T5=m, entonces ¡R=2m. 
En el ARS trazamos la mediana RT, entonces 
RT es la mediana relativa a la hipotenusa, por lo 
tanto AT=m, mITR5S=0 y m<ATR=20t. 
En el vértice T se sabe 
20+m<RTI+8=1800 
Ll | 
== m-«uRTI=90% 
Luego, en el ERTI, RT=m y Ri=2m, entonces 
ESRTI: notable de 30* y 60". 
x=300 
_cuave (D) 
87
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMAS N.? 102 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
ubican M y N en AC (N en MU), tal que AM=NC 
y maxMEN=3900 (E es el punto medio de BC), 
Calcule ea. 
MN 
A) 1 B) 1/2 Cc) 1/3 
D) 2 E) 2/3 
Resolución 
Nos piden => = > 
Datos: 
* maMEN=909 
* AM=NC 
* E: punto medio de BC 
 
>, 
A DMiADxRNb Cc 
HH x ——— 
 
Sean AM=NC=b y BE=EC=0. 
En el InMEN trazamos la mediana relativa a la 
hipotenusa ED, entonces MD=DN=ED= 5 
En el bs. ABC, ED es la base media 
_Cuave (A) 
PROBLEMAS N.” 103 
En el gráfico