SEM1 - Introduccion a los Num Reales

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UNIDAD 1. Introducción a los
Números Reales
Dios uso las hermosas
matemáticas al crear el
mundo.
paul dirac
1.1 OPERACIONES CON ENTEROS
1.1.1 Suma de Números Enteros
Por ejemplo.
(3) + (5) = 8
(−3) + (−5) = −8
(−3) + (5) = 2
(3) + (−5) = −2
1.1.2 Diferencia de Números Enteros
La diferencia de los números enteros se ob-
tiene sumando al minuendo el opuesto del sus-
traendo.
Por ejemplo.
7 = 5 = 2
7 = (=5) = 7 + 5 = 12
1.1.3 Multiplicación de Números En-
teros
Regla de los signos
(+) � (+) = (+)
(+) � (�) = (�)
(�) � (+) = (�)
(�) � (�) = (+)
Por ejemplo.
(2) · (5) = 10
(−2) · (−5) = 10
(2) · (−5) = −10
(−2) · (5) = −10
1.1.4 División de Números Enteros
Regla de los signos
(+) : (+) = (+)
(+) : (�) = (�)
(�) : (+) = (�)
(�) : (�) = (+)
Por ejemplo
(10) :( 5) = 2
(=10) : (=5) = 2
(10) : (=5) = = 2
(=10) :( 5) = = 2
1
GESTIÓN
1.2 OPERACIONES CON FRACCIONES
1.2.1 Números Racionales
Q = {ab ; a, b�Z ∧ b 6= 0}
1.2.2 Fracción
f = ab
Donde:
a: numerador
b: denominador
Además: a, b�Z y b 6= 0
Por ejemplo.
i) Son fracciones
32
24 ,
52
68
ii) No son fracciones:
π;
√
2, sen(45◦)
1.3 OPERACIONES CON DECIMALES
1.3.1 Números Decimales
Se obtienen al dividir el numerador por el
denominador de una fracción.
1.3.2 Operaciones con Decimales
1. Adición
4 8 , 1 3 6 +
5 , 0 2
5 3 , 1 5 6
2. Sustracción
2 4 5 , 4 0 0 -
1 2 , 3 6 5
2 3 3 , 0 3 5
3. Multiplicación
4. División
1.4 RAZONES Y PROPORCIONES
1.4.1 Razones
Razón Aritmética:a− b = r
Razón Geométrica:ab = r
1.4.2 Proporciones
1.4.2.1 Proporción Aritmética
Proporción Aritmética Continua
a− b = b− c
b: segunda diferencial (media arit-
mética)
c: tercera diferencial
Proporción Aritmética Discreta
a− b = c− d
d: cuarta diferencial
1.4.2.2 Proporción Geométrica
Proporción Geométrica Continua: ab =
b
c
b: segunda proporcional (media pro-
porcional)
c: tercera proporcional
Proporción Geométrica Discreta: ab =
c
d
d: cuarta proporcional
1.4.3 Propiedades de la Proporción
Geométrica
a
x =
b
y =
a+b
x+y =
a−b
x−y =
5a−2b
5x−2y = ... = k
a
x =
b
y ⇒
a+x
x =
b+y
y ó
a−x
a =
b−y
b ó
a+x
a−x =
b+y
b−y
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GESTIÓN
NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
Semana 1
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Calcular el valor de :
E = 2(−5)−7(3−5+2)−2(3
2−1)
3−2(5−7)−5
Solución. :
Respuesta: -13
2. Al repartir 860 ladrillos entre un grupo
de personas, le tocó a cada uno 80 ladril-
los, donando los 60 restantes a una es-
cuela. ¾Cuántas personas conformaban el
grupo?
Solución. :
Respuesta: 10
3. Se deja caer una pelota desde cierta al-
tura, calcular esta altura; sabiendo que
en cada rebote que da alcanza los 3/4 de
la altura anterior y que en el tercer rebote
alcanza 81m.
Solución. :
Respuesta: 192
4. El sueldo de un trabajador es S/. 100, se
incrementa en 1/5 y luego se descuenta
en 1/10. ¾En cuanto incrementó el sueldo
del empleado?
Solución. :
Respuesta: S/. 8
5. Un jardinero mide la distancia alrededor
de un campo rectangular. La longitud de
cada lado largo del rectángulo es de 20,25
m y la longitud de cada lado corto es de
10,8 m. ¾Cuál es la super�cie del campo?
Solución. :
Respuesta: 218,7m2
6. Simpli�que:
P = (6,3)(3,65)−2,0951,9
Solución. :
Respuesta: 11
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7. Si 3a+ 2b = 195.Calcular c en:
a
15 =
b
10 =
c
8
Solución. :
Respuesta: 24
8. Calcular la suma de: la media aritmética
de 35 y 25 y la cuarta diferencial de 45;
32 y 17.
Solución. :
Respuesta: 34
9. Un comerciante compró 30 vasos de cris-
tal a S/. 12 cada uno. Después de haber
vendido 12 con una ganancia de S/. 2 por
vaso, se le rompieron 4. ¾A cómo debe
vender cada uno de los vasos restantes pa-
ra obtener una ganancia total de S/. 32?
Solución. :
Respuesta: S/.16
10. Un club de abogados realiza una parril-
lada, se venden las 2/5 partes del to-
tal y sobraron 9, ¾cuántas parrilladas se
hicieron?
Solución. :
Respuesta: 15
11. Susana compra 6 latas de jugo de S/. 2.35
cada una; 8 latas de gaseosa de S/. 3.55
cada una y 12 paquetes de galletas de S/.
0.60 cada paquete. Si paga con un billete
de S/. 100, ¾cuánto le dan de vuelto?
Solución. :
Respuesta: S/ 50,3
12. Si a+ b− c = 273.Calcular d en:
a
9 =
b
11 =
c
13 =
d
5
Solución. :
Respuesta: 195
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Calcular el valor de :
P (x) = 14+3(−5)−(−4)(−2)3(−2)(−2)−4(2)−3
Solución. :
P (x) = 14−15−812−8−3
P (x) = −91
P (x) = −9
Respuesta: -9
2. Al repartir 740 sillares entre un grupo de
personas, le tocó a cada uno 30 Sillares,
donando los 20 restantes a una escuela.
¾Cuántas personas conformaban el gru-
po?
Solución. :
Tenemos
T = 740, p = personas, q = 30 y r = 20
en:
T = pq + r
740 = p(30) + 20
30p = 720
p = 24
Respuesta: 24
3. Calcular el valor de :
Q =
(
5
3 − 1
)
−
{
4
9 +
[
5
27 +
5
3
]
− 69
}
− 127
Solución. :
Q =
(
2
3
)
−
{
4
9 +
[
5+45
27
]
− 69
}
− 127
Q =
(
2
3
)
−
{
4
9 +
50
27 −
6
9
}
− 127
Q = 23 −
4
9 −
50
27 +
2
3 −
1
27
Q = 18−12−50+18−127
Q = −2727
Q = −1
Respuesta: -1
4. Simpli�car :
q = 2(4−7)−5(3−5)+4(−7)−3(−2)−4(6−3)
Solución. :
Respuesta: 4
5. Un grupo de amigos hacen una junta pa-
ra pagar un viaje cuyo costo es s/ 2800,
si cada uno de ellos aporta S/ 160, aun
faltarían S/400. ¾Cuántas personas con-
forman el grupo de amigos?
Solución. :
Respuesta: 15
6. Simpli�car :
T = 2
(
4
3 + 1
)
+ 5− 3
(
1− 75
)
+ 45
Solución. :
Respuesta: 353
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7. Juan compra un cuarto del rollo de un
alambre menos 7 metros, Raúl la octava
parte del mismo rollo más 4 metros, con
lo cual recibe 6 metros menos que Juan.
¾Cuántos metros compra Raúl?
Solución. :
x : longitud total del rollo de alambre
Juan: 14x− 7, Raul:
1
8x+ 4
∴Juan - Raul = 6(
1
4x− 7
)
−
(
1
8x+ 4
)
= 6
1
8x = 17 ∴ x = 136
Raúl: 18x+ 4 =
1
8(136) + 4 = 21
Respuesta: 21 m
8. Manuel sale de paseo en su auto con cier-
ta suma de dinero en su bolsillo. Regala
45.60 soles a un necesitado, luego le pa-
gan 89.50 soles que le debían, pero comete
una infracción de tránsito por lo que paga
140.20 soles, quedándose únicamente con
10.80 soles. ¾Cuánto tenia inicialmente?
Solución. :
1ro: Sea x dinero inicial de Manuel
2do: regala 45.60 ⇒ x− 45,60
3ro: pagan 89.50
⇒ (x− 45,60) + 89,50 = x+ 43,90
4to: paga infracción 140.20
⇒ (x+ 43,90)− 140,20 = x− 96,30
5to: queda 10.80 = x− 96.30
Respuesta: ∴ x = S/107,10
9. Si:
5a− 3c = 42 y a15 =
b
17 =
c
8
Calcule el valor de b
Solución. :
Ordenando: b17 =
a
15 =
c
8
Propiedad
b
17 =
5a−3c
3(15)−3(8)
b
17 =
42
51 ⇒ b = 14
Respuesta: 14
10. Pedro compra la mitad de un rollo de
alambre, menos 5 metros, Juan compra
un tercio del mismo rollo, más 8 metros,
con lo cual recibe 3 metros menos que Pe-
dro. ¾Cuántos metros compra Pedro?
Solución. :
Respuesta: 43m
11. María dispone de 200 soles para gastarse
en las rebajas de Saga Falabella; la mitad
se lo gasta en ropa, 52,70 soles en calza-
do y otra cierta cantidad en lencería. Si
le sobran 5,40 soles. ¾Cuánto dinero se ha
gastado en lencería?
Solución. :
Respuesta: S/ 41.90
12. Si:
3a+ 5b = 60 y a5 =
b
7 =
c
10
Calcule el valor de c
Solución. :
Respuesta: 12
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13. Sabiendo que: �a� es la segunda diferencial
de 8 y 12; �b� es la tercera proporcional
de 2 y a; �c� es la cuarta proporcional de
a, b y 6. Hallar: (a− b+ c).
Solución. :
1ro: 8− a = a− 12
a = 10
2do: 2a =
a
b
2
10 =
10
b ⇒b = 50
3ro: ab =
6
c
10
50 =
6
c⇒c = 30
∴ a− b+ c = 10− 50 + 30 = −10
Respuesta: -10
14. La razón geométrica entre dos números es
como 5 es a 2. Hallar el número mayor si
la razón aritmética es de 24.
Solución. :
1ro: ab =
5
2 y a− b = 24
2do: el mayor a, por propiedad tenemos
a
a−b =
5
5−2
Reemplazando
a
24 =
5
3 ⇒ a = 40
Respuesta: 40
15. Cuatro hermanos se han repartido una su-
ma de dinero en partes proporcionales a
sus edades que son 20; 22; 26 y 30 años.
Si el mayor recibió 80 soles más que el
menor, ¾Cuánto recibieron los dosinter-
medios juntos?
Solución. :
Edades de los hermanos:A,B,C y D
1ro: A = 20k,B = 22k,C = 26k y
D = 30k
2do: D −A = 80
30k − 20k = 80 ⇒ k = 8
3ro: B + C =?
22k + 26k = 48(8) = 384
Respuesta: 384
16. Sabiendo que: �a� es la media aritmética
de 18 y 12; �b� es la tercera diferencial de
26 y a; �c� es la cuarta diferencial de a, b
y 16. Hallar: (a+b+c).
Solución. :
Respuesta: 24
17. La edad de Juan y la edad de Roberto es-
tán en la razón de 4 a 6. Si hace dos años
la edad de ambos sumaban 66 ¾qué edad
tiene Roberto actualmente?
Solución. :
Respuesta: 42 años
18. Cuatro hermanos se han repartido una su-
ma de dinero en partes proporcionales a
sus edades que son 18; 20; 24 y 29 años.
Si el mayor recibió 88 soles más que el
menor, ¾Cuánto recibieron los dos inter-
medios juntos?
Solución. :
Respuesta: 352
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
TAREA DOMICILIARIA
1. Un grupo de amigos hacen una junta para pagar un viaje cuyo costo es s/ 2360, si cada
uno de ellos aporta S/ 180, aun faltarían S/200. ¾Cuántas personas conforman el grupo de
amigos?
Respuesta: 12
2. Se compran 80 revistas a S/ 720, si se pierde una decena de revistas, ¾a cuánto debo vender
cada uno de los restantes para ganar un total de S/260?.
Respuesta: 14
3. Mónica llega tarde al cine cuando había pasado 1/9 de la película, 8 minutos después llega
Marina y sólo ve los 4/5. Si la película empezó a las 5:00 pm. ¾A qué hora termina?
Respuesta: 6:30p.m.
4. Una empresa destino la tercera parte de un presupuesto a la compra de insumos y las tres
quintas partes del resto al pago de salarios, el nuevo resto se destinó a gastos de publicidad.
¾Qué fracción del presupuesto se destinó a gastos de publicidad?
Respuesta: 415
5. Anita compra 6 latas de jugo de S/ 2.30 cada una, 7 tarros de leche de S/ 3.10 cada una y
12 paquetes de pañales de S/ 4.35 cada paquete. Si paga con un billete de S/ 200, ¾cuánto
le dan de vuelto?
Respuesta: S/ 112.30
6. La razón geométrica de 2 números es 13/5 ; y su razón aritmética es 72 , hallar la multi-
plicación de los dos números.
Respuesta: 5265
7. En la UTP se realizó el baile cachimbo de los estudiantes ingresantes del área de gestión y
administración de negocios, asistiendo 216 personas. Se observa que la cantidad de varones
y mujeres están en la relación de 7 a 11, respectivamente. ¾Cuántas parejas se deben retirar
para que la relación de varones y mujeres sea de 5 a 9?
Respuesta:
8. Una fábrica produce 3696 polos, repartidos en tres zonas de producción. Lo que produce la
primera zona se encuentra en razón de 4 a 5 con lo que produce la segunda zona y además
ésta última presenta una razón de 8 a 12 con respecto a la tercera. ¾Cuántos polos produce
la tercera zona?
Respuesta: 1680
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