Tests20de20hipotesis202021

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TEST DE HIPÓTESIS
Herramienta estadística que permite verificar si se 
cumple o no una determinada condición.
En otras palabras, si hay un apartamiento 
estadísticamente significativo respecto de una 
hipótesis esperada
¿Qué significa “apartamiento estadísticamente 
significativo”? 
valor esperado m
modelo subyacente 
(DN)
Ejemplo. Hipótesis bajo prueba: 
la media de una poblacion es mayor o igual que 3
Ho m  3
3
Ha m < 3
Distribuciones posibles
Ho m  3
3
Ha m < 3
Distribuciones de los promedios: las campanas se angostan
m0=3 
Distribución límite entre ambas 
hipótesis
apartamiento 
estadísticamente 
significativo
x
Caso I: Se rechaza Ho. se concluye que m<3
(Hay evidencia significativa de que m<3 porque resulta poco probable (< a) de que 
alguna de las campanas de color verde contenga al valor observado)
apartamiento no 
significativo 
estadísticamente
x
Caso II: No hay evidencia para rechazar Ho
No es posible rechazar Ho porque hay alguna de las campanas verdes puede 
contener al valor observado. Por ejemplo, la que corresponde a m = 3
Distribución límite entre 
ambas hipótesis
Es posible que alguna de las campanas verdes 
produzca esta observación
No parece verosímil (para algún nivel dado) que una 
campana verde produzca esta observación
Un test de hipótesis nos proporciona un criterio
para decidir si estamos en el caso 
o en el caso 
Este criterio depende del “nivel de significación del test (1-a) ”
o sea, la certeza que se desea tener al llegar a una conclusión. 
Por ej, si trabajamos con a = 5%
z5%
si cae acá se rechaza Hox si cae acá no se rechaza Ho
m0=3
Ejemplo 1: La concentración media de residuos tóxicos que una fábrica puede 
desechar debe ser m < 3 mg/L
Se toman 10 muestras de residuos obteniendo ത𝑋 = 2,87mg/L
¿estamos seguros de cumplir el requerimiento? 
Vamos a plantear un test. Las opciones son: 
Realidad
m ≥ 3 m < 3
Conclusión 
del test
Concluir 
m ≥ 3 
☺ Error
Concluir 
m < 3
Error ☺
Error: Creer que se cumple el requerimiento cuando en 
realidad no se está cumpliendo
Error: Creer que no se cumple el requerimiento cuando en 
realidad se está cumpliendo
Realidad
m ≥ 3 m < 3
Conclusión 
del test
Concluir 
m ≥ 3 
☺ Error II
Concluir 
m < 3
Error I ☺
Tipo I
Tipo II
El test se plantea de forma tal que P(error I) sea razonablemente baja
Realidad
m ≥ 3 m < 3
Conclusión 
del test
Concluir 
m ≥ 3 
☺ Error II
Concluir 
m < 3
Error I ☺
𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐼 ≤ 𝛼 (𝛼 = 0,1, 𝑜 0,05, 𝑜 0,01, 𝑒𝑡𝑐)
a: nivel del test (en general, es un dato del problema)
b: error de tipo II (lo que salga)
Hipótesis del test:
Hipótesis nula (Ho): la hipótesis que busco rechazar
Hipótesis alternativa (H1): la hipótesis que busco confirmar
Error I: rechazar H0 cuando es cierta. 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐼 ≤ 𝛼
Realidad
m ≥ 3 m < 3
Conclusión 
del test
Concluir 
m ≥ 3 
☺ Error II
Concluir 
m < 3
Error I ☺
𝛼 = 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐼 = 𝑃 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0/𝐻0
Etapas para la construcción de un test:
1. Plantear las hipótesis
2. Establecer es criterio de rechazo (de H0)
3. Calcular, ver si se cumple el criterio, y sacar una 
conclusión
En nuestro ejemplo:
1. Plantear las hipótesis
Las dos hipótesis son: m ≥ 3 y m < 3 ¿Cuál es H0 y cuál es H1?
Pero, el error “más grave” (tipo I) es: concluir que se cumple el requerimiento cuando 
no se cumple:
En el ejemplo Error de tipo I: concluir que se cumple cuando no se cumple
En general Error de tipo I: rechazar 𝐻0 cuando 𝐻0 es cierta
𝐻0: No se cumple el requerimiento
𝐻1: Se cumple el requerimiento
𝐻0: No se cumple el requerimiento
𝐻1: Se cumple el requerimiento
𝐻0: m ≥ 3
𝐻1: m < 3 
Realidad
𝐻0: m ≥ 3 𝐻1: m < 3
Conclusión 
del test
Aceptar 𝐻0 ☺ Error II
Rechazar 𝐻0 Error I ☺
𝛼 = 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐼 = 𝑃 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0/𝐻0
2. Establecer el criterio de rechazo de H0
𝐻0: m ≥ 3
𝐻1: m < 3 
Es razonable proponer: rechazo Ho si ഥ𝑿 𝒆𝒔 "𝒑𝒆𝒒𝒖𝒆ñ𝒐”, o
Rechazo Ho si ഥ𝑿 < 𝒗𝒄 (𝒗𝒄 a determinar) 
¿Cómo lo determino? 
A partir de:
𝛼 = 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐼 = 𝑃 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0/𝐻0
𝐻0: m ≥ 3
𝐻1: m < 3 
Criterio: Rechazo Ho si ഥ𝑿 < 𝒗𝒄
𝛼 = 𝑃 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻𝑜 𝐻𝑜 = 𝑃 ത𝑋 < 𝑣𝑐 𝜇 ≥ 3 =
= 𝑃 ത𝑋 < 𝑣𝑐 𝜇 = 3 =
Caso 1: 𝑋1, … , 𝑋𝑛 𝑣. 𝑎. 𝑖. 𝑖. 𝑑 ~𝑁 𝜇, 𝜎 , 𝜎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎
𝛼 = ⋯ . . = 𝑃 ത𝑋 < 𝑣𝑐 𝜇 = 3 = 𝑃
ത𝑋−𝜇
Τ𝜎 𝑛
<
𝑣𝑐−𝜇
Τ𝜎 𝑛
𝜇 = 3 = 
𝑃
ത𝑋 − 𝜇
Τ𝜎 𝑛
<
𝑣𝑐 − 3
Τ𝜎 𝑛
𝜇 = 3 = 𝑃 𝑍 <
𝑣𝑐 − 3
Τ𝜎 𝑛
𝜇 = 3 = ∅
𝑣𝑐 − 3
Τ𝜎 𝑛
Criterio: Rechazo Ho si ഥ𝑿 < 𝒗𝒄
Caso 1: 𝑋1, … , 𝑋𝑛 𝑣. 𝑎. 𝑖. 𝑖. 𝑑 ~𝑁 𝜇, 𝜎 , 𝜎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎
𝛼 = ∅
𝑣𝑐 − 3
Τ𝜎 𝑛
֜
𝑣𝑐 − 3
Τ𝜎 𝑛
= −1,65 ֜ 𝑣𝑐 = 3 − 1,65
𝜎
𝑛
Por ejemplo, si a = 0,05
a = 5%
a = 95%
-za=-1,65
Si se midieron 8 muestras X1, …, X8, , y se obtuvo ത𝑋 = 2,77
𝑚𝑔
𝐿
Y si además, se conoce previamente s = 0,1 mg/L
Caso 1: 𝑋1, … , 𝑋𝑛 𝑣. 𝑎. 𝑖. 𝑖. 𝑑 ~𝑁 𝜇, 𝜎 , 𝜎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎
𝑣𝑐 = 3 − 1,65
0,1
8
= 2,82
Como ത𝑋 < 2,82 Τ𝑚𝑔 𝐿 se rechaza Ho →
Se concluye que el verdadero valor de m es menor que 3
Se cumple el requerimiento!
Si el promedio de las 8 muestras hubiera sido ത𝑋 = 2,96
𝑚𝑔
𝐿
Como ത𝑋 < 2,82 Τ𝑚𝑔 𝐿 no se rechaza Ho →
No podemos concluir que se cumpla el requerimiento
Ojo, eso no significa que no se cumple, sino que No tenemos 
evidencia para asegurar que se cumple, al nivel a=0,05
Criterio de decisión : 
Rechazo Ho si: ഥ𝑿 < 𝑣𝑐
𝑣𝑐 = 3 − 1,65
𝜎
𝑛
O, equivalentemente, si
Z = 
ത𝑋−3
Τ𝜎 𝑛
< −1,65
Test z
 Debemos conocer la dispersión poblacional s
 Se calcula 
 Se lo compara con un valor crítico de la DN (por ejemplo, 1.96 o 1.65)
n
X
Z
s
m 0=
Ejemplo 2: La media de la resistencia a la tracción de varillas que serán empleadas 
en la construcción debe ser superior a 26 N Se supone que un lote de varillas posee 
distribución normal con s = 2,8 N. 
a) Se ensayaron 12 varillas del lote, obteniendo ത𝑋 = 27,1 N ¿Es posible asegurar, al 
nivel a = 5%, que el lote cumple el requerimiento?
m > 26 N
Planteamos un test:
1. ¿Qué hipótesis queremos confirmar?
En otras palabras, quiero rechazar la hipótesis m ≤ 26 N
ቊ
𝑯𝒐: 𝝁 ≤ 𝟐𝟔
𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟐𝟔
Otra forma de llegar a lo mismo
Error de Tipo I: llegar a la conclusión de que las varillas son aptas 
cuando no lo son → P(ETI) ≤ a
Error de Tipo II: llegar a la conclusión de que las varillas no son aptas 
cuando lo son → P(ETII) = b
Error de Tipo I: rechazar Ho cuando Ho es cierta
2. Criterio de decisión:
ቊ
𝑯𝒐: 𝝁 ≤ 𝟐𝟔
𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟐𝟔
rechazo Ho si ത𝑋 > vc
¿cuánto vale vc?
𝛼 = 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐼 = 𝑃 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0/𝐻0 = 𝑃 ത𝑋 > vc 𝜇 ≤ 26
0,05 = 𝑃 ത𝑋 > vc 𝜇 = 26
dato
Me pongo en el caso de más difícil 
decisión
rechazo Ho si ത𝑋 > vc
0,05 = 𝑃 ത𝑋 > vc 𝜇 = 26
ቊ
𝑯𝒐: 𝝁 ≤ 𝟐𝟔
𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟐𝟔
Caso 1: 𝑋1, … , 𝑋𝑛 𝑣. 𝑎. 𝑖. 𝑖. 𝑑 ~𝑁 𝜇, 𝜎 , 𝜎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎
0,05 = 𝑃 ത𝑋 > vc 𝜇 = 26 = 𝑃
ത𝑋−𝜇
Τ𝜎 𝑛
>
𝑣𝑐−𝜇
Τ𝜎 𝑛
𝜇 = 26 = 𝑃 𝑍 >
𝑣𝑐−26
Τ𝜎 𝑛
1,65 =
𝑣𝑐−26
Τ𝜎 𝑛
vc = 26+1,65
𝜎
𝑛
a = 5%a = 95%
za=1,65
rechazo Ho si ത𝑋 > 26+1,65
𝜎
𝑛
ቊ
𝑯𝒐: 𝝁 ≤ 𝟐𝟔
𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟐𝟔
rechazo Ho si Z > 1,65
3. Calcular y decidir
ത𝑋 = 27,1 
26+1,65
2,8
12
= 27,3
• No se cumple el criterio de rechazo
• No es posible asegurar (al nivel a) 
que el lote es apto
• Eso no significa que no sea apto, 
sino que no tenemos evidencia 
suficiente de que lo sea
b) ¿Cuál es la probabilidad descartar un lote cuya verdadera media es m = 26,7 N?
Error de Tipo II: llegar a la conclusión de que las varillas no son aptas cuando lo son → 
P(ETII) = b
𝜷 𝝁 = 26,7 = 𝑷 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑛𝑜 𝑎𝑝𝑡𝑎𝑠 𝝁 = 26,7
¿Cuándo concluyo que no son aptas? Cuando ത𝑋 ≤ 26+1,65
𝜎
𝑛
𝜷 𝝁 = 26,7 = 𝑷 ത𝑋 ≤ 26 + 1,65
𝜎
𝑛
𝝁 = 26,7
𝛽 𝜇 = 26,7 = 𝑃 ത𝑋 ≤ 26 + 1,65
𝜎
𝑛
𝜇 = 26,7 =
= 𝑃
ത𝑋 − 26,7
Τ𝜎 𝑛
≤
26 +1,65
𝜎
𝑛
− 26,7
Τ𝜎 𝑛
𝜇 = 26,7 =
= 𝑃 𝑍 ≤
−0,7
Τ𝜎 𝑛
+ 1,65 𝜇 = 26,7 = ∅
−0,7
Τ𝜎 𝑛
+ 1,65
= ∅ −0,87 = 0,19
b = 0,19
c) Hallar n y el criterio de decisión para que, simultáneamente
• 𝜶 𝝁 = 2𝟔 = 0,05
• 𝜷 𝝁 = 26,7 = 0,1
𝜷 = 𝑷 ത𝑋 ≤ 26 + 1,65
𝜎
𝑛
𝝁 = 26,7 = ∅
−0,7
Τ𝜎 𝑛
+ 1,65 = 0,1
−0,7
Τ𝜎 𝑛
+ 1,65 = −1,28 𝑛 = 1,28 + 1,65
𝜎
0,7
𝜷 = 𝑷 ത𝑋 ≤ 26 + 1,65
𝜎
𝑛
𝝁 = 26,7
rechazo Ho si ത𝑋 > 26+1,65
𝜎
𝑛
a = 5%a = 95%
za=1,65
z=-1,28
b = 0 ,1
𝑛 = 137
𝑛 = 137
Criterio de decisión: 
rechazo Ho si ത𝑋 > 26+1,65
𝜎
𝑛
Criterio de decisión: 
rechazo Ho si ത𝑋 > 26,39
Extraigo 137 varillas del lote, las ensayo, y calculo su promedio 
ത𝑋 > 26,39 → 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 𝐻0 → concluyo que las varillas son aptas
ത𝑋 ≤ 26,39 → 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝐻0 → concluyo que las varillas no son aptas 
Error posible: 0,05
(si el verdadero m es 26)
Error posible: 0,10
(si el verdadero m es 26,7)
Siempre hay conclusión
En resumen: 
Caso 1. Tests para m . Distribución normal, s conocido
Z
X
n
=
 m
s
0
Rechazo H0 si:
Estadístico: 
Región crítica:
za
A: Ho: m  m0 Z > za
Ha: m > m0
-za
B: Ho: m  m0 Z < -za
Ha: m < m0
-za/2 za/2
C: Ho: m = m0 Z > za/2
Ha: m  m0
Curva característica (CO) del test de hipótesis:
𝐶𝑂 𝜇 = 𝑃 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑟 𝐻0 𝜇 = ∅
26 −μ
Τ𝜎 𝑛
+ 𝑧𝛼
ቊ
𝑯𝒐: 𝝁 ≤ 𝟐𝟔
𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟐𝟔
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
25.6 26 26.4 26.8 27.2
Curva característica
a(m = 26) = 0,05
b(m = 26,7) = 0,1
𝑯𝒐 𝑯𝟏
Función de potencia p(m) del test de hipótesis:
𝜋 𝜇 = 𝑃 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0 𝜇 = 1 − ∅
𝜇0−μ
Τ𝜎 𝑛
+ 𝑧𝛼
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
25.6 26 26.4 26.8 27.2
Función de potencia
a(m = 26) = 0,05
b(m = 26,7) = 0,1
𝑯𝒐 𝑯𝟏
ቊ
𝑯𝒐: 𝝁 ≤ 𝟐𝟔
𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟐𝟔
Para el primer ejemplo:
𝐶𝑂 𝜇 = 𝑃 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑟 𝐻0 𝜇
𝜋 𝜇 = 𝑃 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0 𝜇
𝐻0: m ≥ 3
𝐻1: m < 3 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2.9 3 3.1 3.2
a
𝑯𝟏 𝑯𝟎a
CO(m)
p(m)
Caso 2. Tests para m . Distribución normal, s desconocido
Rechazo H0 si:
Estadístico: 
Región crítica:
ta,n1
A: Ho: m  m0 T > ta,n1
Ha: m > m0
-ta,n1
B: Ho: m  m0 T < -ta,n1
Ha: m < m0
-ta/2,n1 ta/2,n1
C: Ho: m = m0 T > ta/2,n1
Ha: m  m0
𝑇 =
ത𝑋 − 𝜇0
Τ𝑠 𝑛
Coeficientes de la distribución t:
En Excel: = INV.T(gl ; 1-alfa) 
Intervalos de Confianza - Autor: F. Kornblit
α
n gl 1% 5% 10%
2 1 31,8 6,31 3,08
3 2 6,96 2,92 1,89
4 3 4,54 2,35 1,64
5 4 3,75 2,13 1,53
6 5 3,36 2,02 1,48
7 6 3,14 1,94 1,44
8 7 3,00 1,89 1,41
10 9 2,82 1,83 1,38
12 11 2,72 1,80 1,36
14 13 2,65 1,77 1,35
16 15 2,60 1,75 1,34
18 17 2,57 1,74 1,33
20 19 2,54 1,73 1,33
25 24 2,49 1,71 1,32
30 29 2,46 1,70 1,31
40 39 2,43 1,68 1,30
50 49 2,40 1,68 1,30
∞ ∞ 2,33 1,65 1,28
𝒕𝒏−𝟏,𝜶
𝜶
Ejemplo: Se midió la viscosidad de 6 muestras de aceite para motor, obteniendo (en 
cSt): 13,9; 14,1; 13,7; 12,8; 14,8;13,8 (se asume distribución normal para los 
resultados). ¿Existe evidencia suficiente para asegurar que la viscosidad media es 
inferior a 14,5 cSt?
1) Hipótesis: lo que quiero demostrar va a H1
2) Criterio de decisión: 𝑇 < −𝑡𝑛−1,𝛼
3) Calculo: 
ቊ
𝑯𝒐: 𝝁 ≥ 𝟏𝟒, 𝟓
𝑯𝟏: 𝝁 < 𝟏𝟒, 𝟓
ҧ𝑥 = 13,65
s = 0,65 𝑇 =
ҧ𝑥 − 14,5
Τ𝑠 𝑛
= −2,46
−𝑡5,0,1 = −1,48
𝑇 < −𝑡𝑛−1,𝛼
−2,46 < −1,48
Se puede asegurar que la viscosidad 
media es inferior a 14,5 cSt
Caso 3. Test asintótico para m. Cualquier distribución, n grande
Rechazo H0 si:
Estadístico: 
Región crítica:
za
A: Ho: m  m0 T > za
Ha: m > m0
-za
B: Ho: m  m0 T < -za
Ha: m < m0
-za/2 za/2
C: Ho: m = m0 T > za/2
Ha: m  m0
𝑇 =
ത𝑋 − 𝜇0
Τ𝑠 𝑛
Caso 4: Test para 𝑝, 𝑋 ~𝐵𝑖(𝑛, 𝑝)
Una empresa proveedora de internet afirma en su publicidad que al menos el 70% de
sus usuarios están conformes o muy conformes con el servicio que brindan. Una
encuesta reciente reveló que, de un total de 450 usuarios, 280 están conformes o muy
conformes, y el resto está disconforme
¿Es suficiente esta información para refutar lo afirmado por la empresa?
𝐻0: p ≥ 0,7
𝐻1: p < 0,7 
Solución:
Buscamos refutar la afirmación, o sea, buscamos confirmar que la afirmación es falsa:
En otras palabras, buscamos confirmar que p < 0,7
Ƹ𝑝 =
𝑋
𝑛
Partimos de un estimador de p
Y construimos una distribución aproximada
𝑍 =
Ƹ𝑝 − 0,7
0,7 ∙ (1 − 0,7)
𝑛
~𝑁 0,1 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. )
El enunciado del problema no nos da el nivel deseado del test. Lo ponemos nosotros. 
Por ejemplo, a = 0,05. za = -1,65. Entonces, la condición de rechazo es:
𝑍 =
Ƹ𝑝 − 0,7
0,7 ∙ (1 − 0,7)
𝑛
= −3,6
Rechazo Ho si 𝑍 < −𝑧𝛼
Como -3,6 < -1,65
Puedo rechazar Ho. Tengo evidencia 
de que la publicidad es falsa
Caso 4 Test asintótico para p, distribución binomial
Rechazo Ho si:
Estadístico 𝑍 =
ො𝑝−𝑝0
𝑝0 1−𝑝0
𝑛
; Ƹ𝑝 =
𝑥
𝑛
A: Ho: p  p0 Z > za
Ha: p > p0
B: Ho: p ≥ p0 Z < -za
Ha: p < p0
Región crítica:
za
-za
Test para varianza / desviación estándar: La repetibilidad (precisión) de un método 
de medición de pH debe cumplir s < 0,15 
Con un instrumento se mide 12 veces una solución químicamente homogénea, 
obteniendo una desviación estándar muestral s = 0,105
¿Es posible asegurar que la precisión del instrumento es la adecuada, al nivel a = 0,1?
Las hipótesis son ቊ
𝐻0: 𝜎 ≥ 0,15
𝐻1: 𝜎 < 0,15
El criterio de rechazo debe ser: Rechazo Ho si s < vc
En el ejemplo, 𝐶 = 12 − 1
0,1052
0,152
= 5,39
0,1,11
2 = 5,58 
Lo cual es equivalente a (aplico propiedad de 2): 𝐶 = 𝑛 − 1
𝑠2
𝜎0
2 < 0,1,11
2
0,1,11
2
Se cumple que: 𝐶 < 0,1,11
2 (5,39 < 5,58) 
Por lo tanto, puedo asegurar que el instrumento es lo suficientemente repetible 
Caso 5 Test para varianza, distribución normal
Estadístico
𝐶 = 𝑛 − 1
𝑠2
𝜎2
Rechazo H0 si: Región crítica:
A: Ho: s  s0 C > 
2
1a, n-1
Ha: s > s0 
B: Ho: s ≥ s0 C < 
2
a, n-1
Ha: s < s0 
21a, n-1
2a, n-1
a
a
Valores críticos de la distribución 2
Coeficientes que dejan a la izquierda un área igual a a
grados de 
libertad
a
0,001 0,005 0,01 0,05 0,1 0,9 0,95 0,99 0,995 0,999
1 1,6E-06 3,9E-05 0,0002 0,004 0,02 2,71 3,84 6,63 7,88 10,83
2 0,002 0,01 0,02 0,10 0,21 4,61 5,99 9,21 10,60 13,82
3 0,02 0,07 0,11 0,35 0,58 6,25 7,81 11,34 12,84 16,27
4 0,09 0,21 0,30 0,71 1,06 7,78 9,49 13,28 14,86 18,47
5 0,21 0,41 0,55 1,15 1,61 9,24 11,07 15,09 16,75 20,52
6 0,38 0,68 0,87 1,64 2,20 10,64 12,59 16,81 18,55 22,46
7 0,60 0,99 1,24 2,17 2,83 12,02 14,07 18,48 20,28 24,32
8 0,86 1,34 1,65 2,73 3,49 13,36 15,51 20,09 21,95 26,12
9 1,15 1,73 2,09 3,33 4,17 14,68 16,92 21,67 23,59 27,88
10 1,48 2,16 2,56 3,94 4,87 15,99 18,31 23,21 25,19 29,59
11 1,83 2,60 3,05 4,57 5,58 17,28 19,68 24,72 26,76 31,26
12 2,21 3,07 3,57 5,23 6,30 18,55 21,03 26,22 28,30 32,91
13 2,62 3,57 4,11 5,89 7,04 19,81 22,36 27,69 29,82 34,53
14 3,04 4,07 4,66 6,57 7,79 21,06 23,68 29,14 31,32 36,12
15 3,48 4,60 5,23 7,26 8,55 22,31 25,00 30,58 32,80 37,70
16 3,94 5,14 5,81 7,96 9,31 23,54 26,30 32,00 34,27 39,25
17 4,42 5,70 6,41 8,67 10,09 24,77 27,59 33,41 35,72 40,79
18 4,90 6,26 7,01 9,39 10,86 25,99 28,87 34,81 37,16 42,31
19 5,41 6,84 7,63 10,12 11,65 27,20 30,14 36,19 38,58 43,82
20 5,92 7,43 8,26 10,85 12,44 28,41 31,41 37,57 40,00 45,31
21 6,45 8,03 8,90 11,59 13,24 29,62 32,67 38,93 41,40 46,80
22 6,98 8,64 9,54 12,34 14,04 30,81 33,92 40,29 42,80 48,27
23 7,53 9,26 10,20 13,09 14,85 32,01 35,17 41,64 44,18 49,73
24 8,08 9,89 10,86 13,85 15,66 33,20 36,42 42,98 45,56 51,18
25 8,65 10,52 11,52 14,61 16,47 34,38 37,65 44,31 46,93 52,62
26 9,22 11,16 12,20 15,38 17,29 35,56 38,89 45,64 48,29 54,05
27 9,80 11,81 12,88 16,15 18,11 36,74 40,11 46,96 49,64 55,48
28 10,39 12,46 13,56 16,93 18,94 37,92 41,34 48,28 50,99 56,89
29 10,99 13,12 14,26 17,71 19,77 39,09 42,56 49,59 52,34 58,30
30 11,59 13,79 14,95 18,49 20,60 40,26 43,77 50,89 53,67 59,70
Atención!: La distribución 2 es siempre 
positiva y no es simétrica 
(no hay relación visible entre el coeficiente 
para a = 0,01 y elcoeficiente para a = 0,99)
21a, n-1
2a, n-1
a
a
En Excel: =INV.CHICUAD(a;gl)