Matemática Nivel Medio Parte4

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unciones
Unidad
 
 
 1
3 4 ENÚ e inicio
¿Qué aprenderás? ¿Para qué? ¿Dónde? 
 unciones reales, función potencia y su 
gráfico.
Modelar y resolver problemas que involucren una función potencia. Páginas 10 a 27.
Cálculo de interés compuesto. Calcular interés compuesto en distintos tipos de aplicaciones. Páginas 28 y 29.
Progresiones, crecimiento aritmético, 
geométrico y potencial.
Analizar el comportamiento de una tabla de datos y modelar su 
crecimiento.
Páginas 32 a 39.
 unción inyectiva, sobreyectiva, biyectiva e 
inversa.
Analizar la existencia de la función inversa de una función dada y sus 
características.
Páginas 42 a 51.
 nidad 1 F nciones 0
A
B
R
IR
 s
e
si
ó
n
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 
nuevoexplorando.edicionessm.cl
1 2 43
El concepto de función es, sin duda, uno de los más 
importantes y utilizados tanto en Matemática como, 
incluso en otras Ciencias. No fue fácil entender este 
concepto y muchas mentes brillantes dedicaron enormes 
esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición 
consistente y precisa. Entre esas personas estuvo Galileo 
( 564- 642); quien fue uno de los primeros en usar el 
concepto −aunque no en la forma que actualmente se 
conoce−, además de Newton ( 642- 727) o Leibniz 
( 646- 7 6). Este último, en 673, fue el primero en 
usar la palabra "función" para referirse a la relación de 
dependencia entre dos variables o cantidades. Euler 
( 707- 783) es quien le dio su formulación moderna 
y = f(x).
El estudio de las propiedades de las funciones está 
presente en todo tipo de fenómenos. Así, es posible 
nombrar el crecimiento demográfico, aspectos 
económicos; como la inflación o el comportamiento 
bursátil, fenómenos físicos, químicos o naturales; como 
la variación de la presión atmosférica, la velocidad y 
la aceleración, la gravitación universal, las leyes del 
movimiento, la función de onda de una partícula a escala 
cuántica, la desintegración de sustancias radiactivas 
o la reproducción de especies vegetales y animales; 
casi todo es susceptible de ser modelado a través del 
planteamiento y estudio de una o varias funciones que 
gobiernan los mecanismos internos de los procesos en 
todas las escalas y niveles.
Otra cosa distinta y mucho más difícil es determinar 
cuáles son las funciones que intervienen en cada 
proceso en concreto. Esta, en suma, es la tarea de 
los científicos: descubrir la dinámica que rige a cada 
fenómeno y expresarla en términos de una función 
matemática.
Considerando la información, responde:
 . ¿Quién fue el primer matemático en utilizar la 
notación actual de función?
2. ¿En qué ámbitos es posible reconocer funciones? Da 
ejemplos. 
3. ¿Qué funciones has estudiado en años anteriores?
nicializando 
Evaluación inicial
 ee atentamente y luego resuelve los ejercicios.
1. alcula el valor de las siguientes expresiones. Para ello, considera a = –1, b = 2 y c = –2.
a. 2 + b5 – c3
b. ( + b + c)2
c. 
5 + c 2 ______ 
5 b 5 
 
d. 3 + c 3 − 3 c ___________ − b ) 
2
 
e. √
______
 b 
4 ______ 
( − c ) 2 
 
f. b − c _____ 
 c 2 
 
2 _____ 
 − b
 
g. √
__________
 + b − c + 1 
h. + b + c ________ bc ) 
−2
 
i. 2 
 bc _________ 
 + b + c
 + 2 
b __ c 
2. Aplica propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones.
a. 23 22 (–2)4
b. 34 32 3–2
c. 3 __ 
2
 2 __ 3 ) 
3
 3 __ 
 2 4 
 2 __ 3 ) 
−5
 
d. 5 
5 4 −3 5 −4 4 0 _____________ 
 4 6 5 2 4 −9 
 
e. 2 5 
2 2 7 −3 5 −3 8 1 2 ________________ 
12 5 −1 45 5 6 
 
f. 1 2 
5 3 6 5 4 6 ______________ 
81 4 8 4 2 4 4 72
 
3. Analiza los diagramas. Luego, responde.
I. 
 
c
d
e
1
2
3
4
 D
f II. 
p
q
w
x
y
z
1
2
3
4
D E
g III. 
a
 
c
w
x
y
z
A B
h
a. ¿Cuál(es) de los di gr m s represent (n) un función? Justific .
b. ¿Qué rel ción debe existir entre z e y p r que h se un función de A en B?
c. ¿Cuál es el dominio y recorrido de f y g?
d. C lcul el v lor de 
f(b) − f(d)
 _________ 
(f(e) f(c) ) 2 
 
4. Analiza las siguientes reglas de formación de funciones reales. Luego, calcula.
 f(x) = 2x g(x) = √
_
 x − 1 h(x) = log(x) i(x) = 1 − І x І
a. g(9) − h(100)
b. i(−8) + f(2)
c. f(−3) − g(4)
d. h(0,1) + 2g 1 __ 4 ) + f(−1)
e. i(5) + i(4) − 3i(3) + i(2)
f. h 1 ___ 10 ) − 
1 __ 
2
 h 1 ____ 100 ) 
 nidad 1 F nciones 2
1 2 43
En estas actividades:
 ¿Qué te resultó más fácil? 
¿Por qué?
 ¿Qué te resultó más difícil? 
¿Por qué?
 ¿Reconoces los contenidos 
trabajados?
 ¿Cuál de esos contenidos 
crees que debes repasar antes 
de continuar?
Mi ESTADO
5. Analiza las siguientes funciones definidas en ℝ. Luego, grafícalas.
a. f(x) = x – 2
 
x4
4
3
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
b. g(x) = x2 + x – 2
 
x4
4
3
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
c. h(x) = І x + 1 І
 
x4
4
3
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
6. Analiza el gráfico de la función real f. Luego, evalúa si las siguientes proposiciones 
son verdaderas o falsas. Para ello escribe V o F según corresponda.
a. L gráfic de f intersec 
 l eje y en (1, 0).
b. f(4) – f(–4) = –7.
c. L im gen de x = 4 es 
y = –4.
d. f(–3) – f(0) f(2) = 7.
e. Si –2 ≤ x ≤ 1, entonces, 
f(x) = 1.
f. f(–2) + f(2) = 0.
g. f(–1) < f(2) .
 
x5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
7. Identifica la función representada. Para ello, escribe en cada gráfico la expresión 
que corresponde.
 g(x) = 3x + 1
 
x4
4
5
6
3
3
21
1
0-1
-1
-2-3
 h(x) = (x – 1)2
 
x4
4
5 63
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-3
 p(x) = √
____
 x − 1 
 
x
4
5
6
3
3
21
1
0-1
-1
-2-3-4
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 3
Amplian o
MEMORIA
Se f: A ℝ → B ℝ un 
función definid por y = f(x), 
entonces su gráfico está form do 
por el conjunto de p res 
orden dos:
{(x, f(x)) / x ∈ A}
 ean A y B dos subconjuntos de ℝ. Una función real f de A en B es una relación que asigna a 
cada elemento de A un único elemento de B. Esta relación se denota como:
f: A ℝ → B ℝ
x → y = f(x)
Donde x ∈ A e y ∈ B. Además, A es el dominio de f (dom(f)), B su recorrido (rec(f)), y ℝ su 
codominio (cod(f)).
Para GRABAR
Funciones
L s funciones son fund ment les en m temátic p r describir y n liz r situ ciones re les 
en l s que un c ntid d depende de otr . Por ejemplo, l rel ción entre el áre A y el r dio r 
de un círculo se puede represent r: 
 Medi nte un descripción en p l br s.
“El áre de un círculo es direct mente propor-
cion l l cu dr do de su r dio, con const nte 
de proporcion lid d π”.
Utiliz ndo un t bl con lgunos v lores:
 1 2 3 4
A( ) π 4π 9π 16π
 A p rtir de un fórmul .
A(r) = πr2
Luego, c d número re l r, m yor o igu l 
que cero, se le puede soci r un v lor de A. 
Entonces, se dice que “A depende de r”.
A
r
54321
2π
4π
6π
8π
10π
12π
14π
16π
18π
0
 Gráfic mente.
1. Identifica en los siguientes diagramas sagitales, el dominio, codominio, recorrido y 
regla de formación de las siguientes funciones.
a. 
1
2
4
6
2
4
6
8
10
12
f
dom(f) = 
cod(f) = 
rec(f) = 
Regl : 
b. 
 4
–2
0
1
3
8
4
0
–2
–6
g
dom(g) = 
cod(g) = 
rec(g) = 
Regl : 
 x se ll m preimagen y f(x) 
imagen.
 El recorrido de f es el conjunto 
rec(f) = {f(x) / x ∈ A}.
 Si de un función re l solo se 
conoce su regl de form ción 
“y = f(x)”, entonces se consider 
su dominio como el conjunto 
de números re les, p r los 
cu les f(x) es t mbién un 
número re l, y su codominio 
como ℝ.
AYUDA
 nidad 1 F nciones 4
1 2 43
2. Analiza las siguientes funciones. Luego, completa.
a. Se f: {1, 2, 3} → ℝ con f(x) = 2x – 3.
f(1) = f(2) = f(3) =
dom(f) = 
rec(f) = 
b. Se g: {–1, 0, 8} → ℝ con g(x) = 2– 3x.
g(–1) = g(0) = g(8) =
dom(g) =
rec(g) =
c. Se h(x) = –x.
h(1) = h(4) = h(25) =
dom(h) =
rec(h) =
d. Se p(x) = x.
p(–2) = p(0) = p(1) =
dom(p) =
rec(p) = 
3. Analiza el gráfico. Luego, responde.
a. ¿Cuántos ceros tiene el gráfico de l 
función represent d ?
b. ¿Cuál es el dominio de l función?
c. ¿P r qué v lores de x, f(x) < 0? ¿Y p r 
cuáles f(x) > 0?
d. ¿Cómo puedes identific r gráfic mente 
el recorrido de f? Explic .
e. ¿Cuánt s preimágenes tiene y = 1? 
Explic .
 
x543
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4-5
4. Analiza cada regla de formación y escribe el dominio de la función real respectiva.
a. c(x) = x 2 + 2x
b. m(x) = 1 __ x 
c. p(x) = √
____
 x − 3 
d. h(x) = x − 3 ______ 
 √
____
 x + 3 
 
e. f(x) = x − 3 _____ 
x + 3
 
f. g(x) = x 
2 _____ 
 x 2 − 1
 
g. k(x) = x − 1 _______ 
 √
_____
 2x − 3 
 
h. n(x) = 1 __________ 
3 x 2 + 3x − 6
 
5. Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F 
según corresponda.
a. Un número y, perteneciente l recorrido de l función f, puede tener más de 
un preim gen.
b. En un función, un preim gen puede tener más de un im gen.
c. L función re l f definid por f(x) = x + 1 es creciente.
d. Si f(x) = x y dom(f ) = ℝ, entonces su recorrido es ℝ+.
e. L gráfic de un función puede intersec r en más de un punto l eje x.
f. Si un gráfic intersec en más de un punto l eje y, entonces no represent 
un función.
g. Si dos funciones tienen l mism regl de form ción, entonces son igu les.
Dos funciones con distinto dominio 
se consider n distint s, incluso si 
tienen l mism regl de form ción.
Por ejemplo, l s funciones 
f: ℝ → ℝ, f(x) = x2 y 
g: ℝ+ → ℝ, g(x) = x2 son distint s, y 
que dom(f ) = ℝ y dom(g) = ℝ+.
Advertencia
 Recuerd que l división por 
cero no está definid .
 Si x ∈ ℝ 
0
 + , existe un único 
p ∈  ℝ 
0
 + t l que p2 = x. Dicho 
número re l p se ll m r íz 
cu dr d de x y se represent 
por √
_
 x .
 Se define l función r íz 
cu dr d como f: ℝ 
0
 + → ℝ 
0
 + 
con f(x) = √
_
 x .
AYUDA
 x
0
 ∈ dom(f) es un cero de f si 
f x0 ) = 0.
AYUDA
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 5
6. Analiza la información. Luego, escribe la regla de formación correspondiente a cada 
función real graficada.
 Función exponenci l: f(x) = x, con ∈ ℝ+ – {1}, dom(f ) = ℝ y rec(f ) = ℝ+.
 Función log rítmic : f(x) = log
 
(x), con ∈ ℝ+ – {1}, dom(f ) = ℝ+ y rec(f ) = ℝ.
 Función r íz cu dr d : f(x) = √_ x , con dom(f ) = ℝ 
0
 + y rec(f ) = ℝ 
0
 + .
 Función cu drátic : f(x) = x2, con dom(f ) = ℝ y rec(f ) = ℝ 
0
 + .
 f(x) = √_ x g(x) = x2 + x – 3 h(x) = log(x) p(x) = 3x
a. Función: 
 
x4 5
4
3
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4-5
-4
b. Función: 
 
x4 5
4
3
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4-5
-4
c. Función: 
 
x4 5
4
3
3
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4-5
-4
d. Función: 
 
x4 95 10
4
3 8
3
2 7
2
1 6
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4-5
-4
7. Analiza las reglas de formación. Luego, completa las tablas. 
a. f(x) = x2 – 9
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y = f(x)
b. g(x) = 4x
x –3 –2 –1 –0,5 0 0,5 1 2 3
y = g(x)
c. h(x) = √
____
 x + 1 
x –1 –0,75 0 0,21 0,96 1,25 1,56 3 5,25
y = h(x)
d. i(x) = log(x)
x 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1.000 10.000
y = i(x)
 nidad 1 F nciones 6
1 2 43
Amplian o
MEMORIA
Se n h, k ∈ 핉:
 Si g(x) = x – h + k es un 
tr sl ción de f(x) = x , entonces 
dom(g) = 핉 y rec(g) = ]k, ∞[.
 Si g(x) = log 
 
 (x – h) + k es un 
tr sl ción de f(x) = log 
 
 (x), 
entonces dom(g) = ]h, ∞[ y 
rec(g) = 핉.
 Si g(x) = √
____
 x − h + k es un 
tr sl ción de f(x) = √
_
 x , entonces 
dom(g) = [h, ∞[ y rec(g) = [k, ∞[.
 Si g(x) = (x – h) 2 + k es un 
tr sl ción de f(x) = x 2 , entonces 
dom(g) = 핉 y rec(g) = [k, ∞[.
Cu ndo el gráfico de un función 
re l f:
 intersec l eje y, lo h ce en el 
punto cuy bscis es 0.
 intersec l eje x, lo h ce en el o 
los puntos cuy orden d es 0.
AYUDA
8. Analiza las funciones reales. Luego, completa y grafica según corresponda.
a. f(x) = 2x + 1 – 4
x f(x)
–4
–1
0
1
2
 
x
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
dom(f) = 
rec(f) = 
Intersec l eje y en: 
Intersec l eje x en: 
b. g(x) = log
2
(x + 4) – 1
x g(x)
–3,5
–3
–2
0
4
 
x
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
dom(g) = 
rec(g) = 
Intersec l eje y en: 
Intersec l eje x en: 
c. h(x) = x2 + x – 2
x h(x)
–2
–1
0
1
2
 
x
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
dom(h) = 
rec(h) = 
Intersec l eje y en: 
Intersec l eje x en: 
d. p(x) = √
____
 x + 2 − 2
x p(x)
–2
–1
2
7
14
 
x
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
dom(p) = 
rec(p) = 
Intersec l eje y en: 
Intersec l eje x en: 
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 7
 unción potencia
 os envases de Tetra Pak que comúnmente almacenan leche, jugos, etc., están conformados 
por capas que evitan el contacto con el medio externo, lo cual protege las cualidades de los 
alimentos. Ciertas normas establecen que un tipo de estos envases debe tener base cuadra-
da y altura igual al doble de la longitud de la arista basal: 
 x
x
x
Algunos valores posibles y su representación gráfica son:
 olumen de envases Tetra Pak de base cuadrada
Arista basal (cm) olumen (cm3)
 2 0
8 1.024
9 1.4 8
10 2.000
12 3.4 6
 uego, el volumen depende de la longitud de la arista x, ya que V = x x 2x, es decir, 
V(x) = 2x3. Una función real con esta regla de formación es un ejemplo de función potencia.
 (cm3)
x (cm)
1 
(5, 50)
(8, 1.0 4)
(9, 1.458)
(10, .000)
(1 , 3.456)
1410
4.000
8
3.600
6
3. 00
4
 .800
 
 .400
0
 .000
1.600
1. 00
800
400
Una unción potencia es una función real 
de la forma f(x) = axn, donde a ℝ – {0} y 
n ℤ. Su dominio es ℝ , y su recorrido 
depende de a y de n.
Por ejemplo, las funciones reales cuyas reglas 
de formación son:
 f(x) = 4x4 g(x) = – x−3
 h(x) = 0,2x−2 i(x) = 1,2x 
son funciones potencia.
 ara RABAR
1. Analiza las funciones reales dadas por las siguientes reglas de formación. Luego, calcula.
 f(x) = 4x4 g(x) = –5x–3 h(x) = 0,2x–2 i(x) = 1,2x5
a. g(3) – h(2)
b. f(–1) + i(–1) – h(–1)
c. f ( 1 __ 2 ) + i ( 
5 __ 
6
 ) 
d. h(0,1) + g(–2) + h(1)
e. i(1) f(2) g(0,2)
f. i(0,5) – h(0,1) f(–0,1)
El volumen de un 
paralelepípedo de dimensiones 
a, b y c es:
V = abc
AYUDA
 nidad 1 F nciones 8
 2 43
2. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 
El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = x2, g(x) = x4 y h(x) = x6. En 
todas ellas el coeficiente numérico a es positivo y el exponente n es un número par 
positivo.
a. ¿Cuál es el valor de a en las 
tres funciones?
b. ¿Cuál es el dominio y 
el recorrido de las tres 
funciones?
c. ¿En cuál intervalo las 
funciones son crecientes?
d. ¿En cuál intervalo las 
funciones son decrecientes? 
e. ¿Qué ocurre con los gráficos 
de las funciones a medida 
que el exponente aumenta? 
Analiza cada caso.
 x ] –∞, –1[ ∪ ]1, ∞[.
 x ] –1, 1[.
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 
El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = –x2, g(x) = –x4 y h(x) = –x6. 
En todas ellas el coeficiente a es negativo y el exponente n es un número par positivo.
a. ¿Cuál es el valor de a en las 
tres funciones?
b. ¿Cuál es el dominio y 
recorrido de las tres 
funciones?
c. ¿En cuál intervalo las 
funciones son crecientes?
d. ¿En cuál intervalo las 
funciones son decrecientes? 
e. ¿Qué ocurre con los gráficos 
de las funciones a medida 
que el exponente aumenta? 
Analiza cada caso.
 x ] –∞, –1[ ∪ ]1, ∞[.
 x ] –1, 1[.
y
x
6
5
4
3 4
3
 
 
– 
1
1
–1
0–1– –3–4
f(x) = x2
g(x) = x4
h(x) = x6
y
–1
– 
–3
–4
–5
 
–6
1
x
3 410–1– –3–4
f(x) = –x2
g(x) = –x4
h(x) = –x6
Recuerda que (−x)2 ≠ −x2, con x ≠ 0.
AYUDA
 as funciones f, g y h están 
escritas de la forma f(x) = axn, y 
sus gráficas intersecan al eje x 
solo en el punto (0, 0).
AYUDA
Ampliando
MEMORIA
 Una función real es 
estrictamente creciente en [a, b] 
⊆ A, si para todo 
x
1
, x
2
 [a, b]:
x
1
 < x
2
 ⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
 Una función real es 
estrictamente decreciente en [a, 
b] ⊆ A, si para todo 
x
1
, x
2
 [a, b]:
x
1
 < x
2
 ⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 9
4. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 
El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = x3, g(x) = x5 y h(x) = x7. En 
ellas el coeficiente a es positivo y el exponente n es un número impar positivo.
a. ¿Cuál es el dominio y 
el recorrido de las tres 
funciones?
b. ¿En cuál intervalo las 
funciones son crecientes?
c. ¿En cuál intervalo las 
funciones son decrecientes?
d. ¿Qué ocurre con los gráficos 
de las funciones a medida 
que el exponente aumenta? 
Analiza cada intervalo.
 x ] –∞, –1[
 x ] –1, 0[
 x ]0, 1[
 x ]1, ∞[
5. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 
El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = –x3, g(x) = –x5 y h(x) = –x7. 
En ellas el coeficiente a es negativo y el exponente n es un número impar positivo.
a. ¿Cuál es el dominio y 
el recorrido de las tres 
funciones?
b. ¿En cuál intervalo las 
funciones son crecientes?
c. ¿En cuál intervalo las 
funciones son decrecientes?
d. ¿Qué ocurre con los gráficos 
de las funciones a medida 
que el exponente aumenta? 
Analiza cada intervalo.
 x ] –∞, –1[
 x ] –1, 0[
 x ]0, 1[
 x ]1, ∞[
y
x
4
–1
3 4
3
– 
 
 
–3
1
1
–4
0–1– –3–4
f(x) = x3
g(x) = x5
h(x) = x7
y
x
4
–1
3 4
3
– 
 
 
–3
1
1
–4
0–1– –3–4
f(x) = –x3
g(x) = –x5
h(x) = –x7
 nidad 1 F nciones 20
 2 43
6. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 
El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = x–2, g(x) = x–4 y h(x) = x–6.
a. ¿Cuál es el coeficiente a 
en las funciones? ¿A qué 
conjunto pertenece?
b. ¿Qué tienen en común los 
exponentes?
c. ¿Cuál es el dominio y 
el recorrido de las tres 
funciones?
d. ¿En cuál intervalo las 
funciones son crecientes? 
¿En cuál intervalo las 
funciones son decrecientes?
e. ¿Qué ocurre con los gráficos 
de las funciones a medida 
que el exponente aumenta? 
Analiza cada intervalo:
 x ] –∞, –1[
 x ] –1, 0[
 x ]0, 1[
 x ]1, ∞[
7. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 
El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = –x–2, g(x) = –x–4 y h(x) = –x–6.
a. ¿A qué conjunto pertenece 
el coeficiente a?
b. ¿Qué tienen en común los 
exponentes?
c. ¿Cuál es el dominio y el 
recorrido de las funciones?
d. ¿En cuál intervalo las 
funciones son crecientes? 
¿En cuál intervalo las 
funciones son decrecientes?
e. ¿Qué ocurre con los gráficos 
de las funciones a medida 
que el exponente aumenta? 
Analiza cada intervalo:
 x ] –∞, –1[
 x ] –1, 0[
 x ]0, 1[
 x ]1, ∞[
y
x
6
5
4
3 4
3
 
 
1
1
0–1– –3–4
f(x) = x–2
g(x) = x–4
h(x) = x–6
– 
–1
y
–1
– 
–3
–4
–5
 
–6
1
x
3 4 10–1– –3–4
f(x) = –x–2
g(x) = –x–4
h(x) = –x–6
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 2 
8. Identifica las asíntotas de las funciones.
y
– 
–4
–6
–8
–10
4
–1 
 
x
3 10–1– –3
y
x
1 
10
8
6
6
4
4
 
 
0– –4–6
–4
– 
9. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 
 
El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = x–1, g(x) = x–3 y h(x) = x–5.
a. ¿A qué conjunto pertenece 
el coeficiente a?
b. ¿Qué tienen en común los 
exponentes?
c. ¿Cuál es el dominio y 
el recorrido de las tres 
funciones?
d. ¿En cuál intervalo las 
funciones son crecientes? 
¿En cuál intervalo las 
funciones son decrecientes?
e. ¿Qué ocurre con los gráficos 
de las funciones a medida 
que el exponente aumenta? 
Analiza cada intervalo:
 x ] –∞, –1[
 x ] –1, 0[
 x ]0, 1[
 x ]1, ∞[
y
x
4
–1
3 4
3
– 
 
 
–3
1
1
–4
0–1– –3–4
f(x) = x–1
g(x) = x–3
h(x) = x–5
Si la gráfica de una función 
tiende a una recta, se dirá que 
esta es una asíntota de la gráfica 
de la función.
Por ejemplo, la recta x = 1 es 
asíntota de la gráfica de la 
función y = log(x – 1).
y
–1
– 
–3
 
1
x
0 3 4 1–1
AYUDA
 nidad 1 F nciones 22
 2 43
10. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 
 
El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = –x–1, g(x) = –x–3 y h(x) = –x–5.
a. ¿A qué conjunto pertenece 
el coeficiente a?
b. ¿Qué tienen en común los 
exponentes?
c. ¿Cuál es el dominio y 
el recorrido de las tres 
funciones?
d. ¿En cuál intervalo las 
funciones son crecientes? 
¿En cuál intervalo las 
funciones son decrecientes? 
e. ¿Qué ocurre con los gráficos 
de las funciones a medida 
que el exponente aumenta? 
Analiza cada intervalo:
 x ] –∞, –1[
 x ] –1, 0[
 x ]0, 1[
 x ]1, ∞[
11. Identifica las asíntotas de las gráficas de las funciones.
y
x
8
– 
6
6
–4
4
4
–6
 
 
–8
0– –4–6
y
x
8
– 
6
6
–4
4
4
–6
 
 
–8
0– –4–6
y
x
4
–1
3 4
3
– 
 
 
–3
1
1
–4
0–1– –3–4
f(x) = –x–1
g(x) = –x–3
h(x) = –x–5
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 23
Sea f(x) = axn con a ℝ – {0} y n ℕ, entonces:
 Si n es par: Si n es impar:
Si a > 0:
dom(f ) = ℝ
rec(f ) = ℝ 
0
 + 
Si a < 0:
dom(f ) = ℝ
rec(f ) = ℝ 
0
 − 
Si a > 0:
dom(f ) = ℝ
rec(f ) = ℝ
Si a < 0:
dom(f ) = ℝ
rec(f ) = ℝ
Creciente en ]0, ∞[
Decreciente en ]–∞, 0[
Creciente en ]–∞, 0[
Decreciente en ]0, ∞[
Creciente en ℝ Decreciente en ℝ
Sea f(x) = ax–n con a ℝ – {0} y n ℕ, entonces:
 Si n es par: Si n es impar:
Si a > 0:
dom(f ) = ℝ – {0}
rec(f ) = ℝ + 
Si a < 0:
dom(f ) = ℝ – {0}
rec(f ) = ℝ − 
Si a > 0:
dom(f ) = ℝ – {0}
rec(f ) = ℝ – {0}
Si a < 0:
dom(f ) = ℝ – {0}
rec(f ) = ℝ – {0}
Creciente en ℝ− 
Decreciente en ℝ+ 
Creciente en ℝ+ 
Decreciente en ℝ− 
Decreciente en 
ℝ – {0}
Creciente en ℝ – {0}
Asíntotas:
x = 0 e y = 0
Asíntotas:
x = 0 e y = 0
Asíntotas:
x = 0 e y = 0
Asíntotas:
x = 0 e y = 0
 ara RABAR
12. Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones. Para ello, escribe o F según co-
rresponda.
a. El dominio de la función real definida por f(x) = 3x4 es ℝ 
0
 + .
b. a función real definida por g(x) = –5x–3 es estrictamente creciente en ]0, ∞[.
c. Si f(x) = axn y g(x) = –axn, entonces las gráficas de f y g son simétricas respecto 
al eje y.
d. a gráfica de la función real definida por f(x) = 1 __ 
2
 x 5 tiene asíntotas x = 0 
e y = 0.
13. Analiza los gráficos. Luego, responde.
a. Respecto a f(x), ¿qué sucede en cada caso con la gráfica de las funciones a medida que 
l a l aumenta? ¿Y si l a l disminuye?
y
x
4
–1
3 4
3
– 
 
 
–3
1
1
–4
0–1– –3–4
f(x) = –x3
g(x) = –2x3
h(x) = –5x3
p(x) = –0,5x3
q(x) = –0,1x3
y
x
6
5
4
3 4
3
 
 
– 
1
1
–1
0–1– –3–4
f(x) = x2
g(x) = 2x2
h(x) = 5x2
p(x) = 0,5x2
q(x) = 0,1x2
 nidad 1 F nciones 24
 2 43
b. Respecto a f(x), ¿qué sucede con la gráfica de las funciones a medida que l a l aumenta? 
¿Y si l a l disminuye?
f(x) = x–3
g(x) = 2x–3
h(x) = 5x–3
p(x) = 0,5x–3
q(x) = 0,1x–3
y
x
4
–1
3 4
3
– 
 
 
–3
1
1
–4
0–1– –3–4
f(x) = –x–2
g(x) = –2x–2
h(x) = –5x–2
p(x) = –0,5x–2
q(x) = –0,1x–2
y
x
–6
–5
–4
3 4
–3
 
 
– 
1
1
–1
0–1– –3–4
Sea la función f(x) = axn.
 Si n > 0, la gráfica de las funciones se abre a medida que l a l disminuye y se cierra a medida 
que l a l aumenta.
 Si n < 0, la gráfica de las funciones se abre a medida que l a l aumenta y se cierra a medida 
que l a l disminuye.
 ara RABAR
Ampliando
MEMORIA
Una función real f:
 es par si f(–x) = f(x), para todo 
x   dom(f). Además, su gráfico es 
simétrico con respecto al eje y.
 es impar si f(–x) = –f(x),para todo 
x   dom(f). Además, su gráfico es 
simétrico con respecto al origen.
14. Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones. Para ello, escribe o F según co-
rresponda y considera las siguientes funciones reales:
 f(x) = −3x7 g(x) = − 1 __ 
4
 x 7 h(x) = − 1 __ 
2
 x 7 p(x) = –5x7
a. g(–1) > g(1)
b. h(18) > f(18)
c. p(–1,2) < g(–1,2)
d. f(3,14) < p(3,14)
15. Clasifica cada función en par o impar.
a. y = 2x–5
b. y = –0,7x–3
c. y = x6
d. y = –0,4x–4
e. y = –2,4x2
f. y = –6x–3
g. y = 3x7
h. y = 0,4x–8
 ¿Qué puedes concluir?
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 25
Traslaciones de la función potencia
Observa el gráfico de las funciones reales f y g, definidas por f(x) = x3 y g(x) = x3 – 3x2 + 3x. 
Es posible observar que las curvas que represen-
tan ambas funciones son idénticas, ya que me-
diante la traslación de una es posible obtener la 
otra.
El gráfico de g se puede obtener trasladando una 
unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba 
el gráfico de f. Algebraicamente, se tiene:
 x3 – 3x2 + 3x = (x – 1)3 + 1
 = f(x – 1) + 1
 = g(x)
En este caso, f(x – 1) corresponde a una traslación 
horizontal hacia la derecha de f(x); mientras que 
f(x – 1) + 1 corresponde a una traslación vertical 
hacia arriba de f(x – 1).
y
x
4
4
3
3
 
 
1
1
0-1
-1
- 
- 
-3
-3
-4
g(x) = x3 – 3x2 + 3x
f(x) = x3
Sean y g funciones reales . E l gráf ico de 
g(x) = a(x – h)n + k, con a, h, k ℝ – {0} y n ℤ, es una 
traslación del gráfico de f(x) = axn:
 horizontal en l h l unidades: 
a la izquierda, si h < 0.
a la derecha, si h > 0.
 vertical en l h l unidades: 
hacia abajo, si k < 0.
hacia arriba, si k > 0.
Además, la relación entre los gráficos se puede denotar 
como:
g(x) = f(x – h) + k
Por ejemplo:
 El gráfico de g(x) = 3(x + 2)4 –  
es una traslación en 2 unida-
des a la izquierda y en unida-
des hacia abajo del gráfico de 
f(x) = 3x4, es decir:
g(x) = f(x + 2) – 
 El gráfico de g(x) = (x – 4)−  + 3 
es una traslación en 4 unidades 
a la derecha y en 3 unidades ha-
cia arriba del gráfico de f(x) = x− , 
es decir:
g(x) = f(x – 4) + 3
 ara RABAR
1. Describe la traslación de los gráficos de las funciones reales, a partir de f(x) = 5x−6.
a. g(x) = 5(x + 1)−6 ► 
b. h(x) = 5x−6 – 3 ► 
c. i(x) = 5(x – 6)−6 ► 
d. m(x) = 5x−6 + 2 ► 
e. p(x) = 5(x – 2)−6 – 1 ► 
f. q(x) = 5(x + 5)−6 – 6 ► 
(1) g(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 + 1
(2) = (x – 1)3 + 1
(3) = f(x – 1) + 1
(1) Como los términos x3, –3x2 
y 3x corresponden a los tres 
primeros del desarrollo de 
un cubo, se suma un “cero 
conveniente”, en este caso, 
1 – 1, para obtener el cuarto 
término de dicho desarrollo, –1.
(2) Se factoriza 
x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3.
(3) Como f(x) = x3, entonces, 
(x – 1)3 = f(x – 1).
Paso a paso
 nidad 1 F nciones 26
 2 43
2. Representa gráficamente las funciones a partir del gráfico dado.
a. 
g(x) = (x – 2)−1
h(x) = x−1 – 1
p(x) = (x – 2)−1 – 1
y
x
4
4
3
3
 
 
1
1
0
-1
-1
- 
- 
-3
-3
-4
-4
f(x) = x–1
b. 
g(x) = (x – 1)4
h(x) = x4 + 1
p(x) = (x – 1)4 + 1
y
x
4
4
5
3
3
 
 
1
1
0
-1
-1
- 
- 
-3
-3
-4
f(x) = x4
3. Analiza los siguientes gráficos. Luego, relaciónalos con la función dada.
a. y
x
4 5
4
5
3
3
 
 
1
1
0
-1
-1
- 
- 
-3
-3
-4
y = g(x)
y = f(x)
y = h(x)
y = p(x)
b. y
x
4
4
5
6
3
3
 
 
1
1
0
-1
-1
- 
- 
-3-4
-3
-4
y = h(x)
y = f(x)
y = p(x)
y = g(x)
 = 0,1x5 + 2 = 0,1(x – 1)5
 = 0,1x5 = 0,1(x – 2)5 + 3
 = 2x4 = 2x4 – 3 
 = 2(x + 2)4 = 2(x – 2)4 + 1
 ¿Cuáles de las funciones son pares?
 ¿Cuáles de las funciones son impares?
4. Identifica el dominio y el recorrido de cada función real.
a. f(x) = 3x2 + 8
b. f(x) = 2(x – 4)–3
c. f(x) = –x–5 – 2
d. f(x) = 5,1(x + 7)3 – 1
e. f(x) = –4(x + 1)4 + 2
f. f(x) = (x + 3)–1 – 1
g. f(x) = –(x – 4)–5 + 3
h. f(x) = –(x + 2)–4 – 5
Investiga si existe una función que 
sea par e impar a la vez.
Desafíate
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 27
Interés compuesto
 uego de ganar un concurso, Carlos recibe como premio 5 millones de pesos y decide depo-
sitarlo en un banco por dos años, con una tasa de interés anual del 4 %, capitalizable cuatri-
mestralmente, es decir, el pago de interés se realiza cada cuatro meses. Observa:
4 meses
 Capital inicial Capital final
 5.000.000 5.000.000 + 4 __ 
3
 % de 5.000.000 5.066.667
El interés capitalizado después de los primeros 4 meses corresponde a la tercera parte del in-
terés anual (4 %), y anualmente este proceso se realizará 3 veces. De este modo, al cabo de los 
primeros 4 meses Carlos tiene, producto de los intereses, $5.066.667 en el banco.
 ¿Cuál será el capital final de Carlos en dicho banco luego de dos años?
El interés compuesto representa 
el costo, beneficio o utilidad de 
un capital inicial C
0
 a una tasa de 
interés i por un período n, en el 
cual los intereses se capitalizan k 
veces por período, produciendo un 
capital inal C, a partir de:
C = C 
0
 ( 1 + i _ k ) 
k · n
 
En el caso de los $ .000.000 de Carlos:
 C
0
 = .000.000 i = 0,04 k = 3 n = 2
Entonces:
C = .000.000 · ( 1 + 0,04 ____ 3 ) 
3 · 2
 ≈ .413. 73
Es decir, al cabo de 2 años, Carlos tendrá $ .413. 73 
aproximadamente.
 ara RABAR
1. Identifica las variables involucradas en los siguientes enunciados.
Enunciado C
0
i n k
Se depositan $6.000.000, por tres años y medio, ca-
pitalizables trimestralmente, con una tasa de interés 
del 4 % anual.
Durante 3 años y medio, un capital de $3.000.000 
generó intereses capitalizables cuatrimestral-
mente en un banco, con una tasa de interés del 
1,8 % anual.
Un capital de $1.200.000 es depositado a  años, 
con una tasa de interés anual del 8 %, capitalizable 
semestralmente.
Un banco entrega un interés anual del 2 % para los 
$2.000.000 de pesos que se quieren depositar por 
3 años con capitalización anual.
 a tasa de interés (i) en:
C = C 
0
 ( 1 + i _ k ) 
k · n
 
es el valor del porcentaje expresado 
en número decimal. Por ejemplo, en 
el caso de los $5.000.000 de Carlos, 
el interés es del 4 %, luego:
i = 4 ___ 
100
 = 0,04
Es común que a menudo se cometa 
el error de considerar i = 4; lo que 
generará un error de cálculo.
Advertencia
 nidad 1 F nciones 28
 2 43
2. Resuelve los problemas.
a. Se depositan $600.000 al 3 % anual de interés compuesto. ¿Cuál será el capital que se 
obtiene a los 10 años con una capitalización anual?
b. Un capital de $300.000 con interés anual y capitalización semestral genera, a los 7 años, 
un capital final de $1.500.000. ¿Cuál fue la tasa de interés aplicada? 
c. Si en 5 años se obtiene un capital final de $12.600.500 al invertir un cierto capital al 6 % 
de interés compuesto anual, ¿cuál es el valor del capital inicial?
d. ¿Cuánto debe depositar Felipe en su cuenta el 1 de marzo para pagar su matrícula de 
la universidad el 31 de enero del siguiente año, si su matrícula es de $400.000 y la tasa 
de interés aplicada por su banco es del 2 % mensual?
e. ¿En cuánto tiempo se triplicará una inversión si la tasa de interés aplicada es del 6 % 
mensual?
f. Si una inversión de $5.000.000, realizada hace 12 años, tiene hoy un valor de 45 millones 
de pesos, ¿cuál fue la tasa de interés pactada?
g. Isabel desea invertir $5.000.000 en algún banco. El banco A le ofrece una tasa de un 
5 % de interés compuesto anual y el banco B le ofrece una tasa de un 3 % de interés 
compuesto capitalizable trimestralmente. Si la intención de Isabel es mantener el 
dinero durante 10 años, ¿dónde le conviene invertir? Justifica.
 Investiga la deducción de la 
fórmula:
C = C 
0
 ( 1 + i __ k ) 
k · n
 
 Responde:
Dado un capital inicial ( C 0 ) , una 
tasa de interés (i), un período (n) y 
una capitalización (k), ¿se obtiene 
el mismo capital final (C), si se 
considera el mismo capital inicial 
y la misma tasa de interés, pero el 
doble del períodoy la mitad de la 
capitalización, es decir, 2n y k __ 
2
 ?
Desafíate
Si en un problema de interés 
compuesto no se hace referencia 
al período de capitalización, se 
entenderá que es el mismo que 
el de la tasa de interés.
AYUDA
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 29
nalizando discoA
Evaluación de proceso
 . Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
Funciones
1. Con respecto a la función real f definida por 
f(x) = 2x – 5, es verdadero que:
 . a imagen de 1 es –3.
 . Su gráfica es una recta.
 . a preimagen de 0 es −5.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo I y II
D. Solo II y III
E. I, II y III
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A. a función real f(x) = log(x) tiene un cero.
B. El dominio de la función real f(x) = x2 es ℝ.
C. El recorrido de la función logarítmica es ℝ+.
D. a función real definida por f(x) = 3x es creciente.
E. a función real definida por y = 2x + 1 no tiene ceros.
3. Con respecto a la función real f(x) = √
____
 x − 2 , es 
verdadero que:
 . f(4) = 2.
 . Tiene un cero.
 . Su dominio es [0, ∞[.
A. Solo II
B. Solo III
C. Solo I y III
D. Solo II y III
E. I, II y III
4. Si f(x) = { √
____
 6 − x si x < 0 
 1 − x2 si x ≥ 0
 
 
 , ¿cuál es el valor de 
f(−10) + f(0) f(5)?
A. −120
B. −22
C. −20
D. 28
E. 30
5. Sea f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = 2x − 3. ¿Cuál es el 
recorrido de f?
A. ℝ
B. ℝ+
C. ]3, ∞[
D. [−3, ∞[
E. ]−3, ∞[
6. ¿Cuál es el dominio de la función real f(x) = 2 ________ 
x2 + x − 2
 ?
A. ℝ
B. ℝ − {1, 2}
C. ℝ − {−1, 2}
D. ℝ − {−2, 1}
E. ℝ − {−2, −1}
Función potencia
7. A partir del gráfico, ¿cuál(es) de las afirmaciones es 
(son) verdadera(s)?
y
xf(x) = ax
n
g(x) = bxn
 . a > b.
 . n es par.
 . g es una traslación de f.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo I y II
D. Solo I y III
E. Solo II y III
8. Dada la función real definida por f(x) = x−1, es 
verdadero que:
 . Es creciente.
 . dom(f ) = ℝ − {0}.
 . Su gráfica solo tiene una asíntota.
A. Solo II
B. Solo III
C. Solo I y II
D. Solo II y III
E. I, II y III
 nidad 1 F nciones 30
 2 43
Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora, según 
las categorías de desempeño dadas:
 . Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado.
 Analicé funciones y sus elementos.
(Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6)
 Analicé funciones potencia y sus elementos.
(Preguntas 7, 8, 9, 10, 11 y 12)
 Apliqué interés compuesto.
(Preguntas 13, 14, 15 y 16)
Mi ESTADO
9. Si f(x) = −x−5 y g(x) = −(x – 2)−5 + 3, entonces, la gráfica 
de g es una traslación del gráfico de f en:
A. 2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.
B. 2 unidades a la derecha y 3 hacia abajo.
C. 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba.
D. 3 unidades a la izquierda y 2 hacia abajo.
E. 2 unidades a la izquierda y 3 hacia arriba.
10. Si el gráfico de g es una traslación del gráfico de f, 
entonces:
Y
X3
4
3
 
 
1
1
0-1
-1
- 
- 
-3
-3
-4
-4-5-6
y = g(x) 
y = f(x)
A. g(x) = f(x – 3) – 1
B. f(x) = g(x – 3) – 1
C. f(x) = g(x + 3) – 1
D. g(x) = f(x + 3) – 1
E. g(x) = f(x – 3) + 1
11. Si h(x) = axn es una función potencia par con a < 0 y 
n > 0, entonces es verdadero que:
 . h(2) = –h(–2).
 . Su recorrido es ℝ 
0
 + .
 . Su gráfica es simétrica con respecto al eje y.
A. Solo II
B. Solo III
C. Solo I y III
D. Solo II y III
E. I, II y III
12. Dada la función real definida por f(x) = 2(x − 1)−4 + 3, 
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 
verdadera(s)?
 . Es una función par.
 . Su recorrido es ]−∞, 3].
 . a recta x = 1 es asíntota.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. Solo I y II
E. Solo II y III
Interés compuesto
13. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular 
el capital anual obtenido al depositar $400.000 
durante 5 años, con un interés de 4 % anual?
A. 400.000 45
B. 400.000 55
C. 400.000 0,045
D. 400.000 1,054
E. 400.000 1,045
14. La expresión C = C
0
 ( 1 + 0,02 ____ 3 ) 
6
 permite calcular el 
capital final C a partir de un capital inicial C
0
 con:
A. Interés anual del 2 %, por 2 años y capitalizable 
trimestralmente.
B. Interés anual del 2 %, por 2 años y capitalizable 
cuatrimestralmente.
C. Interés anual del 3 %, por 2 años y capitalizable 
semestralmente.
D. Interés anual del 2 %, por 3 años y capitalizable 
cuatrimestralmente.
E. Interés anual del 3 %, por 2 años y capitalizable 
cuatrimestralmente.
 . Resuelve los problemas.
15. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital inicial de 
USD 2.000, si la tasa de interés es del 16 % anual, con 
capitalización semestral?
16. Un capital de 4 millones de pesos, depositados 
durante 2 años, con capitalización semestral generó 
un capital final aproximado de $4.245.454. ¿Cuál fue 
la tasa de interés aplicada?
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 3 
 rogresión aritmética
 na empresa realizó un estudio sobre su producción para el próximo año, proyectando un 
aumento de 400 unidades mensuales. Si en enero producirá 8.800 unidades, ¿cuántas unida-
des producirá en diciembre?
A partir de la tabla es posible obtener el siguiente gráfico:
 
8.000
9.000
 0.000
 .000
 2.000
 3.000
 4.000
 5.000
2 3 4 5 6 7 8 9 0 2
0
//
 roducción año siguiente
Pr
od
uc
ció
n
Período (meses)
La producción de un mes se obtiene al sumar 400 unidades a la producción del mes ante-
rior, considerando como primer valor de producción a 8.800. Así, la producción en diciembre 
será de 13.200 unidades.
 na rogresión aritmética (PA) es una sucesión de 
números reales en que cada uno de ellos (salvo el 
primero) se obtiene sumando al anterior un número 
fijo llamado diferencia (d).
En una PA de n términos se cumple:
a
n
 = a
1
 + d(n – 1); con n ℕ y d ℝ – {0}
Donde a
1
 es el primer término de la progresión y a
n
 
el término n-ésimo, conocido también como término 
general.
Además, se cumple que a
n + 1
 = a
n
 + d.
Por ejemplo:
 2, 5, 8, 11, 14 es una PA de 5 térmi-
nos, con a
1
 = 2 y d = 3.
 1, 2, 3,…, n es una PA de n tér-
minos, con a
1
 = 1, d = 1 y a
n
 = n.
 7, 3, –1, –5,…11 – 4n es una PA de 
n términos, con a
1
 = 7, d = –4 y 
a
n
 =  11 – 4n.
Observa que:
11 – 4n = 7 – 4(n – 1)
 ara RABAR
 . econoce la PA en cada caso y escribe sus cinco primeros términos.
a. a
1
 = 12 y d = 5
b. a
3
 = 8 y d = –3
c. a
n
 = 6 + 3n
d. a
n
 = 1 – n
e. a
8
 = 10 y d = 2
f. a
6
 = 1 y d = –5
2. Identifica el n-ésimo término de las siguientes PA.
a. 0, 7, 14, 21,…
b. 8, 3, –2, –7,…
c. 1 __ 
2
 , 7 __ 
2
 , 13 ___ 
2
 , 19 ___ 
2
 ,…
d. 1 __ 
3
 , 5 __ 
6
 , 4 __ 
3
 , 11 ___ 
6
 ,…
e. 1 __ 
3
 , 7, 41 ___ 
3
 , 61 ___ 
3
 ,…
f. –10, –1, 8, 17,…
Para la actividad 1 utiliza las 
relaciones:
 a
n + 1
 = a
n
 + d
 a
n
 = a
1
 + d(n – 1)
Para la actividad 2 determina el 
primer término de la PA, busca el 
valor de a 
1
 y d y reemplázalos en:
a
n
 = a
1
 + d(n – 1)
AYUDA
Ampliando
MEMORIA
 na progresión aritmética, en el 
plano cartesiano, es representada 
por puntos aislados. Además:
 es creciente si d > 0.
 es decreciente si d < 0.
 roducción año siguiente
 eríodo
(meses)
 roducción total
1 8.800
2 9.200
3 9.600
4 10.000
5 10.400
6 10.800
7 11.200
8 11.600
9 12.000
10 12.400
11 12.800
12 13.200
 nidad 1 F nciones 2
 2 4 
3. Identifica la diferencia de la PA. Luego, calcula la suma de sus primeros 10 términos.
a. 3, 9, 15,…
b. 13 ___ 
3
 , 23 ___ 
6
 , 10 ___ 
3
 ,…
c. a
n
 = 4n + 1
d. b
n
 = 2 – 5n
e. 5 __ 
2
 , 17 ___ 
10
 , 9 ___ 
10
 ,…
f. −3 1 __ 
2
 , −2 3 __ 
4
 , −2,…
4. epresenta gráficamente las progresiones aritméticas y responde.
 a
n
 = 2n b
n
 = 7 – 3n c
n
 = 2n + 3 d
n
 = 1 – 3n
a. ¿Cuáles de las sucesiones son crecientes y cuáles decrecientes?
b. ¿Cómo es el gráfico al unir los puntos de cada representación?
5. esuelve los problemas.
a. Dada la tabla:
Venta de jugo
Litros1 2 3 4 5 6 7
 recio ($) 1.580 3.160 4.740 6.320 7.900 9.480 11.060
 ¿Cuánto dinero se debe pagar por 58 litros de jugo?
 ¿Es creciente la PA formada? Justifica.
b. Para su gira de estudio, Nicolás reunirá $20.000 la primera semana, mientras que cada 
semana siguiente juntará $3.000 más de lo que ahorró la semana anterior.
 ¿Cuánto dinero juntará Nicolás en la semana 15?
 ¿Cuánto dinero tendrá Nicolás al finalizar la semana 15?
 ¿Cuánto dinero reunirá Nicolás desde el inicio de la semana 10 hasta terminar la se-
mana 30?
c. Dada la tabla:
Crecimiento bacteriano
Minuto 0 1 2 3 4 5 6
Cantidad de 
bacterias
750 2.000 3.250 4.500 5.750 7.000 8.250
 ¿La progresión es creciente? Justifica.
 ¿El crecimiento de la cantidad de bacterias por minuto representa una PA? Justifica.
 ¿Qué cantidad de bacterias se observará en el minuto 67?
d. En la siguiente secuencia:
1° 2° 3° 4° 5°
 La cantidad de hexágonos que hay por figura ¿es una PA? Justifica.
 ¿Cuántos hexágonos habrá en la figura 120?
 Tres números a, b y c están en 
PA si 2b = a + c.
 La suma (S) de los n términos 
de una PA puede obtenerse 
reemplazando los valores 
respectivos en una de las 
siguientes expresiones:
S
n
 = n __ 
2
 ( 2 a 1 + (n − 1)d ) 
S
n
 = n __ 
2
 ( a 1 + a n ) 
AYUDA
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 
 rogresión geométrica
Eliana necesita contratar un maestro para reparar el sistema eléctrico de su casa. Los dos úni-
cos maestros disponibles, Cristian y Patricio, le ofrecen los siguientes tratos: 
Maestro Trato
Cristian Puede realizar el trabajo en 30 días y cobra $15.000 por cada día trabajado.
Patricio
Puede realizar el trabajo en 20 días y cobra $2 el primer día de trabajo; $4, 
el segundo; $8, el tercero; es decir, cada día cobra el doble de lo pedido el 
día anterior.
A partir de los tratos, los cobros por día serán:
Día
Maestro 1 2 3 … 19 20 … 29 30
Cristian 15.000 15.000 15.000 … 15.000 15.000 … 15.000 15.000
Patricio 2 4 8 … 524.288 1.048.576
 ¿Qué maestro le conviene contratar a Eliana? Justifica.
 na rogresión geométrica (PG) es una 
sucesión de números reales en que cada 
uno de ellos (salvo el primero) se obtiene 
multiplicando el anterior por un número fijo 
llamado razón (r).
En una PG de n términos se cumple:
a
n
 = a
1
 · rn – 1; con n ℕ y r ℝ – {0, 1}
Además, se cumple que a
n + 1
 = a
n
· r.
Por ejemplo:
 1, –5, 25, –125 es una PG de 4 términos, con 
a
1
 = 1 y r = –5.
 2, 4, 8, 16,…, 2n es una PG de n términos, 
con a
1
 = 2, r = 2 y a
n
 = 2n.
 54, 18, 6, 2,…, a
n
 es una PG de n términos, 
con a
1
 = 54, r = 1 __ 
3
 y a 
n
 = 54 · ( 1 __ 3 ) 
n − 1
 = 162 ___ 
 3 n 
 
 ara RABAR
 . econoce la PG en cada caso y escribe sus cinco primeros términos.
a. a
1
 = 2 y r = 3
b. a
3
 = 8 y r = 1 __ 
2
 
c. a
n
 = 4n
d. a
n
 = 5 · 3n + 1
e. a
6
 = 16 y r = 4
f. a
4
 = 1 y r = 1 __ 
3
 
2. Identifica el n-ésimo término de las siguientes PG.
a. 1, 6, 36, 216,…
b. 135, 45, 15, 5,…
c. 1, 1 __ 
4
 , 1 ___ 
16
 , 1 ___ 
32
 ,…
d. 5, 1, 1 __ 
5
 , 1 ___ 
25
 ,…
e. 2 __ 
5
 , 8 ___ 
15
 , 32 ___ 
45
 , 128 ____ 
135
 ,…
f. –4, 20, –100, 500,…
Ampliando
MEMORIA
 na progresión geométrica, en el 
plano cartesiano, es representada 
por puntos aislados. Además:
 es creciente si r > 1.
 es decreciente si 0 < r < 1.
 es alternante si r < 0.
 nidad 1 F nciones 4
 2 4 
3. Identifica la razón de la PG. Luego, calcula la suma de sus primeros 10 términos.
a. 4, 8, 16,…
b. 15 ___ 
4
 , 5 __ 
2
 , 5 __ 
3
 ,…
c. a
n
 = 2 ( 4 __ 5 ) 
n
 
d. b
n
 = 2 · 4n
e. 1 ___ 
10
 , 1 __ 
4
 , 5 __ 
8
 ,…
f. −5 3 __ 
4
 , −3 5 __ 
6
 , −2 5 __ 
9
 ,…
4. epresenta gráficamente las progresiones geométricas y responde.
 a
n
 = –3 · 3n b
n
 = 3n + 1 c
n
 = 2 · 3n – 1 d
n
 = 32 – n
a. ¿Cuáles de las sucesiones son crecientes y cuáles decrecientes?
b. ¿Cómo es el gráfico al unir los puntos de cada representación?
5. esuelve los problemas.
a. En la PG 7, 14, 28, 56,…, ¿es el número 7.168 un término de esta progresión? En caso de 
serlo, ¿qué término representa?
b. Dada la tabla:
Dinero ahorrado por un curso
Semana 1 2 3 4 5 6
Dinero 
ahorrado
$500 $1.500 $4.500 $13.500 $40.500 $121.500
 ¿Cuánto dinero ahorrarán la novena semana?
 ¿Es creciente la progresión? Justifica.
c. Dada la tabla:
Cultivo de bacterias
Hora 0 1 2 3 4 5 6
Cantidad de 
bacterias
218.700 72.900 24.300 8.100 2.700 900 300
 ¿Es creciente la progresión? Justifica.
 ¿La cantidad de bacterias por hora representa una PG? Justifica.
d. En la siguiente secuencia:
1° 2° 3° 4°
 ¿Es una PG la cantidad de cuadrados que hay por figura? Justifica.
 ¿Cuántos cuadrados hay en la figura número 70?
 ¿Cuántos cuadrados hay desde la figura 1 hasta la figura 10?
Investiga el uso del concepto 
de PG para transformar 
números decimales periódicos y 
semiperiódicos en fracciones.
Desafíate
Ampliando
MEMORIA
 La suma (S) de los n términos 
de una PG puede obtenerse 
reemplazando los valores 
respectivos en la expresión:
S = a 
1
 · 1 − r 
n _____ 
1 − r
 
 En una PG de infinitos términos, 
si –1 < r < 1, la suma de sus 
términos puede obtenerse 
reemplazando los valores 
respectivos en la expresión:
S = 
 a 
1
 
 ____ 
1 − r
 
 Tres números a, b y c están en PG 
si b2 = a · c.
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 5
Crecimiento aritmético y geométrico
Observa las siguientes tablas y gráficos de funciones reales:
Tabla 1
x y
1 1,1
2 2,8
3 4,8
4 7,2
5 9,3
y
x
65432 
 0
9
8
7
6
5
4
3
2
 
0
f(x) = 2x – 1
Tabla 1
Tabla 2
x y
–2 –0,8
–1 –0,5
0 0,3
1 1,8
2 8,4
y
x
32 –3 – –2
9
8
7
6
5
4
3
2
 
0
f(x) = 3x – 1
Tabla 2
Los pares ordenados de las tablas (puntos grises en los gráficos) se pueden ajustar a las fun-
ciones reales f y g, definidas por f(x) = 2x – 1 y g(x) = 3x – 1. Así, se dirá que f y g modelan el 
comportamiento de los pares ordenados de las tablas 1 y 2, respectivamente.
El crecimiento de una función real f es del tipo:
 Aritmético, si es posible modelar su representación mediante una recta. 
 Geométrico, si es posible modelar su representación mediante el gráfico de una función 
exponencial.
La función más adecuada para modelar cierto conjunto de pares ordenados es aquella que los 
representa de la mejor manera posible.
 ara RABAR
 . Identifica el tipo de crecimiento que representan las siguientes tablas. Para ello, grafica 
los valores de dicha tabla.
a. x 1 2 3 4 5
y –0,9 1,8 5,2 8,3 10,8
b. x –2 –1 0 1 2
y 4,9 3,2 0,9 –1,1 –2,8
c. x –1 0 1 2 3
y 1,4 2,1 2,7 5,1 8,9
d. x –1 0 1 2 3
y 0,06 0,3 1 3,7 15
2. Analiza las siguientes afirmaciones y escribe V o F según corresponda. Justifica.
a. na función lineal tiene crecimiento del tipo aritmético.
b. na PG tiene crecimiento del tipo geométrico.
c. La función cuadrática f(x) = x2 tiene crecimiento del tipo geométrico.
d. Si una función f no crece geométricamente, entonces lo hace aritméticamente.
e. La sucesión cuyo término general es a
n
 = 4n + 1 tiene crecimiento aritmético.
f. La función real f, definida por f(x) = 5–x tiene crecimiento del tipo geométrico.
Ampliando
MEMORIA
Los crecimientos del tipo aritmético 
y geométrico no son los únicos 
tipos de crecimiento. También 
existe el crecimiento logarítmico, 
potencial, etc.
Ampliando
MEMORIA
De la tabla 1 es posible reconocer 
una función cuyo dominio es 
{1, 2, 3, 4, 5} y su recorrido es 
{1,1; 2,8; 4,8; 7,2; 9,3}.
De manera similar, es posible 
reconocer otra función a partir de 
la tabla 2.
 nidad 1 F nciones 6
 2 4 
 na función real f tiene crecimiento otencial si es posible modelar su representación 
mediante el gráfico de una función potencia.
 ara RABAR
Crecimiento potencial
Para modelar los pares ordenados tabulados, se han propuesto las siguientes funciones:
Tabla
x y
–3 –26
–2 –7,8
–1 –1,20 0,2
1 1,3
2 8,5
3 25,8
y
x
4
40
3
30
2
20
 
 0
0
– 
– 0
–2
–20
–3–4
–30
y = 3x – 1
y = x3
y = 3x
 ¿Cuál de ellas utilizarías para modelar los valores de la tabla? Justifica.
 . Analiza los gráficos y determina cuál de las funciones modela su comportamiento. 
Justifica.
 y = x4 y = x3 y = –x2 + 1 y = –x5
a. y
x
20
3
 5
2
 0
 
5
–5
0- -2-3
b. y
x
80
60
40
20
6
–20
4
–40
2
–60
–80
0-2-4-6
c. y
x
– 
3
–2
2
–3
–4
 
 
0- -2-3
d. y
x
40
30
20
 0
3
– 0
2
–20
 
–30
–40
0- -2-3
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 7
Tasas de crecimiento
Cuando se pretende estudiar el crecimiento de una población es necesario disponer de algún 
método que permita analizar dicho crecimiento en el transcurso del tiempo.
 ¿Qué métodos crees que existen para predecir el crecimiento poblacional?
 na tasa de crecimiento aritmético (T
ca
) 
es un indicador porcentual asociado a los 
crecimientos aritméticos, es decir, aquellos que 
varían linealmente en una unidad de tiempo, 
y permiten realizar ciertas proyecciones 
demográficas. Dichas proyecciones son 
posibles de hacer con:
 P 
n
 = P 
0
 ( 1 + r a · n ____ 100 ) 
P
n
: población final.
P
0
: población inicial.
n: período de proyección de la población en 
unidad de tiempo.
r
a
: tasa de crecimiento aritmético (T
ca
).
 r 
a
 = ( P n − P 0 ______ P 
0
 · n
 ) · 100
 na tasa de crecimiento geométrico 
(T
cg
) es un indicador porcentual asociado 
a los crecimientos geométricos, es decir, 
a crecimientos correspondientes a un 
porcentaje uniforme de la población actual 
del período. Para realizar proyecciones 
demográficas es posible utilizar:
 P 
n
 = P 
0
 ( 1 + r g ___ 100 ) 
n
 
P
n
: población final.
P
0
: población inicial.
n: período de proyección de la población 
en unidad de tiempo.
r
g
: tasa de crecimiento geométrico (T
cg
).
 r 
g
 = ( n √
__
 
 P 
n
 
 __ 
 P 
0
 
 − 1 ) · 100
 ara RABAR
 . Analiza los siguientes problemas resueltos.
La tabla muestra tres censos realizados en una misma ciudad, en distintos períodos.
Censos en una ciudad
Año 1971 1981 2011
 oblación 12.125 13.356 19.827
Problema a. ¿Cuál es la tasa de crecimiento aritmético poblacional entre los años 1971 y 
1981? ¿Y entre los años 1981 y 2011?
De acuerdo a la información entregada, se tiene que P
0
 = 12.125, P
1
 = 13.356 y P
2
 = 19.827.
Así, la tasa de crecimiento aritmético entre los años 1971 y 1981, con n = 10, es:
r
a(1971 y 1981)
 = 13.356 − 12.125 _____________ 
12.125 · 10
 · 100 ≈ 1,02 % anual
Por otra parte, la tasa de crecimiento aritmético entre los años 1981 y 2011, con n = 30, es:
r
a(1981 y 2011)
 = 19.827 − 13.356 _____________ 
17.356 · 30
 · 100 ≈ 1,24 % anual
Se puede observar que en la ciudad estudiada, en el período de 1971 a 1981, la tasa de 
crecimiento poblacional fue de 1,02 % anual, pero entre los años 1981 y 2011, la población 
presentó una tasa de crecimiento poblacional del 1,24 % anual; lo que representa un ritmo 
de crecimiento más rápido.
Ampliando
MEMORIA
 na tasa de crecimiento (T
c
), 
también denominada tasa de 
crecimiento porcentual, porcentaje 
de cambio, tasa de cambio, etc., es 
un indicador porcentual que sirve 
para determinar si la población 
en estudio está creciendo 
o disminuyendo en un área 
específica. Se calcula por medio de 
la expresión:
 T 
c
 = ( Cantidad final − cantidad inicial _____________________ cantidad inicial ) · 100
 nidad 1 F nciones 8
 2 4 
Problema b. ¿Cuál podría ser una estimación de la población para el año 2030 en la 
ciudad?
Se tiene P
0
 = 19.827, P
n
 = población en el año 2030 y n = (2030 – 2011) = 19. Además, en la 
actividad anterior se obtuvo r
a(1971 y 1981)
 ≈ 1,02 y r
a(1981 y 2011)
 ≈ 1,24.
Para estimar la población de la ciudad en el año 2030, se considera una ponderación de 
las tasas de crecimiento entre los años 1971 y 1981 y, entre los años 1981 y 2011. Esto se 
calcula de la siguiente forma:
 r 
a
 = 
 r 
a(1971 y 1981)
 · (1981 − 1971) + r 
a(1981 y 2011)
 · (2011 − 1981)
 ___________________________________________ 
(1981 − 1971) + (2011 − 1981)
 
 = 
1,02 · 10 + 1,24 · 30
 ________________ 
40
 
 = 1,185 % anual
De esta manera, la población estimada para el año 2030 es de 24.291 habitantes, ya que:
 P 
n
 = 19.827 ( 1 + 1,185 · 19 _______ 100 ) ≈ 24.291
Problema c. Repite las actividades a y b para el caso de tasa de crecimiento geométrico.
La tasa de crecimiento geométrico entre los años 1971 y 1981, con n = 10, es:
r
g(1971 y 1981)
 = ( 10 √
_____
 13.356 ______ 
12.125
 − 1 ) · 100 ≈ 0,97 % anual
De manera análoga, la tasa de crecimiento geométrico entre los años 1981 y 2011, con 
n = 30, es:
r
g(1981 y 2011)
 = ( 30 √
_____
 19.827 ______ 
13.356
 − 1 ) · 100 = 1,33 % anual
La población estimada para el año 2030 en la ciudad es P 
n
 = 19.827 ( 1 + r g ____ 100 ) 
19
 , donde:
 r 
g
 = 
 r 
g(1971 y 1981)
 · (1981 − 1971) + r 
g(1981 y 2011)
 · (2011 − 1981)
 ___________________________________________ 
(1981 − 1971) + (2011 − 1981)
 
 = 
0,97 · 10 + 1,33 · 30
 ________________ 
40
 
 = 1,24 % anual
Luego, P 
n
 = 19.827 ( 1 + r g ____ 100 ) 
19
 = 19.827 ( 1 + 1,24 ____ 100 ) 
19
 ≈ 25.058.
Por lo tanto, para el año 2030, en la ciudad se proyecta una población de 25.058 habitantes.
2. esponde las siguientes preguntas considerando la actividad anterior.
a. ¿Qué diferencias existen entre las tasas de crecimiento aritmético y geométrico?
b. ¿Cuál de ellas resulta más efectiva para analizar el crecimiento de la población de la 
ciudad? Fundamenta.
Ampliando
MEMORIA
Al comparar las tasas de 
crecimiento, debes tener presente 
que el crecimiento aritmético 
presenta un ritmo constante, que 
se puede representar gráficamente 
por una recta.
Por otro lado, el crecimiento 
geométrico se puede representar 
gráficamente por una curva 
exponencial.
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 9
nalizando discoA
Evaluación de proceso
 . Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
Progresión aritmética
1. Si el término general de una PA es a
n
 = 2n + 3, 
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
 . Es creciente.
 . Su diferencia es d = 3.
 . El primer término es a
1
 = 5.
A. Solo I
B. Solo III
C. Solo I y III
D. Solo II y III
E. I, II y III
2. ¿Cuál es el término número 20 de la progresión 
565, 561, 557, 553,…?
A. 485
B. 489
C. 493
D. 641
E. 645
3. ¿Cuál es la suma de los 100 primeros números pares 
mayores que 3?
A. 202
B. 204
C. 10.100
D. 10.300
E. 10.400
Progresión geométrica
4. ¿Cuál de las siguientes sucesiones de términos no es 
una progresión geométrica?
A. 2, 4, 8, 16, 32,…
B. 1 __ 
2
 , 1 __ 
4
 , 1 __ 
6
 , 1 __ 
8
 , 1 ___ 
10
 ,…
C. 1 __ 
5
 , 3 __ 
5
 , 9 __ 
5
 , 27 ___ 
5
 , 81 ___ 
5
 ,…
D. 1 __ 
2
 , 1 __ 
4
 , 1 __ 
8
 , 1 ___ 
16
 , 1 ___ 
32
 ,…
E. 16, 4, 1, 1 __ 
4
 , 1 ___ 
16
 ,…
5. Si b
3
 = 4 y b
5
 = 64, ambos términos de una PG, ¿cuál 
de las siguientes afirmaciones es falsa?
A. La PG es creciente.
B. El cuarto término es 16.
C. La razón de la PG es r = 4.
D. El primer término es negativo.
E. Puede ser modelada mediante una función expo-
nencial.
6. El término general de una PG es a
n
 = 2 · 4 n - 1 . ¿Cuál es 
la suma de los primeros 20 términos?
A. 1 __ 
4
 ( 4 20 − 1 ) 
B. 1 __ 
2
 ( 4 19 − 1 ) 
C. 1 __ 
2
 ( 4 20 − 1 ) 
D. 2 __ 
3
 ( 4 19 − 1 ) 
E. 2 __ 
3
 ( 4 20 − 1 ) 
Crecimiento aritmético, geométrico y potencial
7. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un 
crecimiento geométrico?
A. x 1 2 3 4 5
y 5 10 15 20 25
B. x 1 2 3 4 5
y 1 8 27 64 125
C. x 1 2 3 4 5
y 7 10 13 16 19
D. x 1 2 3 4 5
y 1 4 9 16 25
E. x 1 2 3 45
y 6 18 54 162 486
 nidad 1 F nciones 40
 2 4 
Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora, según 
las categorías de desempeño dadas:
1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; . Logrado.
 Reconocí PA y sus propiedades.
(Preguntas 1, 2, 3 y 12)
 Reconocí PG y sus propiedades.
(Preguntas 4, 5 y 6)
 Identifiqué distintos tipos de crecimiento.
(Preguntas 7, 8, 9 y 10)
 Identifiqué tasas de crecimiento y estimé población.
(Preguntas 11 y 13)
Mi ESTADO
8. A partir del gráfico se puede inferir que:
y
x3
4
6
3
5
2 
 
0- 
- 
-2
-2
-3 4 5
y = g(x) 
y = f(x)
A. f y g crecen de forma geométrica.
B. Ambas crecen de forma aritmética.
C. g tiene crecimiento geométrico y f aritmético.
D. g tiene crecimiento aritmético y f geométrico.
E. g tiene crecimiento geométrico y f potencial.
9. ¿Cuál de las siguientes funciones modela mejor los 
datos de la tabla?
x 1 2 3 4 5
y 0,95 4,03 8,9 15,87 24,99
A. y = x 2 
B. y = 2x
C. y = 2 x 2 
D. y = √
_
 x 
E. y = x 2 − 1
10. Según el gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes 
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
y
x3
4
3
5
2 0
- 
-2
-2
-3
y = g(x) 
y = f(x)
 . f tiene crecimiento geométrico y g potencial.
 . f(x) > g(x) para x [–3, 1].
 . f puede modelar una PG y g una PA.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. Solo I y II
E. Solo II y III
Tasas de crecimiento
11. Una ciudad tenía 56.320 habitantes en 1998 y 65.254 
en 2008. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite 
calcular la tasa de crecimiento geométrico de la 
ciudad entre 1998 y 2008?
A. ( 10 √
_____
 65.254 ______ 
56.320
 − 1 ) · 100
B. 65.254 − 56.320 _____________ 
56.320 · 10
 · 100
C. ( 10 √
_____
 56.320 ______ 
65.254
 − 1 ) · 100
D. ( ( 56.320 ______ 65.254 ) 
10
 − 1 ) · 100
E. 56.320 · ( 1− 10 ____ 100 ) 
100
 
 . Resuelve los problemas.
12. La suma de tres términos consecutivos de una 
progresión aritmética es 42. Además, el primero es 
igual a la suma de los otros dos, menos 8 unidades. 
¿Cuáles son los números?
13. Un pueblo tenía 12.500 habitantes en 2005 y 13.200 
en 2010. Estima la cantidad de habitantes que tendrá 
el pueblo en 2020, considerando un crecimiento 
aritmético.
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 41
Función inyectiva 
La relación entre el perímetro P y la longitud a de cada 
lado de un cuadrado es posible representarla por la 
función real P, definida por P(a) = 4a. La tabla y grá-
fico construidos representan esta función, para algu-
nos valores de a.
¿Existen dos cuadrados de distintas dimensiones que 
tengan el mismo perímetro?
Sean dos cuadrados cuyas longitudes de sus lados son 
a
1
 y a
2
, con a
1
 ≠ a
2
, tales que P(a
1
) = P(a
2
). Luego:
 P(a
1
) = P(a
2
) 4a
1
 = 4a
2
 a
1
 = a
2
Como por hipótesis se tenía que a
1
 ≠ a
2
, entonces di-
chos cuadrados no existen.
 (a)
a
5 74 632 
24
22
20
 8
 6
 4
 2
 0
8
6
4
2
0
 erímetro de un cuadrado
La función f: A ⊆ ℝ → ℝ definida por y = f(x) es inyectiva (uno a uno) en A, si cada imagen 
tiene solo una preimagen. Algebraicamente:
f(x
1
) = f(x
2
) x
1
 = x
2
; ∀ x
1
, x
2
 ∈ A
Es decir, si dos elementos del dominio tienen la misma imagen, entonces dichos elementos son 
iguales.
Gráficamente, si en el plano cartesiano cualquier recta paralela al eje x interseca a la gráfica de f 
en, a lo más un punto, entonces f es una función inyectiva.
 ara RABAR
 . Identifica cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función inyectiva. Para 
ello, marca un ✓ según corresponda.
a. 
Sí No 
1
2
3
2
4
6
fA B
b. 
Sí No 
1
2
3
4
1
4
9
16
hD E
c. 
Sí No 
1
2
3
4
–1
–5
–10
gC D
d. 
Sí No 
1
2
3
0
1
–1
2
kG H
e. 
Sí No 
1
2
3
4
0
mI J
f. 
Sí No 
1
2
3
–1
–2
–3
–4
nK L
Ampliando
MEMORIA
Otra forma de definir la inyectividad 
de una función real f, consiste en 
plantear la expresión recíproca de la 
definición dada en la sección Para 
grabar, es decir:
f: A ⊆ ℝ → ℝ definida por y = f(x) 
es inyectiva (uno a uno) en A, si:
x
1
 ≠ x
2
 f(x
1
) ≠ f(x
2
), ∀ x
1
, x
2
 A.
 erímetro de un cuadrado
a (cm) (cm)
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20
6 24
 nidad 1 F nciones 42
 2 4 
2. Identifica gráficamente cuál(es) de las funciones es (son) inyectiva(s). Para ello, marca 
un ✓ según corresponda.
a. 
Sí No 
y
x
4
3
3
7
2
2
6
 
 
5
0
- 
- 
-2-3
b. 
Sí No 
y
x
4
3
3
2
2
 
 
0
- 
- 
-2
-2
-3
-3
-4
c. 
Sí No 
y
x
4
3
3
7
2
2
6
 
 
5
0
- 
- 
-2-3
d. 
Sí No 
y
x
4
3
2
2
6
 
 
5
0
- 
- 
-2
-2-3-4
3. Analiza las demostraciones. Luego, verifica si las funciones reales dadas son o no 
inyectivas.
La función real definida por f(x) = 2x3 + 1 es 
inyectiva.
Demostración: sean a, b ∈ dom(f ) = ℝ.
f(a) = f(b) 2a3 + 1 = 2b3 + 1 /+ (–1)
 2a3 = 2b3 / · 1 __ 
2
 
 a3 = b3 /+ (–b3)
 a3 – b3 = 0 /factorizando
 (a – b)(a2 + ab + b2) = 0
 a – b = 0 ∨ a2 + ab + b2 = 0 
 a = b
Por lo tanto, f es inyectiva.
La función real definida por f(x) = 3x2 + 4 no es 
inyectiva.
Demostración: sean a, b ∈ dom(f ) = ℝ.
f(a) = f(b) 3a2 + 4 = 3b2 + 4 /+ (–4)
 3a2 = 3b2 / · 1 __ 
3
 
 a2 = b2 /+ (–b2)
 a2 – b2 = 0 /factorizando
 (a + b)(a – b) = 0
 a + b = 0 ∨ a – b = 0
 a = –b ∨ a = b
Por lo tanto, f no es inyectiva.
única solución real
a = b = 0.
a. f(x) = 3x – 5 
b. g(x) = 1 – 2x3
c. h(x) = 2x + 3
d. m(x) = l x + 3 l
e. n(x) = x + 1 ______ 
2x − 3
 
f. p(x) = log(x – 3)
4. Identifica en cada caso un dominio A, para que las funciones dadas sean inyectivas.
a. f: A ⊆ ℝ → ℝ, f(x) = x4
b. g: A ⊆ ℝ → ℝ, g(x) = l x l
c. h: A ⊆ ℝ → ℝ, h(x) = x2 – 1
d. m: A ⊆ ℝ → ℝ, m(x) = l 1 + x l
e. n: A ⊆ ℝ → ℝ, n(x) = 1 – x – 3x2
f. p: A ⊆ ℝ → ℝ, p(x) = l 2x – 3 l
g. q: A ⊆ ℝ → ℝ, q(x) = x2 + 2x + 1
h. r: A ⊆ ℝ → ℝ, r(x) = l 3 – x l
¿En qué casos crees que no es 
efectivo utilizar el método gráfico 
para reconocer si una función es 
inyectiva? Da un ejemplo.
Desafíate
Para demostrar que una función 
no es inyectiva, también es 
posible dar un contraejemplo. 
Observa:
Para la función real f, definida 
por f(x) = 3x2 + 4 es posible 
considerar a = 1 y b = –1. Luego:
 f(a) = f(1) = 3 · 12 + 4 = 7
 f(b) = f(–1) = 3 · (–1)2 + 4 = 7
Donde se tiene que f(1) = f(–1). 
Sin embargo, como 1 ≠ –1, f no 
es inyectiva.
AYUDA
Ampliando
MEMORIA
Sea f: A⊆ ℝ → ℝ, una función no 
inyectiva, es posible restringir su 
dominio A, de tal forma que en 
esa restricción f sea inyectiva. Por 
ejemplo:
La función real f, definida por 
f(x) = x2, no es inyectiva si su 
dominio es ℝ; sin embargo, sí lo 
es considerando, por ejemplo, 
dom(f ) = ℝ+.
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 4 
Función sobreyectiva 
 n vehículo partió de Santiago, rumbo a 
Viña del Mar, a las 14:00 h.
En la tabla están representadas las distan-
cias a las que se encuentra el vehículo lue-
go de partir de Santiago; mientras que el 
gráfico representa las mismas distancias, 
pero modeladas con la gráfica de una 
función.
Al observar el gráfico, es posible afirmar 
que cualquier distancia corresponde a una 
determinada hora. Por ejemplo, aproxima-
damente a las 14:36 h el vehículo se encon-
traba a 70 km de Santiago.
km Trayecto
Hora
 4:48 5:24 4:36 5: 2 4:24 5:00 4: 2 4:00
20
40
60
80
 00
 20
0
La función f: A ⊆ ℝ → C definida por y = f(x) es sobreyectiva (o e iyectiva) en C, si todo 
elemento de C es la imagen de un elemento de A, es decir, el codominio C es también el 
recorrido de f.
Algebraicamente:
∀ y C, ∃ x A / y = f(x)
Es decir, rec(f) = C.
 ara RABAR
 . Identifica cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función sobreyectiva. 
Para ello, marca un ✓ según corresponda.
a. 
Sí No 
1
2
3
4
1
4
9
16
fA B
b. 
Sí No 
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
kG H
c. 
Sí No 1
–5
5
gC D
d. 
Sí No 
1
2
3
4
10
mI J
e. 
Sí No 
1
2
3
4
1
–1
hE F
f. 
Sí No1
2
3
4
2
3
5
7
nK L
Trayecto
Hora Distancia (km)
14:00 0
14:15 25
14:25 55
14:45 75
15:15 100
Ampliando
MEMORIA
 na función real f es sobreyectiva si 
rec(f ) = cod(f ).
Generalmente, cuando no se indica 
el codominio, se considera ℝ.
 nidad 1 F nciones 44
 2 4 
2. Identifica cuál(es) de las funciones es (son) sobreyectiva(s). Para ello, marca un ✓ según 
corresponda.
a. f: [–3, 3] → [–2, 2]
Sí No 
y
x
3
3
2
2
 
 
0- 
- 
-2
-2
-3
-3
b. g: ℝ → ℝ
Sí No 
y
x
3
3
4
2
2
 
 
0- 
- 
-2
-2
-3
c. h(x): ℝ → ℝ
Sí No 
y
x
3
3
2
2
 
 
0- 
- 
-2
-2
-3
-3
3. Analiza las demostraciones. Luego, verifica si las funciones reales dadas son o no so-
breyectivas si su codominio es ℝ.
La función f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 5x + 8 es 
sobreyectiva.
Demostración: sea f(x) = y. Luego:
 f(x) = 5x + 8 y = 5x + 8
 x = 
y − 8
 ____ 
5
 
Como la expresión 
y − 8
 ____ 
5
 está definida para cual-
quier número real y, se tiene que rec(f ) = ℝ. Por 
otra parte, cod(f ) = ℝ; luego, rec(f ) = cod(f ) = ℝ.
Por lo tanto, f es sobreyectiva.
La función g: ℝ → ℝ definida por g(x) = 2x no es 
sobreyectiva.
Demostración: sea g(x) = y. Luego:
 g(x) = 2x y = 2x
 x = log
2
(y)
Como la expresión log
2
(y) no está definida para 
y ≤ 0, se tiene que rec(g) = ℝ+. Por otra parte, 
cod(g) = ℝ; luego, rec(g) ≠ cod(g).
Por lo tanto, g no es sobreyectiva.
a. f(x) = 1 – 3x
b. g(x) = x2
c. h(x) = log(x)
d. n(x) = x + 3 _____ 
x − 5
 
e. m(x) = x3
f. p(x) = √
_
 x 
4. Analiza los siguientes gráficos. Luego, determina los conjuntos A y B para que las fun-
ciones dadas sean sobreyectivas.
a. f: A ⊂ ℝ → B ⊂ ℝ
Y
X
3
3
4
2
2
 
 
0- -2-3
b. g: A ⊂ ℝ → B ⊂ ℝ
Y
X
3 52 4 
 
2
0- 
- 
-2
-2
-3
-3
-4
 na expresión se indefine 
cuando no es posible obtener 
un valor como resultado. Por 
ejemplo, la expresión x + 1 _____ 
x − 1
 se 
indefine para x = 1, ya que no 
está definida la división por 
cero.
AYUDA
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 45
Función biyectiva
Observa el gráfico de la función f: ℝ – {–1} → ℝ – {1} definida por f(x) = x _____ 
1 + x
 .
y
x5 0 4 93 8
5
6
2 7
4
2
 6
3
 
0- -6- 
- 
-2-7- 2
-2
-3-8- 3
-3
-4
-4-9 -5- 0
Gráficamente, es posible observar que la función f, cuyo dominio es ℝ – {–1} y cuyo codomi-
nio es ℝ – {1}, es inyectiva y sobreyectiva de manera simultánea. Es decir, a cada número real 
del dominio de f le corresponde un único número real del codominio de f, y a cada valor del 
codominio de f le corresponde un único valor del dominio.
La función f: A ⊆ ℝ → B ⊆ ℝ, definida por y = f(x), es biyectiva si es inyectiva y a la vez 
sobreyectiva, es decir, si para todo elemento del codominio existe un único (∃!) valor del dominio 
con el cual se relaciona. Algebraicamente:
∀ y B, ∃! x A / y = f(x)
 ara RABAR
 . Identifica cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función biyectiva. Para 
ello, marca un ✓ según corresponda.
a. 
Sí No 
1
2
3
4
–4
–8
–12
–16
fA B
b. 
Sí No 
1
2
3
4
–1
–2
hE D
c. 
Sí No 
2
3
4
4
9
16
25
kG H
d. 
Sí No 
1
2
3
4
3
5
7
nK L
La función:
f: ℝ – {–1} → ℝ – {1}, definida por: 
f(x) = x _____ 1 + x
 es inyectiva, ya que:
f(a) = f(b) a _____ 
1 + a
 = b _____ 
1 + b
 
 a + ab = b + ab
 a = b
Además, f es sobreyectiva, ya que, 
si f(x) = y, con x ≠ –1, entonces:
y = x _____ 
1 + x
 y + xy = x
 y = x − xy
 y = x(1 − y)
 x = 
y
 _____ 
1 − y
 
La expresión 
y
 _____ 
1 − y
 está definida 
para cualquier valor real distinto 
de 1.
AYUDA
 nidad 1 F nciones 46
 2 4 
2. Grafica las funciones. Luego, verifica si son biyectivas. Marca un ✓ donde corresponda.
a. f: [ − 3 __ 2 , ∞ [ → [ − 1 __ 4 , ∞ [ , f(x) = x 2 
Sí No 
b. g: ℝ → ]–3, ∞[, g(x) = 3x – 3
Sí No 
c. h: ]–∞, –2[ → ]5, ∞[, h(x) = |x – 2| + 1
Sí No 
d. n: ]–4, ∞[ → ℝ, n(x) = log
2
(x + 4) + 1
Sí No 
e. m: [1, ∞[ → [2, ∞[, m(x) = √
____
 x − 1 + 2
Sí No 
f. p: ℝ − { −1} → ℝ − {1}, p(x) = x − 2 _____ 
x + 1
 
Sí No 
3. epresenta gráficamente una función biyectiva, según la información dada en cada 
caso.
a. f: [–4, 4] → [–2, 2], f(–2) = 0, f(0) = –1.
y
x
5
5
4
4
3
3
2
2
 
 
0- 
- 
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
b. g: [–5, 3] → [–3, 3], g(0) = 1, g(3) = –3.
y
x
5
5
4
4
3
3
2
2
 
 
0- 
- 
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
4. Analiza la información. Luego, resuelve.
Para verificar si dos conjuntos son equivalentes, debe ser posible identificar una 
función biyectiva entre ellos.
Por ejemplo, el conjunto de los números naturales (ℕ) y los números naturales pares (P) 
son equivalentes, ya que es posible identificar una función biyectiva f, que asocia cada 
número natural par con un único número natural. Observa:
 f: ℕ → P
 x → f(x) = 2x
Así, 1 es posible relacionarlo con 2, 2 con 4, 3 con 6, 4 con 8, etc.
a. Demuestra que la función f: ℕ → P definida por f(x) = 2x es biyectiva.
b. Demuestra que el conjunto de los números naturales impares es equivalente a ℕ.
c. Demuestra que ℤ– y el conjunto de los números naturales impares son equivalentes.
Investiga si ℝ y ℕ son conjuntos 
equivalentes.
Desafíate
Para ayudarte a graficar puedes 
utilizar programas de libre acceso 
como Geogebra, que puedes 
descargar en:
www.geogebra.org/
O también puedes graficar en 
línea, ingresando a:
www.wolframalpha.com/
AYUDA
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 47
 unción inversa
 a siguiente tabla muestra la relación aproximada entre la presión absoluta de un objeto, a 
una profundidad h bajo el nivel del mar:
 resión absoluta y profundidad en el mar
h (m) 1 2 3 4 5 6 
 (atm) 1 2 3 4 5 6 7
Para realizar los cálculos se utilizó la ecuación fundamental de la hidrostática, considerando 
valores aproximados de P
0
 = 1 atm, g = 10 m/s2 y ρ = 1.030 kg/m3.
 Verifica los valores obtenidos. Para ello, recuerda que:
1 atm ≈ 101.300 Pa
Además, el producto ρgh puede ser expresado en pascales (Pa); por lo que para transformar-
lo a atmósferas (atm), se debe dividir por 101.300.
A partir de la tabla, se pueden obtener los siguientes modelos de gráficos y de funciones:
 Si se considera la presión absoluta en función de la profundidad h:
 (atm)
h(m)
 0 6040302010
1
2
3
4
 
6
7
0
P(h) = 1 + 1 ___ 
10
 h
Por ejemplo, aproximadamente la presión 
absoluta de un objeto, a una profundidad 
de 15 m, es 2,5 atm, ya que:
 P(15) = 1 + 1 ___ 
10
 15
 = 2,5
 Si se considera la profundidad h en función de la presión absoluta P:
 (atm)
h(m)
 6 74321
10
20
30
40
 0
60
0
h(P) = 10P − 10
Por ejemplo, aproximadamente la profundi-
dad de un objeto que está sometido a una 
presión de 3,8 atm es 28 m, ya que:
 h(3,8) = 10 3,8 – 10
 = 28 m
 as funciones y h relacionan las mismas variables, pero de forma inversa, es decir, la variable 
independiente de una es la variable dependiente de la otra y viceversa.
Además, de los gráficos se puede observar que el dominio y recorrido de son el recorrido y 
el dominio de h, respectivamente
 a presión absoluta de un 
objeto, al interior de un fluido, se 
obtiene como:
P = P
0
 + ρgh
donde P
0
 es la presión 
atmosférica (medida en atm) 
en la superficie del fluido, ρ es 
la densidad del fluido, g es la 
aceleración de gravedad y h 
es la profundidad a la que se 
encuentra el objeto.
Esta ecuación se conoce como 
la ecuación fundamental de la 
hidrostática.
 YUD 
 mpliando
MEMORI 
Observa que las gráficas de las 
funciones y h son simétricas con 
respecto a la recta y = x.
 nidad 1 F nciones 8
 2 3
A partir de la función biyectiva f: A → B , se puede definir la función (también 
biyectiva) g: B → A , tal que:
(f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) = x
Esta nueva función se denomina función inversa de f y se denota f -1. Por ejemplo:
 Las funciones biyectivas f : + ⋃ { } → + ⋃ { } def inida por f (x)= x 2 y 
g: + ⋃ { } → + ⋃ { } definida por g(x) = √
_
 x son inversas, ya que:
 
 (f ◦ g)(x)= f(g(x))
 = f ( √
_
 x ) 
 = ( √
_
 x ) 2 
 = x
 y 
 (g ◦ f)(x) = g(f(x))
 = g ( x 2 ) 
 = √
__
 x 2 
 = x
 Las funciones biyectivas f: + → definida por f(x) = log(x) y g: → + definida por 
g(x) = 1 x son inversas, ya que:
 
 (f ◦ g)(x) = f(g(x))
 = f(1 x )
 = log(1 x )
 = x
 y 
 (g ◦ f)(x) = g(f(x))
 = g(log(x))
 = 1 log(x) 
 = x
Para GR B R
1. Analiza cada par de funciones. Luego, comprueba que g = f−1.
a. f(x) = 2x + 3, g(x) = x − 3 _____ 
2
 
b. f(x) = x __ 
5
 − 1, g(x) = 5x + 5
c. f(x) = 2 _____ 
x − 3
 , g(x) = 3 + 2 __ x 
d. f(x) = 1 − x ______ 
2x + 5
 , g(x) = 1 − 5x ______ 
2x + 1
 
e. f(x) = 3 x + 2 , g(x) = log
3
(x) – 2
f. f(x) = 
3
 √
____
 x − 2 + 4, g(x) = (x – 4)3 + 2
 mpliando
MEMORI 
Si f y g son dos funciones reales, la 
composición de ellas, denotada por 
(f ◦ g)(x) es:
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
Por ejemplo, si f(x) = x – 5 
y g(x) = 3 + 5x2, entonces:
 (f ◦ g)(x) = f(g(x))
 = f(3 + 5x2)
 = (3 + 5x2) – 5
 = 5x2 – 2
Además, generalmente se tiene:
f ◦ g ≠ g ◦ f
 (g ◦ f)(x) = g(f(x))
 = g(x – 5)
 = 3 + 5(x – 5)2
 = 3 + 5x2 – 50x + 125
 = 5x2 – 50x + 128
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 9
2. Identifica el dominio y recorrido de f -1. Luego, obtén la regla de formación de f -1.
a. f: [0, ∞[ → [3, ∞[, f(x) = x2 + 3
b. f: → ]–1, ∞[, f(x) = 5x – 1
c. f: – {3} → – {1}, f(x) = x + 1 _____ 
x − 3
 
d. f: ]2, ∞[ → , f(x) = log(x – 2) + 1
e. f: [1, ∞[ → 
0
+, f(x) = √
____
 x − 1 
f. f: → , f(x) = (x + 1)3
3. Analiza las tablas. Luego, complétalas.
a. f -1(x) = x + 3
x 1 3 8
f−1(x) −1 2
b. f -1(x) = x2 + 5
x 14 5 21
f(x) 1 2
c. f -1(x) = 2x + 2
x 1 16 64
f(x) 1
d. f -1(x) = log(x – 1)
x 3
f(x) 11 1 1 1,1
 
e. f -1(x) = 3 √
____
 x − 8 
x 16 72
f−1(x) −3 3
f. f -1(x) = (x + 2)3 + 1
x –4 
f−1(x) 1 65
Para obtener la regla de 
formación de f -1 a partir de 
la regla de formación de f, se 
puede despejar la variable x 
de la expresión y = f(x), y luego 
intercambiar las variables.
Por ejemplo, como la función 
real f, definida por f(x) = 3x – 2, es 
biyectiva, entonces:
 despejando la variable x:
 y = 3x − 2 / + 2
 y + 2 = 3x / 1 __ 
3
 
 
y + 2
 _____ 
3
 = x
 intercambiando las variables:
 x + 2 _____ 
3
 = y
 uego, f −1 (x) = x + 2 _____ 
3
 .
 YUD 
 nidad 1 F nciones 50
 2 3
En el plano cartesiano, las gráficas 
de una función real y su inversa son 
simétricas con respecto a la recta y = x.
Por ejemplo, las gráficas de la función 
f: 
0
 + → 
0
 + definida por f(x) = x2, y de 
su inversa f −1 : 
0
 + → 
0
 + definida por 
 f −1 (x) = √
_
 x son simétricas con respecto a 
la recta y = x.
Esta relación geométrica entre los 
gráficos de f y f -1 justifica que:
 dom(f ) = rec(f -1)
 rec(f ) = dom(f-1)
 6 74321–1
1
1
2
3
4
 
6
7
0
f(x) = x2 y = x
f –1(x) = √
_
 x 
y
x
4. Representa gráficamente f -1 a partir de la gráfica de f dada.
a. y
x
3
3
2
2
1
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
f(x) = x3
b. 
y
x
3 4 21
1
2
3
4
 
0
-1
-1
-2
-2
-3-4- 
-3
-4
- 
f(x) = 3x – 1
c. 
y
x
3 421
1
2
3
4
0
-1
-1
-2
-2
-3-4
-3
-4
f(x) = log(x + 1) + 2
d. 
y
x
3 421
1
2
3
4
0
-1
-1
-2
-2
-3-4
-3
-4
f(x) = (x − 1) + 1
 mpliando
MEMORI 
 a función f : → definida por 
f(x) = x se llama función identidad 
o simplemente identidad.
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 51
esolución de problemasR
¿Q é es coMprender?
 omprender consiste en 
construir un significado a partir 
de información comunicada en 
forma oral, escrita y/o gráfica.
¿Q é tengo Q e hacer para 
coMprender n en nciado?
 Identificar lo que entiendes de 
la información.
 Relacionar lo que entiendes 
del enunciado.
 Expresar la información en 
otro tipo de formato.
etapas de la resol ción 
de probleMas
Paso 1: omprende el 
enunciado.
Paso 2: Planifica lo que vas a 
realizar.
Paso 3: Resuelve el problema.
Paso : Revisa la solución.
 . Analiza la resolución del siguiente problema.
Nicolás depositará en un banco USD 60.000, con una tasa de interés anual de 8 %, capita-
lizable cuatrimestralmente por un período de 2 años y 6 meses. ¿Cuál será su capital final?
Paso 1 Comprende el enunciado
 Identifica lo que entiendes de la información.
 os USD 60.000 depositados por 2 años y medio generarán un nuevo 
capital.
 Relaciona lo que entiendes del enunciado.
Cada cuatro meses los intereses generados se abonarán a la cuenta, las cua-
les pasarán a ser el nuevo capital inicial para el período siguiente.
 Expresa la información en otro tipo de formato.
El capital inicial es C
0
 = 60.000, con un interés anual de i = 0,08. Como 
la capitalización es cuatrimestral durante los 2 años y medio, se tiene 
3 capitalizaciones anuales (k = 3) y 2,5 períodos (n = 2,5).
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Reemplaza los datos obtenidos del enunciado en la expresión de interés 
compuesto y calcular.
Paso 3 Resuelve el problema
Si C = C 
0
 ( 1 + i __ k ) 
kn
 con C
0
 = 60.000, i = 0,08, k = 3 y n = 2,5 se tiene:
 C = 60.000 ( 1 + 0,08 ____ 3 ) 
3 2,5
 
 C = 60.000 ( 1 + 2 ___ 75 ) 
7,5
 
 C = 60.000 ( 77 ___ 75 ) 
7,5
 
 C ≈ 60.000 1,218
 C = 73.080
Por lo tanto, el capital final de Nicolás será de aproximadamente USD 73.080.
Paso 4 Revisa la solución
Para revisar la solución puedes considerar i, k y n para obtener el capital ini-
cial C
0
 = 60.000 de la siguiente forma:
73.080 = C 
0
 ( 1 + 0,08 ____ 3 ) 
7,5
 ⇒ 73.080 = C 
0
 1,218 ⇒ C 
0
 = 73.080 ______ 
1,218
 = 60.000
 nidad 1 F nciones 52
 2 3
2. Resuelve el siguiente problema. ara ello, guíate por los pasos estudiados anterior-
mente.
Utiliza una progresión geométrica para demostrar que 0, 
_
 9 = 1.
Paso 1 Comprende el enunciado
 Identifica lo que entiendes de la información.
 Relaciona lo que entiendes del enunciado.
 Expresa la información en otro tipo de formato.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 4 Revisa la solución
 MateMática 4º Medio n evo explor@ndo 53
esolución de problemasR
3. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
a. A partir del gráfico de la función real f:
y
x
43
3
4
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
 Calcula el valor de f(–1).
 Estima el valor de f(2).
 ¿Cuántas preimágenes tiene y = 0?
 Estima dom(f) y rec(f).
 Estima en qué intervalos f es creciente.
 Estima en qué intervalos f es decreciente.
b. Utiliza los gráficos de f y g para resolver:
 Estima el valor de f(1) y g(3).
 Estima para qué valores f(x) = g(x).
 Estima en qué intervalo f(x) > g(x).
 Estima dom(f), dom(g), rec(f) y rec(g).
 Estima en qué intervalos f y g decrecen.
c. Considera la función que a cada número le asigna su cubo aumentado en 1. Escribe 
su expresión algebraica y calcula la imagen de –1, 1 y 2. Calcula también las intersec-
ciones con los ejes coordenados.
d. Si en una progresión aritmética, el sexto término es 15 y la diferencia es 3, calcula el pri-
mer término y la suma de los 9 primeros términos.
e. Calcula la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética en la que 
a
3
 = 20 y a
7
 = 1.
f. En un edificio, el primer piso es de 7,4 m de altura y, desde el segundo piso, la distan-
cia entre dos pisos consecutivos es de 3,8 m:
 ¿A qué altura está el décimo piso?
 Obtén una fórmula que permita calcular a qué altura se encuentra el n-ésimo piso.
y
x
43
3
4
2
2
1
1
0-1
-1
-2
-2
y = g(x)
y = f(x) 
 nidad 1 F nciones 5 
 2 3
g. as medidas de los ángulos interiores de un triángulo están en progresión aritmética. 
Sabiendo que la medida del mayor de ellos es 105°, ¿cuál es la medida de los otros dos?
h. Calcula la suma de los