Tema 20 - Divisibilidad II

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55UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 20
DIVISIBILIDAD II
ARITMÉTICA
I. RESTOS POTENCIALES
Se llama restos potenciales de un entero "E" (diferente
de cero) respecto a un módulo "m", a los residuos que
dejan la sucesión de potencias enteras y positivas de E
al ser divididas entre el módulo "m".
Así si tenemos las potencias: E1; E2; E3; E4; ...
Entonces:
o o o o
1 3 4
1 2 2 4E m r ;E m r ;E m;E m r ;...      
Donde: r1; r2; r3; r4; ........, son los restos potenciales
de E respecto al módulo m.
Gaussiano (g)
Se llama gaussiano de un entero E respecto a un mó-
dulo m a la cantidad de restos potenciales diferentes
entre sí y diferentes de cero, que se repiten ordenada
y periódicamente.
Ejemplo:
Calcular los restos potenciales de 16 respecto al módulo 9.
161 = m9 + 7 164 = m9 + 7 167 = m9 + 7
162 = m9 + 4 165 = m9 + 4 168 = m9 + 4
163 = m9 + 1 166 = m9 + 1 169 = m9 + 1
Los restos potenciales son: 7; 4; 1
El gaussiano es: g = 3
m3
m3 1
m3 2
16 m9 1
Generalizando 16 m9 7
16 m9 4


  

  

 
Aplicaciones:
•
o o
2816 9 7;porque : 28 3 1   
•
o o
4216 9 1;porque : 42 3  
•
o o
3216 9 4;porque : 32 3 2   
II. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Son un conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de
un numeral, nos permite determinar su multiplicidad
respecto a cierto módulo, de tal manera que el residuo
se puede calcular en forma directa y de modo más
sencillo, con algunas excepciones, como veremos.
Cada sistema de numeración tiene sus propios criterios
de divisibilidad y para conocerlos nos valemos de los
restos potenciales.
Sea el numeral: (B)N ......edcba
Entonces:
4 3 2N ....... e x B d x B c x B b x B a     
Si queremos llegar a la forma general de los criterios
de divisibilidad se tiene que determinar la multiplicidad,
según el módulo "m", de:
o o o o
1 2 3 4
1 2 3 4B m r ;B m r ;B m r ;B m r ;.....       
Reemplazando:
o o o o
4 3 2 1N .... e x (m r ) dx(m r ) c x (m r ) bx (m r ) a         
Finalmente:
o
4 3 2 1N m ..... e x r d x r c x r b x r a      
En conclusión:
"Las cifras del numeral, de derecha a izquierda, se
multiplican por los restos potencial de la base en que
está el numeral, respecto al módulo investigado, luego
se reduce en operaciones de adición y/o sustracción
hasta llegar a la forma general de los criterios de
divisibilidad".
Ejemplo:
Determinar el criterio de divisibilidad de un numeral
expresado en base 7 respecto al módulo 5.
Resolución
Sea el numeral: (7)N ......fedcba
DESARROLLO DEL TEMA
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TEMA 20
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Donde:
5 4 3 2 1N ..... f x 7 e x 7 d x 7 c x 7 b x 7 a      
o
1
o o
2
o o
3
o
4
o
5
7 5 2
7 5 4 5 1(exceso)
Pero 7 5 3 5 2(exceso)
7 5 1
7 5 2

 

    


    


 

  
Entonces:
o o o
o o
N .... f x (5 2) e x (5 1) d x (5 2)
c x (5 1) b x (5 2) a
      
    
Luego:
o
E
N 5 (..... 2 f 1 e 2 d 1 c 2 b 1 a)             
Por lo tanto: 
o o
o o
E 5 N 5
E 5 r N 5 r

  

     
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Problema 1
El numeral de la forma:
o
40 cifras
aaa...a 9 2 
Hallar "a".
UNI
Nivel fácil
A) 5 B) 8
C) 7 D) 6
E) 10
Resolución:
o
aaa...a 9 2 
Aplicando el criterio del 9:
o
40 cifras
a a a ... a 9 2     
o
40a 9 2 
o o
(9 4)a 9 2  
o o
9 4a 9 2  
o o o
4a 9 2 9 2 18 9 20      
a 5 
Respuesta: A) 5
Problema 2
Sea el numeral 
o
abcd 99 y cd ab 37  ,
calcular:
a + b + c + d
UNI
Nivel intermedio
A) 15 B) 18
C) 20 D) 20
E) 13
Resolución:
En el numeral:
 
o
abcd 99
Aplicando su criterio:
o
cd ab 99  ... (1)
Como:
cd ab 37 
Reemplazando en (1):
o 99
ab 37 ab 99
198 (No cumple)

   

2ab 37 99 
2ab 62
ab 31 a 3 b 1    
cd 31 37  
 cd 68 c=6 d=8  
 a + b + c + d = 18
Respuesta: B) 18
problemas resueltos
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Problema 3
Si se cumple que:
 
o o
a23b 11 b23a 9  
Calcule b.a
UNI
Nivel difícil
A) 45
B) 48
C) 50
D) 42
E) 55
Resolución:
Aplicando el criterio del 11 en:
o
a 2 3 b 11
   
o
a 2 3 b 11     
 oa b 11 1    
 b – a = 1 ... (1)
Aplicando el criterio del 9 en:
o
b23a 9
o
b 2 3 a 9    
 
o 4 (No cumple)
b a 9 5
13

   

b + a = 13
 b - a = 1 ... (1)
 2b = 14 b = 7
 
a = 6


 b.a = (7)(6) = 42
Respuesta: D) 42