Semana 1, Guia complementaria

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Unidad I
NÚMEROS Y OPERATORIA CON ENTEROS
Nivelación de Matemática
 ¿Qué son los números enteros?
0 1 2 3 4 5 6 7
 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
 Operaciones Elementales
Multiplicación
Adición
EJEMPLO 
ELEMENTO NEUTRO 
Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo. 
 ¿Qué son los números enteros?
0 1 2 3 4 5 6 7
 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
 Operaciones Elementales
Multiplicación
Adición
ELEMENTO NEUTRO 
ELEMENTO INVERSO 
Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo. 
ELEMENTO INVERSO 
 ¿Qué son los números enteros?
0 1 2 3 4 5 6 7
 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
 Operaciones Elementales
Multiplicación
Adición
 no es un nº entero
Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo. 
Raúl tiene una deuda de $ 975.400 en su tarjeta de crédito bancaria. El primer mes abona $174.300 , pero una emergencia lo obliga a ocupar nuevamente su tarjeta por un monto de $220.000. ¿Cuál es la nueva deuda de Raúl?
Solución 
Deuda tarjera de crédito: $975.000 	
Representación: -975.400
Abono a la deuda: $174.300
Representación: +174.300
Uso por emergencia: $220.000
Representación: -220.000
Luego se tiene que la nueva deuda de Raúl es de $ 1.021.100.
 Problema N° 1
Luego podemos resolver:
-975.400 + 174.300 - 220.000
Lo que resulta:
-1.021.100
Pedro deja una herencia de $ 63.580.000. La mitad de la herencia le corresponde a su mujer y lo restante, en partes iguales, para sus 11 hijos. ¿Cuánto recibe cada heredero?
Solución
Lo que corresponde a su señora:
 63.580.000:2 = 31.790.000
 Lo que corresponde a sus hijos: 
31.790.000:11 = 2.890.000
Por lo que su señora recibe $31.790.000 y cada uno de sus hijos $2.890.000
 Problema N° 2
Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 
16 
20 
Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos
2 
Nº primos 
Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo:
2-3-5-7-11 13-17- etc.
16 
20 
2 
:2 = 
8 
:2 = 
10 
2 
El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos
MCM: mínimo común múltiplo
FORMA: realizando una tabla
16 
20 
Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos
2 
Nº primos 
Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo:
2-3-5-7-11 13-17- etc.
:2 = 
4 
:2 = 
 5 
8 
10 
2 
8 
10 
2 
2 
MCM: mínimo común múltiplo
Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 
El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos
FORMA: realizando una tabla
16 
20 
Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos
2 
Nº primos 
Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo:
2-3-5-7-11 13-17- etc.
: 5 = 
No se divide en forma exacta 
: 5 = 
 1 
8 
10 
2 
4 
5 
5 
 5 
4 
 5 
 5 
4 
MCM: mínimo común múltiplo
Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 
El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos
FORMA: realizando una tabla
16 
20 
Se mantiene el último término
2 
Nº primos 
Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo:
2-3-5-7-11 13-17- etc.
8 
10 
2 
1 
4 
5 
5 
4 
4 
 5 
4 
4 
4 
: = 
1 
MCM: mínimo común múltiplo
Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 
El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos
FORMA: realizando una tabla
16 
20 
2 
8 
10 
2 
1 
4 
5 
5 
4 
4 
 5 
4 
1 
2 
2 
5 
4 
. . . 
=
80
MCM =
MCM: mínimo común múltiplo
Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 
El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos
FORMA: realizando una tabla
Ejemplo: Determinar el (MCD) de 16 y 20 
16 
20 
Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos
2 
Nº primos 
Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo:
2-3-5-7-11 13-17- etc.
16 
20 
2 
:2 = 
8 
:2 = 
10 
2 
El MCD de dos o más números enteros es el mayor número natural que es divisor de todos ellos
MCD: máximo común divisor
FORMA: realizando una tabla
16 
20 
Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos
2 
Nº primos 
Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo:
2-3-5-7-11 13-17- etc.
:2 = 
4 
:2 = 
 5 
8 
10 
2 
8 
10 
2 
2 
MCD: máximo común divisor
Ejemplo: Determinar el (MCD) de 16 y 20 
El MCD de dos o más números enteros es el mayor número natural que es divisor de todos ellos
FORMA: realizando una tabla
16 
20 
No hay un número PRIMO que divida a los dos términos
2 
Nº primos 
Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo:
2-3-5-7-11 13-17- etc.
8 
10 
2 
4 
5 
 5 
MCD: máximo común divisor
Ejemplo: Determinar el (MCD) de 16 y 20 
El MCD de dos o más números enteros es el mayor número natural que es divisor de todos ellos
FORMA: realizando una tabla
16 
20 
2 
8 
10 
2 
4 
5 
4 
 5 
2 
2 
. 
=
4
MCD =
MCD: máximo común divisor
Ejemplo: Determinar el (MCD) de 16 y 20 
El MCD de dos o más números enteros es el mayor número natural que es divisor de todos ellos
FORMA: realizando una tabla
Ejercicios Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común divisor
Determine el m.c.m
A) 3, 4, 10 ,15.
Resp: 60.
B) 4, 8, 16, 32
Resp: 32.
C) 2, 3, 5, 6
Resp: 30.
Determine el m.c.d
A) 28 , 42 , 56, 70
Resp:14.
A) 20, 28, 36, 40 
Resp: 4.
A) 24, 36, 72
Resp: 12.
Un patio de 108 m por 96 m debe cubrirse con cerámicas cuadradas y las mas grandes posibles. ¿Cuál será la dimensión de estas cerámicas si no se quiere romper ninguna?
FORMA DOS: Descomposición en factores primos
 Problema N° 3
96 =
2 ∙
48
2 ∙
108 m
96 m
PATIO
Una forma para resolver el problema es calcular el m.c.d de 96 y 108
24
2 ∙
12
2 ∙
6
2 ∙
3
108 =
2 ∙
54
2 ∙
27
3 ∙
 9
3 ∙
3
Un patio de 108 m por 96 m debe cubrirse con cerámicas cuadradas y las mas grandes posibles. ¿Cuál será la dimensión de estas cerámicas si no se quiere romper ninguna?
FORMA DOS: Descomposición en factores primos
96 =
2 ∙
2 ∙
Una forma para resolver el problema es calcular el m.c.d de 96 y 108
2 ∙
2 ∙
2 ∙
3
108 =
2 ∙
2 ∙
3 ∙
3 ∙
3
2 ∙ 2 ∙
3
2 ∙ 2 ∙
3
12
m.c.d =
108 m
96 m
PATIO
Resp: El tamaño de las cerámicas debe ser de 12m X 12m
 Ejercicios de Desarrollo N°1
Los buses a San Antonio salen del terminal cada 24 minutos, los buses a Viña del Mar cada 20 minutos y los buses a Valparaíso cada 10 minutos. Si a las 8:00 horas salen tres buses a esos destinos de la V región, ¿en cuantos minutos más volverán a coincidir en su salida? 
Solución 
Debemos calcular el MCM entre 24, 20 y 10.
Las salidas de los buses coincidirán en 120 minutos (dos horas), es decir a las 10:00 horas saldrán nuevamente juntos.
 Problema N° 4
24 20 10
2
12
10
5
2
 6
5
5
5
2
3
5
5
5
5
3
1
1
1
2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
 Ejercicios de selección múltiple
N°1:
Andrés ha diseñado un esquema de trabajo para trotar todos los días. Se propone trotar cada día 12 minutos más que el día anterior. Si el primer día comenzó trotando 25 minutos, ¿cuántos minutos trota el sexto día?
a)	72 
d)	85 
Presiona alguna Alternativa
Error
Muy Bien
b)	73 
Error
c)	97 
Error
e)	109 
Error
 Ejercicios de selección múltiple
N°2:
En un día de invierno, la temperatura mínima fue de 3,9°C bajo cero y la temperatura máxima 9,5° C ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas de ese día?
a)	5,6°C 
e) 13,4°C 
Presiona alguna Alternativa
Error
Muy Bien
b)	56°C 
Error
c) -5,6°C 
Error
d) 134°C 
Error
 Ejercicios de selección múltiple
N°3:
Cuatro amigos Luis, Enrique, Víctor y Diego deciden instalar una empresa de comida rápida. Para iniciar un negocio cuentan con un capital inicial de $16.483.200, aportando cada uno la misma cantidad al negocio. Despuésde dos años de trabajo deciden vender el negocio en $25.928.000 ¿Cuánto dinero ganó cada uno de los amigos con la venta del negocio si se reparten las utilidades en partes iguales?
a)$4.120.800
b)$2.361.200
Presiona alguna Alternativa
Error
Muy Bien
c)$6.482.000
Error
d)$9.444.800
Error
e)$7.083.600
Error