Tema 28 - Lógica proposicional I

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83UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 28
LÓGICA PROPOSICIONAL I
ARITMÉTICA
I. INTRODUCCIÓN
La lógica estudia la forma de razonamiento. Es una
disciplina que se utiliza para determinar si un argumen-
to es válido, tiene aplicación en todos los campos del
saber; en la filosofía, para determinar si un razonamien-
to es válido o no, ya que una frase puede tener dife-
rentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite
saber el significado correcto. Los matemáticos usan la
lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que
puedan ser aplicados en investigaciones. En la compu-
tación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es
utilizada en el diseño de computadoras. Existen circui-
tos integrados que realizan operaciones lógicas con los
bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-
ciones (telefonía móvil, internet, ...)
II. ENUNCIADO
Es cualquier frase u oración que expresa una idea.
A. Proposición
Son oraciones aseverativas que se pueden calificar
como verdaderas o falsas. Se representan con las
letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s.
Ejemplo:
• Túpac Amaru murió decapitado.
• 9 < 10
• 45 = 3 – 2
B. Enunciado abierto
Son enunciados que pueden tomar cualquiera de
los 2 valores de verdad.
Ejemplo:
Si: P(x) : x > 6
Se cumple que:
P(9): 9 > 6 es verdadero.
P(2): 2 > 6 es falso.
El valor de verdad de P(x) depende del valor de x,
también, se le conoce como función proposicional.
Clases de proposiciones
1. Proposición simple
Son proposiciones que no tienen conjunciones
gramaticales ni adverbio de negación.
Ejemplo: Cincuenta es múltiplo de diez.
2. Proposición compuesta
Formada por dos o más proposiciones simples
unidas por conectivos lógicos o por el adverbio
de negación.
Ejemplo: 29 es un número primo y 5 es impar.
III. CONECTIVOS LÓGICOS
Símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples
para formar una proposición compuesta.
Los conectores lógicos que usaremos son:
 
Símbolo Operación lógica Significado






Negación
Conjunción
Disyunción
Condicional
Bicondicional
Disyunción
exclusiva
No p
p y q
p o q
Si p, entonces q
p si y sólo si q
“o ...... o ......”
DESARROLLO DEL TEMA
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LÓGICA PROPOSICIONAL I
TEMA 28
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Observación: La negación es un conector monádico,
afecta solamente a una proposición.
IV. OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE
VERDAD
La validez de una proposición compuesta depende de
los valores de verdad de las proposiciones simples que
la componen y se determina mediante una tabla de
verdad.
A. Conjunción
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo
lógico "y".
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p q p q
Tabla de verdad
B. Disyunción
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo
lógico "o".
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
p q p q
Tabla de verdad
C. Disyunción Exclusiva
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo
lógico: "o ..........., o .............".
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
p q p q
Tabla de verdad
D. Condicional
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo
lógico: "Si ............, entonces ..............".
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
p q p q
Tabla de verdad
E. Bicondicional
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo
lógico: ".............. si y sólo si ..............".
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
p q p q
Tabla de verdad
F. Negación
Afecta a una sola proposición. Es un operador
monádico que cambia el valor de verdad de una
proposición:
Tabla de verdad
V
F
F
V
p p
Observación
La cantidad de filas en una tabla es:
# filas = 2n
Donde n es la cantidad de proposiciones simples.
Importante
• Cuando los valores del operador principal son
todos verdaderos se dice que el esquema mo-
lecular es tautológico.
• Se dirá que el esquema molecular es contra-
dictorio si los valores del operador principal son
todos falsos.
• Si los valores del operador principal tiene por lo
menos una verdad y una falsedad se dice que
es contingente o consistente.
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V. LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir
esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma
más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen
construyendo la tabla de verdad en cada caso.
Principales Leyes
1. Ley de Idempotencia
p p p
p p p
 
 
2. Ley Conmutativa
p q q p
p q q p
  
  
3. Ley Asociativa
(p q) r p (q r)
(p q) r p (q r)
    
    
4. Ley Distributiva
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
     
     
5. Ley de la Doble Negación
~ (~ p) p
Problema 1
Si la proposición:
   p q r s   
es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s
(en ese orden) es:
UNI 2012 - I
A) FFVV
B) FVVF
C) VFVF
D) VVFF
E) FVFF
Resolución:
Nos indican que    p q r s   
es falsa, luego:
   
v F
p q r s F   
 
 
Para que  r s  sea falsa solo cum-
ple si ambas son verdaderas: r V ;
s V . Luego, para que  p q  sea
verdadera, se tiene diversas opciones:
p V;q F  ; p V;q F  ; p F;q F  .
Solo se presentan en las alternativas:
p F; q F; r V; s V    .
Respuesta: A) FFVV
Problema 2
Señale el circuito equivalente a la pro-
posición:
   p q p p p q           
UNI 2012 - I
A) p
B) q
C) p
D) q
E) p q
Resolución:
   p q p p p q           
Por la ley de la condicional se transforma a:
   p q p p p q           
Por Morgan llegamos a:
   p q p p p q          
En el primer corchete se aplica absor-
ción:
6. Leyes de Identidad
p V V ; p F p
p V p ; p F F
   
   
7. Leyes del Complemento
p ~p V
p ~p F
 
 
8. Ley del Condicional
p q ~ p q  
9. Ley de la Bicondicional
p q (p q) (q p)
p q (p q) (~ p ~q)
p q ~ (p q)
    
    
  
10.Ley de Absorción
p (p q) p
p (p q) p
p (~ p q) p q
p (~ p q) p q
  
  
   
   
11.Leyes de "De Morgan"
~ (p q) ~ p ~ q
~ (p q) ~ p ~ q
  
  
problemas resueltos
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 p p p q       
Aplicando nuevamente absorción se
reduce a: p, lo cual en circuitos lógi-
cos equivale a:
p
Respuesta: A) p
Problema 3
Considere:
2p(x) : x A {a / a 4}   
2q(x) : x 4 0 
Determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. p (1) q(2) p (2)   
II. q (2) p (2) q(1)   
III. p(2) q (1) 
A) VVV
B) VVF
C) VFV
D) FFV
E) FVF
Resolución:
Se pide el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
De: 2p(x) : x A {a / a 4}   
2p(1) : Si x 1 1 4 (V)  
2p(2) : Si x 2 2 4 (V)  
De: 2q(x) : x 4 0 
2q(1) : Si x 1 1 4 0 (F)   
2q(2) : Si x 2 2 4 0 (F)   
Luego:
I. p(1) q(2) p(2)   
V F V V    
II. q(1) p(2) q(1)   
F V F F    
III. p(2) q(1) 
F V V 
Luego: VFV
Respuesta: C) VFV