Relaciones Metricas

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ATAR ESAS 
 
Relaciones 
alii 
Teoría y práctica twitter.com/calapenshko 
k] A Fa" | Er E a PA -- PA ir A : an SL IFA FA PS PS” 
N Wwe | es b asiCoO - In te rmedio - avanzado 
Geometría 
 
ol ies Ss
Asociación Fondo de-Investigadores y Editores EN 
twitter.com/calapenshko 
 
Relaciones 
métricas 
Vlimir Roncal Arca Lumbreras 
Editores
 
Relaciones métricas 
Autor: Vlimir Roncal Arca aa 
O Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av. Alfonso Ugarte N.? 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: octubre de 2012 
Primer reimpresión; octubre de 2015 
Segunda reimpresión: enero de 2017 
Tercera reimpresión: julio de 2018 
Tiraje: 1000 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-236-0 
Registro del proyecto editorial N.* 31501051800223 
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.? 2018-03244 
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Distribución y ventas al por mayor y menor 
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RENTA ÓN 
"Bl INTRODUCCIÓN . 
"E RELACIONES MÉTRICAS 
Relaciones métricas en la circunferencia 
Teorema delas cues tii niriciejeici ciao 
Teorema de la tangente occ. 
Teorema de las secanmtes ........... , 
Teorema del producto de dos lados ......................... 
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo ........caccincininniocinnnicnceiia 
Definiciones previas .......ocannnnnnenanncae rmac 
TROTEMÁS. ¡iio ic ás 
Relaciones métricas en el triángulo oblicuámgulo .......cicconinucuiccaiaaiois 
Teorema de las proye cc 
Teorema de Euclides ............... 
Teorema el ca 
Teorema de la mediana ..................—.. 
Teorema de Stewart (cálculo de la longitud de una ceviana) coco 
Teorema del cálculo de la longitud de la bisectriz interior cion caerme 
Teorema del cálculo de la longitud de la bisectriz exterior ....... 
Teorema de Herón (cálculo de la longitud de una altura)... ocios 
11 
11 
11 
11 
11 
12 
12 
13 
14 
14 
14 
15 
15 
15 
15 
15 
16
Relaciones métricas en el cuadrito 
Ma e e 
Teorema de Ptolomeo ............. 
Teoria CAS 
Hr A A 
Teorema de PackeiÚ ....... ooo concer 
Teorema de Marlen .........ii ooo 
Teorema de Arquimedes- Faure canicas 
Teoremas adicionales y demostraciones cc eat 
L PROBLEMAS RESUELTOS 
Nivel básico 
o AAA 
Miel avanzado cia. 
"E PROBLEMAS PROPUESTOS 
Nivel DÁSICO coi iia 
Nivel intermedio .......... z 
Nivel avanzado occ. 
16 
16 
16 
16 
17 
1/ 
17 
17 
18 
25 
62 
85 
109 
117 
121 
125 
126 
 
F* PRESENTACIÓN 
iran mars A 
. 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Relaciones 
métricas, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se 
realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. 
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los 
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus 
conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias 
naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores 
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didác- 
tico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profun- 
dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso 
nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu- 
trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los 
estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos 
y problemas resueltos y propuestos por niveles. 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig- 
nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio- 
nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro 
anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, 
deseamos reconocer la labor del profesor Vlimir Roncal Arca, de la plana 
de Geometría de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la 
elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la en- 
señanza preuniversitaria. 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
twitter.com/calapenshko
twitter.com/calapenshko 
+ INTRODUCCIÓN 
En 
En nuestras actividades diarias en algún momento hemos realizado el 
cálculo de una longitud de un segmento asociado a un objeto real (mesa, 
puerta, etc.). Este cálculo normalmente lo podemos hacer utilizando una 
herramienta (cinta métrica), pero veremos en el desarrollo de este tema 
que ese cálculo lo podemos realizar de manera indirecta. 51 este segmento, 
cuya longitud se desea calcular, se encuentra asociado a una figura en un 
triángulo, dicho segmento puede ser una altura, una bisectriz o una mediana; 
en una circunferencia podría ser un diámetro, cuerda o segmento tangente 
a la circunferencia. 
Precisamente, conscientes de la necesidad del estudiante de afianzar 
sus conocimientos sobre las relaciones métricas, este material aborda de 
manera puntual la relación que existe entre los elementos asociados a una 
figura, ya sea triángulo, circunferencia o cuadrilátero. 
Se ha visto conveniente plantear una estructura que sea de utilidad 
tanto para estudiantes principiantes como para aquellos con un nivel mayor 
de conocimientos. Ello se puede notar desde la presentación de la parte 
teórica, en la cual se muestran los teoremas de manera directa, indicando 
gráficamente la relación que se cumple. Al final de esta parte se presentan 
algunos teoremas adicionales, para aquellos que deseen profundizar en el 
tema, y demostraciones de los teoremas expuestos al inicio. 
Tanto los problemas resueltos como los propuestos han sido cuidadosa- 
mente seleccionados, con la finalidad de presentar toda la variedad de casos 
posibles, y divididos en niveles —básico, intermedio y avanzado— para una 
mejor comprensión. 
Por último, quiero expresar mi agradecimiento a Lumbreras Editores por 
la confianza y la oportunidad de plasmar parte de mi experiencia a través de 
esta publicación, con la cual espero contribuir en algo con toda la juventud 
estudiosa que día a día se esfuerza por forjarse un futuro mejor a pesar de 
todas las dificultades, lo que nos motiva y compromete siempre a mejorar.
 
+ RELACIONES MÉTRICAS 
enrxorcocccnmmesconscns eo MEM cc rnrrcccoso masas ¿E 
“s] RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 
TEOREMA DE LAS CUERDAS Según el gráfico, Tes punto de tangencia. 
qee. En el 
gráfico se cumple Secumple 
| x“=an 
: TEOREMA DE LAS SECANTES 
Observación 
O 
¡| M + Mi ———=, 
En el gráfico se cumple 
En el gráfico se cumple: | 8 P 
TEOREMA DEL PRODUCTO DE DOS LADOS 
 
 
 
TEOREMA DE LA TANGENTE 
En el gráfico se cumple 
DN, 
E n——A 
 
 
11
LUMBRERAS EDITORES 
Observación - Ea PA 
% 3. B 
A m : 
T NS c 
A D 
En el gráfico, A y 8 son puntos de tangencia. Si CAABCO es inscriptible, 
5e cumple | AM=MB se cumple | ab=mn 
2. p 4 B 7 
a 
a l PS, 
A D-——N——4 
-*——_—__—=— Y 
Si A y 8 son puntos de tangencia, Si CAABCO es inscriptible, 
se cumple se cumple 
"is | RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
 
DEFINICIONES PREVIAS 
Proyección ortogonal de un punto sobre una rectaPp 
PP" proyectante de P sobre £. o Ejede 
proyección 
P" es la proyección ortogonal de P sobre 7. 
, p E, 
p PF 
12
 
Proyección ortogonal de un segmento sobre 
una recta pa 
B 
E 
a —h 
A' Bg E 
 
AB es la proyección ortogonal de AB sobre 2. 
TO' es la proyección ortogonal de TD sobre 4. 
 
A H E 
AB y BC: catetos 
AC: hipotenusa 
BH: altura relativa a la hipotenusa 
AH: proyección ortogonal de AB sobre AC 
HC: proyección ortogonal de BC sobre AC 
TEOREMAS 
Longitud del cateto elevado al cuadrado 
Es 
—m-— nn ———— 
+ c 
Se cumple | at=cm 
b*=cn 
 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
Longitud de la altura elevada al cuadrado 
¡| M —— A MN 
Producto de longitudes de catetos 
US b 
 
 
A 
Teorema de Pitágoras 
 
 ' € 
Se cumple at+b?=c* 
Inversa del cuadrado de la longitud de la altura 
 
 
 
 
Se cumple E = 
13
LUMBRERAS EDITORES 
 
us Observación .——- AA, 
| 1. y 2, 
| A 5 4, B y C son puntos 
.= a—————, de tangencia, 
 
 
(*t:] RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 
 
TEOREMA DE LAS PROYECCIONES TEOREMA DE EUCLIDES 
Caso 1 Caso 1 
 
H———— MM 
5e cumple xy i=m*-p? Se cumple [| =0*+0'-20m | 
Caso 2 Caso2 (1>909 
 
 
 
Se cumple Se cumple | x*=a*+b*+2bm 
14
É 
RELACIONES MÉTRICAS 
 
TEOREMA DEL COSENO AS — Observación 1 
En un triángulo isósceles, el teorema de Stewart 
se reduce a la siguiente expresión 
La y, SY SO 
| ? | 4 h Su 
2 2 Há M3 
 
 
 TEOREMA DE LA MEDIANA 
 
TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA LONGITUD DE 
LA BISECTRIZ INTERIOR 
AN 
 
 
 b 
Secumple | a*t+c?=2x? de 
 
TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA LONGITUD DE 
/ SN LA BISECTRIZ EXTERIOR 
E 
x 
TEOREMA DE STEWART (CÁLCULO DE LA LON- 
GITUD DE UNA CEVIANA) 
 
 
 
 
 
 
2 
Se cumple aln+cm=x*b+mnb ] Se cumple [ é=mm-ab | 
15
LUMBRERAS EDITORES A 
TEOREMA DE HERÓN (CÁLCULO DE LA LONGI- e: semiperimetro de la región ABC 
TUD DE UNA ALTURA] IN 
o+b+c 
AS > 
 
 5 Se cumple h=2JAP=aNP=5NP=0 
 
 
(*ka] RELACIONES MÉTRICAS EN EL CUADRILÁTERO 
 
TEOREMA DE EULER Si M y N son puntos medios de BD y AC respec- 
tivamente, 
 
se cumple rbrtrd=mi+n?+ ax? | 
 
TEOREMA DE PTOLOMEO 
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible en la 
circunferencia. 
 
 
Si M y N son puntos medios de AC y BD respec- 
tivamente, 
 
 
se cumple | arbitra mien+ ar? | 
 
TEOREMA DE CHADÚ 
 
 
 
 
16
Me as nn 
AABC es equilátero 
TEOREMA DE VIETTE 
Se cumple 
 
TEOREMA DE PACKEIN 
Se cumple 
 
TEOREMA DE MARLEN 
 
 
P es un punto de la región interior del rec- 
tángulo. 
RELACIONES MÉTRICAS 
 
 
Q es un punto exterior de la región rectangular. 
Se cumple x+y? =0*4+b? 
TEOREMA DE ARQUÍMEDES - FAURE 
 
 
a+ =b*4d*=4R? Se cumple 
Observación e 
TEOREMA 
Para todo cuadrilátero de diagonales perpendi- 
culares. 
Se cumple adrrt=bta? 
 
17
twitter.com/calapenshko 
LUMBRERAS EDITORES 
El TEOREMAS ADICIONALES Y DEMOSTRACIONES 
 
 
51 0, C y Tson puntos de tangencia, 
se cumple | AT=AB 
Demostración 
 
 
Por teorema, en circunferencias tangentes inte- 
riores: 
+ A,QyCEson colineales 
+ Luego, m<ABO=m-=BCA 
AABC (propiedad de semejanza de triángulos) 
(AB)"=(AC)(40) (1) 
Por teorema de la tangente 
(AT)?=[ACHAQ) (11) 
18 
De (1) y (11) 
C E 
pl a 
2. P 
7 
Si P, Q y Tson puntos de tangencia, 
Demostración 
 
 
 
Por teorema, se sabe que: 
* A,QyTson colineales 
= Luego, como mAQ =mQT 
-+ m*+ABO=m xATB=0 
ABTA (propiedad de semejanza de triángulos) 
(48)?=(AT)(4Q) (1)
 a ANA 
Por teorema de la tangente ÓN Como! es incentro del 4. 4BC, se sabe que 
(AP)F=(ATAQ) (11) 1 AM=MC=MI=2Rsenó 
De (1) y (11) Por teorema de cuerdas 
AP=AB (ENUN)=(81(1M) 
AP=Ry2 (R=xUR+x)=(rc5€0)2Rséno 
R?—x?=2Rr 
: , 
Pe dra | En AABC 
f:incentro 
Teorema del metacentro 
B 
O: circuncentro 
r:inradio 
R: circunradio 
Se cumple | O = R?—2Rr 
O: circuncentro del 44BC 
Demostración 
G: baricentro de la región ABC 
2 2 
5e cumple 0G=| ¡A 
Demostración 
 
 
 
 
EBHI: Bl=rcesc8 
¿A0OMC: ME=2Rsenb 
 
 
19
LUMBRERAS EDITORES 
ELOAC 
2 
pr 0 
Teorema de Stewart 
ADMB 
RA 2)= 3 +23) 
r?+20*=3x?+6n? (11) 
Teorema de la mediana 
AABC 
a? +b*=2(3n)? E 
FO 3 
o ob E 
4 =6m 
3 3 6 
Reemplazamos (111) y (1) en (11) 
a 2 2 2 
oo bb ec 
p? (E A 
A 
2 2 2 py 
c E a 2 
2 3 3 
2 (?+bi+e?) 
5. SiAyBson puntos de tangencia 
A 
Se cumple que P, M, N y Q forman una cuaterna 
armónica. 
20 
Teorema de la tangente 
(8P)?=([PQ)PM) (1 
Relaciones métricas en En 0OPB 
(8P)?=(PO)NPH) 0) 
De (1) y (11) 
(PQ) PM)=(POYNPH) 
Por el recíproco del teorema de las secantes 
—+ C300HM es inscriptible 
Para AQHM 
HN es bisectriz interior y 
HP es bisectriz exterior 
P, M, N y Q forman cuaterna armónica. 
Demostraciones 
Teorema de las cuerdas 
 
ACBE-AMED ¡ 
AA B 
a nm 
—+ —==— 
”> A Su 
ab=mn a b 
¿ En Teorema de la tangente 
A H c 
K osenó ——— bcosB ———= 
É 
Por resolución de triángulos rectángulos 
Es, ABH: AH=o0sendl 
Ea. BHC: HC=bcos0 
 
Se observa que 
AC=C=asenb+bcosB ¿ABTA 
m<ETA=m < ABT=0 
Multiplicamos por c a toda la expresión => Por propiedad de semejanza de triángulos 
x*=am c=acsend+bccosó 
Q b 
Teorema de Pitágoras ci=at4p? 
ANS Teorema de proyecciones 
SS 
 
 
 
 
 
A m 
» E 
Por relaciones métricas en Ea A8C€ (longitud del a ñ ja m 6 
cateto elevado al cuadrado). 
3 Por teorema de Pitágoras 
aan lt od de pa ES ABH: (BH)"=b*=n j 
a ta BHC: (8H)?=0*—m 
a*+b*=c(m+n) (8nJ'=0 
É > bini=at-m? 
2 
a+ bi=e? a?-bi=m?-n 
z21
LUMBRERAS EDITORES 
Teorema de Euclides Teorema de Stewart 
 
 
 
 
 
l 
Por teorema de proyecciones Por teorema de Euclides 
x*-a?=(b=m)?-m* AABM(0<90%) 
Y 
abr 2om— yt CAES LI (0) 
x*=0*+b?*-2bm ABMC(B>909) 
c=x +n?+2n( (11) 
Teorema del cálculo de la mediana 
Multiplicamos a (1) por n y a (11) por m 
> an=xX*n+min —2n 
+] 
¿m=xm+nim +2alm 
 
an+em =x"(m+n) +mnlm-+mn) 
TR E 
ain+cm=x*b+mnb 
 
 
 
 
Teorema del cálculo de la bisectriz interior 
Por teorema de Euclides 
2 
AABM (0:<909): a* +22) 
d 
ABMC(O>900): c* = x? .. +2(2)n 
+0 =2 
1 
 
 22
A a 
AABM-ABCE 1 
x+l b 
= 
a Xx 
 
> xi+xl=ab (1) 
Por teorema de cuerdas 
x(=mn (11) 
 
(1) en (1) 
x2=ab-mn 
Teorema de Euler En AC se ubica E tal que m <ABE=m=< DBC=0 
 
 
AABE=ABCD 
> a => ac=nl (1) 
n € 
ABCE-AABD 
yy MEA 
d mn 
=> mn-Un=bd (11) 
( en (11) 
la mediana Por teorema de la m 
— 
2 
ABMOD: Pag =2t E ¿. mn=ac+bd 
2 
e + rd ax +m? 
Teorema de Viette 
— = 
24p? no lí AABC: ac +b <= + 
2 
AACD: 2+d? = 445 
 
drtrtrd=mini+ra 
23
LUMBRERAS EDITORES 
bo 
 
 
 
 
 
 
%. Nota — - Teorema de Marlen 
p 
8 : y 
Fórmula del circunradio ] y 
B o 
abc q 
Bars 5 
A E D 
| Asape= área de la región ABC ' jad 2 
Por teorema de proyecciones 
Del gráfico ABPC 
PañectBaacos Passo? Banco a*-yi=mi-p? (1) 
Por la fórmula del circunradio AAPD 
abx , cdx _ ady , bey bmp? (1) 
AÑ AR AR AR 
xlab+cd)=ylad +bc) (1) =(11) 
do 
x_ab+cd eb =ary 
y ad+bc + yi=0*+p? 
twitter.com/calapenshko 
24
E PROBLEMAS RESUELTOS 
O ¿E 
NIVEL BÁSICO Por teorema 
de cuerdas 
m(2h)=137)(2) 
PROBLEMA N.? 1 m=3
 
Según el gráfico, 2(0D)=3(08)=6(40) y CQ=2. “. QD=9 
Calcule QD. 
_ CLAVE 
A) 8 q B 
B) 9 O PROBLEMA N.* 2 
 
Cc) 12 A Según el gráfico, AB=3(MB), CM=S y NB=3. 
Dj) 10 Calcule AN, 
E) 6 D 
AS C M B 
B) 7 
Resolución 
. C) 6 N 
Nos piden 00 
D) 8 
E) 9 
O Resolución 
A Nos piden 4N 
C TS CSM n B 
3 
D 
N 
Por dato 
2(0D)=3(08)=6(4Q)=6m 
3 QD=3m;0QB=2m y AQ=m A 
25
LUMBRERAS EDITORES 
Por teorema de las secantes 
(S+n)H=3p(3) 
n=4 
AN=9 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 3 
Según el gráfico, Tes punto de tangencia, AM=4 
y MN=5, CD=2(4B)=2(BC). Calcule TD. 
N 
 
A) 643 B) 642 c) 446 
D) 2/6 E) 543 
Resolución 
Nos piden TD=x 
N 
 
Por teorema de las secantes(2n/n=9x4 = n= 342 
26 
Por teorema de la tangente 
A (BnM2m)=6n? 
x=n+/6 
x=64/3 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 4 
Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y 
AM=/MD=2 (Tes punto de tangencia). 
Calcule CT. 
A) 342 E $ 
B) 22 
Cc) 4 
DJ 8 r 
 
 
E) 6 A M D 
Resolución 
Nos piden CT=x 
 
 
Por dato ABCD: cuadrado 
—> BC=CD=AD=4
Como m <= BAM=30* 
=> BMes diámetro 
PCOM es un rectángulo 
=> PC=MD=2 
Luego, por teorema de la tangente 
x?=8x2 
x=242 
_cuave (B) 
PROBLEMA N.* 5 
En el gráfico mostrado, si AB=5 y BC=3, 
calcule CO. 
A) 242 
B) 3 
c) 342 
D) 4 
EJ 6 
 
Resolución 
Nos piden CO=x 
RELACIONES MÉTRICAS 
Como O es centro, por teorema en la circunfe- 
rencia 
=> PC=CO=x y AB=BM=5 
Por teorema de cuerdas 
xx=2:B 
. xd 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.” 6 
En el gráfico mostrado, si (APNPB)=200, 
calcule OP. 
N A f 
A) 2 
B) 3 
o 4 
D) 5 
E) 6 
Resolución 
Nos piden OP=x 
Dato: (AP)(PB)=200 
 
27
Prolongamos OP, tal que MS: diámetro 
—> MO=15 y PS5=15-x 
Por teorema de cuerdas 
(15+x)(15-x)=(AP)NPB) 
15*—x?=200 
x*=225-200 
x?=25 
x=5 
_CLAVE (D) 
PROBLEMA N.* 7 
Según el gráfico, T es punto de tangencia, 
mCT =mEM, AB=4 y BT=5, Calcule CE. 
A) 15/2 A 
B) 6 Bic 
O) 9/7 
D) 6/5 > 
E) 11/4 
Resolución 
Nos piden CE 
la 
B 
a 
l 
e 28 
Por teorema en la circunferencia 
Dato: mCT =mME 
=> CM//TE 
AATE: BC // TE 
= Por Thales: e =? 
CE 
Teorema de la tangente 
9 =(9K)(4K) => k=> 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.” 8 
Según el gráfico, ABCD es un romboide, AD=6, 
A y Q son puntos de tangencia. 
 
 
Calcule PQ. 
Q 
B € p 
A D 
A) 243 B) 4/2 Cc) 343 
D) 3 Ej) 4
RELACIONES MÉTRICAS 
 
 
 
 
 
Resolución ¡ 
Nos piden PQ =x 
Q 
Xx 
6 Cc 3 
B . _ p 
ó “a O 
E 
LA 
A d 
H D 
A e 
Nota 
Recordar el teorema en la circunferencia 
Si BE// 
 
 
 
Como ABCD es un paralelogramo 
BC=AD=6; CD=BA=a y BC//AD 
Por la nota: AB=AC=a 
AACH (isósceles): AH=HD=3 
Teorema de la tangente 
(PQ)7=(BP)PC) 
x*=9x3 
x=34/3 
_Clave 
PROBLEMA N.*? 9 
Según el gráfico, AABC es equilátero y 
QC=2(8Q)=4. Calcule CM. (A es punto de tan- 
gencia) 
A) 6 A B 
Q 
B) 242 
C) 642 
D) 8 M 
E) 446 
Resolución 
Nos piden CM=x 
 
Por dato, AMABC es equilátero 
=> AC=AB=BC=6 
Por teorema de la tangente 
(48)? =(L8J(08B) > 6*=(LBX2) 
[B=18 y Cl=12 
Por teorema de cuerdas 
6x=4x12 
x=8 
_Cuave (D) 
29
twitter.com/calapenshko 
PROBLEMA N.” 10 
Según el gráfico, T es punto de tangencia, 
QD=1;78B=2 y ND=CB. Calcule AD. 
B 
A) 3 B) 5 Cc) 4 
D) 243 E) 6 
Resolución 
Nos piden 4D=x 
N 
LN A 
€, 
B 
Por teorema de la tangente 
€, 2=(0+l)o (1) 
Por teorema de cuerdas 
Es: (xM11)=(0+0)a (11) 
Se observa que (1)=(11) 
x=4 
30 
PROBLEMA N.” 11 
Según el gráfico, A y B son puntos de tangencia, 
mBC=2mAB, BM=2 y BC=5. Calcule BE. 
A) 3 
B) 243 
Cc) 4 
D) 5 
E) 6 
 
Resolución 
Nos piden x 
 
Por teorema en la circunferencia 
MA=MB=2 
m<BME=mAB=0 
mx LBC=0 (ángulo semiinscrito) 
=> AMEB es isósceles 
Teorema de la tangente 
(+ 2)?=(x+5)x 
0 +4x+d=x?+5x 
X=
RELACIONES MÉTRICAS 
 
PROBLEMA N.* 12 
Según el gráfico, DO=0P y (AB](CD)=72. 
Tes punto de tangencia. Calcule PT. 
 
A) 642 B) 6 C) 443 
D) 446 E) 246 
Resolución 
Nos piden x 
 
 
 
CDAABCO está inscrito 
=> m=xCaA=90* 
En Es. DCP 
CO es altura y mediana 
=> esisósceles y estsnotable de 45% 
=> PC=CD=b y PB=BA=a 
Por teorema de la tangente 
x*=ab 
Por dato: ab=72 
X= 6/2 
_ CLAVE (B) 
PROBLEMA N.* 13 
Según el gráfico BC=4(4B)=4. Calcule x. 
A) 609 
B) 455 
Cc) 309 
D) 379 
E) 539 
 
 
Resolución 
Nos piden x 
 
 
Por teorema en la circunferencia 
MB=BN=0u 
Luego, teorema de cuerdas 
oexa=(1)(4) => a=2 
ES BNC: BC=2(8N) 
> EsBNCes notable de 30* y 609 
x=309 € .. a 
31
LUMBR ERAS EDITORES a 
lid A A A fr rn irba 
PROBLEMA N.” 14 PROBLEMA N.* 15 
Según el gráfico, MB=DN; AB=2(CD)=6; BC=2. — Según el gráfico, Tes punto de tangencia, BT=6; 
Calcule DE. MN=3 y AM=2. Calcule AB. 
Ñ 
A) 24/23 B) 4/36 C) 426 
D) 6/2 El 643 
A) 5 B) 3 O) 4 
D) 242 E) 6 
Resolución 
Resolución 
Nos piden AB=x 
Nos piden DE=x 
E 
A 
N 
A 
A E 
Teorema de las 
secantes en €, — x-m=5x2 
 
Por teorema de cuerdas 
» — (3)00)=0(0+b) (1) Teorema de la +) 
* (2)(6)=0(0+b) (11) tangente en Y
, — x-n=6? 
x-m+x:n=10436 
(1)=(11) 
xm+nj=a6 
3x=12 
; 
x=4 
se x=/46 
_ CLAVE (0) _ CLave 
32
PROBLEMA N.? 16 
Según el gráfico, Tes punto de tangencia, 
AC=BM=MN=2 y CD=7. Calcule AB. 
D 
ÑN 
C mM 
A T B 
A) 442 B) 642 Cc) 52 
D) 842 EJ 6 
Resolución 
Nos piden AB 
 
 
Por teorema de la tangente 
+ (ATP =9x2 > AT=3vV2 
. (TB? =4x2 > T8=2WV2 
Luego 
AB=AT+T8 
AB=54V2 
RELACIONES MÉTRICAS 
PROBLEMA N.* 17 
En el gráfico mostrado, AP=PD=1 y 
méM=mbDM = 45, Calcule PA. 
A) 43/3 5 
B) 43 PA M 
E, TEA D) /2/2 Y , 
E) 46 
Resolución 
Nos piden PQ=x 
 
 
Por ángulo inscrito m < DAC=459 
angulo central m < MOC=45* 
además como 
AP=PD=1 —= mx APO=90% y AO=y/2 
.POM: (pM=12 4/2 
> PM=43 
Por teorema de cuerdas 
xXx: 3 =1x1 
3 
k=— 
3 
_Clave (A) 
33
A lid 
PROBLEMA N.? 18 
En el gráfico mostrado, T es punto de tangencia 
y mAM=mMB, AP=3 y PB=2. Calcule BC. 
A) Y2 
B) 3/4 
c) 2 
D) 4 
EJ /5 
 
Resolución 
Nos piden BC=x 
 
 
Se deduce 
m=<MTC= E (par álgulo semiinscrito) 
0+0 y . 
m « TPC= > (por ángulo interior) 
ATCP: isósceles 
TC=CP=x+2 
Por teorema de la tangente 
(+2)? =(x+5)x 
Ax += +5x 
x=4 
_Cuave (D) 
34 
¡ PROBLEMA N.” 19 
Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo, 
Des punto de tangencia, AC=10 y BD=8. 
Calcule AB. 
B C 
Á D 
A) 342 B) 442 ag 2465 
D) 243 E) 2/6 
Resolución 
Nos piden AB=x 
 
 
 
 = 
Nota 
Recordar que en un paralelogramo 
 
 
a RELACIONES MÉTRICAS 
Por teorema de cuerdas BOC y [ABMO son ¡sósceles 
(OMS) =4x4 
16 Por teorema de cuerdas 
OM =— 
3 5-x=(1)(11) 
5 x=—=)2,2 
5 
Por teorema E la tangente _ CLAVE (0) 
x? =(10)= 
5 
x= 342 
_ CLAVE PROBLEMA N.” 21 
En el gráfico mostrado, si T es punto de tangen- 
cia, AT=4 y BC=2, calcule TB. 
PROBLEMA N.* 20 
Según el gráfico, BM=5, m < MBC=3(m <= BCM]), 
BM="5. Calcule ME. 
A) 1,2 ÉS ES C) 2,2 Cc % 
D) 3,2 
E) 1,5 A) Y2 B) 5 Cc) 2 
D) 3 E) 6 
r
r
 
Resolución 
Nos piden ME=x Resolución 
Nos piden TB=x 
 
35
LUMBRERAS EDITORES . A A II
 AA e pe rro ri 
|: Teorema de la secante 
(x+6)2=ba (1) 
€: Teorema de la tangente 
(x+2)?=ba (1) 
De (1) y (11) 
(x+6)2=(+2)* 
2x+12=x*+4x+4 
x*+2x-8=0 
(x+4)[x-2)=0 
x=2 
_ CLAVE (O 
PROBLEMA N.* 22 
En el gráfico mostrado, si T es punto de tangen- 
cia, AT=2 y TC=9, calcule PQ. 
A) 5 A 
B) 6 
Cc) 442 
D) 7 
E) 642 
 
 
Resolución 
Nos piden PQ=x 
 
 36 
x=Ry2 (1) 
EL AOC por teorema 
R?=2x9 
R=342 (11) 
Reemplazamos (11) en (1) 
x=(34/2)/2 
x=6 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.* 23 
Según el gráfico, AM=6 y MB=4, 
Calcule (08)?-R? 
 
A) 28 B) 48 C) 36 
Dj) 30 E) 40 
Resolución 
Nos piden (08)?—R? 
 
Por teorema de las secantes 
(84)(8M) =(8P)(BQ) 
(10)14)=[(80)+R][(80)-R] 
RELACIONES MÉTRICAS 
PROBLEMA N.? 25 
Enel gráfico, si AP=2 y PC=7, calcule BP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
(80)?-R*=40 54 
_ CLAVE 
0 
A P Cc 
PROBLEMA N.” 24 E 
A) 6 E 3 
Según el gráfico, (8C[R)=18, AD=9, Calcule 8D. 3) 3 ) 
D) 421 E) J14 
Aj 6 
pD._ CE 
B) 4/2 Resolución 
C) 342 Nos piden PB=x 
ES A B B 
Ej 4 
Resolución 
Nos piden BD=x 
po Cc so*-p 
41 p.1o0P 7 E 
AR 2 ANA |h 
! Se deduce 
A 3R ,8 m«BAP=900-0 y m<BPA=90%-0 
— AABP: isósceles — AB=BP=x 
Dato: (8C)R=18, como BC=h 
> h:R=18 (1) Además 
BH: altura, mediana y bisectriz 
ES. ADE: relaciones métricas en Ea. 
=> AH=HP=1 
(producto de catetos) 
9-x=2Rh 
(1) en (11) 
9x=2(18) 
x=4 
11) 
Del la. ABC: Por teorema (cateto al cuadrado) 
xi=1x9 
x=3 
_Cuave (E) _Cuave (B) 
37
LUMBRERAS EDITORES = 
PROBLEMA N.”? 26 - PROBLEMA N.* 27 
Enel gráfico mostrado, si AP=1, PB=3 y PC=5, — Según el gráfico, BP=2(PO)=2, ¿cuánto dista B 
calcule AB. de AC? 
B 
 
 
A P C 
A) 6 B) 243 03 
D) 342 E) 343 
anís lv 04 Resolución 13 13 13 
Nos piden AB=x 
D) 24/13 E) 2426 
Resolución 
Nos piden x 
 
 
ta. 48€: BM: mediana relativa a la hipotenusa 
=> AM=MB=MC=3 
En consecuencia 
APBM: isósceles 
> BH: altura, mediana 
PH=HM=1 
 
 
E. ABO y Es BPC son notables de 45 
En el Ea. ABC: Por teorema (cateto al cuadrado) > AB=34/2 y BC=2 42 
x?=2x6 
x=24/3 Por relaciones métricas en bs. ABC 
_£LAVE AC=w/26 (por teorema de Pitágoras) 
38
twitter.com/calapenshko 
Del dato Luego (producto de catetos) 
(3/2)(2/2)=(426)60 
12 
“os 
6 
ee 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 28 
En el gráfico que se muestra, M y N son puntos 
medios de los lados del triángulo ABC. 
Si (AB)(8C)=20, calcule (AN)(GM). 
A) 542 B 
B) 442 
Cc) 8 N 
D) 4 
E) 5 A M C 
 
Resolución 
Nos piden (AN)|¡(GM)=bl 
 
 
Se observa que AN y BM son medianas. 
Por lo cual, G es baricentro de ABC 
=> BG=2(GM) 
RELACIONES MÉTRICAS 
—AB](BC)=20 — a(2c)=20 => ac=10 (1) 
Por relaciones métricas en el la ABN 
ac=b(20) (producto de catetos) 
Pero de (1) 
ac=10 
bi=5 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 29 
Según el gráfico, BC=3 y AB=1. Calcule CD. 
 
A) 3/2 8) 243 Cc) 4 
Dj) 5 E) 6 
Resolución 
Nos piden CD 
 39
LUMBRERAS EDITORES . 
ESIMCO: — (relaciones métricas) - Como m-n=12 (dato) 
(altura elevada al cuadrado) > Q0=12 
3ó=mn (1) 
Por dato ab=48 
Por teorema de cuerdas 
mn=(11x+3) (1) Relaciones métricas en QCD 
(producto de catetos) 
Reemplazamos (1) en (11) ab=12(h) 
0048) 48=12h 
x=6 
CLAVE (E) a MEN 
Ml | _ CLAVE 
PROBLEMA N.* 30 
En un trapecio ABCD (BC// AD), PROBLEMA N.? 31 
mx BAD+m < CDA=90", En el gráfico mostrado, si AB=Y/5, BC=AQ y 
(AB)(CD)=48, BO=AD, calcule CD, 
AD-BC=12. - 
Calcule la altura de dicho trapecio. A) /5 E 
B) 2/5 B 
A) 3 B) 4 06 o /10 
D) 8 E) 5 D) 5 
Resolución E) ds a Q A . 
Nos piden Á 
Resolución E 
Nos piden CD=x 
 
 
ABCO: es paralelogramo 
=> Ca=AB y 4AQ=BC 
 
 
 
40
En 2 4BCD: Teorema de Pitágoras 
(Boy? =0 +x*= 5 +b* 
> a+x=5+b? (1) 
E. ABO: Teorema de Pitágoras 
2 
b?i=0t+ 45 
> bi=a0+5 (11) 
De (1)+411) 
An=s + l 
_Cuwve (E) 
PROBLEMA N.”* 32 
En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. 
SiBH=2 y HC=8, calcule PH. 
 
 
BH c 
p 
A D 
A) 6 B) 4 c) 442 
D) 5 E) 8 
RELACIONES MÉTRICAS 
 
 
Resolución 
Nos piden PH=x 
B3H 8 E 
A 
Xx 
10 P 
cm 
nl 
2420 8 D 
Prolongamos HP hasta Q 
Es, APD: Por teorema (altura al cuadrado) 
m?=2x8 => m=4 
Además 
BA=HQ 
10=x+4 
x=6 
_Cuave 
PROBLEMA N.”? 33 
Según el gráfico, 3(4M)=2(NC). Calcule — 
 
 
A) y6 B) y6 c) 246 3 2 
o) 6 E) 31 
41
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Nos piden e 
DC 
 
 
A 2n M "N 3n C 
Pb — 
 
 
 
Por dato 
AM 2 
34M) =21N — =-_ (AM)=2(NC) —= NE 3 
Recuerde 
x2=0m 
he a ——— 
Por la observación 
. (AB)"=(0)(2n) (1) 
e (CD)*=(0)(3n) (11) 
Luego, (1)-<(11) 
(48 _ dí) 
(co 46H) 
 
aB_ [2 J6 
co 3 3 
_ CLAVE (A) 
42 
PROBLEMA N.? 34 
Según el gráfico, NC=4(AM)=4, BH=3W2. 
Calcule MA. 
A) 6 B 
B) 4 
Cc) 5 
D) 246 
E) 34/2 AM Ho N € 
 
Resolución 
Nos piden MN 
 
 
TBQH es un rectángulo de centro O 
=> TO=00 
En el trapecio rectángulo MTQN 
OH es base media 
=> MH=HN 
Por relaciones métricas en Ea ABC 
(altura al cuadrado) 
3 
(342) =(0+1)0+4) 
=> l=2 
MN=4 
_Cuave (B)
y RELACIONES MÉTRICAS 
PROBLEMA N.? 35 i PROBLEMA N.* 36 
En el gráfico, ABCD es un cuadrado, CM=3 Y Según el gráfico, AB-AH=5, HC=11. 
BC=3. Calcule DN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule AH. 
B C B 
M 
1 
A H E 
A D ÑN 
A) 20 B) 25 c) 18 
A) 4 B) 6 Cc) 442 D) 30 E) 27 
D) 343 EJ 443 
Resolución 
Resolución Nos piden AH=x 
Nos piden DN =x 3 
B 9 C 
x+5 
3 
M h 
> A x H 11 € 
6 
Dl Xx 
A 9 D ÑN CRE 
* Dato: A8-4H=5 => 4AB=x+5 
Por dato: ABCD es un cuadrado Por relaciones métricas en Es. ABC 
— AB=AD=CD=BC=9 (cateto elevado al cuadrado) 
Por relaciones métricas en ta AMN lx+5)? =(x+11)x 
(altura elevada al cuadrado) , 
A +25 +Ax)15)= A +11x 
6*=(9)(x) 
ez s. x=25 
_ CLAVE (A) _ CLAVE 
43
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 37 Por teorema en circunferencias tangentes exte- 
Según el gráfico, A, B y C son puntos de tangen- — Mores: m<ACB=90* 
cia. Calcule (AC)*+(80)?. 
Teorema de Pitágoras 
2 
ABC; (acy +(80)? = (4,3) 
(ACP +(BC)? =48 
 
_ CLAVE (0) 
A] 36 B) 24 C) 48 
D) 40 E) 32 PROBLEMA N.” 38 
Según el gráfico, T es punto de tangencia. 
Resolución AB 
Calcule —-. 
Nos piden (AC)*+(BCj? Sar 
A) 3/2 
B) 2/3 
c) 1/2 
D) 1 
E) 2 T 
 
 
Recuerde Resolución 
SiA, By Eson puntos de tangencia 
Nos piden 28 
a 
 
 
 
De la observación 
AB=24/2x6 =443 
 44
e... 
Por relaciones métricas en Es. ABC 
(cateto elevado al cuadrado) 
(AB)?=bm (1) 
Teorema de la tangente 
(AT)é=bm (11) 
(1) (11) 
(48 _ 8% 
(AT? Bm 
AB 4 
AT 
Cc Lave (D) 
PROBLEMA N.” 39 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, las 
medianas CM y BN son perpendiculares. 
Si AC=6v/2, calcule AB. 
A) 6/2 B) 446 c) 343 
D) 246 E) 44/3 
Resolución 
Nos piden 4B=x 
 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
 
Recuerde 
A _—d—Á 
Mediana relativa a la hipotenusa 
Por la observación 
BN=34/2 
Se observa que G es baricentro del a. ABC 
=> BG=2(GN) y CG=2(GM) 
Por relaciones métricas en Es. 
mec: (2/2) =n(2n) > n=2 
Por teorema de Pitágoras 
2 
BMBG: a =22+ (2/2) => a=243 
AB=443 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 40 
Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, AM=3 y 
DM=2. Calcule MC, 
A) 542 
B) 442 ¿ 
Cc) 343 
D) 4/29 
E) 346 M D 
45
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Nos piden MC=x 
 
 
Recuerde 
 
 
Es, congruentes 
 
De la observación 
Es. AMD = Es. DCH(A-L-A) 
Bbo 
=> CH=MD=2 y DH=AM=3 
En Es, MCH: Teorema de Pitágoras 
x2=5?42? 
x=/29 
_cuve (0) 
PROBLEMA N.” 41 
En el gráfico mostrado, si P, Q, T y L son pun- 
tos de tangencia, PT=8 y AL=15, calcule AP. 
46 
> 
Le 
A) 16 
8) 20 
Cc 12 
Dj 17 
E) 18 
Resolución 
Nos piden AP=x 
 
Por teorema de la tangente 
€, 8%=xm 
€ 15%=x(x-m) | 
225+64=x? => x?=289 
_CLavE 
x=17 
PROBLEMA N.? 42 
En el gráfico mostrado, si mAc=3(m6D), CcQ=9 
y OQ=4, calcule A. 
Cc 
A) 8 
BJ 2413 NN 
Cc) 6 A B 
D) 9 Y 
EJ 245 D
a Ai RELACIONES MÉTRICAS 
Resolución Resolución 
Nos piden R Nas piden EH=x 
 
 
AI << B 
 
Es, AEB: Teorema del producto de catetos 
 
Rm=6x (1) 
Por ángulo interior en la circunferencia 
£': Por teorema de la tangente 
301+01 los 
3?=Rm (11) mx AQU= 3 = 20 
 
Entonces, sededuce A0QD:isósceles(OQ=0D=4) pep) y (11) 
Por teorema de cuerdas 6x=3* 
(R+41R—4)=9x4 “ x=3/f2 
R?-16=36 _ CLAVE (E) 
R=2413 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 44 
En el gráfico mostrado, si AH=4 y HC=3, 
calcule BC. 
PROBLEMA N.”? 43 
En el gráfico mostrado, Tes punto de tangencia, 
AB=6 y TE=3. Calcule EH. 
 A) 5/2 B) 3 
Cc) 2 
D) 6/5 A) /21 8) 435 Cc) 247 
E) 3/2 D) 443 E) 246 
47
 
 
 
 
 
 
LUMBRERAS EDITORES A 
Resolución Resolución 
Nos piden BC=x | Nos piden AC 
Por dato: G es baricentro de AABC 
AZ BG= 
Trazamos B5 1 AC + BS=00M] 
=> m«<5B8C=m-<BPA=90%-0 _ 
BM: Mediana relativa a la hipotenusa 
Es. BPA: BM=MP=AM BM=AM=MC=3a 
Es. APH: AS=5H=2 (teorema de los puntos medios) 
ES ABC: Teorema (cateto al cuadrado) ¿aC teorema dela meclana 
2_ 2 
FER) (AG? +16cy =2107 + L£2F 
x=/35 
CLAVE (4G)*+(6C)?=200* 
— 20 
o=1 
PROBLEMA N.* 45 a AC=6 
Según el gráfico, G es baricentro de la región 
triangular ABC, si (AG)?+[Gc)?=20. _Cuave (E) 
Calcule AC, 
B 
PROBLEMA N.”* 46 
6 En un triángulo ABC, 4B=2, BC=5 y AC=6. 
Calcule la longitud de la bisectriz exterior BE. 
A E 
A) 5 B) 9 Cc) 8 A) /30 B) 247 Cc) 442 
D) 4 E) 6 D) /34 E) 245 
48
Resolución 
Nos piden BE=x 
 
 
 
Recuerde 
La bisectriz exterjor se inclina hacia 
el lado menor del triángulo. 
 
Como 48<BC 
=> E estáen la prolongación de CA 
AABC: Teorema de la bisectriz exterior 
EE _3 > EC=Sk y EA=2k 
EA 2 
Luego, AC=5k-2k=6 —= k=2 
AABC: Teorema del cálculo de la bisectriz exterior 
x"=(10)(4)-(21(5) 
x=/30 
_ CLAVE 
PROBLEMA MN.” 47 
Según el gráfico, BC=2, CD=3 y BD=4. 
Calcule AB. 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
IN 3 B) y15 0) y15 
a 2 3 
o 25 e AS 
3 4 
Resolución 
Nos piden AB=h 
 
 
ABCOD (cálculo de la altura) 
Por teorema de Herón 
24+3+4_9 
Pp 
0]
 
_cuave (A) 
PROBLEMA N.” 48 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en 
el cual se traza la ceviana BO, tal que AQ=6, 
QC=2 y BQ=3, calcule BC. 
A) 4 
D) /10 
e) 6 c) 2v7 
E) 242 
49
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Nos piden BC=x 
 
 
 
Se traza BM 
Mediana relativa a la 
hipotenusa 
== BM=AM=MCE=4 
 
Teorema de la mediana 
ABMC 
2 
ela 
x?=10 
x=/10 
_Ciave(D) 
PROBLEMA N.” 49 
Según el gráfico, AB=7, BC=9 y MC=8. 
Calcule 4M, 
A) 2/6 B 
Be) 346 
Cc) 442 
DJ) 642 
E) 543 A c 
50 
 
 
8 
Resolución 
Nos piden AM=x 
B 
», 9 
A n H m E 
Por teorema de proyecciones 
AAMC 
2 8*-x=m*-n? (1) 
DMABC 
9-7=m*-p? (11) 
(1)=(10) 
8?-y?*=9*-7? 
7=9*-g?4x? 
49=17+x? 
x=44/2 
_Cuave (€) 
PROBLEMA N.? 50 
Según el gráfico, AB=BC=6 y BM=4. 
Calcule (AM)(MC). 
A) 24/5 B 
B) 442 
Cc) 246 
D) 15 Á M E 
E) 20
Resolución 
Nos piden (AMHKMC)=m-n 
 
 
¿A ABC: Teorema de Stewart 
6n +6'm=4 *[m+n)+mnim +n) 
Am mom 
m-n=20 
_Crave (E) 
PROBLEMA N.? 51 
Según el gráfico, Tes punto de tangencia, BC=6. 
Calcule TE. 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
 
 
5e observa que el AABC es isósceles. 
Teorema de la tangente 
x)*=am (1) 
En AMABC: Teorema de Euclides 
e =%+2% 20m (11 
Reemplazamos (1) en (11) 
2x*=36 
x=34/2 
_ CLAVE (O) 
PROBLEMA N.” 52 
Según el gráfico, (AB)JBC)=24, QH=2/2. 
Calcule BH, 
A] 6 LN 
e A C) 4 
D) 5 
E) 342 
51
LUMBRERAS EDITORES o ie 
Resolución ¡ Resolución 
Nos piden BH=x Nos piden MD 
B B M a C 
618 
b 
y Xx 
 
A ¡|]— a ——D 
> NY 
Dato: ab=20 y bi-a*=9 
 
¿AAMD (Teorema de Euclides) 
Dato: (4B)(8C)=24 a?=x*+b*-2b0 (1) 
E. E 
Es. 40€ (por relaciones métricas en ka.) Reemplazamos el dato en (1) 
2 ba =x? + b?-a? 
Ma al a 
(2/2) =mn =3 mn=8 20 9 
40=x? +9 
AJABC: Teorema del cálculo de la bisectriz 
x=+/31 
x* =ab—mn —3 x*=16 cuave (E) 
ol AS 
x=4 
_ CLAVE O PROBLEMA N.” 54 
Según el gráfico, PT=7, (AB)(BC)=24 (Tes punto 
de tangencia). Calcule BP. 
PROBLEMA N.? 53 
En el lado BC de un rectángulo ABCD, se ubica 
el punto M, tal que AM=MC. 
Si (AM)J(AD)=20 y (AD)?-(AM)*=9, 
 
 
calcule MD. 
A) /26 B) 247 c) y/29 A) 6 B) 4 Cc) 5 
D) 4/41 E) 431 D) 8 E) 642 
52
Resolución 
Nos piden BP=x 
Dato: ab=24 
 
 
 
Teorema del cálculo de la bisectriz exterior. 
AABC 
x“=mn-ab 
Por dato: ab=24 
2 => x*=mn-24 (1) 
Teorema de la tangente 
7%=mn (11) 
(11) en (1) 
x?=49-24=25 
x=5 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 55 
En el gráfico mostrado, CD=2(BC)=6 y 
(Ac)*+(AD)?=116. Calcule AB. 
BJ 6y2 8 
RELACIONES MÉTRICAS 
A) 9 E 
Q 
08 
D) 7 
E) 10 D 
Resolución 
Nos piden AB=x 
Dato: a*+b*=116 
 
Trazamos AM, tal que CM=3 
ABCA=A ACM 
(L.A.L) 
> AM=x 
AJMACD: Teorema del cálculo de la mediana 
6? 
ar+hb=2x 4 — 
A 2 116 
98=2x? 
x=7 
_ CLAVE (D) 
53
Lu MBRERAS EDITORES pa 
PROBLEMA N.* 56 - PROBLEMA N.? 57 
Del gráfico mostrado, calcule (48)*+(8C)?. Se tiene un paralelogramo ABCD; AB=3, AD=5 
y AC=7, Calcule m < BAD. 
A) 144 
'O 
B) 288 a e E a E ri 
C) 168 ) 3 
D) 224 YB 
A AA A Resolución 
E) 216 A A _A . 
Nos piden m-< B4D=x 
Resolución 
Nos piden (48)?+(8C)*=x?+ y? 
 
Como ABCOD es paralelogramo 
=> mx*xADC=180*=x 
 
AACD: teorema de cosenos 
7?=3*4+5?-2(3)(5)cos(180%=x) 
AABC: teorema del cálculo de la mediana 1 
cos(180%—x) = 5 
2 
2,,2_»,2, (8) 
EE 180% —x=1209 
¿. x=60% 
ee + y? =2l0*+R?) (1) a 
ta, POB 
R*+a*=12 (11) PROBLEMA N.* 58 
Las bases de un trapecio miden 13 y 52; los 
De (1) y (11) lados no paralelos 25 y 40. Calcule la longitud 
x+y?=2(144) de su altura. 
x?+y?=288 
A) 12 B) 24 C) 36 
_Cuave (B) D) 18 E) 26
Resolución 
Nos piden h 
B 13 É 
 
 
 
Trazamos CE // AB, tal que ABCE: paralelogramo 
— AE=13 y CE=25 
A ECD: teorema de Heron 
25+40439 
Pastos 352 
NTE) == 27121113 + dh ISI BABA 
h=24 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.” 59 
Según el gráfico, P es punto medio de AC, 
AB=10 y AC=14. Calcule OP. 
Aj 1 B 
B) 2 
Cc) 3 > 
sd IZ ÓS 
E) v2 A P e 
RELACIONES MÉTRICAS 
Resolución 
Nos piden OP 
 
Teorema de Pitágoras 
Es. AOB 
a?+R?=(10)* (1) 
Teorema de la mediana 
AADC 
2 
rm 2 A (11) 
() en (11) 
100=2x?+98 
x=1 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 60 
Según el gráfico, AM=MC, (8C)?—(48)?=144. 
Calcule QM. 
A) 12 B 
B) 6 
c) 9 Q 
D) 8 
E) 10 A -—M C 
 
55
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Nos piden QM=x 
Dato: a*-b*=144 
 
 
 
(Relaciones métricas en Es. cateto al cuadrado) 
E AQM 
x*=m (1) 
Por teorema de proyecciones 
AABC 
a? -b=(0+m)?-(0m)? 
Por dato: a*-b*=144 
— 144=P + +2m- + 2 mi) 
144 =4m/ 
23 ml=36 (11) 
(1) en (1) 
Cuave (B) 
56 
- 
PROBLEMA N.? 61 
En el gráfico mostrado, si AM=MC, AQ=8 y 
(48)+(MQy =100, calcule AC. 
A) 8 B 
B) 6 
Cc) 12 
D) 342 2 
E) 9 Á M € 
 
Resolución 
Nos piden AC=x 
Dato: a?+b*=100 
 
 
 
Se deduce m < ABC=390% 
Xx 
ES. ABC: BM 3 (por teorema mediana relativa 
ala hipotenusa) 
Por teorema de proyecciones 
<TABM 
2 
(1) =m*-p? (1) 
<TAQM 
8*-b?=m*-p? (11)
De (1)=(11) 
_CLAave (5 
PROBLEMA N.? 62 
En el gráfico mostrado, ABCD es un romboide; 
BM=MC, AM=10, MD=8 y DH=2. Calcule AD. 
B) 4,5 
Cc) 6 
D) 9 
E) 8 
 
Resolución 
Nos piden AD=2x 
 
 
 
E 
A FO OD H 
Háúá—á/|ál— 42M = 24 
Trazamos MF L AD 
== MC=FH=x; además FD=x-2 y AF=x+2 
RELACIONES MÉTRICAS 
AJAMOD: teorema de proyecciones 
10*-8?*=(x+2)?-(x-2) 
36=4-x-2 
2x=9 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 63 
En la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo 
ABC, se ubican los puntos M y N (Me AN), tal 
que AM=MN=NC=4. Calcule (BM)*+(8N)?. 
A) 80 B) 64 c) 72 
D) 84 E) 56 
Resolución 
Nos piden (8M)?+(8NP=x*+y? 
 
B 
x Ay 
A M202N C 
dá á 4 
BQ: Mediana relativa a la hipotenusa 
BQ=A0=0C=6 
ABMN [teorema de la mediana) 
2 
x* 4 y* =216) = 
x*+y*=80 
_Clave 
57
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 64 
En un triángulo, las longitudes de sus lados son 
2, Ay 4/14. Calcule la longitud de la menor 
altura. 
A) Y7 y Y oy 
3 2 
2 3 
Resolución 
Nos piden h 
h: longitud de la menor altura 
 
 
Enel A4ABC se cumple 
a =/2"+/15* 
O sea se cumple el teorema de Pitágoras 
=> mx ABC=908 
 
Observación 
La menor altura es relativa 
al lado mayor. 
 
58 
ES ABC (por relaciones métricas en ls. producto 
de catetos) 
(V2)(/14)=4-h 
pr 
2 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.” 65 
Según el gráfico, calcule AM. 
 
y e B) 4 0 5 
D) Y13 A o 
5 
Resolución 
Nos piden AM=x 
 
0,A=0,M=3 por ser radios de , 
0,A=0,0,=5 porser radios de Y, 
AO¡A0, (por teorema de Stewart) 
5 x34+3%x2=x (5)42x3x5 
754+18=5x?+30 
63=5x* 
63 
= bo 
5 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.” 66 
Según el gráfico, AB=8, BC=6 y AC=7. 
Calcule BM, 
A) 6 B 
B) 5 
Cc) sy2 
D) 443 
E) 4/6 A mM € 
Resolución 
Nos piden BM=x 
 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
¿AMAEC (teorema de la bisectriz interior) 
aM_£_4 
MC 6 3 
> ÁAM=4 y MC=3 
¿ABC (teorema del cálculo de la bisectriz) 
x?=8x6-4x3 
x=b 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.?* 67 
En un triángulo ABC; AB=21, BC=35 y AC=24, 
Calcule la longitud de la bisectriz interior rela- 
tiva a AC. 
A) 104/2 
B) 1046 
c) 543 
D) 104/7 
E) 546 
Resolución 
Nos piden BP=x 
 
B 
q) OL 
21 ; 35 
Á 3 p 15 E 
24 
59
 
 
En AABC AAMD: teorema de Stewart 
Por teorema de la bisectriz interior PRD IZA 
AP_21_3k 
PC 35 5k “. x=19 
AC=24=3k+5k —= k=3 _ CLAVE 
AP=9 y PC=15 
A ABC: Teorema del cálculo de la bisectriz interior PROBLEMA N.* 69 
x2=21x35-9x15 En el gráfico mostrado, si Tes punto de tangen- 
E cia y (AB)?-(8C)?=25,calcule AT. 
_Cuave (B) 
A) 3 
B) 4 
Cc) 5 
PROBLEMA N.” 68 Dé 
En un rombo ABCD; en BC se ubica el punto M, Ea 
tal que BM=3, MC=2 y AM=7. Calcule MD, / 
A) 8 BJ 5 a 422 Resolución 
D) /19 E) 429 Nos piden AT=x 
Dato: a?*-b*=25 
Resolución B 
Nos piden MD=x 
B 3 M 2 C Es Md b 
 
— AABC: teorema de proyecciones 
Trazamos MP//AB, tal que C7IABMP: parale- 
2 a 
logramo. => a-b=m—r 
=> AP=3 y PM=5 25=m*-=r? (1) 
60
Ea. AOT: teorema de Pitágoras 
El > mi=ri+x? 
mi-r?=x? (11) 
De (1)=(11) 
25=x? 
x=5 
_Cuave (O) 
PROBLEMA N.? 70 
En el gráfico mostrado, si BC=10 y AM=MB=3, 
calcule OM. 
 
a) /39 8) /41 Cc) /43 
D) 5 E) 6 
Resolución 
Nos piden OM=x 
 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
AJAOB: teorema del cálculo de la mediana 
2 
> rnim=24+— (1) 
En, BOC 
r?+m?=10* (11) 
De (1)=(11) 
2 
2x? «E =10 
2x? +18=100 
2x* =82 
x=v41 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 71 
Según el gráfico, MB=BN=3, mMN =90>. 
Calcule (AB)?+(8C)*. 
PEN 
A E 
A) 48 B) 54 C) 24 
D) 36 E) 18/6 
61
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Nos piden (A48)*+(8Cy? 
 
 
E ; 3 E. 
A O E 
—— 3/2 2 — 32 
Como MB=BN => OM _L MN 
En AABC (teorema de la mediana) 
(6/2 
2 
(487 +(8cY =2(3) + 
(48)+(8C)?=54 
eu 
PROBLEMA N.”* 72 
Según el gráfico, BM es mediana, AF es bisec- 
triz, AB=6 y BC=8. Calcule BM. 
 
B 
E 
A M € 
A) /14 B) v7 c) /81 
D) /24 E) Ya2 
62 
A) 342 
c) d6 
D)] 5 
EJ 4 
Resolución 
Nos piden BM=x 
 
 
 
AABM: A5 es altura y bisectriz 
=> AMABM es isósceles 
AM=AB=6 
Además: BM es mediana (por dato) 
=> ÁAM=MC=6 
AABC: teorema del cálculo de la mediana 
tesis E 
2 
x=v14 
_CLavE 
NIVEL INTERMEDIO 
PROBLEMA N.* 73 
Según el gráfico, MO=2 y QH=3. Calcule LQ. 
BJ 246 
 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
Resolución 
Nos piden LA =x 
 
 
 
 
A) 2+421 8) 27 Cc) 4/7 
 
 
 
 
 
 
 
 
D) 3+v21 E) 4+v47 
Resolución 
Nos piden PIN 
r 
y » 
Recuerde 45 3 
Teorema en la circunferencia. L 
p Q ÑN 3 A] 
OR 5 2 2 
sb H 45* 
O 3 HO B 
+ B 4 2 i 
Por la observación Observación del teorema de cuerdas 
LQO=0QN=x y FH=HM=5 
(MH)?=(AH)(HB) 
Luego, por el teorema de cuerdas O sea 
%:x=218) 4?=(AH)(2) 
x=4 AH=8 —> R=5 
_ CLAVE (E) 
ESOPO [teorema de Pitágoras) 
(pa? =5*-2? => PQ=y21 
PROBLEMA N.” 74 PN=/21+3 
úl 5 =NH=2, T es punto de 
ici cando LS _Ciave (D) 
63
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 75 
En el gráfico mostrado; si OABCes un rectángulo, 
AS=2 y R=4, calcule CT. 
5 
 
 
* 
A) V2/2 
D) Y2 
B) 1,55 Cc) 3 
E) 1 
Resolución 
Nos piden CT=x 
5 
 
 
En EJOABC: OB=AC=4 
además 
AP=PC=0P=PB=2 
Por teorema de cuerdas 
(x+2)4=2x6 
x=1 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.* 76 
En el gráfico mostrado, A y B son puntos de tan- 
gencia, mámMD =140*. Calcule x. 
A) 709 
B) 609 
C) 502 
D) 409 
E) 809 
 
Resolución 
Nos piden x 
 
 
Por teorema de la tangente 
€.: a*=(PM)(PQ) (1) 
€,: b*=(PMNPA) (11) 
De (1) y (11) 
a?t=b* == 0=b
AAPE: isósceles | 
Además como 
mBMD=140% => m-<ABP=70* 
AAPB 
709+70%+x=1800 
x=400 
_cuave (D) 
PROBLEMA N.* 77 
Según el gráfico, BC=3 y CO=2(4B)=2. 
Calcule ED. 
A) 4 
B) 3 
Cc) 342 
D) 442 
EJ 6 E 
Resolución 
Nos piden £ED=x 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
CAMNB8 y (ABNOC están inscritos 
-3 mxicNB=m=x MAB=0 
y m«XBDC=m«<BNC=0t 
MAAEDE es inscriptible 
Por teorema de las secantes 
(ECHCD)=(AC)(CB) 
(x+2)(2)=4(3) 
x=4 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.?* 78 
Según el gráfico, F y Cson puntos de tangencia y 
AE=4(ED)=2(CD)=4. Calcule BF. 
A) 4 B 
4 
B) 45 £ 
3 
Cc) 545 € 
D 
D) 5 E 
E) 24 
Resolución 
Nos piden BF=x 
 65
y m<XxMCB=m=xMDC=0 
Por ángulos alternos internos 
EF //CB 
En F,: teorema de la tangente 
(AFI?=5x4 > AF=2W3 
Como EF // BC 
Por corolario de Thales 
AF AE 245 4 
—=— 054 —=- 
FB EC xXx 3 
345 
x=— 
2 
_ CLAVE (0) 
twitter.com/calapenshko 
PROBLEMA N.” 79 
Según el gráfico; AB es diámetro, AD=4 y 
08=2. Calcule PO. 
 
Pp 
A D a B 
A) 4 B) 342 Cc) 243 
D) 6 E) 442 
66 
CAFMDE: inscrito —> m=x MDC=m=<xEFM=98. Resolución 
Nos piden PQ=x 
 
 
Observamos que (AHDOP es inscriptible 
=> m=xDPQ0=m=xDH0O=45% 
Por observación del teorema de cuerdas 
(PQ)*=(AQ)(08) 
x?=(x+4)(2) 
Por aspa simple 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 80 
Según el gráfico; BQ=3(00)=9, PN=5. 
Calcule NC, 
 
B A) 3 Ñ 
B) 6 S 
c) 2 
D) 4 
E) 443 A P Ñ €
Resolución 
Nos piden NC=x 
 
 
Se observa que ABONP es inscriptible. 
Por teorema de secantes 
(BC]CO)=(PC)NC) 
123=(x+5)x 
Luego, por aspa simple 
x2+5x-36=0 
X 9 
X ll 
x=4 
_CLavE 
PROBLEMA N.” 81 
En el gráfico mostrado, si T es punto de tangen- 
cia, calcule 0/6. 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
A) 1/2 B) 2 c) Ya 
D) 1/3 Ej 1 
Resolución 
Nos piden a 0 
 
Por teorema de la tangente 
€: (PTJ*=mn (1) 
€: (PTI =ab (11) 
De (1) y (11) 
ab=mn => CABCD: inscriptible 
(por teorema de la secante) 
AALSD: inscrito 
m=<PSD=m=< LAP=iw 
DABCD: m < BCD=m < PAB 
B+ Í =00+ 1Í 
a/0=1 
_Cuave (E) 
67
 
 
LUMBRERAS EDITORES _—_— _______—— is 
PROBLEMA N.? 82 ES ABC: teorema del producto de catetos 
En el gráfico mostrado, si R=2, MmEF=53% y ; 
rr ó xB=(30)b (FB)(8C)=34/2, calcule BG. 5% 
34/2 
x=— 
2 
_ CLAVE (O) 
A 
PROBLEMA N.” 83 
Yi 3 A En un trapecio rectángulo ABCO, recto en A y B, 
A) YA B) /2 a — se ubica M en AB, tal que m < BOM=m < MCD 
A S y m<cDM=m=x MDA, 
D) 43 E) 1 Si (BC)(CD)=18, calcule CM. 
Resolución A) 4 B) 3 c) 446 
Nos piden BG=x D) 342 E) 442 
Dato: a-b=3W/2 
Resolución 
Nos piden CM=x 
 
 
 
 
 
ES ALF: notable de 53%/2 
Es. ABC: corolario de Thales (FS // BC) 
A 3á Como BC//AD, 28+2a.=180% 
A > 1+9=90, en a. MCD: m-< CMD=909
Teorema de la bisectriz: CH=C8=0 
Relaciones métricas en Es MCD 
x?=ba 
Pero por dato: (BCHCD) =18 
o b 
x?=18 
x= 342 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.” 84 
Dado un cuadrante AOB, En AO, OB y AB se ubi- 
can los puntos M, P y N, respectivamente. 
5i¡ AM=1, PB=2 y OMNP es un rectángulo, cal- 
cule el radio del cuadrante. 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 442 E) 342 
Resolución 
Nos piden R=['+2 
 
 
AO=0B=1+2 
RELACIONES MÉTRICAS 
¿En E.OMN (por teorema de Pitágoras) 
4 0+1)=(0+2)* 
+A, 2+1 Ar al+ 4 
0?-26-3=0 (luego, por aspa simple) 
( -3 
( 1 
=> (=3 
R=5 
_CLAvE (0) 
PROBLEMA N.? 85 
En la prolongación de la altura 8H de un trián- 
gulo rectángulo ABC, recto en B, se ubican los 
puntos M y P, tal que Me HP y CM_LAP. 
* Si¡HM=b y MP=a, calcule BH. 
 
 
ES 
A) da? +b? y EE €c) Ja(b+a) 
D) Jbla+b) E) - 
Resolución 
Nos piden BH=x 
B 
Xx 
A A Ñn = C 
b 
M 
0 
P 
69
LUMBRERAS EDITORES 
Por relaciones métricas en la. ABC 
x2=mn (1) 
SS MHC:tana=? y AHP:tana="_ 
ñ o+b 
Igualamos 
2 A 
a+b n 
Reemplazamos (ll) en (1) 
x“=b(a+b) 
x= bla +b) 
_Ctave (D) 
PROBLEMA N.” 86 
Según el gráfico; AB=3 y DC=4. Si a1+f4=5390", 
calcule (80)*+(4C)?. 
A) 20 B 
B) 25 
C) 24 
D) 28 D é 
E) 32 
Resolución 
Nos piden (DB)?+(4c)?=x?+ y? 
 
 
 70 
- Por teorema de Pitágoras 
 
Ea. DEB: pes (am) =x? 
BEACH br =y* 
EAEB: Pd? 0 
Ex DEC: 4 =(mxay +(n+by 
25=x*+ y 
x*+y?=25 
cuave (B) 
PROBLEMA N.* 87 
En el gráfico mostrado, si (BH)(HE)=24, 
calcule CD. 
A) 3/6 B C 
B) 343 
C) 442 A UH D 
D) 6 
E) 246 E 
 
Resolución 
Nos piden CD=x 
Dato: ob=24 
 
 
n
p
"
 
 
 €
Se observa que BC//AD —> mAB=mCD 
CAABCO: trapecio isósceles 
=> AH=5D=m 
Es, HCD: Cateto al cuadrado 
x*=n(m) (1) 
En la €: Teorema de cuerdas 
ab=mn (11) 
De (1) y (11) 
x?=ab 
a 
24 (dato) 
x= 2/6 
_CLave 
 
 
PROBLEMA N.” 88 
En el gráfico mostrado, si AB=9 y BC=1, 
calcule AD. 
B 
A) 24/10 8) 3/10 Cc) 5410 
D) 6/10 E) 44/10 
RELACIONES MÉTRICAS 
Resolución 
Nos piden AD=x 
 
 
Ex, ACE: A_2 — x=91 
DE 1 
En Ox: Teorema de la secante 
(100190) =(4H)(AP) (1) 
Ea PAC: Cateto al cuadrado 
(10)?=(AH)(AP) (11) 
De (1) y (11) 
900*=100 => (= 
x=9/40) 
3 
x=34/10 
JT 
_Ciave 
PROBLEMA N.” 89 
En un triángulorectángulo ABC, recto en B, 
en BC se ubica su punto medio M, luego se 
traza MH_LAC (H en AC), si AB=6, calcule 
(AH) (HOJ. 
A) 6 
D) 6 
o 24 
E) 12 
B) 36 
71
LUMBRERAS EDITORES E 
Resolución Resolución 
Nos piden (4H)?-(HC)?=0?-b? AS os piden (4H)?-(HC)'=0*-—b Nos pi no 
y 
 
 
 
Trazamos BS_LAC y como BM=MC 
> SH=HC=b y AS=a=b Trazamos TH LAO y como AM=MT 
=> AP=PH=x y HO=0-x 
Es, ABC: por teorema [cateto al cuadrado) 
6*=(a+b)la=b) Es. ATO: por teorema (cateto al cuadrado) 
a?-b?*=36 R?=(a+x)[a—x) 
_ CLAVE (B) R?=0?—x? (1) 
Es. POQ: teorema de Pitágoras 
PROBLEMA N.* 
. at=y*4+R? (11) 
En el gráfico mostrado; si T y Q son puntos de 
tangencia, además AM=/MMT. Calcule AP/PQ, 
De (1)+(11) 
Pe l 
pra 
O=y*-x? > x=y 
 
A) Y2 B) 1 c) v2/2 
D) 2 E) /3 cuave (B)
PROBLEMA N.? 91 
En el gráfico mostrado; si 4B=4 y BC=3, 
calcule CD. 
A) 421 A 
B) 5 
Cc) 23 
D) 442 e 
E) 246 
Resolución 
Nos piden CD=x 
 
E PDO: por teorema (altura al cuadrado) 
x*=mn (1 
Es AQC - Ea PBC 
3 nm 
tant === 
m 7? 
mn=21 (11) 
De (1) y (11) 
x*=21 
x=“WV/21 
_CLavE 
RELACIONES MÉTRICAS 
PROBLEMA MN.” 92 
Según el gráfico, QB=2(MH). Calcule x. 
A) 149 
B) 150 
C) 30* 
D) 53%/2 
E) 8% 
 
 
Resolución 
Nos piden x 
 
 
Por relaciones métricas en la circunferencia 
(MHI=(AHJ(H8) => 4m*%=ab (1) 
Por relaciones métricas en Es QHB 
(producto de catetos) 
(GH)(HB)=(QB)(EH) 
O sea 
ab=4m(EH) (11) 
(H en (110) 
a4m*=4m(EH) 
—= EH=m 
=> Ex 0HB es notable de 15* y 75% 
x=150 
_ CLAVE 
73
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 93 
Según el gráfico, la circunferencia está inscrita. 
en el trapecio rectángulo, CM=1 y MD=9. 
Calcule AD. 
 
 
 
 
Aj 14 B Cc 
B) 9 mM 
c) 10 
D) 12 
E) 443 A D 
Resolución 
Nos piden AD 
B c 
HTA, 
O Bal 
M 
” A, 
EN 
NM (L a 
A R N 3 D 
Por teorema en la circunferencia 
cÓ y DO son bisectrices 
BC//AD => 20+20=1809 
—= B4+0=90* 
Relaciones métricas en COD 
R?=(11(9) => R=3 
Teorema en circunferencia 
DN=DM=9 
74 
mm. 
Como AN=R 
dd PAD=T 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.? 94 
Según el gráfico, T es punto de tangencia, 
(40)(08)=72. Calcule R. 
A) 6 
B) 342 
Cc) 346 
D) 246 
EJ 8 
 
Resolución 
Nos piden A 
 
Del dato: a-b=72 
Por teorema del producto de dos lados 
o-b=h(2R), pero h=R 
=> 72=2R? 
R=6 
_ CLAVE (A)
PROBLEMA N.” 95 
En un triángulo ABC; AB=5, BC=7 y AC=6,- 
se traza la altura 8H y la bisectriz interior BD. 
Calcule HD. 
 
 
 
3 6 5 
A) - Bj) — o —- 
2 7 ) 6 
a ? 
DJ — E) — 
5 2 
Resolución 
Nos piden HD 
B 
B 
5 7 
A 1 H D € 
+——— 5k + 7k 
! b=— 
AJABC (por teorema de la bisectriz interior) 
AD_5 
> AD=5k y DC=7k 
AC=12k=6 => k=> 
O sea AD=> 
AABC (por teorema de Euclides) 
7=5?4+6*-2(6)(4H) 
12(4H)=12 > AH=1 
RELACIONES MÉTRICAS 
HO=AD-AH=>-1 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 96 
Se tienen dos circunferencias tangentes exterio- 
res de centros A y B, ambas son tangentes inte- 
riores a una tercera circunferencia de centro C. 
Calcule la distancia de C hacia AB, si los radios 
de las circunferencias de centros A, B y € miden 
2,3 y9respectivamente. 
10 
a 246 a*ge as 
5 5 3 
8 12 
D) —y/6 E) —45 ) 3W 135 
Resolución 
Nos piden h 
 
Por teorema (posiciones relativas entre dos cir- 
cunferencias) 
* MA y € son colineales 
* N,ByC son colineales 
* A,Ty8 son colineales 
75
Lum BRERAS EDITORES a 
A ABC (teorema del cálculo de la altura - Herón) A004B (teorema de Euclides) 
5+7+b 
7 =9 RR + (R=r)?-2Rr = 
O=R*+r?-2Rr-2Rr 
h= ES MINO 5) = VI X3XA 
Por fórmula general 
h= 6 h . 
R?-ARr+r*=0 
_ CLAVE ” 
port yi6r am : 
 
 
 
 
 
 
2 
PROBLEMA N.* 97 
. _ ] ar+2/3r 
Según el gráfico, M y T son puntos de tangencia. R A a 
Calcule E 
] R_2443 
E! 
A) 2+v2 6 O) 
LAVE 
B) y2 = . 
O) 42+1 
D) 2+43 
PROBLEMA N.? 98 
E) B+1 ; : 
Según el gráfico, P, T y Q son puntos de tangen- 
cia, AB=5 y BC=12. Calcule PQ. 
Resolución 
Nos piden E P 
F » 
B 
r 
QUA E 
6 17 
A) 8 a =/B q == 
13 13 
15 5 
D —426 El — 426 ) 326 ) 3 V26 76
ú RELACIONES MÉTRICAS 
Resolución Ay 22 Ñ 
Nos piden PQ=x 
B) 5 
Cc) 3 
>: 
E) 4 
Resolución 
Nos piden r 
Dato: a*-b*=32 
 
 
 
 
 
 
Recordar que CP=C0=P 
P: semiperimetro de la región ABC b 
O sea 
po 5+13+12_ 5 
2 
APCO (teorema de cosenos) 
x* =(15)* +(15)* -2(15)(15)c050 
12 12 Se observa que <OAPCO: trapezoide simétrico 
2058 2058 (E), sg== pili: 
13 13 > PQLAC 
13-12 
ia 
13 <>ABCO: Por teorema 
ya a+P=b?* 46? 
13 
2 42,2. pg _Clave Poets? 
del dato: 32 
r*=36-32 
PROBLEMA N.” 99 : 
f= 
En el gráfico mostrado, si (aB?-(80c)?=32, O) 
calcule r. _CLAVE :
HUMBRERAS ESITORES 
PROBLEMA N.” 100 
En un cuadrante AOB, de centro O en OB y en 
el arco AB, se ubican los puntos D y R, de modo 
que la mediatriz de DR contiene al punto A. 
Si AR=4 y DR=2, calcule la distancia de O al 
punto medio de DR. 
A) v7 8) /14 c) Y5 
D) yY14 E) Y7 
2 2 
Resolución 
Nos piden OM=x 
 
 
Por teorema de la mediatriz AD=AR=4 
ADOR:; teorema del cálculo de la mediana 
2 
Preta (1) 
Es. AOD 
4 =a?+p* (11) 
De (1) y (11) 
42=2x%+2 
. x=? 
78 
PROBLEMA N.* 101 
Los lados no paralelos de un trapecio miden 
9 y 13; sus bases miden 6 y 16. Calcule la dis- 
tancia entre los puntos medios de las bases. 
A) 10 
B) 11 
c) 12 
D) 9 
E) 11,5 
Resolución 
Nos piden MN=x 
B 33M 3.C 
 
Trazamos MP//AB ABMP: paralelogramo 
> AP=3 y MP=9 
Trazamos MS//CD ¿7SMCD: paralelogramo 
=> 5D=3 y M5=13 
¿AMPS: teorema del cálculo de la mediana 
2 
Pat E 
x=10 
_ CLAVE (A)
PROBLEMA N.” 102 
En el gráfico mostrado, si (4B)(BC)=12 y 
OM=2(8M), calcule BM. 
A) 2 B 
3 ENS 0 Y3 A C 
D) /6 
E) 43/2 
Resolución 
Nos piden BM=x 
Dato: a:b=12 
 
Q 
AABC: teorema del cálculo de la bisectriz 
interior 
xi = 
«ma 
ab —mn (1) 
12 
Por teorema de cuerdas 
mn=x(2x) (10) 
De (11) y (1) 
x*=12-2x* 
x=2 
_Cuave (A) 
RELACIONES MÉTRICAS 
PROBLEMA N.” 103 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
ubica el incentro 1, tal que (AC)? (41)? (01)?=4. 
Calcule (A/C). 
A) 342 Br 46 Cc) 2 
o) 2/6 E) 4 
Resolución 
Nos piden a: b 
 
 
 
Por dato: £?-a?-b?=4 
Al y Cl: bisectrices 
Por teorema 
m-<AIC= 900 E =135* 
DAIC: (por teorema de cosenos) 
c?=a*+b?-2abcos(135%) 
20.2 12 E) 
ce —a? -b" =-2ab| — 
( 
2 
d= hb JA" 
ab=242
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 104 
Según el gráfico, A, T y Bson puntos de tangen- 
cia, PM=5, PN=7 y MN=4. Calcule PT. 
 
A 
Mm 
T 
a 
Pp N BE 
A) 4 B) 7 Cc) 443 
D) 5/6 E) 24/10 
Resolución 
Nos piden PT=x 
 
 
 r 
Observación 
Siendo T, Q y N puntos de tangencia. 
Se cumple: AT=4N=P 
p AB+BC+AC 
2 
 
80 
Por la observación 
| 54447 _ 
 PA=PB= 8 
A PMN: (teorema de Stewart) 
5%1)+7*(3)=x?(4)+3(1)(4) 
254+147=4x*+12 
x=2,/10 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.*? 105 
En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado, si 
AP(AP—2(BQ))=7, calcule (PB)?-(CDy?. 
A) 3 a 
B) 4 BA0 C 
Cc) Y7 
D) 413 
El 4 A D 
 
 
Resolución 
Nos piden (PB)?-(CD)?=0*-b* 
Dato: m*-2mn=7 
 
 
Q 
Ñ 
BAD E 
Ol 
a > b 
“N_90%-a 
Pp b b 
e HS a 
més 
Prolongamos 0B hasta H, tal que ¡ 
m< HBA=390%-a 
=> m-BHA=909 
Es BOC =Es BHA 
=> BO=HA=.n 
APBA: teorema de Euclides 
a?=b*+m*-2mn 
> a-b4+m*-2mn 
E ÁXA4A 
Fidato) 
at-b*=7 
_CLave 
PROBLEMA N.” 106 
Dada una circunferencia * inscrita en un cua- 
drado ABCD, con centro en A y radio AB, se traza 
el cuadrante BD, que interseca a Cen E y F. 
Si 48B=2, calcule EF. 
A) /6 
, 5 
2 
8 
2 
D) 419 
y d8 
a 
RELACIONES MÉTRICAS 
Resolución 
Nos piden EF=2x 
 
 
 
Como A y O son centros y EF cuerda común 
= AO _ EF (posiciones relativas en la circunfe- 
rencia) 
=> EH=HF=x 
BAEO: teorema de Euclides (m < 40£>909) 
2=1+ 2 +2[./2)y 
_Cuave (€) 
81
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 107 
Según el gráfico, AB=0 y BC=b, Calcule BD. 
 
A 
A) > B) <(0+b) c ¿(0+o) 
D) (a+)E) =(a+b) 
Resolución 
Nos piden BD =x 
 
Teorema de Ptolomeo 
DMABCO 
al +bf =(2fco537)(x) 
a+b=2(7 Jr 
5 
x= (0+b) 
82 
Mg 
- PROBLEMA N.” 108 
En un hexágono regular ABCDEF inscrito en 
una circunferencia. Sien AB se ubica P, tal que 
AP=2 y PC=4, calcule PD. 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Resolución 
Nos piden PD=x 
 
 
En el hexágono regular, el lado es igual que 
el circunradio. 
Se observa que AD es. diámetro de la 
circunferencia.
* (AAPCD [teorema de Ptolomeo) 
x(£43)=2/ +4(2£) 
10 
x=» 
Y3 
¿1043 
3 
_ CLavE (8) 
PROBLEMA N.” 109 
Exterior y relativo al lado BC de un cuadrado 
ABCD se ubica el punto P, tal que m < DPC=45", 
Si PB+PD=16, calcule PA. 
A) 842 
8) 12 
Cc) 9 
D) 942 
E) 843 
Resolución 
Nos piden PA=x 
 
RELACIONES MÉTRICAS 
Enel cuadrado ABCD 
—m<xC8D=459 
AABPCO es inscriptible 
=> m=xBPD=390* 
En el CAABPD inscriptible 
por teorema de Ptolomeo 
x(14/2)= fb+ fa 
Por dato: b+0=16 
x=84/2 
_Clave (A) 
PROBLEMA N.” 110 
En una circunferencia de centro O, se ubica un 
arco AB, tal que mAB =120*; en AO, 08 y AB 5e 
ubican M, Q y N, tal que MNQ es un triángulo 
equilátero y AM=a, QB=b, Calcule el radio de 
dicha circunferencia. 
A) a+b 
B) o+b 
2 
C) va? +b? 
D) Ja?+b?-3ab 
E) S(0+b) 
83
LUMBRERAS EDITORES a l a 
Resolución Resolución 
Nos piden R Nos piden x 
Dato: mi+n*=58 y mn=ab 
 
 
 
 
Del gráfico AOMNO es inscriptible y el AMNQ 
es equilátero., 
Por teorema de Chadú Teorema de Pithot 
ON=0M+00 o+b=m+n > (a+b)!=(m+n)* 
R=R-a+R=b a +b?4+20b=m*+n*+2mn 
R=0+b 
Co = _ CLAVE (A) mo ab=mn 
=> 04+bi=m?4+n*=58 
PROBLEMA N.* 111 Teorema de Euler en (A ABCD 
En un cuadrilátero 48CD circunscrito a una cir- 
cunferencia AC=6 y BD=8, (4B)*+(CD)?=58 y a? +b” +m4n =8' +6 +4x 
(AB)(CD)=(BC)AD). » dá 
Calcule la longitud ] del segmento que une los A dE 
puntos medios de AC y BD. 
x=2 
A) 2 B) y2 c) Y3 
D) 343 E) 43 _ CLAVE (A) 
84
RELACIONES MÉTRICAS 
PROBLEMA N.* 112 NIVEL AVANZADO 
En un triángulo ABC, de incentro | y circun- 
centro O, AB=5 y BC=7, m<BIO=390". 
PROBLEMA N.* 113 
Calcule AC. 
En el gráfico mostrado, B es punto de tangencia; 
MO=a y AP=b. Calcule PO. 
A) 6 B) 8 Cc) 4445 
D) 443 E) 435 
Resolución 
Nos piden AC 
 
A) dat+b? 8) Jab Cc) 2W/ab 
D) /2ab pj E. 
a+b 
Resolución 
Nos piden PO=x 
 
 
Por teorema en la circunferencia 
 
Bl=1M=/ 
AICM: isósceles CM=MI=0 
DABCM [teorema de Ptolomeo) 
(24x=5Í +74 
 
x=6 ACBPA: 0:+0=509 
Z“ m*BaPp=90% 
_Cuave (A) | 
85
twitter.com/calapenshko 
LUMBRERAS EDITORES 
De la nota m <= BQP=390% 
Trazamos LB //05 
> CAOMBs: trapecio isósceles 
Además 
BN=NQ y B5=5P=0 
Por teorema de la bisectriz de un ángulo 
PT=PA=b 
E.BOP: Por teorema (cateto al cuadrado) 
x*=2ab 
x=-y2ab 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.” 114 
En el gráfico mostrado, si DE=2 y DC=3, 
calcule AD. 
 
B 
9 E 
Cr 
D C 
a 
A 
36 25 
a e 2 Cc) 5 > a ) 
D) 342 E) 246 
Resolución 
- Nos piden AD=x 
 
 
5e deduce 5. 4BÉ: 20:+0=90% 
3 mxABD=20 y mxBFC=90%-a 
¡AFBD: isósceles (FB=BD) 
AAFD — ADEC 
FD_AD_ 
- a AA 
2 3 
ADEC=- ABDC 
Es FBC:; Relaciones métricas en el Ea. 
¿ 
[== > 
_ CLAVE (A)
PROBLEMA N.? 115 
Dado un paralelogramo ABCD, en BC y TD se 
ubican L y Q, respectivamente, (AL ABD= (Py). 
m=<AL0Q0=m=<POD=30", Si AP=5, calcule PO. 
B) 245 c) Y10 
E) 5y2 
A] 6 
D) 5 
Resolución 
Nos piden x 
 
qa 
 
Por corolario de Thales 
Como BL //AD 
_, m_b (1) 
n 5 
Como AB // DE 
m_3 —» = (11) 
n a 
Luego (1)=(11) 
ab=25 (111) 
RELACIONES MÉTRICAS 
E. POE (por relaciones métricas) 
x?=ab (1) 
Reemplazamos (111) en (1V) 
x=5 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.? 116 
En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado y 
T es punto de tangencia. Calcule S 
 
 
 
 
 
A] 2 B C 
B) 3 0 
c) 242 p y 
D) 5/3 
E] 4 
A D 
Resolución 
Nos piden qe 2 
PA y 
B Cc 
530 %, 
Q 
YASTI 14 R ! 
pr 9 me O 
AS --m 
0. 
Xx e 7 
as LO “Am 2m 
539/12 
63 : 
-153%/2 
A D 
—R R | 
87
LUMBRERAS EDITORES 
De la nota m< TAD=53%/2 
=> AT y 0: puntos colineales 
LOAD: R?=(0T)](04) 
Como R?*=[OT)OA), en el AAQO por teorema 
de semejanza 
m<7T0Q0=m=<040=0 
En consecuencia mPT=28 y m<xPTQ=0 
=> PT//Q0 
AAOO: Corolario de Thales 
Am 
y m 
La 
y 
_ CLAVE O 
PROBLEMA N.” 117 
En un triángulo equilátero ABC, se traza la ce- 
viana interior AP: en el triángulo ABP se traza la 
altura BH (H en AP), además BP=2(PC), calcule 
m-<CHP. 
A) 30% B) 60% C) 452 
D) 759 E) 539 
Resolución 
Nos piden m <= CHP=x 
88 
 
 
AABC: Trazamos AS 1 BC 
=> B5=5C=30 
AABSH: inscriptible, por teorema de la secante 
(PAJ(PH)=(40)a 
> (PA)(PH)=4a? 
Como (2a)* =(PAJNPH); en el AAPC por teorema 
. de semejanza 
mI PAC=m=<HCP=a 
AAHC: x= dí +60% 4 
x=609 
_Clave 
PROBLEMA N.? 118 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la 
bisectriz interior trazada de B interseca a AC en 
 
1 1 1 
tal — =- Q tal que AGP e az calcule BO. 
A) 1 B) 2 Cc) Y5 
D) 2/2 E) 4
Resolución 
Nos piden BQ=x 
1.1 1 
Dato: 3+-=3=7= 
o” b 2 
 
 
<¿GABC: Por teorema de la bisectriz interior 
AB_9 
BC b 
Trazamos OP 1 QC tal que QP=a 
=> AABC-APOC 
m=<BCA=m < OCP=a 
Por aplicación de congruencia 
x 
0H=05=—= 
v2 
E. 1 APO WA E 
1/2 m5 
x=2 
_CLAVE 
PROBLEMA N.” 119 
En el gráfico mostrado, si A es punto de tangen- 
cia, AC// DE, BP=a y PC=b, calcule PE. 
RELACIONES MÉTRICAS 
A) Vab 
B) bla +b) 
C) ala +b) 
 D) Pobra) 
a 
 
E) 2(20+b) 
a 
Resolución 
Nos piden PE=x 
 
 
A b Loas8B Cc 
A 2 
20 0h 
€ a 
2 Ma 
x dor 
OL 
20 
D E 
Trazamos LP tangente a Ken P 
=> ALPC: isósceles LP=PC=b=LA 
ALBP: isósceles L[B=BP=a 
Por teorema de la tangente 
(a+b)?=(a+x)o 
b(2a + b) 
a 
x= 
LUMBRERAS EDITORES: 
PROBLEMA N.* 120 
Según el gráfico, T es punto de tangencia, 
00,=a, calcule TB. 
 
 
B) 5 Cc) av3 
El ay2 
 
 
Por teorema de Pitágoras 
z 
Es. BOO;: (Slsr) =2+0 (to 
ts, 00,0: r=at+R? 
ape atrae 
x=0V 
_Cuave (E) 
 
90 
PROBLEMA N.” 121 
Según el gráfico, BM=3, MN=5 y NC=4. 
Calcule AB. 
 
 
A) 124/2 B) 842 c) 66 
D) sy2 E) 10 
Resolución 
Nos piden AB 
 
 
En el gráfico QN=MB=3 
=> 0C=1 
Es POC=E ABC 
AB_BC_12 
PQ qe 1 
Teorema de las secantes 
(12m)(m)=8x3 
> m=y2 
AB=124/2 
_ CLAVE (A)
PROBLEMA N.? 122 
En un triángulo rectángulo ABC recto en Bse. 
traza la altura BH y la ceviana interior AM, tal 
que AM=MC=CH=l|, Calcule BC. 
a de 8) 40 o) Ya 
o) 220 E) Y20 
Resolución 
Nos piden BC 
 
 
 
 
* — Completando el triángulo rectángulo ALC 
+ AM: mediana relativa a la hipotenusa 
Por relaciones métricas en triángulo rectángulo 
ES. ALC: a*=(20)(x) (1) 
d 
ABC =al > a= E (11) 
Reemplazamos (11) en (1) 
a 
5] =2lx => x*=2P 
x=040 
_CLAvE (E) 
¿ns RELACIONES MÉTRICAS 
PROBLEMA N.? 123 
Por el baricentro G de una región triangular ABC 
se traza una recta secante en S y Ra AB y EC, 
respectivamente, Si el cuadrilátero ACRS es ins- 
criptible a una circunferencia, además G$=a y 
RG=b; calcule AC. 
o+b 2 3 
D) 2/ab E) 3vVab 
Resolución 
Nos piden AC=3x 
 
 
 
Trazamos PQ//AC => APBQ-AABC 
=> EE además PG=GO=x 
AC 
Como CJACAS: inscriptible 
=> m<xsAC=m=<x5sR0=a 
Como PQ//AC: m< SPQ=a 
además CAPSOR inscriptible 
31
LUMBRERAS EDITORES 
Por teorema de cuerdas 
x-x=ab 
x= yVab 
3x=34/0b 
_ciave (E) 
PROBLEMA N.” 124 
En el gráfico mostrado Tes punto de tangencia, 
AT=m y AB=n; calcule BM. 
 
 
A) dmi-n? 8) dn?=m? Cc) J2mn 
 D) 24/mn e Y 
min 
Resolución 
Nos piden BM=x 
 
Se deduce que el CABSPA inscriptible 
> mxMSB=45* 
24MAO: a+P=45 — m-<xMAB=( 7 
ABMA:xé=(-n (1) 
€: por teorema de la tangente 
m?*=(AQ)AP) (11) 
(CABSPO: teorema de la secante 
(APIAQ)=n(n—() (111) 
De (1) y (11) en (111) 
mi=n*- nl . 
—— 
e r 
x=vn" -m' 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.” 125 
Desde un punto P, exterior a una semicircunte- 
rencia de diámetro AB, se traza la tangente PT,tal que PB es bisectriz del ángulo APT, si PT=12 
y PA=10; calcule PB. 
a) 72415 8) 7242 o 7217 
5 7 7 
o 3647 E) 3645 
5 5
Resolución 
Nos piden PB=x 
 
 
Se sabe que m < BHA=390* 
—=+ AMAPS: AP=P5=10 y SH=HA 
Por teorema de la tangente 
2=0(20) 
—— a=Ñ 
ASPH: 10? =4V2*+(PH? => PH=74/2 
Por teorema de la tangente 
(127 = x (7/2) 
7242 
T 
 NY = 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.” 126 
En el gráfico mostrado B, € y D son puntos de 
tangencia y CD=64/3 ¿ calcule OB. 
RELACIONES MÉTRICAS 
EXE 
A) 6 B) 343 Cc) 473 
D) 4/50 E) 4/63 
Resolución 
Nos piden 0B=x 
 
Por observación: 643=2./3-5r 
=> r=3 
440,00;: notable de 30* y 60* 
A0,0B: teorema de cosenos 
=64+9- 26) 9)c0560% 
x= 4/63
LUMBRERAS EDITORES > 
PROBLEMA N.? 127 PROBLEMA N.” 128 
Según el gráfico ABCD es un paralelogramo, A Del gráfico mostrado; si AM=MC y NC=a, 
y Tson puntos de tangencia, AB=2. Calcule AT. calcule BP. 
A) 2/6 
8) v6 C 
C) 243 PS 
D) 342 
E) 242 ¿ES 
Resolución 
Nos piden AT 
 
aya a 3a = 
Al ——= Bj) — Cc) =— ) 5 ) ) S 
D) 4a E) ay3 
2 al 
Resolución 
 
Nos piden BP=x 
Por dato ABCD es un paralelogramo 
= Al=1C y CD=AB=2 
Por teorema AM =/MT 
5e observa que D' es baricentro del AACT, 
= CD=2[DM)=2 
Por teorema de la tangente 
m?=3x1 
> m=y3 
AT=243 
 
_ CLAVE (0) ABMP: xx =0*4p? (1)
RELACIONES MÉTRICAS 
mm ] in mt 
¿4ABC: teorema del cálculo de la mediana 
2 i 
ri +m? EL (11) 
ANBC: 7 +m*=0* (111) 
ds 
De (11) y (111): Sl 24m? (Iv) 
2 
¡a De (1) y (IV): xc > 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.* 129 
En un triángulo isósceles ABC, AB=2(AC), se 
traza BH perpendicular a la bisectriz del ángulo 
BAC (H en dicha bisectriz). 
Si BH =W6, calcule AC. 
A) 243 B) y3 c) Y 
D) 4 E) 2 
Resolución 
Mos piden 4€ 
B 
6 
>. H 
20 A 
6 
pa Me 
A a Cc a £ 
Se prolonga BH hasta L 
Se observa que AH es bisectriz y altura 
Entonces, BH=HL y el AABL es isósceles. 
En AABL, por teorema de la mediana 
(20) +(2 5) =2(20)? AU 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.? 130 
En un triángulo 48C, AB=8, BC=6 y AC=7. Si la 
tangente trazada a la circunferencia circunscrita 
es BT(T e AC), calcule TB. 
A) 8,5 Bj) 10,5 c) 10 
D) 12 E) 842 
Resolución 
Nos piden TB 
 
 
 
LUMBRERAS EDITORES 
ABCT- AABT 
E 
CT 6 3 
Por teorema de la tangente 
(4m)?=(7+3m)3m 
16m*=(7+ 3m)3f 
16m=21+9m 
m=3 
BT=12 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.? 131 
En el lado 4A€ de un triángulo ABC se ubica P tal 
que AP=2(PC)=2, con centro en 8 se traza una 
circunferencia secante a AB y BC, luego se tra- 
zan las tangentes AM, CQ y CT, siendo M: Q y T 
puntos de tangencia, AM = 6 y CT=3. 
Calcule PO, 
A) 46 8) 243 O 342 
D) 246 E) 4 
Resolución 
Nos piden x 
 
 96 
Por teorema de Pitágoras 
ix MBA: BA= 6+r? 
Ea BTC: BC =49+r? 
Ea BOP: BP=Wx? +p? 
A2ABC: teorema de Stewart 
(V6sr? ml lasr INT A po ¡ 3+H1)(2)(3) 
Barr 418400 RIA A 
x=v6 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 132 
Exterior y relativo al lado BC de un triángu- 
lo equilátero ABC se ubica el punto D tal que 
m< BDC=909, Si BD=0 y CD=b, calcule AD. 
A) va? +p? 
8) Narro? 
C) va? +b*+3ab 
D) Star) 
El da? +b*+ab
Resolución 
Nos piden 4AD=x 
o, 
q | 
 
AACE=AABD 
CE=BD=0 
AE=AD=x 
m «+ CAE=mx BAD=a 
AABC: 04+10=609 
E BDC: 0+B=3900 
Por teorema adicional de triángulos en A DAEC 
mxDCE=a+0+/+0=1509 palta SÓ 
60% 909 
A.DCE (por teorema de cosenos) 
x=a?*+b?-2abcos150% 
ed +0 200[ 9) 
x= 0? +b* + Job 
_Cuave 
RELACIONES MÉTRICAS 
AA A e Pe PEA bl 
PROBLEMA N.* 133 
- Enel gráfico mostrado si CD=4 y BM=MN, 
calcule AM. 
 
A) 8 B) 10 O 415 
D) 417 E) 419 
Resolución 
Nos piden 4/M=x 
 
 
 
Como 0 es centro de ABCD y m <= OND=909 
> CN=ND=2 
CAOLND; inscrito > mxCLN=m«<CDO=B8 
además ALNC isósceles + LN=NC=2 
en consecuencia A44B8L isósceles — BA=BL=4 
97
LUMBRERAS EDITORES 
Por dato BM=MN —=> BM=3 y ML=1 
En CIABCD: AN=BN=6 
AJABN: teorema del cálculo de la mediana 
7 
4246? =2x? . 
x=/17 
ue 
PROBLEMA N.? 134 
Dado un triángulo 48C de baricentro G, una se- 
micircunferencia de diámetro AB contiene a G; 
además (8C)*-(48)*=48, calcule BG. 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 9 
Resolución 
Nos piden BG=2x 
Dato: a?-b?=48 
 
 98 
Como G es baricentro del AABC 
=3 C,6 yO colineales 
además CG=2(G0)= a> » b; también 
BG=2(GM)=2x 
además se sabe m < AGB=30" 
Trazamos CH 1 BM 
AAGM= 4MCH 
=> MG=MH=x 
ABOG: teorema de proyecciones 
a?—b?=(4x)?-(2x)* 
—— 
dato: 48 
x=2 
2x=4 
_CLAVE 
PROBLEMA N.” 135 
En el gráfico mostrado AL=L8; (AH)R=8; siendo 
T punto de tangencia y NT =24/10. Calcule NA. 
 
 
A) 46 
D) 2/3 
8) 246 c) 43 
E) 2 
* 
 
Resolución 
Nos piden NA=x 
Dato: h:-R=8 
 
 
 
 
Se deduce que AN es bisectriz exterior del .4ABC 
«ABC: teorema del cálculo de la bisectriz exterior 
x=mn-—ab (1) 
ABC: relaciones métricas [producto de catetos) 
ab=h(2R)=2(8)=16 (11) 
Es Por teorema de la tangente 
(2/10) =mn (111) 
De (1), (10) y (110) 
x“=40-16=24 
x=2/6 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.”? 136 
En el gráfico mostrado, sí AM=MC; BN=4 y 
NC=S5; calcule la distancia entre los incentros 
de los triángulos ABN y ABC. 
RELACIONES MÉTRICAS 
A) 2 8 
 
Resolución 
Nos piden /,!,=x 
/,: incentro del A ABN 
>: incentro del AABC 
 
 
AABC: AN bisectriz interior — pa + 
AC OS 
AANC: isósceles > AN=NC=5 
A ABC: teorema del cálculo de la bisectriz interior 
5 =(4m)(5m)-4x5 -> m=3/2 
AABN: teorema del incentro 
y _ LR 
hh 5 1 
¿AABN: teorema de la bisectriz interior 
Ah _6_3 
LN 4 2 
99 
LUMBRERAS EDITORES 
AJABN: teorema del cálculo de la bisectriz interior 
(31)=6x4-3x2 
x=V7 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 137 
De un punto exterior a una circunferencia se 
trazan las tangentes AB y AC (8 y C puntos de 
tangencia), en AB y AC se ubican los puntos me- 
dios M y N, respectivamente. Si CM interseca a 
la circunferencia en Q, mx BAC=36", calcule 
mx MON. 
A) 90" B) 722 Cc) 60* 
D) 360 E) 540 
Resolución 
Nos piden m< MON=x 
 
En el gráfico 
¿AAML es isósceles 
¿£ANL es isósceles 
100 
ALCA: CN=NL=NA=l 
=> m=CLA=90* 
Teorema de la tangente: (BM)? =[CM)JQM) 
AAML (propiedad de semejanza): 
(AM)*=[LM)(NM) 
Como BM=AM —= [CM)(QM)=(LM)(NM) 
O sea en CACONL se está cumpliendo teorema 
de secantes 
3 CACONL es inscriptible 
x=54" 
_ Clave (E 
PROBLEMA N.? 138 
En el gráfico mostrado ABCD es un cuadrado; P, 
Q, Ty $ son puntos de tangencia y AC=2(LD), 
calcule x. 
 
B Q c 
£ 
P T 
A 5 D 
A] 30% B) 371 C) 45% 
D) 53* E) 60% 
Resolución 
Nos piden x 
 
 
 
ABLD: teorema del cálculo de la mediana 
 
2 
a? +(r/2)' =21? + (2r42) 
2 
= a=1r 
Como B4=BC=BL=2r y m-xABC=909 
 
Nota 
a 
l
a
o
 
 
En consecuencia de la nota 
poe 
x= 
x=450 
RELACIONES MÉTRICAS 
PROBLEMA N.* 139 
Pr En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto 
+ AB 
P tal que PA=3(PB] y PERALES calcule 
m CAP /m-<CPA. 
 
A) 1 B) 1/2 Cc) 2 
D3 E) 3/2 
Resolución 
Nos piden METAL € 
mxcPAa 0 
 
AABC: teorema de Stewart 
a? +(0+2m) -36 =0*-4 7 +(3m) 6 (4m) 
a +30? +120m+12 =4 +12? 
1 3 Ls 
Ao*+12am= A 
> (¿-at=3am (1) | 
_CLAVE (O Trazamos CL tal que CL=( 
101
LUMBRERAS EDITORES 
 
Nota 
H— M ——4— 8 —d 
¿APCL: de la nota 
 
 
(*-o*-3mb (11) 
De (1) y (11) 
a=b 
=> ALLAC: isósceles 
=> q=-20 
e
l
a
 
Il Pad
 
_ CLAVE (O 
PROBLEMA N.* 140 
Según el gráfico, CM=MD=S, NB=34/13, R=13. 
Calcule MN. 
A) 24/13 
B) 5 
c) 3413 
D) 413 
E) 342 
102 
 
 
Resolución 
Nos piden MN=x 
 
 
Como ON LCB > CN=NB=34/13 
Como CM=MD —= OM TD 
En el CACMNO inscriptible 
Por teorema de Ptolomeo 
(3/13)(12)=5(2/13)+13x 
26413 =13x 
x= 24/13 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.? 141 
En la región interior de un sector circular ACB 
se ubica el punto D tal que m=xADB=390%, 
(Coy?+2(8D)?=16. Calcule la longitud del seg- 
mento que une los puntos medios de AD y BC. 
B) 242 Aj 4 
D) 442 
c) 2 
E) 243
Resolución 
Nos piden AC 
Sea AC=x 
Resolución 
Nos piden x 
Dato: a?+2b*=16 
 
 EnAACDB 
Por teorema de Euler 
A 
pi ++ eo? =P 
a?+2b*=4x (1) 
Por dato: a*+2b*=16 
Reemplazamos en (1) 
_ CLAVE (O 
PROBLEMA N.”* 142 
En una circunferencia se inscribe un triángulo 
ABC, la cuerda BM se interseca con AC en Q, 
tal que MQ=2(80), AM=MC, AB=A y BC=b. 
Calcule AC. 
ve ab A) la+b) B) 2/ab A 
D) /3(a+b) E) ab 
RELACIONES MÉTRICAS 
 
 
Teorema en circunferencia 
AM=MC => máM=mMC=28 
ABCM: m < MBC=m < QCM=6 
—= Por propiedad de la semejanza 
(MC)'=(8M)QM) 
(mc)*=(30)(20) 
=> MC=04/6 
Teorema de Ptolomeo 
34 x=0 (Je +ol£/6) 
J6 
ac=L a+») 
3 
_Cuave (A) 
103 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 143 
En un cuadrante 40B de centro O, en 
el arco AB se ubica un punto P, tal que 
(OA) =(PANPB)/2 +16, calcule la longitud del 
segmento que tiene por extremos los puntos 
medios de OP y AB, 
 
 
A) 1 B) 2 42 
DJ 4 E) 242 
Resolución 
Nos piden x 
Dato: R?*=abwW/2 416 
A 
p 
135 
R A/SRAZ 
Xx b 
O R B 
CAOAPEB: teorema de Euler 
RR +b?*=4x Relata 
atb?=ar +R? (1) 
Por circunferencia m << APB=1350 
AAPB: por teorema de cosenos 
Ez (RY2)=a* +b? -2abcos1359 
nl
 
104 
2R? =0* + p? +aby2 (11) 
De (1)+(11) 
ee ) 
+ 
2R?= ads? +aby2 
E RA =4x + gb 
Del dato: ob +16 
 
_ CLAVE (O 
PROBLEMA N.” 144 
En un trapezoide ABCD de diagonales perpendi- 
culares, AB=4, CD=5, AC=7 y BD= 4/29, calcu- 
le la longitud del segmento que une los puntos 
medios de AC y BD. 
A) 1 B) 2 O 45 
D) 3 E) y2 
Resolución 
Nos piden x 
 
 
CAABCD: teorema de Euler 
+4 +b04+5? 4/29 +7 +4x? (1) 
 
 
 
 
artos? 
DABCO: a*+b*=4?*45? (11) 
De (1) y (11) 
lat +5?)=/20 +7 442 
*=1l 
_CLAVE a) 
PROBLEMA N.” 145 
En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y 
B, se ubica en su región interior un punto P, tal 
que (P8)?-(Pc)?=20 y (Pa)?-(PD)?=8, siendo 
AD=2(80), calcule BC. 
A) 243 B) 2 Cc) 3 
D) 4 E) 242 
Resolución 
Nos piden BC=x 
Dato: a*-b?*=20 y m*-n?*=8 
RELACIONES MÉTRICAS 
 
 
 
CABOaD: teorema de Marlen 
a+nte=m?+ 0? (1) 
ABPO: teorema del cálculo de la mediana 
a? +=20* + ez (1 
De (1)+(11) 
a0+n=m+ e 
d+ ) 
2(a?-b?)= =m*-m ni +2 
o E 
 
*=4 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 146 
Desde un punto A, exterior a una circunferencia, 
se trazan las tangentes AB y AC(B y C son puntos 
de tangencia) en el arco BC se ubica el punto P 
tal que BP//AC. Si AP=a y AB=b, calcule BP. 
2ab 2ab 
 
 
 
A y —= Cc ) E ) E ) 2N/ab 
2_,2 2_p? 
D) ar—b E) o" -—b 
- 20 2b 
105 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Nos piden BP=x 
 
Trazamos PO tangente a la circunferencia. 
Se deduce MLABPO: trapecio isósceles 
=> PQOA=AB=b y AP=BO=0 
(AABPO: teorema de Ptolomeo 
a-a=b-b+2bx 
al —p? 
2b 
 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.* 147 
Según el gráfico (80)*+(0D)?=17, MQ=0N. 
Calcule MN. 
A) 442 
B) 8 
C) 10 
D) 7 
E) 6 
 106 
 
 
a 
Resolución 
¡Nos piden MN 
B Mi... == E 
[ ; 
a ; 
ú 
242 : 
22... 9 ON 
A D 
En: Es. MEN (mediana relativa a la hipotenusa) 
EQ=MQ=0N=! 
Por teorema de Marlen 
a+ la lay (1) 
Por dato: a?+b*=17 
Reemplazamos en (1) 
17=1*+8 
(=3 
MN=6 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.* 148 
Un cuadrilátero ACBE está inscrito en una cir- 
cunferencia, si AC=BC además las diagonales se 
intersecan en D. Si AB=5, CD=2 y EA+EB=7, 
calcule AC. 
A) 2,5 
D) 3 
61.35 C) 2,8 
E) 2,7 
 
 
Resolución 
Nos piden AC=x 
Del dato: m+n=7 
Por teorema de Viette 
 
2+t ox +mn x2+emn 3 (22) ¿Cam 
 
= = 1 
5 xm+xn x(m+n) 5 w 
7 
Por teorema de Packein 
E Ma 142 mn (0) 
2 y 2 y» 
Reemplazamos (|) en (11) 
 1H42_17 > 
2 Xx 5 5 
x=2,8 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA N.? 149 
En un poligono regular de 11 lados ABC...K; 
AC=a, AD=b y AF=c. Indique la relación correcta. 
RELACIONES MÉTRICAS 
A) a+be=o 
B) ab+bt=c? 
C) oc+hi=e? 
D) a?+b*=2€ 
Ej 20 +bc=0? 
Resolución 
Nos piden una relación entre a, b y c. 
 
Tenemos en consideración la propiedad del 
poligono regular 
. mABC =mDEF => AC=DF=0 
+ mABCD=mAKII=mFGH| > AD=Al=FI=b 
AADEF! Trapecio isósceles 
—= AF=ID=c 
CAADFI Teorema de Ptolomeo 
b-a+b-b=c-c 
ab+ bi=e? 
_ CLAVE 
107 
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.” 150 
En la prolongación del lado BC de un triángulo 
equilátero ABC se ubica el punto O; luego tra- 
zamos el triángulo equilátero GEF, donde G y 
O son baricentros de dichos triángulos, (Fen la 
región exterior relativa a AC); si BC=3 y OC=1, 
calcule BE. 
A) 643 B) 543 Cc) 743 
D) 343 E) 5 
Resolución 
Nos piden BE=x 
 . 108 
 
Nota 
 
 
Como G y O son baricentros de los triángulos 
equiláteros ABC y GEF 
mxGBO=30* y mxO0EG=30" 
además como BC=3 —> BG=W3; 
GE= (0E)/3 (ver nota) 
MABGOE: inscriptible (por teorema de Ptolomeo) 
xi ó d3=4- 5443 
k= 34/3 
_ CLAVE (D)
+ PROBLEMAS PROPUESTOS 
tiara ar rr 
NIVEL BÁSICO 
En el gráfico ABCD es un rectángulo, BT=6 
y CD=18, T es punto de tangencia. 
Calcule R. 
A) 6 
B) 8 
Cc) 10 
D) 12 
E) 9 
 
 
 
Según el gráfico T es punto de tangencia, 
DABC es un trapecio isósceles, BT = 2/10 Y 
AB=4. Calcule HC. 
 
A B 
L 
as H C 
> 
A) 3 B) 4 O 5 
D) 243 E) 46 
e AN e 
Según el gráfico A y T son puntos de tan- 
gencia, m87 =60*, R=3 y r=2. Calcule AB. 
A) 342 B 
B) 243 A E | 
Cc) 345 
D) 245 
E) /10 
Según el gráfico T es punto de tangencia, 
CD=4 y AT=6. Calcule BC. 
A) 5/2 
B) 7 
a) 443 
D) 4 
E) 5 
 
Según el gráfico P y Q son puntos de tan- 
gencia, calcule 4/M. 
 
7 
A) 4 18 
8) 4y2 A 
Cc) 3v2 ye 
D) 5 y 
E) 6 
 
A O can 
6. Según el gráfico, AB=2, BC =CD= 243. 
Calcule R, 
 
 
A) 4 8) 342 c) 246 
D) 3 E) 242 
7. Según el gráfico BD=3[€D)=6, AE=9. 
Calcule 48. 
 
 
Cc 
A] 8 
B) 4 86 E 
O 6 
D) 642 A E 
E) 442 
8. Según el gráfico PM=/MH, CM=4 y MB=3. 
Calcule BH. 
 
 
E Según el gráfico ABCD es un cuadrado 
Y mCD=74%, T es punto de tangencia, 
¿AT=+/32. Calcule AB. 
1. 
 
 
A) 442 C 8 
B) 4 
Cc) 6 
D) 342 o , 
E) 443 7 
Según el gráfico B y D son puntos de tan- 
gencia, AC=2 y CD=3. Calcule AB, 
A) 642 8) 442 0 3 
D) 4 E) 6 
Según el gráfico ABCD es un paralelogramo 
de centro O. Si MN=ND=3, calcule MO. 
A B € 
B) 4 
c) 243 
a / NY 
E) 346 A Mo ON"D
12. Según el gráfico B y T son puntos de tan- 
14. 
gencia. Si BN=2(MN) y AB=3, calcule AT. 
B 
A) 342 
B) 343 
Cc) 6 M 
D) 4 
E) 4/3 A 
Según el gráfico AOBC es un trapecio 
isósceles, (08)(40)=24, AB=7. Calcule R. 
 
A C 
A) 4 B) 6 Cc) 542 
D) 5 E) 443 
Según el gráfico, T es punto de tangencia, 
MN=2. Calcule NT. 
 
BJ 242 o) 246 
E) 243 
RELACIONES MÉTRICAS 
15. Según el gráfico A, 8 y M son puntos de tan- 
gencia AB=BC. Calcule =S 
DC 
A 
B 
É 
D 
E 
A) 5/2 B) 5 Cc) 4 
D) 2 E 3 
. Según el gráfico, Tes punto de tangencia. 
si 2R?*-(AmM)?=10, calcule MT. 
 
 
 
A] v6 
D) y/5 
8) /10 Cc) 243 
E) 245 
. Según el gráfico PO=4, AM=2 y AN=7. 
Calcule R. 
A) 642 
B) 5v2 
Cc) 443 
D) 52/7 
E) 45/8 
 
 
111 
 
 
 
 
LUMBRERAS EDITORES . 
18. En el gráfico ABCD es un rectángulo, TyL E 46 
son puntos de tangencia, BP=3, PQ=9y PD B) > Cc) 43 
QD=16. Calcule BC. 
D) 6 e 4 
B T Cc 3 
E — 
21. Según el gráfico, AB es diámetro, AC=3 y 
Q CM=MB=2. Calcule OM. 
Á L D 
A) 28 B) 20 C) 26 e 
D) 23 E) 22 
A € mM B 
19. Según el gráfico P, Ty Q son puntos de tan- 
gencia. Calcule PT. E 
A) 54/3 B) 442 c) = 
Y71 y61 
D) — E] — 
2 2 
22. Según el gráfico BM=5 y HN=2. 
Calcule (AH)HC). 
A) 2/3 B) 85 c) Y 
3 4 o 
D) 245 E) 4/15 
5 5 
20. Según el gráfico AM=/MN=2, Q es punto de 
tangencia. Calcule TM, 
A E 
N 
A] 12 B) 14 1:10 
D) 1242 E) 8v6 
 112 
 
 
23. 
24, 
25. 
En un trapecio ABCD de bases BC Y 
AD y diagonales perpendiculares, si 
(ACI?+(8D)*=80, calcule BC+AD. 
 
 
A) 4/2 B) 445 Cc) 6 
D) sy2 E) 643 
Según el gráfico AB=4, BC=6, Calcule BM. 
A 7 
, B 
b 
pm E 
A) 242 B) V2 co) 46 
D) 43 E) 2 
Según el gráfico, QMTS es un cuadrado. 
Si (AQ)(08)=30, calcule MT. 
 
 
M