UNIDAD 04-Guía de Respuestas

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 ESTADÍSTICA 
 UNIDAD 04: Guía de Respuestas 
 
1.-Sea X la variable aleatoria: “número de veces que apareció cara al arrojar una moneda 
(no cargada) tres veces. 
a)¿Qué tipo de variable aleatoria es? ,¿por qué?.Discreta porque toma valores naturales. 
b)Elabore un cuadro donde figuren el número de caras posibles con sus correspondientes 
probabilidades. 
 N° de caras 
Prob. 
0 1 2 3 
pi 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
c)Calcule E(X) y V(X) e interprete . 
E(X)= 0.1/8 +1. 3/8 +2 . 3/8 +3.1/8 →E(X)= 1,5 y 
V(X)=(0-1,5)2. 1/8 + (1-1,5)2. 3/8 + (2-1,5)2. 3/8 + (3-1,5)2. 1/8→ 𝑽(𝑿) =0,75 
La E(X) es el centro de gravedad de la función de densidad. Se espera que en tres 
tiradas, el número de caras sea alrededor de 2. 
V(X) da una dispersión del número de caras, respecto de la media o valor esperado, 
alrededor de 1. 
2.-Para una empresa de 10 empleados, se considera el evento: “concurrencia al trabajo, de 
un empleado, en un día laborable “. Si la probabilidad de asistir al trabajo es, para cualquier 
empleado, igual a 0,25, se pide: 
a)Para cada empleado, el experimento o ensayo cuyos posibles resultados son : concurre al 
trabajo en un día laborable o no concurre al trabajo en un día laborable : 
 ¿qué nombre recibe?, ¿por qué?. 
Es un experimento Bernoulli porque consiste en observar una sola vez la 
ocurrencia del evento: “concurrencia al trabajo, de un empleado, en un día 
laborable “. 
Siendo p: probabilidad de concurrir en un día laborable, o sea p=0,25, resulta 
q = 0,75. 
 ¿cuál es la distribución de la variable aleatoria?. 𝑿~𝑩𝒆𝒓(𝟎, 𝟐𝟓) 
2 
 
X=
𝟎 𝒔𝒊 𝒆𝒍 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒅𝒐 𝒏𝒐 𝒂𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒂𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 
𝟏 𝒔𝒊 𝒆𝒍 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒂𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 
  
b)Para los ensayos sobre los 10 empleados: 
 ¿Qué nombre recibe el modelo de probabilidad que se obtiene?. 
Binomial, ya que al realizarse los ensayos sobre los 10 empleados, la variable 
aleatoria X es la suma de 10 variables independientes de Bernoulli ( donde la 
concurrencia de cualquier empleado es independiente de otro). Además, todas 
las variables tienen el mismo parámetro p=0,25. 
 ¿cuál es la variable aleatoria asociada al mismo?, ¿cuáles son sus valores?. 
X= número de empleados, que concurren al trabajo, un día laborable. 
 Sus valores son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 . 
c)Calcule: 
 La probabilidad de que concurran 6 de los 10 empleados. 
P(X=6) es la probabilidad de que concurran exactamente 6. Entonces: 
P(X=6)= 𝟏𝟎
𝟔
. 𝟎, 𝟐𝟓𝟔. 𝟎, 𝟕𝟓𝟒 ≅ 𝟎, 𝟎𝟏𝟔 
 La probabilidad de que al menos 3 de los 10 empleados concurran. 
P(X≥ 𝟑)=𝟏 − 𝑷(𝑿 < 3) = 𝟏 − ⌊𝑷(𝑿 = 𝟎) + 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐)⌋ = 
𝟏 − [𝟎, 𝟎𝟓𝟔𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟕 + 𝟎, 𝟐𝟖𝟏𝟔]= 0,4744 
 La probabilidad de que concurran a los sumo 5 empleados. 
P(X≤ 𝟓)= ⌊𝑷(𝑿 = 𝟎) + 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑) + 𝑷(𝑿 = 𝟒) +
𝑷(𝑿 = 𝟓)⌋= 0,9803 
 La esperanza y varianza de esta variable aleatoria. 
 𝑬(𝑿) = 𝒏. 𝒑 → 𝑬(𝑿) =10 . 0,25→ 𝑬(𝑿) = 𝟐, 𝟓 
𝑽(𝑿) = 𝒏. 𝒑. 𝒒 → 𝑽(𝑿) = 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟐𝟓. 𝟎, 𝟕𝟓 → 𝑽(𝑿) = 𝟏, 𝟖𝟕𝟓 
 
 
4.-La probabilidad que un individuo tenga una reacción alérgica al inyectarle un suero es de 
0,001.Hallar la probabilidad que, entre 2000 individuos, tengan reacción alérgica: 
Tengamos en cuenta que : 
 El suceso es A: individuo que tiene reacción alérgica, entonces p=P(A)= 0,001. 
 La variable aleatoria discreta asociada a la distribución Binomial es : 
X: número de individuos, que tienen reacción alérgica, con parámetros 
𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 y n=2000. 
3 
 
 El valor de n es 2000 y , como n.p=2<10 usamos la distribución de Poisson 
como aproximación a la Binomial. De ese modo, el parámetro de la Poisson es 
𝝀 = 𝟐. 
a)exactamente tres, P0(X=3)= 0,1804 
b)más de 2. 
 P0(X > 2)= 1-P0(X≤ 𝟐)= 1-⌊𝑷(𝑿 = 𝟎) + 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐)⌋ = 𝟎, 𝟔𝟕𝟔𝟕 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟑𝟑 
 
Nota: P0 indica, en este caso, la probabilidad de una variable con distribución de 
Poisson. 
 
7.-Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una 
distribución Poisson con una media de 2,5 imperfecciones por milímetros. Determine la 
probabilidad de: 
Tengamos en cuenta que : 
 La variable aleatoria discreta asociada a la distribución de Poisson es : 
X: número de imperfecciones, en un alambrado, por milímetro. 
 El parámetro de la Poisson es 𝝀 = 𝟐, 𝟓 / mm. 
 
 2 imperfecciones en un milímetro de alambre, P(X=2)=0,2565 
 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre, 
En este caso la unidad de espacio es 5mm, entonces λ= 5.2,5 mm = 12,5 mm. 
Luego, P(X=10)= 
𝒆 𝟏𝟐,𝟓.𝟏𝟐,𝟓𝟏𝟎
𝟏𝟎!
 
 al menos una imperfección en 2 milímetros de alambre. 
En este caso la unidad de espacio es 2mm, entonces λ= 2.2,5 mm = 5 mm. 
 
P(X≥ 𝟏) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 < 1) = 𝟎, 𝟗𝟗𝟑𝟑 
 
8.-Usando la tabla de probabilidades para una distribución normal estándar, calcule el área 
bajo la curva entre los siguientes valores: 
a)z=0 y z= 1,26 , b) z= -0,15 y z=0, c)z=-0,23 y z= -0,15 d) z=-1,2 y z= 0,34 
e)z=0,45 y z=1,33 
 
Si utilizamos la Tabla de la Normal N
muestra a continuación, el área de la zona sombreada es : 
 
a) z=0 y z= 1,26. En este caso, tenemos lo siguiente:
Situación gráfica 
 
b) z=-0,15 y z= 0. En este caso tenemos lo siguiente:
Situación gráfica Cálculo del área
 
 c) z=-0,23 y z= -0,15 Área : 0,0314
 d) z=-1,2 y z= 0,34 .
Situación gráfica 
Si utilizamos la Tabla de la Normal N(0,1) que trabaja con la cola derecha como se 
muestra a continuación, el área de la zona sombreada es : ∝= 𝑷(𝒙 >
 
En este caso, tenemos lo siguiente: 
Situación gráfica Cálculo del área
 
 El área está dada por
 𝑷(𝟎 < 𝑥 < 1,26)= 
0,5- P(x>1,26) =0,5 -0,1038 =0,3962
En este caso tenemos lo siguiente: 
Situación gráfica Cálculo del área
El área está dada por 𝑷(−
0,5- P(x< - 0,15) =0,5- P(x > 0,15) = 
0,5-0,4404= 0,0596 
0,15 Área : 0,0314 
.En este caso tenemos lo siguiente: 
Situación gráfica Cálculo del área
4 
que trabaja con la cola derecha como se 
> 𝒛∝) 
Cálculo del área 
El área está dada por 
0,1038 =0,3962 
Situación gráfica Cálculo del área 
−𝟎, 𝟏𝟓 < 𝑥 < 0)= 
P(x > 0,15) = 
Cálculo del área 
5 
 
 
El área está dada por 
𝑷(−𝟏, 𝟐 < 𝑥 < 0,34)= 
1- [P(x< - 1,2) +P(x >0,34)] = 
1- [P(x >1,2)+ P(x >0,34) ] = 
1-0,1151+ 0,3669=0,518 
 
 
 e) z=0,45 y z=1,33 Área: 0,2346 
 
9.-Encuentre el valor de z0 para las siguientes probabilidades: 
a)P(z>z0)=0,05 c) P(z>z0)=0,85 e) P(-z0<z<z0)=0,68 
b) P(z<z0)=0,05 d) P(z<z0)=0,15 f) P(-z0<z<z0)=0,99 
a)P(z>z0)=0,05 
 
Buscamos en la tabla de la Normal (0,1) 
cual es el valor de la abscisa z, para el 
cual, el área pintada es 0,05. 
Encontrándose que el valor es z0=1,64 
 
b)P(z<z0)=0,05 
 
Buscamos en la tabla de la Normal (0,1) 
cual es el valor de la abscisa z, para el 
cual, el área pintada es 0,05. 
Encontrándose, en la tabla, z= 1,64. Por lo 
tanto, según la gráfica, el valor de z0 es 
z0= -1,64 
 
6 
 
c)P(z>z0)=0,85El valor de la abscisa z, para el cual, el 
área pintada es 0,85, es el mismo que 
para el área de la cola izquierda ( 0,15). 
Encontrándose entonces que el valor es 
z0= -1,03. 
 
 d) P(z<z0)=0,15 : El valor de z0 es :-1,03 
 e) P(-z0<z<z0)=0,68 : Los valores son -1 y 1. 
 f) P(-z0<z<z0)=0,99 : Los valores son -3 y 3 
10.-Un análisis de las calificaciones obtenidas en el primer parcial de una cátedra reveló 
que seguía, aproximadamente, una curva normal N(65,7.1). El profesor desaprobará el 70% 
inferior de las calificaciones. ¿Cuál es el punto divisorio tal que, superándolo se aprobará y 
por debajo de él se desaprobará?. 
Llamando A al valor de la abscisa que deja, debajo de la curva de la Normal hacia la 
derecha, un área igual a 0,30 (por ende hacia la izquierda deja un área igual a 0,70), 
tenemos que : 
P(X>A)= 0,30, luego estandarizando resulta: 
P(z > 
𝑨 𝟔𝟓
𝟕,𝟏
) = 𝟎, 𝟑𝟎 →
𝑨 𝟔𝟓
𝟕,𝟏
= 𝟎, 𝟓𝟑 → 𝑨 = 𝟔𝟖, 𝟕𝟔𝟑 
 
12.- Si Z ~N(0,1) y P(-k<z<k)=0,34 entonces k es igual a 
:a)0,41 b)0,6331 c)0,44 d)ninguna de las anteriores. Opción c) 
 
15.- En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una 
distribución normal, con media 13° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del 
mes en los que se espera alcanzar máximas entre 11° y 17°. 
Tengamos en cuenta que la variable aleatoria X sigue una distribución Normal (µ,𝝈). 
De modo que la variable estandarizada es z= 
𝑿 µ
𝝈
 . Entonces: 
7 
 
En primer lugar planteamos : 
𝑷(𝟏𝟏 < 𝑋 < 17) = 𝑷
𝟏𝟏 𝟏𝟑
𝟓
<
𝑿 𝟏𝟑
𝟓
<
𝟏𝟕 𝟏𝟑
𝟓
𝑷 −
𝟐
𝟓
< 𝑧 <
𝟒
𝟓
= 𝟎, 𝟑𝟒𝟒𝟔 − 𝟎, 𝟐𝟏𝟏𝟗 =
𝟎, 𝟏𝟑𝟐𝟕=13,27% 
El número de días es aproximadamente 13,27% de 30 (ya que Junio tiene 30 días). O 
sea, 4 días aproximadamente 
16.- Suponga que en una determinada empresa se analiza el tiempo que lleva a los 
trabajadores la instalación de una determinada pieza del producto que fabrica, concluyendo 
que se distribuye como una normal con una media de 30 minutos y una desviación estándar 
de 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador aleatoriamente seleccionado 
pueda montar la pieza en menos de 30 minutos?. 
 0,50 
 
19.-Para pertenecer a una Organización Internacional, su único requisito de admisión es 
obtener una puntuación superior al 98% de la población en un test de inteligencia 
estandarizado. Considerando que tales test establecen una medida de capacidad intelectual 
con distribución N(100,15): 
 ¿Qué puntaje debe obtenerse en el test para obtener tal admisión?. 
El valor A que se quiere encontrar debe dejar un 98% de área hacia la 
izquierda, o sea, el 0,02 % a su derecha. Entonces: 
P(X < A) = 0,98 o bien P(X>A)= 0,02→ 𝑷
𝑿 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓
>
𝑨 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓
= 𝑷 𝒛 >
𝑨 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓
=
𝟎, 𝟎𝟐 →
𝑨 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓
= 𝟐, 𝟎𝟔 → 𝑨 =130,9 
 ¿Qué puntajes obtiene el 75% central de la población?. 82,75 y 117,25 
 ¿Qué probabilidad hay de obtener un resultado de entre 90 y 110 puntos?. 0,497