Normal Bivariada

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Distribución normal bivariada
(X, Y ) tiene distribución normal bivariada de parámetros µX , µY , σ
2
X , σ
2
Y , ρ si su función de den-
sidad es
fXY (x, y) =
1
2πσXσY
√
1− ρ2
e
− 1
2(1−ρ2)
(
(x−µX )
2
σ2
X
+
(y−µY )
2
σ2
Y
− 2ρ(x−µX )(y−µY )
σXσY
)
(1)
para (x, y) ∈ R2. El parámetro ρ es el coeficiente de correlación de X e Y tal que
ρ =
cov(X, Y )
σXσY
(2)
Completando cuadrados en (1) y reordenando elementos, la densidad conjunta puede escribirse:
fXY (x, y) =
1√
2πσX
e
− 1
2
(
x−µX
σX
)2
1
√
2πσY
√
1− ρ2
e
− 1
2
( y−µY − ρσYσX (x−µX )
σY
√
1−ρ2
)2
= fX(x)fY |X=x(y) (3)
o también
fXY (x, y) =
1√
2πσY
e
− 1
2
(
y−µY
σY
)2
1
√
2πσX
√
1− ρ2
e
− 1
2
(x−µX− ρσXσY (y−µY )
σX
√
1−ρ2
)2
= fY (y)fX|Y=y(x) (4)
De (3) y (4) se deducen
1. Las distribuciones marginales son normales:
X ∼ N (µX , σ2X) Y ∼ N (µY , σ2Y ) (5)
2. Las distribuciones condicionales son normales y las funciones de regresión coinciden con las
rectas de regresión:
X|Y = y ∼ N
(
µX +
ρσX
σY
(y − µY ), σ2X(1− ρ2)
)
(6)
Y |X = x ∼ N
(
µY +
ρσY
σX
(x− µX), σ2Y (1− ρ2)
)
(7)
E[X|Y = y] = µX +
ρσX
σY
(y − µY ) = µX +
cov(X, Y )
σ2Y
(y − µY ) (8)
E[Y |X = x] = µY +
ρσY
σX
(x− µX) = µY +
cov(X, Y )
σ2X
(x− µX) (9)