Tema 23 - Máximo común divisor (MCD) Mínimo común múltiplo (MCM)

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67UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 23
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) -
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
ARITMÉTICA
OBJETIVOS
• Calcular el MCD y MCM de un conjunto de números.
• Deducir las propiedades que cumplen el MCD y MCM.
• Establecer relaciones entre el MCD y MCM.
• Aplicar las propiedades en la resolución de problemas
concretos.
I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Dado un conjunto de números se define al MCD de
estas como aquel número que cumple las siguientes
condiciones:
I) Es un divisor común.
II) Es el mayor de los divisores comunes.
Ejemplo 1
Sean los números: 30 y 45
Hallando sus divisores:
30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
45: 1, 3, 5, 9, 15, 45
Divisores 
comunes
1, 3, 5, 15 Máximo
MCD(30,45) 15 
Ejemplo 2
Sean los números 24; 60 y 84
Hallando sus divisores:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
Divisores 
comunes
1, 2, 3, 4, 6, 12 Máximo
MCD(24;60;84) 12 
 Observación
Los divisores comunes de un conjunto de números
son los divisores de su MCD.
En general:
Para los números A, B y C.
MCD(A;B;C) K
Ejemplo 3
Halle el MCD de: 8, 10 y 15
Resolución:
8, 10 y 15 son PESI
MCD(8; 10; 15) = 1
Si A, B y C son PESI
 MCD(A;B;C) = 1
Ejemplo 4
Calcule el MCD de: 18; 6 y 30
Resolución:
18 = 6 x 3; 6 = 6 x 1 y 30 = 6 x 5
MCD(18; 6; 30) = 6
o o
Si A = B C = B
 MCD(A; B; C) = B
II. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Dado un conjunto de números se define el MCM de
estas como aquel que cumple lo siguiente:
I) Es un múltiplo común.
II) Es el menor de estos múltiplos comunes.
Ejemplo 1:
Sean 4 y 6
Hallemos sus múltiplos.
4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
Múltiplos 
comunes 12 , 24, 36, ...
Mínimo
MCM(4; 6) = 12
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, ...
DESARROLLO DEL TEMA
68UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
MCD - MCM
TEMA 23
Exigimos más!
Ejemplo 2:
Sean: 10, 15 y 30
Observemos sus múltiplos:
10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...
15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ...
30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...
Múltiplos 
comunes 30 , 60, 90, ...
Mínimo
MCM(10; 15; 30) = 30
Múltiplos de 30: 30; 60; 90; ...
Observación:
Los múltiplos comunes de un conjunto de números
son los múltiplos de su MCM.
Ejemplo 3:
Halle el MCM de: 8 y 9.
Resolución:
8 y 9 son PESI
MCM(8; 9) = 72
Si dos números A y B son PESI, entonces:
MCM(A;B) = A.B
Ejemplo 4:
Calcule el MCM de: 4; 5 y 7
MCM(4; 5; 7) = 140
Si los números A, B y C son PESI dos a dos
entonces:
MCM(A; B; C) = A. B .C
III. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL
MCD Y MCM
A. Descomposición simultánea
Ejemplo 1:
Calcule el MCD y MCM de 80; 120 y 200.
Resolución:
 
80
40
20
10
2
120
60
30
15
3
200
100
50
25
5
son PESI
MCD(80; 120; 200) = 40
2
2
2
5
x
2 x 5 = 40
3
Cada número se puede expresar:
80 = 40 x 2
120 = 40 x 3
200 = 40 x 5
son PESI
En general:
Sean los números A, B y C. MCD(A; B; C) = k, luego:
 
A = K x p
B = K x q
C = K x r
son PESI
Hallando el MCM:
80
2
1
1
1
120
3
3
1
1
200
5
5
5
1
40
2
3
5
x
1200
 MCM(80; 120; 200) = 1200
Expresamos al MCM en función de cada número:
1200 = 80 x 15
1200 = 120 x 10
1200 = 200 x 6 
son PESI
En general:
Sean los números A, B y C donde MCM(A; B; C) = m,
luego:
m = A x p
m = B x q
m = C x r
son PESI
Ejemplo 2:
Calcule el MCD y MCM de: 60; 96.
Resolución:
60
30
15
5
96
48
24
8
2
2
3
2 .3 = 12
2
60
5
1
1
96
8
8
1
12
5
8
12.5.8
Luego:
MCD(60; 96) = 12
MCM(60; 96) = 12.5.8
 MCM(60; 96) = MCD(60; 96).5.8
Además:
60 = 12 x 5
96 = 12 x 8
60.96 = 12.12.5.8
60 x 96 = MCD . MCM
69UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 23
MCD - MCM
Exigimos más!
En general para dos números A y B.
Si MCD(A;B) = k
A = k x p
B = k x q PESI
MCM(A;B) = m
Entonces:
I) m = k x p x q
II) A x B = k x m
Ejemplo 3
Analicemos que sucede con el MCD y MCM de los números
60; 90; 105.
MCD(60; 90; 105) = 15
60 = 15 x 4  60 x 8 = 15 x 8 x 4
90 = 15 x 6  90 x 8 = 15 x 8 x 6
105 = 15 x 7  105 x 8 = 15 x 8 x 7
 MCD(60 x 8; 90 x 8; 105 x 8) = 15 x 8
 Si MCD(A; B; C) = k
  MCD(An; Bn; Cn) = kn A B C K MCD ; ;
n n n n
 
  
 
 Donde: n es Z+
MCM(60; 90; 105) = 1260
1260 = 60 x 21  1260 x 6 = 60 x 6 x 21
1260 = 90 x 14  1260 x 6 = 90 x 6 x 14
1260 = 105 x 12  1260 x 6 = 105 x 6 x 12
 MCM(60 x 6; 90 x 6; 109 x 6) = 1260 x 6
 Si MCM(A; B; C) = m
  MCM(An; Bn; Cn) = m x n A B C m MCM ; ;
n n n n
 
  
 
Donde n es Z+
A. Descomposición canónica
Ejemplo
Halle el MCD y MCM de los números A, B y C donde:
A = 25. 32. 53
B = 23. 34. 52. 72
C = 24. 36. 54 .11
Entonces:
MCD(A;B;C) = 23 . 32 . 52
MCM(A;B;C) = 25 . 36 . 54 . 72 . 11
En general, dadas las descomposiciones canónicas
de varios números:
• El MCD de dichos números es el producto de sus
divisores primos comunes elevados cada uno a
su menor exponente.
• El MCM de dichos números es el producto de sus
divisores primos comunes y no comunes elevados
cada uno a su mayor exponente.
B. Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides
Teorema
En toda división entera inexacta el MCD del divi-
dendo y el divisor es el MCD del divisor y el residuo.
Si: 
D d 
r q
  MCD(D;d) = MCD(d;r)
Ejemplo 1
Calcule el MCD de 156 y 120.
156 120 
 36 1
 MCD(156;120) = MCD(120;36)
120 36 
 12 3
 MCD(120;36) = MCD(36;12)
36 12 
 0 3
 MCD(36;12) = 12
 MCD(156; 120) = 12
Euclides ordenó todas estas divisiones del siguiente
modo:
 
Ejemplo 2
Al calcular el MCD de A y B por las divisiones sucesivas
los cocientes fueron 2; 1; 3 y 2 respectivamente.
Halle los números si su MCD es 10.
En general: sean los números A y B donde A > B
A
q
B
r
1
1
cocientesq
r
2
r1
2
q
r
3
r2
3
q
0
4
r3 MCD
residuos
MCD(A;B) = r3
No olvidar que las divisiones se pueden realizar por
defecto o exceso.
Ejemplo 3
Calculemos el MCD de 144 y 56.
 Divisiones
por defecto
144 56 
 32 2
 56 32 
 24 1
Divisiones
por exceso
144 56 
 24 3
 56 24 
 16 3
70UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
MCD - MCM
TEMA 23
Exigimos más!
Problema 1
Indique la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es ver-
dadera (V) o falsa (F):
I. Si m y n son números enteros no
divisibles por 3, entonces la suma
o la diferencia de ellos es un múl-
tiplo de tres.
II. Si m y n son múltiplos de 3 com
m > n > 0 entonces el cociente
m/n es un múltiplo de tres.
III. Si m y n son múltiplos de tres con
m, n > 0 entonces MCD (m, n) es
un múltiplo de tres.
UNI 2010 - I
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVF E) FFF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Determinar el valor de verdad de las
proposiciones.
Análisis de los datos o gráficos
I. Sean m = 
o
3 + r1 / r1 = 1 ó 2
 y n = 
o
3 + r2 / r2 = 1 ó 2
 m + n =
o
3 + (r1 + r2 ) ó
 m – n = 
o
3 + (r1 – r2)
Reemplazando los posibles valores
de r1 y r2, se obtiene que una de
las conclusiones es verdadera.
(Verdadero)
II.
o
1 1 1
o 2 2
2
m 3 3K 3K Km
n 3K K
n 3 3K
 
  
 
1
2
K
K No es múltiplo de 3 y no nece-
sariamente entero. (Falso)
III. 1
1 2
2
m 3K
MCD(3K ; 3K )n 3K
(m 0 n 0)


  
o
1 2
3
3MCD (K ; K )  (Verdadero)
Respuesta: B) VFV
Problema 2
Sea N el mayor número de 4 cifras que
al dividirlo por 4, 6, 9, 11 y 12 se
obtienen restos iguales. Luego, la suma
de las cifras de N es:
A) 17 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23
UNI 1996-II
Resolución: Por dato:
o
o
o o
o
o
4 r
6 r
N 9 r N MCM(4;6;9;11;12) r
11 r
12 r



 


    




 
32 24 
 8 1
 24 8 
 0 3
24 16 
 8 2
 16 8 
 0 2
Por defecto:
144
2
56
32
cocientes
MCD
residuos
1
32
24
1
24
8
3
8
0
 MCD(144;56) = 8
Por exceso:
144
3
56
24
cocientes
MCD
residuos
3
24
16
2
16
8
2
8
0
 MCD(144;56) = 8
Sean los números:
a
n
a cifras
A (n 1)(n 1)(n 1)...(n 1) n 1      

b
n
b cifras
B (n 1)(n 1)(n1)...(n 1) n 1      
c
n
c cifras
C (n 1)(n 1)(n 1)...(n 1) n 1      
 MCD(A;B;C) = nMCD(a,b,c) - 1
Ejemplo
Calcule el MCD de los números:
24 60 28A 6 1 B = 6 1 C = 6 – 1  
MCD(24;60;28) 4MCD(A;B;C) 6 1 6 1    
o
N 396 r 
Como N es el mayor posible, r = 3
Además: N = 396 k + 3 < 10 000
396 k < 9,997
k < 25,...
kmáx = 25
máxK 396 25 3 9903    
Respuesta: D) 21
Problema 3
El MCD (A; B) es d y el MCM (A; B) es m.
Determinar el número de divisores de
B(B > A) sabiendo que el producto
md = 3024.
A) 9 B) 10 C) 6 D) 12 E) 8
UNI 1998 - I
Nivel difícil
Resolución:
md = 3024 = 24 . 33 . 7
Por propiedad: M = dpq(p y q pesi)
Reemplazando: d2 . p . q = 24 . 33 . 7
Asumiendo: d = 22 . 3 = 12 (máximo
valor de "d"). Se tiene:
   BCD 3 2 2 12
Respuesta: D) 12
problemas resueltos