04 Razones Trigonometricas de Angulos Notables

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Trigonometría
130
CAPÍTULO
4
OBJETIVOS
– Describir la relación de los lados de los triángulos notables.
– Calcular las razones trigonométricas de los ángulos notables.
– Aplicar las razones trigonométricas de los ángulos notables en situaciones problemáticas.
TRIÁNGULOS NOTABLES
3k
37°
53°5k
4k
2k
k
30°
60°
k 3
k
k
45°
45°
k 2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE LOS ÁNGULOS NOTABLES
30 60 45 37 53
3 21 3 4sen
2 2 2 5 5
3 21 4 3cos
2 2 2 5 5
3 3 4tg 3 1
3 4 3
3 4 3ctg 3 1
3 3 4
2 3 5 5sec 2 2
3 4 3
2 3 5 5csc 2 2
3 3 4
    
OTROS TRIÁNGULOS NOTABLES
25k
24k
7k
16°
74°
7k
k
8°
82°5 2k
3k
k
37°
2
k 10
53°
2
2k
k
k 5
Ejemplos:
1. Calcule: k = 2 sen 30° + 3 tg 45° + 4 sec 37°
Resolución:
Por las R.T. de ángulos notables:
     1 5k = 2 + 3 1 + 42 4
 9
2. Calcule: tg 
37°

Trigonometría
131
Resolución:
37°
2k 2k
3k5k

2k tg = 
3k
2 tg = 
3
 
 
3. Calcule:  E = 2 sen + cos  
si: 7tg 2 = 0 90
24
      
Resolución:
Por triángulos notables:
7tg 16 = 2 = 16°
24
  
7k
k
8°
5 2k
 = 8°
Reemplazando:  k = 5 sen8 cos8  
7kk E = 2 + 
5 2k 5 2k
 
  
 
71 E = 2 + 
5 2 5 2
 
  
 
8 8 E = 2 E = 
55 2
 
  
 
Problema
Si “” y “” son ángulos agudos, además:
 2 2sec tg 5 2 2 sec 3tg        
demuéstrese que: tg + sec = 3 
Resolución:
1. De la condición:
2 2sec + tg – 2 2 sec – 2 3 tg + 5 = 0   
formando cuadrados perfectos:
2 22 2sec – 2 2sec 2 tg – 2 3tg 3 0      
   
2 2
 sec – 2 + tg – 3 = 0  
2. Si: 2 2a + b = 0 a = 0 b = 0 
De (1.): sec – 2 = 0 sec = 2 
tg – 3 = 0 tg = 3  
3. Por razones trigonométricas de ángulos nota-
bles:
 = 45° = 60°  
 tg + sec = tg 45° + sec 60°  
 tg + sec = 1 + 2  
 tg + sec = 3  
Problema
De la figura, si: AD=2(BC) y BM=MC
demuéstrese que: ctg = 5
A

D
45º
CB
M
Resolución:
Trigonometría
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1. Calcule:
k = 2 cos 60° + 3 ctg 45° + 5 cos 37°
Rpta.: .............................................................
2. Calcule: E = 2 tg
2
 60° + 3 sec
2
 45° + 3 csc 37°
Rpta.: .............................................................
3. Si: sen 45°tg = 0°< <90°
sen 60°
 
Calcule: sen cos  
Rpta.: .............................................................
4. Calcule: tg (AOB: sector circular).
O B
A

37°
Rpta.: .............................................................
5. Halle: tg tg   si ABC es equilátero..
A
2
C
B
4


Rpta.: .............................................................
O B

A6. Calcule csc . 
(AOB: sector circular).

Rpta.: .............................................................
7. Si: 
2cos 3 = 0 90
2
      
calcule: E = sen 2 + cos 4 
Rpta.: .............................................................
8. Si ABCD es un cuadrado, calcule: 3 tg 
A
B
D

C
30°
Rpta.: .............................................................
A B
C


120
°
9. Calcule: tg tg 
si: AB = 2 y
BC = 4
 
Rpta.: .............................................................
Trigonometría
133
10. Si: AI y CI son bisectrices,
calcule: ctg ctg  
A
I
B
C
 
2
2 6 2
Rpta.: .............................................................
11. Calcule: ctg 
A B
O 

O’
Rpta.: .............................................................
12. Si: “” y “” son agudos, además:
2 24 sen + tg – 4 sen – 2 tg = 1   
calcule:  + 
Rpta.: .............................................................
13. Si: AB = BC, halle “tg ”
A
B
C
37°
45°

Rpta.: .............................................................
14. Si AOB es un sector circular, calcule: tg 
BO
A
37°

Rpta.: .............................................................
15. Calcule “cos ” en el cubo mostrado.

Rpta.: .............................................................
1. Calcule:
     k 2cos10 –1 2cos20°–1 2cos30°–1 ... 2cos80 –1  
A) 0 B) 1 C) 2 D) –1 E) –2
2. Si “” es un ángulo agudo, tal que:
cos = sen 30° sec 45° , halle “”
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
Trigonometría
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3. Calcule: csc 
A C
B
45° 
si: AB= 2 AC 6 
A) 15 B) 21 C) 22
D) 5 E) 26
4. Si ABC es equilátero, calcule “tg ”.
A C
B

 
3 3A) B) 
2 3
3 3C) D) 
4 5
3E) 
6
5. Calcule “ctg ”
45° 53° 
CA
B
A) 1,5 B) 1,8 C) 2
D) 2,5 E) 2,8
6. Halle “sec ”
2n
n
53°

45° 
13A) 13 B) 
2
13 13C) D) 
3 4
13E) 
5
7. Calcule “tg ” si 0°<<90°
además: cos  = cos 45°
A) 15 B) 3
4
C) 4
3
D)
3
3
E) 5
8. Calcule “cos ” si BCD es un sector circular.
C
BA
30°

A) 1
7
B) 2
7
C) 3
7
D) 2
10
E) 3
10
9. Si ABC es un triángulo isósceles
B
A C

P
además AP=5(PC), halle “csc ”
A) 15 B) 20 C) 21
D) 5 E) 26
10. Si AOB es sector circular, calcule: “tg ”.
A
37°

O B
A)
2
5 B)
3
5 C)
4
5 D)
2
3 E)
3
4