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Funciones y Limites
pag.
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 República Bolivariana de Venezuela 
Ministerio del Poder Popular para la Educación 
 Instituto Universitario de Nuevas Profesiones 
 Sección: A (Regular) 
 Turno: Virtual 
 Área: Ingeniería 
 Especialidad: Construcción Civil 
 Materia: Matemática I 
 
 
 
 
TRABAJO I – CORTE II 
FUNCIONES Y LIMITES 
 
 
 
 
Alumno: Fred Prieto - C.I. 14.331.684 
Profesor: Pedro Sanoja 
 
 
 
Caracas, 07 de octubre de 2020 
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I - FUNCIONES TRANSCENDENTES: 
Problema I 
Graficar las siguientes funciones en el rango (0; 2𝜋) 
1.- 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 
2.- 𝐲=𝟏/2𝐬𝐢𝐧𝒙 
3.- 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) 
4.- 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 
Compare las curvas en la misma gráfica, identifique cada una y explique su diferencia. 
 
Solución: 
Para el desarrollo de todos los ejercicios correspondientes a este punto, se deben 
realizar los mismos siguiendo el procedimiento, que se indica a continuación: 
 
a) Tabulación o tabla de valores de X y F(x) 
b) Ejecución o desarrollo de las ecuaciones 
c) Grafica de la ecuación sinusoidal. 
 
 
 
 
 
 
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Tabla referencial para conocer ángulos 
 de los radianes 
 
 
 
Rad Grados 
 π/6 30 
π/3 60 
π/2 90 
2π/3 120 
5π/6 150 
π 180 
7π/6 210 
4π/3 240 
3π/2 270 
5π/3 300 
11π/6 330 
2π 360 
Datos importantes: Π Rad= 180° 
Para hallar ángulo exacto en un Rad: 
Ejemplo: Π Rad= 180° π𝑅𝑎𝑑6 = 18006 → πRad6 = 300 
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1.- 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙: 
a) Tabulación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con la tabla ubicada a la derecha, podemos obtener los valores con los que 
obtendremos luego, aplicando el “seno” de la ecuación en cada caso, para luego 
obtener los datos de la imagen o datos de la frecuencia en la que se comportará la 
onda sinusoidal en esta ecuación: 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (Tabla izquierda). 
 
b) Desarrollo del ejercicio: 
 
I. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X=0) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (0) = 0.00 
I. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π/4) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (π/4) = 2.10 
II. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π/2) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (π/2) = 3.00 
III. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 3π/4) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (3π/4) = 2.10 
IV. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (π)= 0.00 
V. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 5π/4) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (5π/4) = -2.10 
X Y 
0 0.00 π/4 2.12 π/2 3.00 3π/4 2.12 π 0.00 5π/4 -2.12 3π/2 -3.00 7π/4 -2.12 2π 0.00 
Rad Grados Sin X 
0 0 0 π/4 45 0.70 π/2 90 1.00 3π/4 135 0.70 π 180 0 5π/4 225 -0.70 3π/2 270 -1.00 7π/4 315 -0.70 2π 360 0 
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VI. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 3π/2) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (3π/2) = -3.00 
VII. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 7π/4) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (7π/4) = -2.10 
VIII. 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 2π) 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 (2π) = 0.00 
 
c) Grafica final de la función: 𝐲=𝟑𝐬𝐢𝐧𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
π/4 π/2 3π/4 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 π/4 π/4 π/4 
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2.- 𝐲=𝟏/2𝐬𝐢𝐧𝒙: 
a) Tabulación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Desarrollo del ejercicio: 
 
I. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X=0) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (0) = 0.00 
II. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π/4) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (π/4) = 0.35 
III. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π/2) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (π/2) = 0.50 
IV. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 3π/4) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (3π/4) = 0.35 
V. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (π) = 0.00 
VI. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 5π/4) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (5π/4) = -0.35 
VII. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 3π/2) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (5π/4) = -0.50 
VIII. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 7π/4) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (7π/4) = -0.35 
IX. 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 2π) 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 (2π) = 0.00 
 
X Y 
0 0.00 π/4 0.35 π/2 0.50 3π/4 0.35 π 0.00 5π/4 -0.35 3π/2 -0.50 7π/4 -0.35 2π 0.00 
Rad Grados Sin X 
0 0 0 π/4 45 0.70 π/2 90 1.00 3π/4 135 0.70 π 180 0 5π/4 225 -0.70 3π/2 270 -1.00 
7π/4 315 -0.70 2π 360 0 
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c) Grafica final de la función: 𝐲=1/2𝐬𝐢𝐧𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.- 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) 
a) Tabulación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
X Y 
0 -1.00 π/4 -0.70 π/2 0.00 3π/4 0.70 π 1.00 5π/4 0.70 3π/2 1.00 7π/4 -0.70 2π -1.00 
Rad Grados Sin X 
0 0 0 π/4 45 0.70 π/2 90 1.00 3π/4 135 0.70 π 180 0 5π/4 225 -0.70 3π/2 270 -1.00 7π/4 315 -0.70 2π 360 0 
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b) Desarrollo del ejercicio: 
 
I. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X=0) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(0−𝝅/𝟐) = -1.00 
II. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X= π/4) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(π/4−𝝅/𝟐) = -0.70 
III. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X= π/2) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(π/2−𝝅/𝟐) = 0.00 
IV. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X= 3π/4) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(3π/4−𝝅/𝟐) = 0.70 
V. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X= π) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(π −𝝅/𝟐) = 1.00 
VI. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X= 5π/4) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(5π/4−𝝅/𝟐) = 0.70 
VII. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X= 3π/2) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(3π/2−𝝅/𝟐) = 1.00 
VIII. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X= 7π/4) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(7π/4−𝝅/𝟐) = -0.70 
IX. 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) (para X= 2π) 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(2π −𝝅/𝟐) = -1.00 
 
c) Grafica final de la función: 𝒚= 𝐬𝐢𝐧(𝒙−𝝅/𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.- 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 
a) Tabulación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Desarrollo del ejercicio: 
 
I. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X=0) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(0) = 1.00 
II. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π/4) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(π/4) = 1.70 
III. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π/2) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(π/2) = 2.00 
IV. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 3π/4) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(3π/4) = 2.00 
V. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= π) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(π) = 1.00 
VI. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 5π/4) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(5π/4) = 0.29 
VII. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 3π/2) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(5π/4) = 0.00 
VIII. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 2π) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(5π/4) = 0.29 
IX. 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 (para X= 7π/4) 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧(5π/4) = 1.00 
X Y 
0 1.00 π/4 1.70 π/2 2.00 3π/4 1.70 π 1.00 5π/4 0.29 3π/2 0.00 7π/4 0.29 2π 1.00 
Rad Grados Sin X 
0 0 0 π/4 45 0.70 π/2 90 1.00 3π/4 135 0.70 π 180 0 5π/4 225 -0.70 3π/2 270 -1.00 7π/4 315 -0.70 2π 360 0 
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c) Grafica final de la función: 𝒚=𝟏+𝐬𝐢𝐧𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II - FUNCIÓN INVERSA 
Problema II 
Hallar la función inversa de las siguientes funciones en el rango (-10, 10): 
1.- 𝒚= 𝟐𝒙+𝟑 (𝒙≠𝟏) (12.5%) 
 𝒙−𝟏 
 
2.- 𝒚= 𝟐𝒙−𝟏𝟐 (𝒙≠−𝟏/𝟐) (12.5%) 
 𝒙+𝟏 
 
Grafique ambas funciones en graficas separadas, sin embargo, en cada grafica 
deben estar f(x) y f-1(x) Mostrar la tabla de cálculos 
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Solución: 
1.- y= 
2𝑥+3𝑥−1 
 
 x= 
2𝑦+3𝑦−1 
x.( 𝑦 − 1) = 2y+3 
 xy – x = 2y+3 
 xy – 2y = x+3 
 y (x-2) = x+3 
 y = 
𝒙+𝟑𝒙−𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfica: y= 
2𝑥+3𝑥−1 e y’ = 𝒙+𝟑𝒙−𝟐 
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2.- y= 
2𝑥−12𝑥+1 
 x= 
2𝑦−12𝑦+1 
x.( 𝑦 − 1) = 2y+3 
 2xy + x = 2y-1 
y (2x+x) = 2y-1 
 y (3x) = 2y-1 
 3xy - 2y = -1 
 y’ = −𝟏𝟑𝒙−𝟐Gráfica: y= 
2𝑥−12𝑥+1 e y’ = −𝟏𝟑𝒙−𝟐 
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III - COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 
Problema III 
Sean las funciones: 
 
1.- Calcule la composición de: g (f(x)) 
2.- Calcule la composición de: g (h(x)) 
3.- Calcule la composición de: f (g(x)) 
4.- Calcule la composición de: f (h(x)) 
 
Solución: 
I. Composición de: g (f(x)) 
f(x)= 
𝟏𝟐𝒙−𝟏 g(x)= 𝟐𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟏 
(gof)(x) = g(f(x)) 
g( 12x−1)= 2 ( 12𝑥−1)−1 2( 12𝑥−1)+1 ( 22𝑥−1)−1 2( 12𝑥−1)+1 2−2x−12x−1 2+2x−12x−1 3−2x2x−1 21+2x2x−1 
 (3−2𝑥)(2𝑥−1) (2𝑥−1)(1+2𝑥) = (3−2𝑥) (1+2𝑥) 
 
 
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II. Composición de: g (h(x)) 
 
g(x)= 
𝟐𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟏 h(x)= 1x 
 
(goh)(x) = g(h(x)) 
g(1x)= 2 (1x)−1 2 (1x)+1 2x−11 2x+11 2−xx 2+xx (2−x)x x (2+x) (𝟐 − 𝐱) (𝟐 + 𝐱) 
 
III. Composición de: f (g(x)) 
f(x)= 
𝟏𝟐𝒙−𝟏 g(x)= 𝟐𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟏 
(fog)(x) = f(g(x)) 
f (𝟐𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟏) 𝟏𝟐(𝟐𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟏)−𝟏 𝟏(𝟒𝒙−𝟐𝟐𝒙+𝟏)−𝟏 11 (𝟒𝐱−𝟐).𝟏−(𝟐𝐱+𝟏)(𝟐𝐱+𝟏).𝟏 
1.(𝟐𝐱+𝟏) 1.(𝟒𝐱−𝟐)−(𝟐𝐱+𝟏) 𝟐𝐱+𝟏 𝟐𝐱−𝟑 
 
 
 
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IV. Composición de: f (h(x)) 
f(x)= 
𝟏𝟐𝒙−𝟏 h(x)= 1x 
(fog)(x) = f(h(x)) 
f (1x) f ( 𝟏𝟐(𝟏𝒙)−𝟏) 11 2x− 11 11 2.1−1..xx.1 11 2−xx
 1x 1 (2x) 𝐱 𝟐 − 𝐱 
 
III – LÍMITES 
Problema IV Aplicación de la Regla de L’Hopital: Regla de L’Hôpital para el cálculo de límites: 
 
 
 
 La Regla de L’Hôpital es una poderosa herramienta para calcular límites 
indeterminados. La idea que está detrás es que, cuando el cociente de dos 
funciones tiene un límite indeterminado, puede ser útil estudiar el límite del 
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cociente de sus pendientes, es decir, de sus derivadas, que, en ocasiones, 
determina más claramente cuál de las dos es la que crece (o decrece) más 
rápidamente. 
Tomando en cuenta el aspecto teórico mencionado anteriormente; 
Calcule los siguientes límites: 
Antes de proceder a resolver los límites, repase la clase IV en su capítulo de 
LIMITES, además repase las propiedades y los conceptos de Indeterminaciones 
detallando cada una de ellas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
1.-𝐥𝐢𝐦𝐗−𝟐 𝟑𝐱𝟐−𝟕𝐱+𝟐𝐱𝟐+𝟓𝐱−𝟏𝟒 limX−2 3x2−7x+2x2+5x−14 limX−2 3(2)2−7(2)+2(2)2+5(2)−14 limX−2 12−14+24+10−14 = 𝟎𝟎 
Como en este caso tenemos una indeterminación, aplicamos regla de L’ Hopital, 
para romperla, y hallar el límite de esta función; quedando entonces que: 
Indeterminación 
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limX−2 𝑑(3x2 − 7x + 2)𝑑𝑥𝑑 (x2 + 5x − 14)𝑑𝑥 limX−2 6x − 72x + 5x limX−2 6(2) − 72(2) + 5 
limX−2 12 − 74 + 5 = 𝟓𝟗 
 
2.- 𝐥𝐢𝐦𝐗−𝟎 𝟏−𝑪𝒐𝒔𝑿𝐱𝟐 
 limX−0 1−𝐶𝑜𝑠𝑋x2 limX−0 1−𝐶𝑜𝑠(0)02 = limX−0 1−00 = 00 
Como se trata de un límite trigonométrico, hay que tener presenta la 
siguiente fórmula. 
 
limX−0 𝑆𝑒𝑛𝑋𝑥 = 1 
 
Aplicamos fórmula de trigonometría: 𝑆𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝐶𝑜𝑠2 
Multiplicando por el conjugado, tenemos: 
limX−0 (1 − 𝐶𝑜𝑠𝑋)1 . (1 + 𝐶𝑜𝑠𝑋)(1 + 𝐶𝑜𝑠𝑋) = limX−0 1 − 𝐶𝑜𝑠𝑋2𝑋2 + (1 + 𝐶𝑜𝑠𝑋) ; luego; 
 
Indeterminación 
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limX−0 𝑆𝑒𝑛𝑋𝑥 . 𝑆𝑒𝑛𝑋𝑥 . 11 + 𝐶𝑜𝑠𝑋 = 1.1 11 + 𝐶𝑜𝑠𝑋 = 𝟏𝟐 
 
3.- limX−0 𝑥𝑙𝑛𝑥 limX−0 𝑥𝑙𝑛𝑥 = 0 (−∞) 
 
Fórmula a aplicar en esta indeterminación: 
f(x).g(x)= 
𝑓(𝑥)1𝑔(𝑥) ; g(x).f(x)= 𝑔(𝑥)1𝑓(𝑥) 
Derivando por medio de L’Hopital: 
limX−0 𝑑𝑑𝑥 (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑑𝑥 (1𝑥) = 
1x1x2 lim −X−0 x2𝑥 lim −X−0 𝑥 = −0 = 𝟎 
 
4. 𝐥𝐢𝐦𝐗−𝟎 (𝟏 + 𝟓𝒙)𝟏/𝒙 
 limX−0 (1 + 5𝑥)1/𝑥 Aplicamos Ln en ambos lados 
Ln(y) = Ln [limX−0 (1 + 5𝑥)1/𝑥 ] Usamos logaritmo 𝐿𝑜𝑔 𝐴𝐵 = 𝐵 𝐿𝑜𝑔 𝐴; 
Ln(y) = limX−0 1x (1 + 5𝑥) Luego, aplicamos ley de L’Hopital; 
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Ln(y) = limX−0 𝑑𝑑𝑥 𝐿𝑛[(1+5𝑥)]𝑥 Ln(y) = limX−0 11+5𝑥𝑥 
Ln(y) = limX−0 51+𝑥; 
Sustituyendo x por (0): Ln(y) = limX−0 51+0 = Ln(y)= 5 
Despejando “y”: y: 𝑒5= e, 
Por lo tanto: limX−0 (1 + 5𝑥)1/𝑥 = 𝒆 
 
 
 
 
 
 
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