Smentos - proporciones y distancias

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Colección Temas Selectos A E 
o) 
olor: 
segmentos y semejanza 
de triángulos 
Teoría y práctica twitter.com/calapenshko 
 
William Reyes Pérez Lumbreras
 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
 
Proporcionalidad de 
segmentos y semejanza 
de triángulos 
Teoría y práctica 
Niveles básico - intermedio - avanzado 
 
William Reyes Pérez Canoraos 
 
 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. Teoría y práctico 
Niveles básico - intermedio - avanzado 
Geometría 
Autor: William Reyez Pérez 
O Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
D Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av. Alfonso Uparte N.* 1426 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 332-3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: marzo de 2016 
Tiraje: 3000 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-561-3 
Registro del proyecto editorial N.* 31501051600155 
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.* 2016-03961 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.? 822 
Distribución y ventas al por mayor y menor 
Teléfonos: Lima; 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713 
— ventasBelumbreras.com.pe 
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación 
Fondo de Investigadores y Editores. en el mes de marzo de 2016, 
Calle Lás Herramientas N.? 1873 - Lima-Perú. Teléfono: 336-5889 
 
m 
5 PRESENTACIÓN 
mn. 
E INTRODUCCIÓN 
a PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS 
1. Definiciones previas e. .ccincaniciis 
1.1.Razón entre dos SEgIMentos cian 
1.2. Segmentos proporcionales... 
2. Teorema de Thales. caciccciioniiniininss 
2.1.Corolario 1... 
2.2.Corolario 2 
3. Teorema de la bisectriz interior .......... 
4. Teorema de la bisectriz exterior 0.0 
5. Teorema del incentro ion 
E. Teorema de Menea e eres 
7. Teorema de Leva enn occicinicns 
B, CUALEINa armMÚnica circo sacas 
8.1.Bisectriz interior y exterior del triángulo 
8.2,Cevianas interiores concurrentes en un triángulo .. 
8,3.Circunterencia inscrita en un triángulo 
Y PROBLEMAS RESUELTOS 
Nivel básico 
Nivel intermedio 0... 
Aaa e Es 
"a PROBLEMAS PROPUESTOS 
Aire e 
 
Nivel Intermedia ninia es 
 
Ni O 
 
"u SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
A 
LILAIDOS HOMÓLOROS ercer HU 
1.2. Proporción de lados HOMOJOEOS isiioooócinnicinriniionióomneeemnmaiciimmiejaniiono: 58 
2. Proporcionalidad de elementos homólogos ......acacianicnioni conan 9 
3. Casos notables de semejanza de triámgulos occ ceci 59 
3.1. Criterio Ángulo-Ángulo-Ángulo [A-A A) occ occ cnn 59) 
3.2. Criterio Lado-Ángulo-Lado (L-AdL) cconiiniccioiociceiccccrcicicadócíe BIO 
3.3, Criterlo Lado-Lado-Lado [Lab ici] 50 
4, Teoremas notables de Semejanza ninia aralccrntnóacc BIO 
60 
4.2.Líneas antiparalelas en el triángulo acid ea 61 
 
4.1. Líneas paralelas en el triángulo y el trapecio .............. 
E e DA 62 
Ñ PROBLEMAS RESUELTOS 
IAS cir AA A GER 64 
MEET a eee cano 
NIE IVANA ii ias 93 
. PROBLEMAS PROPUESTOS 
Nel basico ne cuco cap 22 AO 
A A Dl 
A A ci 113 
A 6 
RA 8 
 
+ PRESENTACIÓN 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Proporcio- 
nalidad de segmentos y semejanza de triángulos, perteneciente a una nueva 
serie de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la 
enseñanza de las ciencias. 
La nueva colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los 
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus 
conocimientos en temas específicos en los cursos de Matemáticas, Ciencias 
Naturales y Razonamiento Matemático. De esta forma, Lumbreras Editores 
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque 
didáctico y cuidadoso en la relación teoria-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor 
profundización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, 
por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar 
una nutrida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza 
de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios 
aplicativos, problemas resueltos y propuestos por niveles. 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig- 
nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio- 
nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro 
anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, 
deseamos reconocer la labor del profesor William Wilfredo Reyes Pérez, de 
la plana de Geometria de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor 
en la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en 
la enseñanza preuniversitaria. 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
 
+ INTRODUCCIÓN 
En geometría, una forma de relacionar las longitudes de los segmentos es a 
través de la proporcionalidad de sus longitudes, del teorema de Thales (uno 
de los más importantes) y de la semejanza de triángulos. 
El propósito del presente texto es que el lector no solo sea capaz de re- 
solver un problema de proporcionalidad de segmentos, sino también tenga las 
herramientas para enfrentar cualquier problema geométrico o matemático. 
5u contenido comprende de una teoría que permitirá consolidar los 
conocimientos del estudiante al demostrar los teoremas y sus respectivas 
aplicaciones. Además, está acompañada de problemas resueltos y propues- 
tos ubicados por niveles (básico, intermedio y avanzado) para que el lector 
plasme lo aprendido desarrollando estos últimos, y así tenga la capacidad de 
desarrollar problemas tipo examen de admisión. 
Agradezco a mi familia, ya que son una gran motivación para poder 
materializar toda mi experiencia preuniversitaria mediante la realización de 
este libro. Asimismo, a Afined, mediante el sello de Lumbreras Editores, por 
la confianza depositada en mi persona y asesoramiento. 
Confío en que esta publicación cubrirá las expectativas de los estudian- 
tes y servirá para posteriores obras en beneficio de una sociedad mejor por 
medio de la educación y la cultura, 
 
¿+ PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS 
al DEFINICIONES PREVIAS 
 
1.1. RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS 
La razón entre dos segmentos es el cociente en- 
tre las longitudes de dichos segmentos. 
Gráficamente 
a 
A B 
N 
b 
Mm 
AB_a 
N b 
La razón entre el segmento 48 y el segmento 
MIN es a 
b 
1.2. SEGMENTOS PROPORCIONALES 
Dos segmentos son proporcionales a otros dos 
si la razón de los primeros es igual a la razón de 
los segundos. 
Gráficamente 
== D 
> [ 
HAS O 
C Q 
A E 
R 
Sean 
AB_a. PQ 1 ya AB_ PQ 
CD b' RS tb ot CD RS 
Importante 
Sabemos, por el curso de Aritmética, que exis- 
ten dos tipos de proporciones, proporcionali- 
dad directa y proporcionalidad inversa. 
Ejemplo , 
Proporcionalidad directa 
o constante 
b d 
Proporcionalidad inversa 
mxn=qxr= constante 
En geometría debe entenderse que cuando 
hablamos de proporcionalidad nos referi- 
mos a la proporcionalidad directa, 
11 
 
LUMBRERAS EDITORES 
TEOREMA DE THALES 
 
Tres rectas paralelas y secantes a otras dos rectas 
determinan segmento que son proporcionales. 
Sean ANP TZ. 
ej U Ne 
 
 
P,. B FEO 
di a) 3 se cumple 
L3a - x_Z 
d y 
Se cumple APLICACIÓN 1 
nl Sean F1//P2//T3; AB=6; EF=8 y BC-DE=8. 
b ad Calcule 8C. 
- ú 
También twitter.com/calapenshke 5 e $ 
a_b 6 
7 = 4 . B E FP) 
2.1. COROLARIO 1 
Si PQ//AC, se cumple 7, 
b f - C F ” 
a e Resolución 
Piden BC=x, 
Por el teorema de Thales 
AB _ DE 
BC — EF 
6_y == => xy=48 
x 8 y 
Del dato, x-y=8B 
x=12 
 
12 
2.2. COROLARIO 2 
Si BC//AR 
 
 
 
 
 
 
E PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
13! TEOREMA DE LA BISECTRIZINTERIOR 
 
En todo triángulo, los segmentos determinados 
por una bisectriz interior son proporcionales a 
los lados adyacentes a dicha bisectriz. 
Sea BR bisectriz interior del triángulo ABC. 
 
5e cumple 
_m 
( 
o
i
a
 
Demostración 
 
Prolongamos AB hasta H, tal que HC//BR. 
Por paralelas 
mxÁHC=m=<ABR = ( 
mxBCH =m«<RBC= 
> BH=BC=b 
Por corolario 1 (4 AHC) 
AB _AR 
BH RE 
E 
/ l
l 
APLICACIÓN 2 
En el gráfico, AB=8;BC=6 y AC=7, Calcule CF, 
Resolución 
Piden EF=x, 
Por el teorema de la bisectriz interior 
AB _ AF 
BC FC 
y EA 
6 Xx 
. =3 
13 
 
LUMBRERAS EDITORES 
a TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR 
 
En un triángulo, los segmentos determinados 
por una bisectriz exterior en su lado respectivo 
son proporcionales a los lados adyacentes a di- 
cha bisectriz, 
Sea BF bisectriz exterior relativa a AC, 
Se cumple 
Á 
m a
l
 
 
 
 
APLICACIÓN 3 
En el gráfico adjunto, AD=7, DC=5 y AC=3, 
además, DF es una bisectriz exterior relativa a 
AC del triángulo ADC. Calcule CF. 
 
 
Resolución 
Piden CF=x. 
Por el teorema de la bisectriz exterior 
AF AD 
 
n 1 CF DC 
x+3 a q 
x 5 
x=7,5 
(8 teorema vel incentro 
Sea /el incentro. Demostración 
 
 
14 
Sea l el incentro del A ABC, 
 
 
 
 
"W PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
En el AABM, aplicamos el teorema de la bisec- 
 
 
 
 
dai APLICACIÓN 4 
triz interior. O 
Si PQ=12; Q7=10 y PZ=14, calcule 20. 
y ¿¿M ON 
xXx € Considere que la circunferencia está inscrita. 
>AmM=E (1) Q 
En el ACBM, aplicamos el teorema de la bisec- E : 
triz interior, 10 
y_cM 
x q 
> m=% (0) P N Z 
x 14 
Sumamos (1) y (11) Resolución 
am+cm=E +2 | 
X o Xx Por el teorema del incentro 
b=Z(e+a) Q0_PQ+Qaz_12+10 
Xx ON PZ 14 
A 00 11 
y b “ON 7 
( reorema be meneLao 
Sea P una recta secante a dos lados del trián- APLICACIÓN 5 
gulo y a la prolongación del tercer lado, 
 
 
 
5e cumple 
aecn=bdt 
Si AE=6, EB=4; BF=7; FC=5 y Cl=2, 
calcule 4C. 
Resolución 
Aplicamos el teorema de Menelao. 
(MENBFINCL)=(EBHFCIAL) 
(6)(7N2)=4(5)(x+2) 
ac=2 
5 
15 
 
LUMBRERAS EDITORES a 
TEOREMA DE CEVA twitter.com/calapenshko 
 
En el triángulo ABC, sean BF; EC y AG tres cevia- APLICACIÓN 6 
nas concurrentes. Del triángulo mostrado, calcule x. 
5e cumple 
bdn=acm 
 
Resolución 
Aplicamos el teorema de Ceva. 
4(2)x=(31(6)(5) 
45 
x==— 
4 
 
 
8 CUATERNA ARMÓNICA 
 
Los puntos colineales y consecutivos A, B, Cy D 5e cumple la cuaterna armónica 
 
determinan una cuaterna armónica si a_l 
AB_ AD De 
Be co A B Cc D APLICACIÓN 7 
Del gráfico, calcule x. 
8.1. BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR DEL 
TRIÁNGULO 
Sean BE y BF bisectrices interior y exterior, res- 
pectivamente, del triángulo ABC. 
A 
 
Resolución 
Por la cuaterna armónica 
4 de3+x 
3 Ok 
x=21 
 
 
 
16 
 
uy PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
8.2. CEVIANAS INTERIORES CONCURRENTES 8.3. CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN UN TRIÁN- 
EN UN TRIÁNGULO GULO 
Sean BG; CE y AF cevianas interiores concurren- Sean T, L y H puntos de tangencia. 
tes del triángulo ABC. 
B B 
E 
, T, 
L 
A m Gnc d H A 
h E . 
 
 
 
 
n H ad € b R 
t 
$e cumple la cuaterna armónica. 
mt Se cumple la cuaterna armónica. 
nd n_t 
dl 
APLICACIÓN 8 
Del gráfico, calcule x. APLICACIÓN 9 
En el gráfico mostrado, la circunferencia está 
inscrita. Calcule x. 
 
 
Resolución Xx 2 5 
Por la cuaterna armónica 
 
 
6 10+x Resolución 
Xx 4 Por la cuaterna armónica 
D=x"+10x-24 x_X+245 
> x=-12 0 x=2 25 
no puede ser 14 
Lo == 
x= 3 
17 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
 
 
 
 
 
++ PROBLEMAS RESUELTOS 
¿E 
NIVEL BÁSICO a B_ $5 L 
20 E Ya 
Ela G F 30 
PROBLEMA N.? 1 7 a/2 
a 3o 
En el gráfico mostrado BL//AD. x 
a 
Si AE=FL=> (BE) BE=4(MF) y GM=5, E ; D 
calcule MD. También 
HG _ 34 
—=— 3 HG=5(3)(2 1 e o má (3)(2) (1) 
2 
De (ll) en (1) 
EAU G_ E m ) 
30=-(5+x) 
M 3 
. xe=40 > 
, | _cuve (0) 
A E" 
A) 10 B) 20 Cc) 30 PROBLEMA N.* 2 
D) 40 E) 50 En el gráfico mostrado, AB=2(HD); BH=6 y 
RE=4, Calcule AR, 
Resolución A) 12 C 
Piden MD=x. B) 14 
Por el teorema de Thales Cc) 10 
20_ HG D) 8 
do 5+x : Ej) 9 
2 
$ HG=3(5+x) (1) 
 
18 
 
Resolución 
Piden AR=x. 
 
 
 
1 6 
E x Ar
 
«E
s 
Dato: 
AB=2(HD) 
Prolongamos DH. 
=> HT=AB=2(HD) 
HT=2(HD) 
Observamos 
HR//DE. 
Por el teorema de Thales 
JM 
RE HD 
x-6_ 
4 
2 
F 
x=14 
_ CLAVE (B) 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.” 3 
En el gráfico adjunto, AF=4 y FE=3. Calcule EC. 
 
 
 
A D B 
F 
E 
Cc 
23 
A) 3 B == 0 6 
a 
21 
D] 5 E) = iS 
Resolución 
Piden EC=x. 
A 0 D b B 
4 
F 
3 
E 
Xx 
E 
Datos: AF=4 pa FE=3 
Por corolario 1 ED//BC 
EC _ DB 
EA AD 
x b 
3 -==- 1) 
Toa 
19 
 
LUMBRERAS EDITORES 
De igual forma por corolario 1 (FD//EB) 
BD_EF 
DA FA 
E 
a (11) 
Igualamos (1) y (11) 
x 3 
—3 — =-— 
74 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 4 
En un triángulo ABC, se ubican los puntos F y R 
en las prolongaciones de BC y AB, respectiva- 
mente, tal que FR//4C. Si Mes un punto ubica- 
do en la prolongación de AC, tal que RM//BC, 
3(48)=4(8R) y FR+AC=49, calcule CM. 
 
A) 7 B) 14 C) 28 
D) 21 Ej) 40 
Resolución 
Piden CM=x. 
F a R 
B 
Ak 
Á y € X M 
20 
Dato: a+y=45 
3(A8)=4(8R) 
Por corolario 1 8C//RM 
CM _RB 
ME BA 
y 3£ 
y 4K 
Observamos que CFRM es un paralelogramo. 
(1) 
=> a=xX 
=> x+y=49 (11) 
y=49-=x 
De (Il) en (1) 
3 EZ > 4x=3(49)-3x 
49=x 4 
 
x=21 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.”? 5 
En el gráfico mostrado, AF=FE=ED; AB=BC y 
CM=24, Calcule BF. 
 
 
C D 
E 
B 
F 
A M 
Aj 4 B) 6 C) 3 
D) 8 E) 10 
 
13 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Piden BF=x. 
 
 
Dato: 
n+(=24 
En el AACE aplicamos base media 
n=2x (1) 
Por corolario 2CD//AM 
EM _ A£ 
CE ED 
024 
n £ 
=> [=2n=4x (11) 
Sumamos (1) y (11) 
2x+4x=24 
x= 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.? 6 
En el gráfico mostrado, AB//CD y 
6(AF)=3(MF)=21BF). 
1 
Si CF=x+y; FT=3x-1 y FD=x-y, dd" 
E) 8 
A) 3 M A B 
B) 12 
C) 4 
D) 6 
 
C D T 
Resolución 
Piden 2 
xy 
 
 
 
Del dato 
6(AF)=3(MF)=2(8F) 
=> AF=k 
MF=2k 
BF=3k 
Por corolario 2 
x+y_3x-1 e 3x1. Xx=Y 
3H 2K 2K- — K 
3 2(x+y)=3(3x-1) A 3x-1=2(x-y) 
 
Operamos 
_ELAVE (E) 
21 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 7 PROBLEMA N.? 8 
En el cuadrilátero DAVI, mxV/A=90" y las dia- Enelromboide ABCD, BM=8 y MR=6, calcule RQ. 
gonales se intersecan en R. Si AD=DR, VR=39; 
 
RI=6 y AR=2, calcule AD. B E 
A) 2,5 B) 3 c) 2 a 
D) 1 E) 1,5 
Resolución 
4 
Piden 4D=x, E $ 
12 14 17 
A Al = B) — q == ) E ) A ) 
x 
D 11 
P D] — E) qe 
2 3 
Resolución 
v Piden RQ=x. 
Datos: 
* AD=DR=x; 
* AR=2;Rl=6 
. YR=9 
Trazamos DT 1 AR 
 
Por corolario 2 
DR TR 
RYO RI 
> ==- 
9.6 
*=1,5 
22 
 
al PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
También por corolario 2 
AM _8M 
MC MR 
b 8 
76 y 
De (1) y (11) 
x+6 _8 
8 6 
 
_CLave 
PROBLEMA N.? Y 
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior 
BF. 5i me = z calcule e 
FE 3 BC 
 
1 2 3 
Al — B) — E) = 
) 3 ) 3 2 
3 
Dj] 3 El — ) ) : 
Resolución 
Piden 2. 
y 
B 
aL | aL 
x y 
A a F b c 
Dato: 
tr
 
+ a 5 
3 s 
Por el teorema de la bisectriz interior 
xXx a 
y b 
x+ ay Y a+b 
b 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 10 
En un triángulo rectángulo MAR, recto en A, se 
ubica el punto $5 en la región exterior relativa 
al lado MA, tal que MA N AS=(1). Si AR=2(51); 
m«RAI=2m<sMI y m«xMSA=909, calcule 
m<xs5MmI. 
a =— B) 379 Cc) 309 
 D) Ej 15" 
“Resolución 
Piden maisMi=x. 
Datos: 
* m<uRAl=2¿mxsMi=2x 
+ AR=2(51)=2t 
23 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
Completamos medidas angulares. 
m«xRiA=m=xIiRA 
— (4=AR 
En el Ea, MSA aplicamos el teorema de la bisec- 
triz interior. 
MA _Al 
MS 5 
MA 2t 
os. 0 
MS t 
MA=2MS5 
—+ 
=> P=300 
*x=309 
_Crave (€)PROBLEMA N.? 11 
En un triángulo DAI, se traza la ceviana interior 
AV, y en la prolongación de DA se ubica el punto 
L. Si DA=24; DV=21; AV=15 y VI=35, calcule 
mal, E 
A) 309 
D) 459 
B) 379 C) 530 
E) 609 
24 
 
- 
Resolución 
Piden x. 
L 
A 
24 
15 
D 21 v 35 / 
Datos: 
DA=24; DV=21; AV=15 y VI=35 
Observamos 
Z+y+x=1800 
En el A DAV aplicamos la ley de cosenos. 
(21)%=(24)?+(15)?-2(24)(15)c052 
1 
COs7=-= 
2 
=> 2=600 
En el A DAV aplicamos el teorema de la bisectriz 
exterior, 
Se cumple 
DI _DA 
VI AV 
9 A 
35 15 
Entonces, Al es bisectriz exterior. 
x=y 
x=60* 
_ CLAVE (E) 
 
Á PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.? 12 
En un trapecio MARI (RA//MI) y Al=MI. 
E MS 
Si MR 1 Al=(5); AR=7 y AS=4, calcule e 
2 3 3 
aj £ B) > c = ) S ) > ) z 
1 á 
Dj) — Ej — ) 3 ) , 
Resolución 
Pen EE 
SR y 
 
 
 
 
M : / 
Datos: A/=MI!; AR=7 y AS=4 
Como A/= MI 
3 m<Mál=mxAMIÍ=0 
Por ángulos alternos internos 
meiHAM=m-=x4MI! 
En el AARS aplicamos el teorema de la bisectriz 
exterior, 
MS AS x 4 
—=— —$ ————==— 
MR AR x+y 7 
x_4 
y 3 
_CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 13 
En un triángulo ABC, la ceviana interior 81M con- 
tiene al centro de la circunferencia inscrita. Si 
_ B 
AÉ=14; BC=11 y AC=10, calcule 2, 
OM 
 
 
 
11 5 
A) — B) — 0) - ) 4 ) ) > 
5 
D) = El. ) 3 ) 
Resolución 
Piden EN 
OM 8 
14 Y 11 
0 
Y) 
Á M E 
10 
Datos: 
AB=14; BC=11 y AC=10 
Reconocemos que O es el incentro del triángulo 
ABC. 
Por el teorema del incentro 
BO 14411 
om. 10 
BO _5 
om 2 
 
| _ CLAVE (0) 
25 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 14 
En un triángulo W/M, se traza la bisectriz interior 
WE, y en ella se ubica el punto incentro £. En FM 
se ubica el punto R, tal que m«FLR=m=<IWE, Si 
WI=15; IM=9 y WM=12, calcule ER. 
A) 4 
D) 2 
c) 1 
E) 1,5 
B) 3 
Resolución 
Piden FR=x. 
 
 
Datos: 
* L:incentro 
* m<FLR=mx!WF 
Por el teorema del incentro 
b _15+12 b ñ 3 
a g o 1 
 
Como LR//WM aplicamos el teorema de Thales. 
b MR MR 
=== 3 RM=3x 
o RF x 
En el AWIM aplicamos el teorema de la bisec- 
triz interior. 
9-4x 15 
áx 12 
 
x=1 
_Cuave (€) 
26 
PROBLEMA N.” 15 
En un triángulo ABC, se trazan las cevianas in- 
teriores BF y AE, las cuales se intersecan en M. 
Si 318£)=4(EC) y 6(AF)=5(FC), calcule BM/MF. 
 
37 44 42 
De 15 31 
B 7 
Dj) — El — 
9 8 
Resolución 
den LE 
ME y 
B 
dt 
E 
3 
A 5k F 6k c 
Datos: 
. 3(BE)=4(EC) 
BE=4t 
EC=3t 
*. E(AF)=5(FC) 
AF=5k 
FC=6k 
En el AABC aplicamos el teorema de Menelao, 
(ECJBM)AF) =(BE)MF)(AC) 
(sé) 00(5K)=(84)0(114) 
15x=44y 
x_ 44 
y 15 
_CLAVE 
 
W PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.” 16 
En un triángulo ABC, la recta que contiene al 
baricentro interseca a los lados AB y AC en los 
puntos A y 5, respectivamente. Si 45=7;5C=3 y 
AR=8, calcule RB. 
AJ 2 B) 3 e! 
7 32 
DJ = E) — 
2 7 
Resolución 
Piden ARB==x. 
Dato: G es baricentro. 
 
 
Trazamos la mediana BM. 
BG=2(GM) 
> M5=2 a AM=5 
En el A ABM aplicamos el teorema de Menelao. 
(ARIBGHMS)=(RBNGMILAS) 
(8)(21)(2)=(0(t)(7) 
32 
x= 3 
PROBLEMA N.* 17 
En un triángulo ABC, se trazan las cevianas inte- 
riores concurrentes B5; CM y AR. 
Si 3(4M)=2(MB); T(BR)=5(RC) y SC=6, calcule AS. 
2D 
Ar — 
) 7 
D) 5 E) 
B) 6 Cc) 
a
]
 
Lo
 
=
 
Resolución 
Piden AS=x. 
De los datos 
AM=2k 
MB=3k 
BR=5l 
RE=T 
 
 
En el AABC aplicamos el teorema de Ceva. 
(2k(50)(6)=(3K)(70)b0) 
_20 
7 
Xx 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 18 
En un triángulo WIL se trazan IR; WP y LE; que 
son una bisectriz interior y dos cevianas inte- 
riores, respectivamente, concurrentes en F. Si 
WI=20; RL=5; IP=4 y PL=6, calcule El. 
A) 5 
D) 8 
B) 6 ca 7 
E) 4 
27 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Piden (. 
 
 
Datos: 
WI=20; AL=5; /P=4 y Pl=6 
En el A WIil aplicamos el teorema de Ceva. 
(0(6)(t)=(20—()(4)(5) (1) 
En el A WIL, como /R es bisectriz interior, aplica- 
mos el teorema de la bisectriz interior. 
20 10 
es 
=> t=10 (11) 
De (11) en (1) 
(6)06)(10)=(20—()(4)(5) 
b=5 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 19 
En el gráfico, AT=7 y TB=2, Calcule BL. 
 
 
28 
a 
A) 3,6 B) 2,5 Cc) 3,2 
Dj 5,2 E) 6,3 
Resolución 
Piden BL=x. 
 
 
 
Datos: AT=7 A TB=2 
Trazamos FB. 
Como mxAFB=390* 
3 m-<uTFB=45* 
Por el teorema de la cuaterna armónica 
 
AT AL 7 o O+x 
—=— =$ —= 
TB BL 2 Xx 
x=3,6 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.* 20 
En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la 
altura BH. La circunferencia inscrita en el la AHB 
es tangente a AB y BH en los puntos A y 5, res- 
pectivamente. Si R, 5 y E son colineales, calcule 
m«*ABC. 
Aj 74% 
D) 45% 
B) 530 Cc) 30% 
E) 609 
 
E PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución NIVEL INTERMEDIO 
Piden x, 
PRO MA N.* 21 
Datos: 4 ABC es isósceles; R, 5 y Cson colineales. qn y 
Enel gráfico mostrado, Fe Z y Z, son parale- 
las, lo mismo ocurre con 7, , F. y Fe. Si AB=6; 
CD=9 y MN=2, calcule NF. 
Como A4AABC es isósceles 
=> AH=HC 
m<xABH=m+=<HBC=y 
—=3 x=2y 
 E, / JE 
 
A) 4,5 B) 2 Cc) 4 
D) 1 E) 3 
Resolución 
Piden x. P, Pe Pe 
 
 
Observamos en el ARBS 
y=2B 
Por la cuaterna armónica 
 
 
 
 
2 
== lo» =3 0=26 
a+ Por el teorema de Thales 
SP x b 
El E, SHC es notable de —., MZ 
2 2 0 
$ PAINE E MEA Observamos que CD//Z, 
2 => b=3 
y=37" Además el AABL es isósceles. 
x=740 058 
x=3 
_cuwe(A) _Cuave (E) 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 22 
En el gráfico, MARI y NTLÍ son rombos. 
Si¡AM=12 y NT=8, calcule LB, 
A 
 
A) 14 Bj) 10 C) 16 
D) 12 EJ 8 
Resolución 
Piden LB=x. 
 
 
Datos: 
AM=12 A NT=8 
Por corolario 1 JR//LT 
x b 
> (1) 
Por corolario 1 MR//IT 
TB Bl 
TR IM 
b_8+x 
a 01 
30 
De (1) y (11) 
x_8+x 
8 12 
=> 12=64+8x 
x=16 
_Cuave (€) 
PROBLEMA N.” 23 
En el gráfico, AB//CE; BN=2(CT); CN=2(N8) y 
4(L8)=3(LD). Si AT=10 y NL=4, 
 
 
calcule LEAN. 
TD 
A B 
L 
T - 
E D E 
A) 5 B) 6 0 8 
D) 7 E) 4 
Resolución 
x- 
Calculamos ——=. 
 
 
y PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
 
Del dato 
.« CíT=g . BN=2la 
.« NC=4o . (B=3b 
* [D=4b 
Por corolario 2 
10 3a+20 
También 
y _ la 
d+x 3a+a 
—> 2ly-x=4 (1) 
De la misma forma 
y+4_ 3b 
Xx Ab 
=> 3x-4y=16 (11) 
De [1) y (11) 
y=14 a x=24 
AE 
É 
_cuave (A) 
PROBLEMA N.” 24 
En el gráfico adjunto, ABCD es un romboide, 
BL=5 y AD=8, Calcule en. 
EM 
 
5 
Al —= 1 M 
3 
Bj) — 
3 
3 
E B L C 
1 
DI — 
Y 
A D N 
ej É 
3 
Resolución 
Piden Ss =, 
cm y 
 
 
Datos: 
* — ABCD es romboide. 
*« Bl=5 
+ AD=B 
Como BC=AD 
=> BL+LC=AD 
5+1C0=8 
=> LC=3 
Por corolario 1 CL//ND 
on DL 
cM 11M 
y 
= 
|x
 
Ñ 
j
o
 
Por corolario 1 CD//BM 
il 
1 
<
l
x
 
c
l
a
 
m
i
u
w
 
 
u
n
]
u
 
_CLAVE 
twitter.com/calapenshko 31 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 25 
En el gráfico, 4J=9 y JY=3. Calcule NY. 
A 
 
 
A) 34/2 B) 343 Cc) 6 
DJ 243 E) 345 
Resolución 
Piden NY=t. 
 
 
Datos: 
Al=9 A JY=3 
En el ANAL, J es ortocentro. 
3 Mm=NMA=390* 
En el 7 JATL, AL 1 JT, entonces JATL es rombo. 
=> mx*ANI=mxLN 
32 
En el Es NYA aplicamos el teorema de la bisectriz 
interior. 
NA A 
NY JY 
A 9 
a 
3 
3 0=3t 
Aplicamos el teorema de Pitágoras en el la NYA. 
(309*=4+(12)1 
t=34/2 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 26 
En el gráfico mostrado, DAV/ es un rectángulo 
y A y V son puntos de tangencia. Si mAE - mEv 
ER 
y 2(D4)=5S(RV), calcule —. 
 
 
 
1 A) B) €) 
u
r
i
 
j
u
s
 
W
a
 
n
j
 
D) E) 
 
occ AO PORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
ER 
Piden — = 5 
RI y 
 
 
 
De los datos 
+ mAE=mEV 
*« DA=5k 
. RV=2k 
En la circunferencia 
mAE = mEV = 909 
Por el teorema de la bisectriz exterior 
ER RV 
cs, E 
El Vi 
PROBLEMA N.* 27 
En un triángulo WIL, se ubica un punto F en la 
región interior, tal que 
maAwWIF=m=<FIL=m-=<WFL-908,—SiWI=7; L=8 y WL=S5, calcule IF. 
AJ 6 Bj 5 O 4 
p) 2 E) 247 
2 
Resolución 
Piden [F=x. 
 
 
w 7k R Ek L 
 
Respecto a los datos indicados en el A WIL, por 
teorema reciproco del incentro, F es incentro 
del A WIL. 
Por el teorema del incentro 
IE WI4 IL 
FR Wi 
x 748 
FR 
 
> HR=Z 
3 
En el A WIL aplicamos ley de cosenos. 
7*=8*+5?-2(8)(5)cosf) 
Donde f=m=WL! 
=> m=XWL/=608 
33 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Por el teorema de la bisectriz interior, en el 
AWIL 
7 R 
E => WR=7k y RL=8k 
8 AL 
+ paz 
3 
En el A WIL aplicamos ley de cosenos. 
 
[e x le (ay (3 28) 8 os6o» 
3) 3 3 j 
x=2v7 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 28 
En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz in- 
terior BH y la ceviana interior 40, las cuales se 
intersecan en L, Si AL=3(LQ); 9(HC)=5(AH) y 
QC=4, calcule AB. 
 
 
A) 12 B) 18 Cc) 9 
D) 15 E) 21 
Resolución 
Piden AB=x. 
Datos: AHC)=5(4H) A B 
AL=3(L0) 
A 9k H 5k € 
En el A4-BO aplicamos el teorema de la bisec- 
triz interior. 
x 3n 
—=— — — mu 
y on 3 
34 
A 
Enel AAGC, aplicamos el teorema de Menelao. 
o y : A 
(9x)(0] E+a)=(5k Ja) (=) 
—= 3x+36=5x 
” x=l8 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 29 
En el gráfico mostrado, AB=13; BC=15 y 
AC=14. Calcule r. 
 
 
E 
C 
1 
A) 10 B) = Cc) 3 
22 27 
D]) = Ej) — ) ) S 
Resolución 
Piden r. 
 
 
Dunia rr O AGONALIDAD DE SEGMENTOS: Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
En el AABC aplicamos el teorema de Ceva. 
(EBHAH)NEC)=(AENBFIHC) 
Flal1s—-r)=(13=r)£ (b) 
a(15-r)=b(13-r) (1) 
Luego aplicamos el teorema de Pitágoras. 
BH*=AB*-AH?*=13?- 0? 
8n*=80*-Hc?*=18?-p? 
> b?-a?t=56 
Como b+a=14 
3 b=9 n 0=5 (11) 
De (11) en (1) 
5(15-r)=9(13—r) 
21 
r=— 
2 
_Clave 
PROBLEMA N.* 30 
En un triángulo ABC, se trazan las cevianas inte- 
riores BT; CR y AS, las cuales son concurrentes 
en H, La prolongación de RS interseca a la pro- 
longación de AC en el punto F. Si AT=6 y TC=4, 
calcule CF. 
A) 6 
8) 8 
Cc) 12 
D) 15 
E) 20 
 
Resolución 
Piden CF=x. 
B 
R 
5 
A 6 TACx E 
Datos: 
AT=6 A TC=4 
Por cuaterna armónica 
6_10+x 
4 x 
 
=> bx=40+4x 
2x=40 
x=20 
cal 
PROBLEMA N.”? 31 
Se tiene el rectángulo MFGH y en el A MFH se 
trazan las cevianas interiores FP y FO, las cua- 
les trisecan a MH. Si la diagonal MG interseca a 
dichas cevianas en los puntos A y B, respectiva- 
mente, y FH=40, calcule AB. 
A) 4 
B) 8 
Cc) 6 
D) 10 
E) 12 
twitter.com/calapenshko 35 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución Obtenemos que 
Piden AB=x. ¿=10 1 y=4 
x+y+z=20 
F 3a G y *x=6 
20 20 _CLAVE O 
0 
y 
Xx 20 PROBLEMA N.* 32 
EA En un triángulo POR se trazan las cevianas 
Observamos que 
> 
Como AMBO -— AFBG 
=> 
36 
 
 M 4 p a Q a H PA _AB_ BC 
interiores QA y QB, tal que —=—==— 
A 
m«PQA=m=408=m=xBOR. 
p 
x+y+z=20 Calcule ER 
Como AMAP - AGAF 2 6 
Al ¡l= B) .l= C) 
MA _ MP 7 7 
AG FG FE 
0 E — 2 qn) > 
x+y+20 30 
Resolución 
Jz=x+y+20 Xx 
Piden —. 
37=(20-2)+20 
¿=10 
MB_mMQ 
BG FG 
2+x _20 
y+20 3a 
 
 
3(2+x)=2(y+20) 
3(20—y)=2y+40 
60-3y=2y+40 
20=5y 
y=4 
 
Trazamos PH 1 Q8, RS 1 QB y el rectángulo 
PHST. 
 
4 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
En el 5. PHO, sabemos que 
senda = e =23 PH=xsen2o 
x 
También en el RASO 
a — R5=ysena 
y 
Por el corolario de Thales 
o 
BP sT Tn xsenza 
 
De forma análoga, diremos que 
 
 
xsena _3n (10 
ysenla 9n 
De (1)/(11) 
ysena 5n 
xsen2al _ 7n 
3xsena 3n 
ysenda 9n 
2 4 EL 
x 21 
x_ 7 
y Vis 
PROBLEMA N.? 33 
5e tiene una circunferencia de diámetro MC, 
en CM se ubica el punto P, 5e traza PB, el cual 
es tangente a dicha semicircunferencia en 5. Si 
m<xCBP=90%, BC=5 y PB=12, calcule BS, 
pa
 0 
I
o
 ? 
A) B) 3 Cc) 3 
5 D) 2 E) 2 
3 
Resolución 
Piden £$B=x. 
 
 
 
Por teorema de Pitágoras, en el xCBP 
(pa=5*4+12? 
=> PC=13 
Trazamos ME. 
Observamos que PB //ME 
> mMS=m5E 
Por ángulo inscrito 
am, 
mMS ms5E 
qu= A p=— 
2 2 
 
—+ a=f 
Aplicamos el teorema de la bisectriz interior en 
el CBP, 
Bs CB 
—$ e A AÁá 
BP CP 
x_3 
l2i-x 13 
 
13x=60-5x 
_CLAVE 
37 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 34 
Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
Exteriormente se grafica el rectángulo ACEF, tal 
que FE=2(4F). Si BF y BE intersecan a AC en los 
puntos P y Q, respectivamente, AP=0 y CO=b, 
calcule PQ. 
A) V/ab B) 2/0b C) 4v/ab 
D) 3/ab E) 8 
Resolución 
Piden x. 
B 
 
 
M ak F xk E bk N 
Como AC//EF, entonces los triángulos ABC y 
MBN son semejantes. 
=3 AABC-= AMBN 
Aplicaremos la proporción de elementos homó- 
logos. 
MF _FE_EN 
AP. PQ QC 
MF_FE_EN_, 
a Xx b 
MF=ok, FE=xk, EN=bk 
Observamos que ¿4/MFA — ACEN, 
ak n 
n bk 
n= Vobk 
38 
7 
Del dato: 
FE=2AF) > xK =2V0b K 
E x=2v/ab 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 35 
Se tiene un triángulo ABC inscrito en_una cir- 
cunferencia. En BC se ubica P, tal que mÁABP= mPC, 
La prolongación de PB interseca a CÁ en H. Si 
AB=c, BC=a y AC=b, calcule 4H, 
a y q 
b+e a+c 
be 
o-€ 
b D) E E) ZE, 
a+c b-c 
Resolución 
Piden AH=x. 
Dato: 
PR pa, 
mABP =mPC = 6 
 
 
Observamos que por ángulo inscrito 
E mPC _06 
“a 
Observamos que por ángulo exinscrito 
mÁBC _8 
2 2 
 
B= 
+ a=B 
 
o PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Es decir, BH es bisectriz exterior del AABC. 
Aplicamos el teorema de la bisectriz exterior en 
el AABC. 
AHZAB € 
HC BC x+b a 
_ bc 
a—c : 
_Cuave (C) 
PROBLEMA N.” 36 
En el gráfico mostrado, Q, $ y T son puntos de 
tangencia, T es baricentro de la región triangular 
BCD, mx0SA=90%, QB=n y BC=(, Calcule —. 
 
CcM 
MD 
2n c 
Aa 
3 
2 
n 
Q M n 
Cc) 0 
D) e IZ D 
n 
Ven 
E 
Resolución 
 
. 
- 
En el ABCD aplicamos el teorema de Menelao 
(AM es la recta secante). 
= MDIBS)]AC)=[CM)ISD)AB) 
y Geem (0) =x (2 ñm)n 
LE 
o E
 
_Cuave (D) 
NIVEL AVANZADO 
PROBLEMA N.” 37 
En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado, 
BH=2(CH) y BM=MF. 5i AR=5, calcule AL. 
 
 
 
 
A) 20 
B) 24 
C) 25 
D) 10 
E) 15 
twitter.com/calapenshko ?* 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Piden Al=x, 
 
 
 
Por teorema de Thales 
x_FT_FM+MT _MB+MT 
 
S TB TB TB 
Del dato 
BH=2(CH) 
=> m=iMBC= a 
Como Es, ATB=Ex BHO 
a+b_ 
——=a 
2 
=> b=0 
530 
ES, MAHC: notable de ná 
— [== 
_ CLAVE (A) 
40 
PROBLEMA N.? 38 
En un trapecio rectángulo MARI, recto en M yA, 
se trazan las diagonales, las cuales se intersecan 
en N: En MI se ubican L y T, tal que NL//AM y 
NT//RÍ. Si NL=TI, calcule max ARM. 
A) 742 B) 53* Cc) 329 
O gar 
2 
D) 459 
Resolución 
Piden mxiARM=x, 
A R 
 
mM z L d T a l 
Dato: 
Ni=Ti=a 
Observamos 
AR//MI 
AN _ RN 
NI. NM 
n RN 
m NM 
=> RN=nk a NM=mk 
Como NT//RI 
2+d_ mk 
A (1) 
a nk 
 
Como NL//AM 
JH (0) 
ñ E 
Igualamos (1) y (11) 
a+d d+a 
—=— == 2=0 
a z 
Ea MLN: notable de 45% 
x=450 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.” 39 
En el gráfico mostrado, 3(C0M)=2(MPF). Si BE=40, 
calcule ME. 
Ec 
A 
A) 20 B) 16 Cc) 24 
D) 15 E) 10 
Resolución 
Calculamos ME=x. 
 
 
Del dato 
3(CMM) =2(MF) 
3 CM=2k 
MF=3k 
Como DE//AB, por corolario 2 tenemos 
xXx q 
y b 
Como CD//AF, también 
a 2 
b 3k 
Xx _2¿k 
y 3k 
Del dato, x+y=40 
= 2k+3k=40 
k=8 
x=16 
Oy
ys
ua
de
¡e
9/
u1
09
"1
93
J1
M3
 
Clave 
PROBLEMA N.” 40 
En el gráfico mostrado, RF=3(FT). Si AB=5 y 
BC=2, calcule CH. 
A) 4 
BJ 3 
Cc) 2 
D) 5 
E) 6 
 
 
41 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Piden CH=x. 
 
 
Trazamos CT. 
En el LA inscrito CAST 
m<CcA5=maCTH=a 
En el A inscriptible TRAH, me ATL=m-<FAH=0t 
Por el teorema del ángulo inscrito en la circun- 
ferencia 
mXAIRAS=m<RTS=( 
Observamos 
EL=RF 
(+TL=3( 
=> Tl=2! 
Observamos 
CH=HL=x 
Par corolario 1 (como AF//TB) 
TL BL 
FT AB 
2f 242x 
£ 5 
x=4 
 
42 
ES 
PROBLEMA N.? 41 
En el gráfico mostrado, M, N y Tson puntos de 
tangencia. Si AC=12; EN=9 y BM=5, calcule TL. 
 
 
A E N 
A) 3,5 
D) 2 
Resolución 
Piden Tl=x, 
Datos:AC=12; BM=5 a CN=9 
 
 
Como el ¿A MAN es isósceles 
== maAMAH=m=xHAN 
También 
AM=AN 
AB+5=124+9 
=> AB=16 
 
y 
Sabemos que 
TB=BM=5 
TC=CN=9 
En el triángulo ABC aplicamos el teorema de la 
bisectriz interior. 
UN Ae 
LC AC 
S+x 16 
9-x 12 
x=3 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 42 
En el gráfico mostrado, ARON es un paralelogra- 
mo; además R, O y N son puntos de tangencia. 
NP 7 op 
5i— =-, talcule —, 
TN 3 OT 
 
P 
R 0 
T 
A ÑN 
3 
Al — B) — a ) ) y 
7 ? 
DI - E] — > 4 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Piden 
OP _x 
or y 
 
 
Datos: 
=« —ARON es paralelogramo. 
NP _ 7 
TN 3 
Por teorema del paralelogramo 
miRON=m=xRAN=m=Xx0NH=0 
Por teorema de la circunferencia 
m<NOF=m=<0ONH=0r 
En ATOP aplicamos el teorema de la bisectriz 
exterior. 
OP _NP 
OT TN 
x_12 
y 3 
43 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 43 
En el gráfico adjunto, / es punto de tangencia, 
SB//MR y MS=ST. Si AM=9; AR=11 y MR=15, 
 
AE 
calcule —, 
El 
A 
5 
M i R 
A 9 
A) — Bj) = c) — ) 3 ) 4 
7 6 
Dj) — EJ = 
3 5 
Resolución 
AE 
Piden LE =2 
El y 
 
 
 
Como SB//MR 
= mx5A/=mxBAl=0 
Como MS=5T y ST//MI 
23 mxsMT=mx<TMl=a 
44 
Notamos que É es incentro del AMAR y por 
teorema del incentro 
 
AE _ MA+AR 
El MR 
*x .94+11 
y PAE 
y 15 
y. 
y 3 
cure (A) 
PROBLEMA N.” 44 
En un cuadrilátero 4ABCD, se traza 7, la cual in- 
terseca a las prolongaciones de CB y AD en los 
puntos E y F, respectivamente, y a los lados AB 
y DC en los puntos M y L, respectivamente. Si 
AM=6(MB); 2(CL)=3(DL); BC=2(DF)=6 y EB=4, 
calcule 4D. 
A) 8 B) e O 7 
5 
40 
Dj) — El 6 > ) 
Resolución 
Piden AD=x. 
 
 
De los datos 
Cl=3k A Dl=2k 
Trazamos BD. 
En el AABD aplicamos el teorema de Menelao. 
(6£)(a)(3)=£(b)(x+3) 
o x+3 
-—— 
b 18 
En el ABCD aplicamos el teorema de Menelao. 
(24Na)1(10)=(34)(6)14) 
02 
b 20 
Igualamos (1) y (11) 
PROBLEMA N.” 45 
En el gráfico mostrado, NL=6; LA=4 y AY=5. 
Calcule ee 
JT 
A) 
B) 
Cc) 
D) 
_CLave 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Piden pe a a 
JT y 
Datos: NL=6; LA=4 y AY=5 
(1 
(10) 
 
 
Por el teorema recíproco del ortocentro, 
J, Ry A son colineales. En el A NAT aplicamos el 
teorema de Ceva, 
(6)(5(y)=4(0)x 
£- 30-15 
> == =—_ == (1) 
y da a 
Observamos que el Es, NYA es notable de 30% 
y 60". 
m«ANY=30% 
=2 (5+0)=2(4) 
a=3 (11) 
De (11) en (1) 
 
E) 
m
i
n
 
r
a
y
)
 
m
n
j
o
 
B
j
 y
 
W
i
n
 
 
_Cuave (E) 
45
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 46 Resolución 
En el gráfico mostrado, P, T y 5 son puntos de Piden Al=x. 
tangencia. 5i BP=7 y LB=4, calcule AL. 
 
 
A E T 
 
 
Datos: BP=7 y LB=4 
Por cuaterna armónica 
 
44 
A) 12 B) 10 Cc) — x_1+x => 7x=44+4x 
3 4. 7 
44 
D) 11 E) 3 x=— 
2 3 
_ CLAVE (0) 
twitter.com/calapenshko 
 
'- PROBLEMAS PROPUESTOS . 
NIVEL BÁSICO 3. SLI LIL! Ta: 310C)=2(FG) y 
1018C) =3(HG), calcule = 
l. En el gráfico, %,// L,// Ly, AB=x-3; 
DE=x+3; BC=x-5 y EF=x-1. 
Calcule x. 
 
 
 
 
 
 
 
5 7 5 > ay 2 8) É ec) 2 
] Á 13 le Jo 
p) ? E 
A) 7 B) 8 0) 9 , 
D) 6 E) 010 A SIZE, F,; UEF)=3(FG) y BD=21B0), 
Lo e calcule mx ABF. 
2. SF // F531/ Ez calcule AB. 
R 
. A_JE L, 
e a £y 
> 55 BÉ. y F 
INF eZ Z, D 
. e 
B Cc G " ez 
%, y 
o 
A) 379 B) 539 Cc) = 
A) 4 B) 3 Cc) 8 o $ ) ) E a 
D) 10 E) 2 2 2 
47 
 
LUMBRERAS EDITORES 
5. SIMN//AB; 15(MC)=4(NB) y 5(MA)=3(NC), 
MEC 
calcule —., 
MA 
C 
M ÑN 
A B 
ay 2 a 2 q £ 
4 2 3 
2 7 
DI — El — 
5 3 
6. El trapezoide ABCF es simétrico; además 
CE=7 y ED=18, Calcule 4M. 
 
 
B C 
E 
A 
MM A D 
139 175 2 
sn ae «e2 
14 18 11 
111 
D) — E) 28 
5 19 
7. Se tiene el triángulo ABC. En los lados 8C 
y AC se ubican los puntos E y T, respecti- 
vamente, Me BE; MT//AB y AMJ//TE. 
Si ME=4 y EC=10, calcule BM. 
48 
A] 6 B) 7 C) 4 
25 28 
p = Ey 
3 3 
Enelgráfico, F,// P,1/ La/] Fi; ED=8(AB) 
y QR=2(NM). Si BQ=6 y DC=4, calcule BC, 
Ma MI 
No A L, 
A D Q Py 
Y N R 2, <= ; E 
A 
A) 3 B) 1 a 2 
D) 5 E) 4 
Si DEJ/AC; MC=2(DM) y TB=3[TM), 
BD 
calcule —, 
AD 
 
 
A) 1 B) 
Ln
 
[r
a 
€) 
SS
 
i
n
j
a
 
t
u
r
 
D) 2 E) 
 
10. En un triángulo ABC, se ubica el punto Fen 
la región exterior relativa al lado BC, tal que 
AEFC es un paralelogramo. 
Si en el punto M EF interseca a BC, además, 
AC=14 y 4(8BM)=3[MC), calcule MF. 
Cc) 5 
E) 4 
A) 7 
D) 2 
B) 2 
11. Enel gráfico, FN=4 cm y FD=6cm. 
 
Calcule AN. 
B 
al € 
90" — 
A N F D 
5 5 10 
A) = cm B) = cm C) — cm 
6 3 3 
D] z em E) 2 cm 
6 3 
12. Enel gráfico, PORS es un romboide, 4P=5 y 
QOR=6. Calcule PC. 
 
Q R 
CL 
B 
CL 
A p 5 E 
A) 7 8) 8 Cc) 19,2 
D) 7,2 E) 12 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
13. Enelgráfico, 3[4F)=2(FE)=ED=6. 
Calcule BF. 
 
A 
FE 
aL 
B £ D 
Aj 7,5 B) 6 C) 5 
D) 4 E) 5,5 
14. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz in- 
terior BE. Si AB=7; BC=39 y AC=8, calcule AE. 
c) 2 
E) 3,5 
Aj 4 
D) 4,5 
B) 3 
15. Sea ABCD un cuadrado; además RT=3 y 
TC=2. Calcule 24. 
NT 
 
 
B C 
R T 
N 
A D 
5 6 
ay 2 B) 2 c) - 5 ) Í E 
7 6 D) E) = 15 h 
49 
 
mu A 
16. Enun triángulo ABC (AB >.BC) se traza la bi- 
sectriz exterior BF. Si AB=8; BC=2 y AC=7, 
17. 
50 
 
calcule CF. 
A) 6 B) 5 Cc) 4 
F 
D) 3 E) — ) ) 3 
En el gráfico, 3(4F)=2(FC). Si BC=20, 
calcule BM. 
B 
8 
60 
A Mi E 
a/a 
A) 12 B) 4 Cc) 5 
DJ) 8 E) 6 
En un rombo ABCD, se traza la diagonal AC; 
además en la prolongación de CB se ubica el 
— MS 
punto M, tal que MD 1 AC en $, Calcule 3 
si MB=9 y AB=2. 
e 
3
1
5
 
R
i
a
 
m
i
a
 
m
i
n
 
m
E
 
19. Enel gráfico, S(AB)=3(EC) y BC=2(AE). 
21. 
Calcule Al 
IE 
 
 
A] 1/30 B) 15 cd 2415 
5 2 3 
En un triángulo ABC, se traza la circunferen- 
cia inscrita de centro 0. El BO interseca a AC 
en el punto E. Si AB=9; BC=6 y AC=5, 
BO 
calcule —. 
A] 2 B) 3 05 
3 
D) — El 7 ) , ) 
En un triángulo ABC, se ubica el incentro /, y 
se traza MN//CB, tal que / e MN. Si AB=8, 
BC=9 y AC=7, calcule MN. 
7 
A) Sl B) E Cd 6 
2 5 
45 
D) 39 Ej = 
2 8 
 
W PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
22 Enuntriángulo ABC, se ubican los puntos E, 25. En un triánguio ABC, se trazan las cevia- 
F y G en los lados AB, BC y en la prolonga- nas interiores concurrentes AR; BT y CM. 
ción de AC, respectivamente, Si A£=5(EB); Si 5(47)=3(TC); RC=4(BR) y MB=2, calcule 
BF=3(FC) y AC=7, calcule CG. AM. 
ayi e) 2 a? A) 3,6 B) 5 C) 6 
a > 2 -D) 2,4 E) 4,8 
1 1 
D) = Ey E ) a ) ; 
26. En un triángulo POR, se traza la mediana 
23. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas QM y las cevianas interiores RE y PF, donde 
interiores CM y AE, las cuales se intersecan las tres líneas en el punto T son concurren- 
en el punto R. Si 2(8E)=3(E€), MR=RC y A si TR=3ET) y ET=12, calcule TM. 
AM=6, calcule la longitud del lado AB. (EF QM=1L]) 
A) 24 B) 36 C) 6 A) 8 B) 7 06 % . ) a A 
D) 9 E) 4 ) 
24. En el gráfico, 3(£F)=2(FG); FC=2 y AC=9, 27. Enel gráfico, BM=6; MC=10 y BE=ED. 
 
 
Calcule BF. Calcule TB, 
B B 
A 
) 
Mm 
F T 
or 
A D C 
56 50 72 
A 3 SR 49 7 3 7 A) 7 B) 6 Cc) E 
54 29 48 
D] — == 48 
11 ) 2 D) z E) 8 
51 
 
LUMBRERAS EDITORES 
28. 
52 
En un triángulo ABC, se trazan BR y BF, las NIVEL INTERMEDIO 
cuales son bisectriz interior y bisectriz exte- 
rior, respectivamente (Fe AC), Si AR=6 Y 
RC=5, calcule FC. 31. Enelgráfico mostrado, A£=EB=DC, 
Si £M(8C)=18, calcule DE. 
A) 36 B) 18 C) 16 
D) 24 E) 55 
En el gráfico adjunto, ON=4 y NC=6. 
Calcule CT. 
a | 
NS A) 3 B) 342 Cc) J6 
| 77 
 
 
T D) 2/5 E) - 
32. En un triángulo rectángulo AMR, recto en 
M, se ubica len MR, tal que 25(M)=7(1R) y 
 
 
 
 
A) 15 B) 10 C) 12 m=MAl=m-/AR, Calcule m</4R. 
Dj) 18 Ej) 9 530 
) A) 379 3) + C) 53% 
En el gráfico mostrado, maAE =méF. Si D) 459 E) 152 
AT=5 y TL=3, calcule ML. 2 
33. Sean BC//AD//EF y3(EF)=3(8C)=2(4D). 
Caléuie +. 
FD 
B C 
A D 
5 7 
Aj 2 B) — Cc) = ) ] 5 ) > 
A) 12 B) 8 Cc) 9 ) ) ) o) E) 7 
D) 10 EJ 6 4 
 
34, 
35. 
36, 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
 
En el gráfico mostrado, CD=3(BC)=3. N 
Calcule AB. 
D 
C A 
4% X s T 
4 
A] 3 Bj) 12 C) 13,5 
A) — B) — c) 1 D) 24 E) 10 
5 pa _ CF D) 5 EJ) 2 37, Si EF//AC y mMB=2mAM, calcule: 
B 
Se tiene el cuadrado MARI, cuyo centro es 
O, MAL) =3(5C) y MG=21G!). Si LR//SO//€l M 
y EO=4, calcule 06. 
 
 
 
> F 
a 8 A: 
A E 
E 
B 9 A) 1 B) = ci 
3 
5 2 D) es 
M G | 
38. En un triángulo ABC, G es baricentro; ade- 
más se traza la ceviana interior AN, la cual 
6 interseca a BG en el punto 7. En la prolon- 
gación de dicha ceviana se ubica el punto 
A) 6 B) 8 c) 20 R, tal que BR//AC. Si T8=3(TG) y NR=8, 
D) 12 E) 16 calcule AN. 
En el gráfico adjunto, 2(AN)=3(AT). Si A) 24 B) 12 Cc) 9 
Q5=6, calcule RO. D) 4 E) 16 
53 
 
LUMBRERAS EDITORES 
39. En un triángulo isósceles ABC, AB=4 y 
40. 
41. 
54 
AC=8; también se inscribe una circunfe- 
rencia, la cual es tangente al lado BC en el 
punto 7. En la prolongación de AT se ubica 
el punto M, tal que BM //AC. Calcule e 
1 
A) B) 5 C) 
D) E) 
j
r
 
a
j
a
 
B
j
 
jr
 
u
j
r
 
Si MA //Ri y 16(RC)=15(4Z), calcule mMA. 
Z 
 
 
A) 60* 
D) 1069 
B) 909 C) 749 
E) 450 
Sea el triángulo equilátero ADE, donde 
DR=8 y AR=6. Calcule an 
ME 
 
2 
Al — YE D 
B) 1 
4 
ao — 
1 
3 DI 2 
13 4 
6 0010 
Ej] — 
13 
A M E 
42. 
43. 
Sean T y Q puntos de tangencia; además 
mQl=2m<xAPE=2mx EPT. Si 3(AL)=2(LE) 
y AP=20, calcule PT. 
A 
A) 10 
B) 8 
Cc) 9 L 
D) 12 
E) 16 
7 
SimTL=mLY =m<REL; 2(AJ)=5(AR) y 
JR=12, calcule RE. 
J 
2, 4 
8) 6 
e
 
A) 9 
D) 8 
C) 5 
E) 4 
En una circunferencia se trazan los diáme- 
tros perpendiculares AB y CD. En el arco 
AC, se ubica el punto P, tal que AP y DC se 
intersecan en 7. Si las cuerdas CD y PB se 
intersecan en M, además 7(PM)=2(TP) y 
MD=18, calcule TM. 
A) 45 B) 30 C) 28 
D) 25 E) 35 
 
8 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
45. Enel gráfico mostrado, |, e/, sonincentros 47. Se tiene un trapecio ABCD circunscrito a 
de los triángulos ABH y BHC, respectiva- una circunferencia, donde las prolongacio- 
nes de AB y DC se intersecan en el punto R. 
 
 
Bl. Bl 
mente. Saca Si AR=6; RD=9 y AD=7, calcule BC. 
¡FO bl 
33 28 25 
A) = Bj) = ad —= 
B y > der > 
32 28 
p E py = 
5 5 
h h 
48. Sea AEFG un romboide; además AG=5 y 
370 e GH 
Á E 4 [ C GC=8. Calcule He 
B 
5 
A) 4 B) 5 a: 
2 
7 E F 
D) 3 E) = ) ) S 
NIVEL AVANZADO 
46. Sea T punto de tangencia; además AB=4 y A G H € 
FC=3. Calcule TM. 8 5 4 
A) = B) = a = 
13 g 7 
2 3 
o) = a = ) 3 ) E 
49. Si Tes punto de tangencia, RT//CA, RT=5 y 
RM=8, calcule TM. 
A) /61 
8) /62 
y E 5 E E c) 4/51 
1 > ) D) /29 
E) 431 
 
 
L
a
 
|
)
 
E) 
 
 
LUMBRERAS EDITORES 
50. Si (CB)=3(FE)=15 y AB=a, 52. Sean B y D puntos de tangencia; además 
TB 
E 
= = a. 
calcule EM qe TE=1 y EC=3, 
Calcule ap 
AM TD 
e LA, 
 
 
y A 
M L 
D 
A B C 
1 3 
A) 1 B) 2,5 da 2 A) = B) — tc) = 
3 4 
30 
po = E) = oy 2 1 
8 ) 3 E) 2 
51. Se tiene el rombo ABCD. En CD se ubica el 53. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
 
 
 
 
 
punto R, tal que BC=0 y RC=b. En CD, AD se trazan las bisectrices interiores CM y AL 
y BR se ubican los puntos N, M y F, respec- [M y Len AB y BC, respectivamente). Si Cl=a 
tivamente. Si FN//BC; FM//AB y FR=3(8F), y LC=b, donde / =CMnAL, calcule BL. 
calcule FN-=MEF. 
ab ¿py 
ba A] —— B) ob C) o+b 
A) a—-b 
dz 
D) a-b g 
2b-0 a+b 
B) 
4 
3b 54. En un triángulo ABC, AB=10 y BC=AC=8. 
q Te 3 : En B€C se ubica el punto R, tal que GR in- 
terseca a AB en el punto M, donde G es el 
D) b-a baricentro del AABC. 5i RC=2, calcule BM. 
E) 3b-20 A) 4 B) 7 C) 8 
3 D) 6 Ej) 9 
56 
 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
55. En un triángulo ABC, se tiene el baricentro 58, Se tiene el romboide 48CD, donde GF=5, 
57. 
G; por dicho punto se traza una recta que FH=3 y 3(8C)=4(CD). Calcule x. 
interseca a AB y BC en los puntos M y N, 
respectivamente, tal que MB=3[MA). Si B E 
BN=12, calcule NC. G 
A] 3 BJ) 6 Cc) 8 
Dj) 10 E) 4 
A H D 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en 8, 
¡ 370 o se traza la altura 8H y las perpendiculares Poe B) 53 C) 379 
HE y EF hacia BC y HC, respectivamente. 2 2 
22 22 catcita TE D) 30* E]. 534 
HE 5 EC” 
A 6 59. Sea ABCD un trapecio isósceles, donde T es 
A) ; B) E Cc) = punto de tangencia, MT // AD, 4(MT)=3(AF), 
y RB=9. Calcule AR. 
D)= uz 
En el gráfico mostrado, T y 5 son puntos de 
 
 
tangencia, ET = . y 5M=1. Calcule r. 
A) 6 B) 14 ao 7 
D) 10 E) 12 
60. En una circunferencia de centro O, en la 
prolongación de AB se ubica el punto R; por 
 
 
este punto se traza la mediatriz de AC. Si 
BC ri OR=[F); OF=1; FR=4 y BF=3, calcule 
1 (OCIBR). 
A) 2 B) = 41 
2 
2 e ? A) 12 B) 15 C) 10 
8 D) 14 E) 25 
57 
 
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
pal DEFINICIÓN 
 
Dos triángulos son semejantes si tienen las mis- 
mas medidas angulares y sus tamaños son dife- 
rentes. Cumpliéndose que sus lados homólogos 
son proporcionales. 
Gráficamente 
 
Notación 
AABEC-=4 MNF 
Se lee: "El triangulo ABC es semejante al trián- 
gulo MNF". 
1.1, LADOS HOMÓLOGOS 
5on aquellos lados que pertenecen a cada trián- 
gulo y están ubicados frente a una misma me- 
dida angular. 
De los gráficos anteriores 
* ACy MEson lados homólogos. 
« BCy NFEson lados homólogos. 
+ ABy MN son lados homólogos. 
58 
1.2. PROPORCIÓN DE LADOS HOMÓLOGOS 
Los lados homólogos son proporcionales y la 
constante de proporcionalidad es la razón de 
semejanza de los triángulos. En los dos triángu- 
los mostrados anteriormente 
E 
f m n 
donde k es la razón de semejanza del A ABC y 
A MNE, 
APLICACIÓN 1 
Los triángulos mostrados son semejantes. 
Calcule x— y. 
 
 
Resolución 
Piden x — y. 
Como AABC-=¿4AMFE, aplicamos proporción de 
lados homólogos. 
de 6 
5.63 
3 y=12 a x=10 
y=x=2 
 
ú PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROPORCIONALIDAD DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS 
 
Las líneas notables homólogas y los segmentos homólogos son proporcionales, y su constante de 
proporción es la razón de semejanza de los triángulos. 
Gráficamente 
Sean los triángulos ABC y PQF semejantes con sus respectivas circunferencias inscritas y circunscri- 
tas, alturas 8H y QT; medianas CM y FN, respectivamente. 
B_3 
 
 
 
 
Se cumple 
5_c_0_n_d Rh KE b 
lUg.e moh Ra 
donde k es la razón de semejanza, 
CASOS NOTABLES DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
3.1. CRITERIO ÁNGULO-ÁNGULO-ÁNGULO (A-A-A) 
Dos triángulos son semejantes si sus tres medidas angulares son respectivamente iguales. 
5i m<BAC=m+«<0QPR, 
mxABC=m«<POR a 
m«ACB=m=PRQ 
se cumple AABC- ¿A POR 
 
É 
3 == 
F a
i
a
 
a 
]b
o 
59
LUMBRERAS EDITORES 
3.2. CRITERIO LADO-ÁNGULO-LADO (L-A-L) 
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos 
interiores tienen igual medida; además, los la- 
dos que los determinan son respectivamente 
proporcionales. 
5imstEDF=mxNML 
 
DE _ MN 
DF ML 
E 
N 
al Ol 
D e FM ek L 
Se cumple 4 DEF- A MNL 
=> [=dk 
maiDFE=m=xMLN 
mxuDEF=m=xMNL 
a TEOREMAS NOTABLES DE SEMEJANZA 
3.3, CRITERIO LADO-LADO-LADO (L-L-L) 
Dos triángulos son semejantes si los lados de 
uno de ellos son proporcionales a los lados del 
otro triángulo. 
 
y AB, BC_AC 
¿PO OR PR 
B 
a 
a Cc 
E ck 
A b E Pp bk R 
se cumple 44ABC=- A POR 
=> mxBAC=m=<0QPR, 
mxiABEC=mxPQR A 
muACB=m-=PRO 
 
4.1. LÍNEAS PARALELAS EN EL TRIÁNGULO Y EL 
TRAPECIO 
Teorema 1 
En el triángulo ABC, si EF// AC 
 
se cumple ===== 
60 
APLICACIÓN 2 
En el triángulo ABC, M e AB, N e BC y MN//AC. 
Si BM=2(MA) y MN =12, calcule AC. 
Resolución 
Piden x. 
j 8 
/ 
2b 
A Xx Cc 
Sabemos que E 7 
2b 
x«=108 
 
E PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOSY SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Teorema 2 
En el trapecio ACFMICF //4M) 
si BN//AM 
 
A b M 
 
am=+bn 
se cumple x= : 
man 
Demostración 
c a 
 
 
Trazamos 
DH//AC 
=> FD=CD-CF 
FD=x-a 
> HM=AM-AH 
HM=b-x 
Como ¿4 FND-4 MNH 
n_x-a 
m b-x 
om+bn 
 
m+n 
4.2. LÍNEAS ANTIPARALELAS EN EL TRIÁNGULO 
Teorema 1 
Enel A.48C, si meuABE=m=<4CB 
 
B 
0 
Xx 
8 
A : E E 
¡|á]) a 
+ b | 
se cumple que para todo es igual. 
x*=ba 
APLICACIÓN 3 
En un triángulo ABC, se traza la ceviana BF, tal 
que m<FBC=m<BAC. Si AF=5 y BC-FC=2, 
calcule FC. 
 
Resolución 
Piden FC=x. 
B 
al 
x+2 
a 
Á F E 
E 5 He XxX + 
 
Por teorema 1 
(x+2)%=(5+x)x 
4 bx 9=Sx 4x0 
x=4 
61 
 
LUMBRERAS EDITORES ' 
Teorema 2 Demostración 
En el AAMC, si meo ABE=m«xACM En el AAMC 
y+0+8=1800 
En el A4BE 
1+B8+B=180% 
Igualamos /+0+8=y+8+B 
> a=p 
Observamos que 
 
 
 
 
 
 
AMABE-AACM 
(A-A-A) 
> Ll 
bx 
se cumple que xy=ba. v. xy=ba 
(8 teoremas AUXILIARES 
Teorema 1 Teorema 2 
En el ABC, si MF//AC En el trapecio MFQR, si FQ// MR 
B 
Ft T n 
M a H 
 
t b 
se cumple ===, 
a 
se cumple —= 
b n a <= 
|
x
 
62 
 
“ PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Teorema 3 Teorema 5 
Sea la circunferencia inscrita en el cuadrilátero En el triángulo ABC, si BM es bisectriz interior 
ABCD. 
 
Se cumple di 
al y 20bcos0 
bt ab 
Teorema 4 
En el triángulo ABC, BH es altura y CM y AL son ce- Teorema 6 
vianas interiores, las cuales son concurrentes en F. Enel AABC, si mx ABF=m=x ACB 
 
 
 
 
5e cumple se cumple 
a =p ab=ct 
twitter.com/calapenshko 
63
+ PROBLEMAS RESUELTOS 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.? 1 
De las siguientes proposiciones, ¿cuál es la co- 
rrecta? 
A) En dos triángulos semejantes, los ángulos ho- 
mólogos son proporcionales. 
8) Todos los triángulos isósceles son semejantes. 
C) En dos triángulos semejantes, sus baricentros 
son puntos homólogos. 
Dj) En un triángulo rectángulo, al trazar la altura 
relativa a la hipotenusa se determinan dos 
triángulos semejantes. 
E) Si en un triángulo trazamos una mediana, 
entonces los triángulos formados son seme- 
jantes. 
Resolución 
a. Incorrecta 
Los ángulos homólogos miden igual, 
b, Incorrecta 
64 
Contraejemplo 
Correcta 
 
 
En los gráficos, G, y 6, son puntos homólo- 
Bos. 
Incorrecta 
Se forman tres triángulos rectángulos. 
Incorrecta 
Los triángulos mostrados no son seme- 
jantes. 
_ CLAVE (0) 
 
j PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.” 2 
Los lados de dos triángulos rectángulos semejan- 
tes son números enteros. La suma de las longi- 
tudes de catetos no homólogos es 11 y la suma 
de los otros dos catetos no homólogos es 10. 
¿Cuál es la razón de semejanza? 
 
ay 2 B) 2 E 
3 3 5 
3 4 D) = E. 
5 7 
Resolución 
Piden A = Ls 2 
ok k 
B 
p ak 
a 
Cr CL 
b bk 
Datos: 
* ayb:números enteros 
* a+bk=11 
= b+ok=10 
De los datos (sumando) 
la+b)+(b+a)k=21 
(a+bJl1+k)=21 
Por tanteo 
o+b=7 
1+k=3 
1 
R== 
2 
E LAWE (A) 
PROBLEMA N.” 3 
En el gráfico, AH=3 y AD=2, Calcule DC. 
A 
A) 5 
B) 6 L 
c) 4 
D) 7 
E) 8 
 
A H D C 
Resolución 
Piden DC=x. 
 
 
Datos: 
AH=3 y HD=2 
Como EXATC=-kÁHEC-— aplicamos elementos 
homólogos. 
3,2 
2+x o x 
x=4 
_ CLAVE (O) 
PROBLEMA N.” 4 
En una circunferencia, se trazan las cuerdas AB 
y CD, las cuales se intersecan en M. También 
se trazan MF y MR perpendiculares a AD y BC, 
respectivamente, además F € AD y R € BC, Si 
DF=6; AF=8 y BR=3, calcule RC. 
A) 2 
D) 7 
B) 4 C) 5 
E) 6 
65 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Piden RC=x. 
 
 
Datos: 
DF=6; AF=8 y BR=3 
Observamos que 
AAMD-= ACMB 
Entonces aplicamos elementos homólogos. 
E 3 
306 
x=4 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 5 
En el gráfico mostrado, AD=AB=2 y BC=DC=3. 
Calcule ED. 
B 
A 
E 
D C 
A) 5Y2 8) 742 C) 643 
8413 Y13 
Dr == E 
13 13 
66 
Resolución 
Piden ED=y. 
 
 
Datos: 
AD=AB=2 4 BCOC=DC=3 
Trazamos AC. 
Observamos que CABCD es un trapezpide si- 
métrico. 
> ACLBD 
Como Ea. EDB Ex. ABC (A-4-A) 
ED _ AD 
A AÁWZA 
DB” DC 
EA => ED=2x »n BD=3x 
DB 3 
Como AC // ED 
—> EA=2 
En el triángulo EDB aplicamos el teorema de Pi- 
tágoras. 
4 
20+ (ax =(4* => x= = (2x)"+(3x)"=(4) 5 
y 3 
13 
cuave (D) 
 
mc. e ROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.? 6 
En el gráfico mostrado, la circunferencia está 
inscrita en el lx ABC. Si(OC)r=304/2 y OF=4, 
calcule BC. 
 
 
A) 12 B) 14 C) 16 
D) 13 E) 15 
Resolución 
Piden BC=x. 
 
 
A F 
Datos: 
- (bltr)=3042 
. OF=4 
En (0), por teorema del incentro 
mxABC 
 
mxAOC = +90% —= mu FOC=459 
Observamos A BO0C- A OFC (A-A-A) 
OB BC rlz 
—=— — A 
OF OC 4 b 
brw/2 = dx — (3042 1(/2)=4x 
Jo x= 15 
_Ctave (E) 
PROBLEMA N.” 7 
En el gráfico mostrado, 04=12, Calcule PS. 
Q R 
A) 12 
B) 14 
Cc) 20 
D) 18 A 
E) 24 
 379 
Resolución 
Piden PS=x, 
4k 
 
 
67
LUMBRERAS EDITORES 
Dato: QA =12 
Como 
mMX0QRA+maPpRA=53" y 
MIARP+maxPRS=53" 
2 mxQRA=m«<PRS=0 
Como 
AQRA- APRS (L-A-L) 
12 3n dd A 
x 5n 
x=20 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA N.” 8 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
ubica el punto M en BC, tal que MC=2(8M). 
Se traza MHLAC y H e AC. Si AB=5 y MH=3, 
BC 
calcule —., 
AC 
9 A = B Se ) 
o) 2 
5 
C) 
j
a
 
u
s
)
 
E) 
Resolución 
Piden 2€ 2%, 
AC ox 
 
 
 
68 
Datos: 4AB=5 y MH=3 
Observamos que Es. 4BC-ExMHC 
> 12,29 
xXx 5 x 10 
BO, 9 
“AC. 10 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.? 9 
En un plano se tienen dos circunferencias cuyos 
radios son 2 y 3; y la distancia entre sus centros 
es 20, Se traza el segmento tangente común, el 
cual interseca al segmento que une a los cen- 
tros en el punto MM. Si el punto de tangencia a la 
circunferencia mayor es 7, calcule MT. 
A) 2/3 B) 543 Cc) 3v5 
D) 3415 E) 245 
Resolución 
Piden MT=x. 
 
Por semejanza AOTM- A CEM 
MZ PA 
MC CE MC 2 
> MC=2 A OM=3Í 
 
= PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
En ells, OTM, aplicamos el teorema de Pitágoras. 
(30)?=3?+x? (1) 
Del dato 
34+2U=20 
[=4 (11) 
De (ll) en (1) 
(3(4)”=3? +x? 
x=34/15 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.? 10 
En un triángulo BAC, AB=2; AC=3 y 
m«BAC=2mxACB. Calcule 6€. 
Aj 245 8) vY10 Cc) 5y2 
D) 45 gy Y10 
z 
Resolución 
Piden BC=x. 
x + 
TO 
F 2 
 
Trazamos la ceviana exterior 8F, tal que 
m=<FBA =m-xFCB=f() 
3 FB=BC=x 
Por semejanza 
(FB)*= (FCIFA) 
x*=5(2) 
. x=v10 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.? 11 
En el gráfico adjunto, T es punto de tangencia, 
DT // AB; AM=6 y MT=4, 
Calcule TF. 
 
 
A) Y 8) 542 c) 245 
D) 410 E) 2410 
Resolución 
Piden FT=x. 
 
 
Datos: 4M=6b y MIT=4 
Por circunferencia 
m<MFT=m=XDTM=0! 
Por rectas paralelas 
m<aDTM=m=xTAF=ct 
Enel AAFT aplicamos el teorema de semejanza. 
x=(10)4 
. x=2v10 
_Cuave (E) 
69 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 12 
En el gráfico, AB=25; BM=5; NF=3(FM) y 
BF=4. Calcule FC. 
A) 24 
B) 36 
Cc) 18 
D) 25 
E) 30 
 
Resolución 
Piden FC=x, 
 
 
Trazamos NH//BC. 
En el A BAC 
4+x _ AB 
y AH 
Por teorema de Thales 
BM _MF 
BH EN 
5 t 
BH 3t 
=> BH=15 
70 
(1) 
(11) 
Como en el 4 HMN, BE//HN, entonces aplicamos 
proporcionalidad de elementos homólogos. 
y_4t 
A 
d t 
> y=16 (111) 
(1) y (1) en (1) 
dx 25 
16 10 
x=36 
__ CLAVE 
PROBLEMA N.? 13 
En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado de 
centro O, Si BM=6, calcule CL. 
 
 
 
 
B 
A) 12 E E 
B) 8 
Cc) 9 o 
DJ) 10 L 
E) 642 
A D 
Resolución 
Piden ClL=x, 
BO6 M C 
45 8 
450 
ñ AN 
Xx 
0 
011 
n 
T 
| 
A D 
 
Observamos que 
ABMO-= A CLA (A-A-A) 
Bb 
e 
x 2n 
x=12 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.” 14 
En el gráfico mostrado, AM=7; MB=20; BF=18; 
AC=18 y FC=12. Calcule E, 
 
 
2 á 
A) — Bj — E) = ) A ) ) 6 
3 
DJ = E) — 
5 
Resolución 
Piden £, 
Y 
 
 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Tenemos queBr _ 18_9 
MB 20 10 
- También 
AB_20+7 _27_9 
BC 18+12 30 10 
 
BF AB 
MB BF 
Observamos que 
AMBF-ACBA (A-A-A) 
Y E 
18 27 
y=12 
Como el < MFB=m-=xBAC 
—> ¿x=y 
<= 
|x
 
ol
 
P
i
 
_ CLAVE (B) 
PROBLEMA N.” 15 
En el gráfico mostrado, BF=2(BE)=12 y AB=8. 
Calcule BC. 
 
A) 6 » 
B) 8 ty Y 
c) 10 
D) 9 
El 2. A E c 
71
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Piden BC=x. 
 
 
Datos: 
AB=8; BF=12 y BE=6 
Trazamos FC y observamos que 
AABE-=AFBC (A-A-A) 
6_8 
2 
=9 e 
>|
 
e LAWE (D) 
PROBLEMA N.” 16 
En el gráfico mostrado, DR/ es un triángulo isós- 
celes y AEÍN es un cuadrado. 
51 DE=4 y DA=85, calcule RE. 
 
 
R 
E / 
Y 
D 
A N 
A) 6 B) 8 Cc) 5 
D) 7,5 E) 8,5 
72 
 
 
- 
Resolución 
Piden RE=x. 
R 
or 
X B 
E g J 
45? 
Ago 
Ce Y 
D 
5 
o 
Datos: Á N 
* — DRI: triángulo isósceles 
+ AEÍN: cuadrado 
. DE=4 
+ DA=5 
A partir de los datos 
m<DRi=mxDEY=m<YE!=45* 
Observamos que 
ARED-AJER (A-A-A) => 
m
l
:
 
*
x
|
b
 
_ CLave (A) 
PROBLEMA N.* 17 
En un triángulo rectángulo ABC, se inscribe el 
cuadrado MBNL. Si BC=1 y AB=n, calcule la lon- 
gitud del lado del cuadrado. 
A) 2v/nl 8) /nt gy E 
n+l 
D) nt E) nl 
2 2 
 
u 
Resolución 
Utilizando las propiedades de ángulos entre 
paralelas, observamos que 
Es, AML=—Ex LNC [A-A-A). 
 
 
Nx Xx 
— —z=— > (n—x(U-x)=* 
Xx L—x 
ml 
nl 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA N.* 18 
En un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto 
en B, se ubica el punto M en la región exterior 
relativa al lado AB. 
Si FE MC, tal que BF=2; AB=4; AC=2(MF) y 
maFCA=m=<FBC, calcule MB. 
A) 2 
B) 2 
yA 
D) 2v2 
E) 43 
E PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Piden MB=x. 
 
 
Completando los datos y las medidas angulares 
obtenemos 
mxMFB=45% 
Observamos que 
AMFB-AACB (L-A-L) 
pee, ¡ME 
AB AC 
xt 
4 2 
*x=2 
_ CLAVE 
PROBLEMA MN.” 19 
Se tiene el triángulo equilátero MFD inscrito en 
una circunferencia y en la prolongación de MD 
se ubica el punto A. Si FR interseca al FD en el 
punto N, FN=2 y NR=6, calcule el perimetro de 
la región triangular MFD. 
A) 24 
D) 15 
B) 21 Cc) 9 
E) 12 
73 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 
Resolución 
Piden CT=x, 
 
 
De los datos, mMMF =mMD =mPFD = 1209 
=> mxDNR=60* 
En el ADNR 
m<DRN +m< DNÁ = m<FDN +m< MOF 
== m«XDAN=m=<FDON 
Por semejanza 
x=8(2) > x=4 
3x=12 
_ctave (E) 
PROBLEMA N.” 20 
En el gráfico mostrado, 87 es bisectriz exterior 
del AABC. Si (AR](BC)=32 y RB=4, calcule CT. 
 
R 
B 
A C T 
A) 15 B) 9 Cc) 12 
D) 10 E) 8 
74 
Dato: cb=32 
En el cuadrilátero inscrito ARBC 
m«ARB=m=<XBCT 
Observamos que 
AARB-ATCB (A-A-A) 
2% 
Xx b 
ab=4(x) = 32=4(x) 
x=8 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 21 
En el gráfico mostrado, AB=BC=39. Calcule PB. 
 A p B C 
0 
0L 
D 
E 
A) 3 Bj 4 025 
D) 2 E) 3,5 
 
Resolución 
Piden PB=x. 
 
 
 
 
En el A APE 
(9-x)?=(t+()t 
En el (ll inscriptible EMBC 
(t+()t=(9+.x)x 
> (9-x)*=(9+x)x 
x=3 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.” 22 
En el gráfico, FD=2 y AF=CD+2, Calcule CD, 
 
A) 3 
D) 2,5 
B) 4 Cc) 1,5 
E) 3,5 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Piden CD=x. 
 
En CIABMF: (4+x)(2)=(0+b)b 
Enel ABCD:x=(a+bjb —> (4+x)2=x* 
x=4 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.” 23 
En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las 
alturas BH y AF, las cuales se intersecan en G. Si 
AR(HC)=16 y GH=2, calcule BG. 
Aj 4 B) 6 o v6 
o) 246 E) 8 
Resolución 
Dato: ab=16 
Piden BG=x. 
 
 
75 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Observamos que 
ESAMHG —E5.BHC (A-A-A) 
2 a 
bo x+2 
21x4+2)=a0b 
2(x+2)=16 
x=6 
_Cave 
PROBLEMA N.* 24 
En el gráfico mostrado, MA//DF; ME=4; ER=6 y 
RF=3. Calcule EZ. 
 
 
A) 6v2 
o) 246 E) 
8) 3 C) 
Resolución 
Piden EZ=x, 
 
 
Sabemos que 
Ñ 2(4+0)6+9)c05459 
(4+0)+(6+9) 
Por el teorema de Thales 
 
476 
o 3 
—> a=6 
y 048) ¿yo A 
25 2 
y 20015) y/2 
25 2 
A x=642 
_Ciave (A) 
PROBLEMA N.? 25 
Sea l' el punto incentro del 4 POR. 
Si QM=4(IM)=8, calcule DR, 
Q 
A) 2,8 
B) 2,5 
Cc) 3 
D) 4,5 
EJ 4 
 
E PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución Resolución 
Piden DR=x Piden FE=x., 
 
Como les incentro En el ABCD
R 
> MPD=mDA=20 (2+x)2=(a+b)ja 
(1) 
3 m«DIR=m«<bDRI 
DI=DR=x En el ARBCD 
En el AQRD, aplicamos el teorema de la seme- (3+1)3= (0+b)o (11) 
pala (RDY=(QD)(0M) igualam
os (1) y (11) 
x=(x+6)lx-2) => x2=x*+4x-12 (2+02=(3+1)3 
eS 2+x=
6 
_cuave (C) . x=4 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.” 26 
En el gráfico mostrado, AB=3(8BC)=3 y AF=2. 
Calcule FE. PROBLEMA N.? 27 
En un triangulo POR se circunscribe una cir- 
cunferencia y se traza por el punto P una rec- 
ta tangente. Por el punto medio de la cuerda 
PQ se traza una recta secante y paralela a la 
recta anterior, la cual interseca a PR en el 
punto 5. Si P5=2 y 5R=8, calcule PQ, 
A) 542 B) 245 Cc) /10 
Dj 2/10 E) 5y5 
 
717
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución Resolución 
Piden PQ=x, Piden MF=x, 
 
Observamos que 
Es ABM Es. MFC 
4 1 
x xn ye 
Dato: PT =TQ =-— 
2 además 
Como APTS- APRO, entonces aplicamos pro- E AFM=s MDC 
porcionalidad de segmentos. 2 
Xx ==- (1) 
E ) 6 nn 
ts a > x=2(10)2 teams (y (0 
x=24/10 22 
x 6 
_Cave(D) +. x=2v6 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA NN.” 28 
En el gráfico mostrado, M es punto de tangen- PROBLEMA N.* 29 
 
cia, AB=4 y CD=6, Calcule MF, 5e tiene el cuadrado ABCD, en AD y DÁ, se ubi- 
can los puntos E y M, respectivamente, tal que 
Aj 6 MEB y EC se intersecan en T. Si la distancia de 7 
B) v6 C hacia MC es a y MC=b, calcule la longitud del 
Cc) 2/6 lado del cuadrado. 
D) 243 A ab o+b 
A) Jab a c 
E) 342 ab JE 
o—-b E e A D) 2/ab E 
78 
 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución Resolución 
Piden x. e Piden DE=x. 
F cr 
0=X 
B BAC 
Xx Xx 
M A BG E” A D 
; b 
Utilizando los cuadriláteros inscriptiles BGED y 
Observamos que ' CFED, se demuestra que m<FDE =m=xDGE. 
ABTC-AMTE Por el teorema de semejanza 
a—=x a x?=(GE)FE) 
o 5h x*=8(2) 
=4 
ob-xb=xa z 
CLAVE 1-2 | _Cuave (E) 
a+ : 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.? 31 
Sean G y H baricentro y ortocentro del A ABC. Si 
PROBLEMA N.” 30 0G=4, calcule HO. 
En el gráfico adjunto, GF=6 y FE=2. Calcule DE. 8 
H 
G 
0 
A € 
A) 8 8) 16 Cc) 10 
D) 9 E) 12 
 
79 
 
LUMBRERAS EDITORES q 
Resolución Resolución 
Piden HO=x. Il, Verdadero 
B Por definición 
 
A a ELE 
Datos qa 
+ Gesbaricentro. 
*« —Hesortocentro. IL. Falso 
+ GO=4 Si pueden ser semejantes. 
Como AHBG-A0MG aplicamos proporciona- 
lidad de lados homólogos 
x—d4 2 
—"==% = x1-4=8 
a ñ 
x=12 
_cuave (E) 
NIVEL INTERMEDIO 
 
 
IL Falso 
PROBLEMA N.” 32 a 
2 6 
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las si- a 
guientes proposiciones. 
l En los triángulos semejantes, los lados ho- az $ 
mólogos son proporcionales. 
ll. Los triángulos equiláteros no pueden ser 
semejantes. 3 
lll. Todos los triángulos rectángulos son seme- 2 
jantes. 1 a 
6 6 
A) VVV B) VFF C) VVF 
D) vFV E) FEF Cuave (B) 
80 
 
pi PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
 
PROBLEMA N.? 33 PROBLEMA N.” 34 
En el gráfico mostrado, AT=8; TF=6 y FD=4. — Enelgráfico adjunto, A, B, C, Ty Pson puntos de 
Calcule DC, 4 tangencia, AT//BP y AT=4. Calcule TE. 
oe ol 
E 
€ F OD 
A T O C A T E 
or 
OL 
B P 
A) 17 B) 12 C) 16 
D) 14 E) 18 
A) 2 B) 10 Cc) 6 
Resolución D) 4 EJ 8 
Piden DC=x. 
B Resolución 
ao Piden TE=x. 
 
 
 
 
0 614 
A 8 TN FÍ0YD x € 
o yeL 
Datos: M 
AT=8;TF=6 y FD=4 
AABC= A DTM 
Utilizamos elementos homólogos. 
HL, 164 4x=84 
8+b 4 
dx=68 Datos: 
x=17 AT//BP y AT=4 
_ CLAVE Prolongamos PE hasta O). 
8l
LUMBRERAS EDITORES 
Sabemos que los centros 0,, 0, y el punto de 
tangencia son colineales. 
—j ELO; NT= OyET 
$ 
| r
u 
ñ 
F
i
j
o
 
En las tangentes de las circunferencias, se ob- 
serva que 
mAT=mTB=0. 
Como AT//BP—+ m7B=mAB=a 
301 = 360% 
PROBLEMA N.” 35 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
0 53 
MABac=>> además se ubica el punto R 
en la región interior, tal que BR=1; RC=2 y 
0 
m«uBRC= == Calcule 4R. 
A) 18 
B) 29 
c) v21 
D) 423 
E) 10,5 
82 
 
 
iy ó 1 
Resolución 
Piden x. 
B k C 
UL 2339 
2/4 152 2 
20 Ts 
AG 
, Ek lx 
=4 
o 
172 
A 
Datos: 
. BR=1 
. RC=2 
o 
+ Maa 
Ubicamos el punto A en la región exterior, tal 
O 
que A, R y Cson colineales y mxBHR = =. 
Observamos que 
AHBA- ARBC 
Por teorema de Pitágoras 
x? =(45) +(4)* 
., x=v21 
_Cuave (C) 
 
ml PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.” 36 (1) en (1) 
En el gráfico mostrado, T es punto de tangen- xy=2(4) 
cia; además FE=4; ED=5 y FM=2. Calcule xy=8 
(AMIME). 
_CLAVE O 
PROBLEMA N.* 37 
En el gráfico adjunto, RB=12;CH=10y AM=15. 
Calcule x. 
 
A) 379 
A) 10 B) 6 c) 9 gy 33 
D) 4 E) 8 2 
C) 30% 
Resolución p 3% 
Piden xy. 2 
E) 539 
 
Resolución 
Piden x. 
 
Trazamos la cuerda común CT y obtenemos el 
cuadrilátero inscriptible AFET. 
= AAFM- ATEM 
 
 
Ay Y 
Pero 
(FT)?=(FD)FE) 
(n+2)?=9(4) 
> n=4 (11) 
83 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Por el teorema de la bisectriz 
RD=RE 
En el AAHC aplicamos el teorema de semejanza. 
E m 
10 min (1) 
 
En el AAMC aplicamos el teorema de semejanza. 
z n 
15 mn (11) 
 
Sumamos (1) y (11) 
Z 2 m n 
— + — = ——+—=]1 
10 15 me+n m+n 
> 2=6 
El Es. DRB es notable de 30* y 60%, 
x=30* 
_Clave 
PROBLEMA N.* 38 
En el gráfico mostrado, ma AEG=m«GFC y 
PS EF _E8 Señale cuál de las proposiciones 
AB AC BC Sd 
se cumple. 
 
84 
A) AE=2[EB) 
B) BF=2[FC) 
C) BF > FC 
D) AE > EB 
E) BF=FC 
Resolución 
Piden las relaciones entre los segmentos deter- 
minados en los lados por los puntos E, Fy G 
 
 
 
Del dato 
FG _ EF _EG 
AB AC BC 
=> AEFG-ACAB (L-L-L) 
Por lados homólogos 
mxABC=m«uEGF=0 
m«ACB=m«xFEG=y 
maxBAC=m=xGFE=[ 
Por teoremas auxiliares en el triángulo 
m<AEG+m«CFG=m<xEBF+m«xEGF 
Como 
m«AEG =m<CFG 
3 m«XAE£G=0a 
 
WS PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Analizamos las medidas angulares. 
BF//EG 
FG//E8 
EF//AC 
> X=C A y=0€ 
BF=FC 
_ CLAVE a 
PROBLEMA N.? 39 
En el gráfico mostrado, JT=5; TY=6 y A/=4. 
Calcule NA. 
 
 
A) 5 B) 4 €) 2 
D) 3 E) 4,8 
Resolución 
Piden NA=x, 
 
 
Datos: 
JT=5; TY=6 y A/=4 
ol 
Por propiedad de la semicircunferencia, la pro- 
longación de AJ contiene a Y. Análogamente, la 
prolongación de TJ contiene a N. 
Observamos que A NA/- AYTL 
a
m
]
 4 
2 
24 
x=— 
5 
x=4,8 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.* 40 
En un triángulo 48M, se traza la ceviana exte- 
rior BC (Ce AM). En AM y BC se ubican los pun- 
tos T y KR, respectivamente, tal que BM=MR y 
MR//AB. Si AT=6; TM=4; MC=20 y 
m<ITBEM=20*, calcule meMeBc. 
A) 209 B) 70" C) 35% 
D) 409 E) 450 
Resolución 
Piden x. 
 
 
Sabemos que MR//AB 
85
LUMBRERAS EDITORES 
Por el teorema de semejanza 
MR _MC 
AB AC 
AB_d_3 AT_6_3 
BM n 2. TM 4 2 
AB _ AT 
BM TM 
En consecuencia, BT es bisectriz interior del 
AABM. 
=> y=20* 
En el punto B. 
y+20+x+x=180% 
20+20+2x=1800 
x=700 
_CELAve (B) 
PROBLEMA N.? 41 
En el gráfico adjunto, QM=2; ON =3 y QR=4. 
Calcule PO. 
pa al 
 
86 
E 
4 24 
A) = BI 2 a) — ) 3 ) 55 
8 36 
0) = E = 
5 ) 17 
Resolución 
Piden x. 
 
 
Pp M N R 
En el A PON calculamos la bisectriz interior, 
_2()(3)cosa 
x4+3 2 (1) 
En el AMOR calculamos la bisectriz interior, 
_ 2(2)M4)cosa 
— 2+4 
Dividimos (1) entre (11) 
2 2(x)(3) cosú (6) 
3 (x+3)2(21(4) gosú 
3 (11) 
£ LAWE (C) 
PROBLEMA N.? 42 
En un cuadrilátero ABCOD, AB=12 y DC=39; ade- 
más en la diagonal AC, se ubica el punto R, tal que 
m«ABR=m«*ACB y maCAD=m«<RDC. Calcule AC. 
Aj 18 
D) 13 
B) 10 C) 14 
E) 15 
 
 
Resolución 
Piden AC=x. 
B 
12 
cha A A 
G R b 
E]
 
Enel ACBA aplicamos el teorema de semejanza. 
12*=(a+b)b 
144=xb (1) 
En el ACDA aplicamos el teorema de semejanza 
9*=(a+bja 
81=x0 (1) 
Sumamos (1) y (11) 
1444+81=xb+xa 
225=x(b+0) 
=> 225=xx 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.? 43 
En un cuadrilátero inscriptible ABCD, las diago- 
nales se intersecan en M; además AD=2(8C)=6; 
AB=4 y CD=5. Calcule A 
MA 
A) 8) 2 c) 
3 
E) 
5 
8 
5 
2 
 
Como AABM-= ¿4 DCM 
á a 
> —=- 
5 xXx (0 
Como 
ABCM- AADM 
(11) y, 
<= 
]|
0 
Ú 
o
 | 
uy
 
Multiplicamos (1) por (11) 
NIE
LUMBRERAS EDITORES a 
PROBLEMA N.” 44 De (1) en (1) 
En un triángulo POR, / es el incentro. Por dicho x_1 
punto se trazan las paralelas PQ y QA, las cuales 5 4 
intersecan a PR en los puntos M y N, respecti- 5 
vamente. Si PQ=6; QR=9 y PR=5, calcule MN. * *3g 
_Cuve (A) 5 6 7 
Al - B) = C) — 
4 5 2 
p) A gy 4 PROBLEMA N.* 45 
3 > En el gráfico mostrado, 4(PQ)=3(PR); TR=24 y T 
es punto de tangencia. Calcule Q£. 
Resolución 
Piden MN=x, 
 
 
 
 
 
A) 6 B) 14 C) 16 
D) 12 E) 18 
En las paralelas observamos que Resolución 
AMIN- A PQR Piden QE=x. 
+ 0 5 n+( 
(_6+9_3 
n 5 1 
En _3+1 (11) 
n 1 
 
 
88 
 
a 
Trazamos RF, tal que 
maRFT=m<RTF 
Observamos que 
APQE-APRF (A-A-A) 
x 3 
24 4n 
x=18 
_Ciave (E) 
PROBLEMA N.* 46 
En un triángulo POR se trazan las alturas OH y 
RM, las cuales se intersecan en D. Si QD=2(PR), 
calcule maPaOR. 
qe 530 iz B) 300 q E 
2 2 
450 ica E) 150 
2 
Resolución 
Piden mxPQR=x, 
 
 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Dato: 
QD=2(PR) 
Observamos que 
E. QMD=15. RHD (A-A-A) 
 
d 2 
3 == 
Pp. 0 
d=2n 
83? 
Además Es QMA es notable de ; 
o 2 
53 
== — 
2 
_Ciave (C) 
PROBLEMA N.” 47 
En el romboide ABCD mostrado, ML=LN=86, 
BL =9 y LD=4. Si m< MBN=80", calcule x. 
B C 
 
 
A M D 
A) 88% B) 255 C) 40% 
D) 1009 E) 80% 
Resolución 
Piden x. 
 
 
 
89
LUMBRERAS EDITORES 
Observamos que 
—> BLy LM son proporcionales a LN y LD, 
Es decir 
B 
3n N 
3k 
7 2k 
a D 
ABLM — AANLD a.) 
= m«BML=m<LDN=y 
FAMBNOD es inscriptible, 
x=809 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 48 
Sea 6 el baricentro de la región triangular ABC, 
TB=6, TC=4 y A5=2. Calcule B5. 
B 
90 
A] 8 B) 6 Cc) 4 
D) 10 E) 3 
Resolución 
Piden B5=x. 
 
 
Por A y €, trazamos paralelas a la mediana 8M. 
— AQ//CP//BM 
Como 4586 - 4540 
x_2b 4b 
—z— — = 
2 2 x 
Como ATBG - ATCP 
6_2b 
$ 
4 y 
+ pa 
6 
En el trapecio AQPC 
_z+y 
2 
=> z+y=2b 
4 
40 30 sz, 
x 6 
x=6 
b 
 
el PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.” 49 
En el gráfico mostrado, A, B y € son puntos de 
tangencia, Si AH=4, calcule (TC)(CP), 
H 
 
 
A) 32 
DJ 8 
B) 34 C) 16 
E) 32 
Resolución 
Piden (TC)CP)=xy. 
 
 
 
 
Dato: AH=4 
Como: 0,4=0,C=0,É A 
m«xE0¡C=90* 
=> mxEAC=45* 
Como: 0,8=0,€0=0,K A 
mx<CO,K=909 
=> mxCBK=45* 
Completando medidas angulares descubrimos 
que 
APBC-— ABCA 
E 
dl m 
También ATAC= A ACB 
m 
E. (11) 
Multiplicamos (l) por (11) 
Y: 
xy=32 
_cuave (A) 
PROBLEMA N.? 50 
En el gráfico mostrado, 4 y B son puntos de tan- 
gencia. Si DC=2(CB), AP=2(4D)=8, calcule CB. 
M 
A] 242 
8) 2443 
Cc) 43 
D) y2 
E) 2 
91 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución PROBLEMA N.? 51 
Piden CB=x, Si el radio del cuadrante es 4, además ABCD y 
MDON son cuadrados calcule BN. 
 
 
A) Y2 8) 2v2 C) 4 
D) 4/2 E) 8 
Trazamos la cuerda común MC. 
Utilizamos las propiedades de los cuadriláteros A*solución 
Piden BN=x, 
inscritos (CAARMC y CA MSBC). 
Notamos que 
maaAcB=m-24R5+m<B8S5R 
mxACB=a + 
Enel ARS”, maRPH=a+f. 
= AADC-= ABDP 
 
zx _ 4 
+8 2x+x 
. x=2W/2 
92 
 
a PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Por teorema de los cuadrantes, ma ADM=1359 
Notamos que M, D y B son colineales. 
También A, D y N son colineales. 
Observamos que 
AADM - ABON 
Aplicamos proporción de lados homólogos. 
_, AM_AD 
BN DB 
4% _ 0 
x ay2 
x=8 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.* 52 
El triángulo ABC está inscrito en la circunfe- 
renciay se traza la bisectriz interior BM (M € 
AC). En AM y AC se ubican los puntos H y L, 
respectivamente, tal que m<HBM=m-<MBL. Si 
AB=6, BC=218H)=8, calcule BL. Considere que 
AC BL=(T). 
A) 6 B) 8 Cc) 642 
D) 12 E) 442 
Resolución 
Piden Bl =x. 
 
 
Datos: 
* —BMesbisectriz interior. 
* maiHBM=m=XxMBL=«a 
Del dato de la bisectriz 
m<xABM=m=xMBC 
0+d=a4+B 
> 8=f 
Por ángulo inscrito 
m«BAC=m«<BLC=y 
Observamos que A4ABH-= ALBC 
6 4 
3 ==- 
x 8 
x=12 
_ CLAVE (D) 
NIVEL AVANZADO 
PROBLEMA N.” 53 
Se tiene el A MPA, En FA y en la prolongación 
de MF se ubican los puntos B y L, respectiva- 
mente. Trazamos BL y los triángulos formados 
son semejantes. Si mxAML=m«BLF; AB=2BF 
y FL=8, calcule ML. 
A) 24 
e) 16 
Cc) 28 
D) 30 
E) 32 
93 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Piden Mi =x, 
A 
B 
2t 
0 
A t 
o Q ol 
Ni x=B F 3 L 
5e sabe que los triángulos son semejantes. 
Observamos que meo /MEFAÁ + ma FBL 
= M<MPFA=m-=xBFL 
(m=4 
Como m-+4= 1809 
=> =8390* 
También 
m<MAF=mxFBL 
Por semejanza 
x-8_ a 
3 t 
x=32 
_cuave (E) 
PROBLEMA N.” 54 
En la región exterior relativa a BC de un cua- 
drado ABCD, se ubica el punto M, tal que 
m=xBMC=900%; además AM y DM intersecan 
a BC en los puntos A y F, respectivamente. Si 
BH=2 y FC=3, calcule FH. 
94 
A) 2 
D) 6 
Resolución 
Piden FH=x, 
 
 
 
Datos: 
e BH=2 
+ FC=3 
+ ABCD es cuadrado. 
Como CB //RS 
RO 3 
AS BH 2 
Prolongamos MC y MB. 
Como Ea RDC—Es BAS 
.H_1 
[ 2k 
(=k 4/6 
Por elementos homólogos 
3H 
x b 
. x=46 
_ CLAVE (E) 
 
a PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA N.* 55 2/2 2 
En un cuadrante AOB, se ubica el punto Men AB, x 242 
tal que ORMS es un rectángulo (Re AO). Si MR sá 
y MS intersecan a AB en los puntos T y J, tal que 
a CLAVE (D) 
AT=2 y TI=4, calcule JB. —- 
A) 1 B) S Cc) 2 . 
D) 4 E) 3 PROBLEMA N.” 56 
En el gráfico mostrado, MH=4; TH=6 y HQ=3. 
Resolución Si maiMHT=12", calcule m«*MTQ. 
Piden JB=x. B 
A 
Zo 
. q 
z 2 
' R J 
4 | 
1 A H E 
, 28 
A A) 1209 B) 1409 C) 150? 
po D) 130% E) 168% 
al dl. 
O S 450/82 
Resolución 
Datos: AT=2 y T3=4 Piden m<MTQ=y+x. 
Trazamos AM y MB. B 
Como 
201 +28 =909 
=> a+p=45" T a 
Xx 
Completando medidas angulares tenemos Mi , 
6 
AAMT-A MB] 4 ; 
al 
MI_AT | 
JB MJ A HL € 
95 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Datos: 
MH=4; TH=6 y HO=9 
Por teorema de Blanche, sabemos que 
maxMHT=m=xTHQ=12* 
Observamos que 
AMHT-A THQ (L-A-L) 
> y=0 
OL=X 
En el AHMTO 
(1294129) +0+(y+x)+0=3600 
249 + 2y+2x=360% 
y+x=168" 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 57 
En el gráfico adjunto, AB=12; BC=18; AC=15 y 
Ges baricentro del 44BC. 
Calcule MG +GN+GD. 
 
 
A) 15 
B) 12 
C) 6 
D) 14 
E) 16 
96 
Resolución 
Piden x+y+z. 
 
 
 
Trazamos la mediana 87. 
Sabemos que 
BG=2(GT) 
En el AABT aplicamos el teorema de semejanza 
x 20 
5 3 —+ x=5 
2 
De forma análoga 
E 
ny >” 
2 
También 
z 2n 
1873 — 2¿=6 
2 
x+y+z=15 
CLAVE (A) 
 
W Ea PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
PROBLEMA N.* 58 Por el teorema de la semejanza 
En el gráfico mostrado, T y Q son puntos de A 1,1 (0 
tangencia, además IR // TM. x 0 b 
Si MI=8; IN=12 y QN=9, calcule IR. Observamos que A QNF es isósceles. 
=> b=9 (11) 
Además A TMI-AENI (L-L-1). 
a_2 
9 12 
o=6 (111) 
Igualamos (11) y (11) en (1) 
 
1.1.1 
—=-+4+- 
x 6 9 
18 cl A) = B) 4 cs ) z ) 3 
ik _CLAVE | 
D) 6 E) 
7 
Resolución PROBLEMA N.* 59 
Piden IR=x. En el gráfico, BD//AE y AM=CD=2(48)=4, 
Calcule CR. 
M 
 
Dato: JR//TM A) 2/6 B) v6 c) 242 
Trazamos NE //1R. D) 342 E) 243 
97 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Piden CR=x, 
 
 
Observamos que A BCDM es inscriptible. 
3 m«=CBD=m<xctcmMD 
También notamos que 
AACM-=AMCOD (A-A-A) 
20 xt 
E (1) 
x+t á 
Pero (AM)*=(AC](AB) 
4?=(2+0)2 => (=6 (11) 
Como 
4_X => 5% => x=3t (111) 
2 t z E 
(101) y (11) en (1) 
 
mE 
246 * 3 
42 4 
3 
Se x=34/2 
_cuave (D) 
98 
PROBLEMA N.* 60 
En un triángulo ABC, se traza la altura 8M, la cual 
es concurrente con las cevianas interiores CT y 
Cl:en el punto G. Si AM=MC; GCALM=1[D); 
L[D=2; DM=6 y m<AMT=60*, calcule GM. 
A) 8 
B) 6 
Cc) 5 
D) 4 
244/3 a == 
7 
Resolución 
De los datos 
 
 
 
Como BM es altura y BM es mediana 
AB=EC —> AG=GC 
Observamos que 
AATCSA CLA 
=> T=AL 
Además m<TMG = m<xLMG=30% 
 
e e 
En el ATMD, por teorema de cálculo de la bi- 
sectriz interior 
y 2(TM)(MD)cos 30% 
(TM +MD) 
2816) 43 
M= pi 
(8+6) 2 
2443 q 23 
7 
 
cr) 
PROBLEMA N.” 61 
En el gráfico mostrado, CD// AB y mCD=60*, 
Si 3(4E) =2(BD) y AP=6, calcule PD. 
 
 
A) 9 B) 6 o 12 
D) 10 El 8 
Resolución 
Piden PD=x. e-7A 
E09 
 
_ PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Como mCD= 609 Y CD//AB 
=> mAC=mBD=60* 
También sabemos que por ángulo inscrito 
m=PAB=m=xPDB 
Observamos que 
APAE- APDB 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.” 62 
En el gráfico mostrado, T es punto de tangencia, 
HT=4 y AT=6. Calcule TB. 
 
 
A) 10 
B) 7 
Cc) 8 
D) 9 
E) 12 
99 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Piden TB=x. 
 
 
Sabemos por las propiedades de la circunfe- 
rencia que m«HTA=m-=<XATB 
=> 20+2/f=1809 
0.+P$=90" 
m-«TAB=900 
Observamos que 
ES.THA-—E5.TAB (A-A-A) 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.” 63 
. AM 
En el gráfico mostrado, A =k; Bl=b y MB=1. 
Calcule BR. 
100 
 
 
 
 
 
1 2 1 
de o A 
p? 
D) kb y a ) ) : 
Resolución 
Piden BR=x. 
or 
mM 
1 —————— XK sl 
Datos: 
=k; BI=b y MB=1 
En el AAMR 
m*=(x+1)1 
En el 44 BAR 
(é=xb 
(1) 
(11) 
 
a PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Dividimos (1) entre (11) 
pati st 
É xb 
_x+l 
== 
xb 
1 
bk?-1 
== 
 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.”? 64 
En el gráfico, T es punto de tangencia; además, 
r=3 y R=5. Calcule (OM)JKON). 
A) 8 B) 15 c) Y15 
D) 30 Ej 7,5 
Resolución 
Piden ab. 
 
Datos: 
fr=3AR=5 
Trazamos el diámetro AO. 
- En el cuadrilátero inscrito AMNO 
m«=MAO=m=xTNO 
Observamos que 
ES AMO -Es NTO 
qa ar 
3 === 
r b 
ob=2Rr 
ab=2(3)(5) 
ab=30 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.” 65 
Enel gráfico, MN//AC y lacircunferencia está ins- 
crita en el cuadrilátero AMNC. Si 3148) =2(BC) y 
MN+AC=20, calcule 4M. 
B 
 
A) 8 
8) 9 
Cc) 10 
D) 12 
E) 15 
101 
 
LUMBRERAS EDITORES La + 
Resolución PROBLEMA N.” 66 
Piden AM, En el gráfico mostrado, las circunferencias son 
tangentes entre sí y tangentes a los lados del 
'AMNO. Si r=2 y MQ=12, calcule el inradio del 
A.MNO. 
N 
 
 
 
 
Del dato 
AB=2k 
A) 3,5 B) 4 C) 3 
BC=3k D) 15 E) a 
Como MN//AC 
Resolución 
=> AMBN- AABC Piden R. 
AM _ AB 
NC BC 
AM_2k 2 
NC _3k 3 
AM=2x; NC=3x 
Por teorema de Pitot 
 
 
 
o+b=2x+3x 
20=5x 
x=4 Sea A el inradio del A MNQ. 
AM=8 Notamos que / es el incentro del A MINO. 
Como O y C equidistan de MA, entonces 
_Ctave (A) DC //MA. 
102 
 
Observamos que 
AQIC= A MIQ 
h h+2 
oc ma , 
¿nta 
12 bl
 
En consecuencia 
h=1 
R=2+h 
R=3 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.* 67 
En el gráfico mostrado, AH=7 y HC=3. 
Calcule HL. 
 
A) 
D) 
JJ
 ]
óo
 
E
u
 
 
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
Resolución 
Piden x. 
a 
 
 
Entonces 
=—= (1) 
Prolongamos BC hasta que m=*BRD = 900. 
Como ls BRD = Ea AHO (A-L-A) 
—> BR=AH 
o+3=7 
0=4 (1) 
De (1) en (1) 
_ Cave (E) 
103 
 
 
 
LUMBRERAS EDITORES 5 
PROBLEMA N.* 68 En el ABRA, como MH//AR, 
'O A) + R 1 HS _ AT 
5M TR 
B) 539 T 
a 3% e, 47 5 LX TR 
p) £P 
2 > AT=3(TR) 
E) 37% A 
Como 
Resolución 
2450 
Piden x. MARA 
R = AB=AR=4n 
Observamos que 
ES. TAB es notable de 37? y 53%, 
23 m«xBTA=53" 
x=530 
 _Cuave (B) 
 
 
twitter.com/calapenshko 
104 
 
E: PROBLEMAS PROPUESTOS 
NIVEL BÁSICO 3, Enelrectángulo ABCD, los triángulos ATB y 
CNB son semejantes, 
Si AN=4 y NT=2, calcule TB. 
1. SiNL=LA; NJ=41; RT=18 y JL=6, calcule AR.