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PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.06-81.09) Evaluación Integradora Primer cuatrimestre – 2016 Duración: 4 horas. 30/VI/16 –9:00 hs. Curso: Apellido y Nombres: Padrón: 1. Sea X una variable aleatoria con función densidad 2x1{0 ≤ x ≤ 1}. Sabiendo que la suma de los primeros dos d́ıgitos decimales de X es 3, calcular la probabilidad de que el primer d́ıgito de X sea 2. 2. El juego completo de ocho ruedas de un par de patines profesionales debe cambiarse cuando alguna de las ruedas presenta deterioro. La duración de cada rueda obedece a una distribución exponencial de media mil horas, y las diversas duraciones son ndependientes. Calcular el tiempo medio de uso de dos juegos completos de ruedas si se sabe que el primero duró más de cien horas. 3. Juan y Maŕıa lanzan monedas simultáneamente hasta obtener en un tiro dos resultados iguales. Si los dos obtienen cara gana Juan; si ambos obtienen ceca gana Maŕıa. La moneda de Juan es equilibrada, pero la moneda de Maŕıa tiene probabilidad 1/3 de cara. Calcular la probabilidad de que Maŕıa gane el juego. 4. Los accidentes de tránsito en la intersección de Paseo Colón y Estados Unidos ocurren de acuerdo con un proceso de Poisson. Se sabe que durante el 2015 ocurrieron 365 accidentes. Estimar la probabilidad de que el 12 agosto de 2015 hayan ocurrido al menos 2 accidentes. 5. El gasto mensual del matrimonio Gaĺındez obedece a una distribución normal de media 15.000 pesos y varianza 500. Suponiendo que no hay incrementos de precios durante todo el año y que los gastos mensuales son independientes. ¿Cuál debeŕıa ser el salario mensual del matrimonio Gaĺındez para tener una seguridad del 99% de que durante todo el año no gastarán más de lo que cobran? PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.09-81.04) Evaluación Integradora Primer cuatrimestre – 2016 Duración: 4 horas. 30/VI/16 –9:00 hs. Curso: Apellido y Nombres: Padrón: 1. Sea X una variable aleatoria con función densidad 2x1{0 ≤ x ≤ 1}. Sabiendo que la suma de los primeros dos d́ıgitos decimales de X es 3, calcular la probabilidad de que el primer d́ıgito de X sea 2. 2. El juego completo de ocho ruedas de un par de patines profesionales debe cambiarse cuando alguna de las ruedas presenta deterioro. La duración de cada rueda obedece a una distribución exponencial de media mil horas, y las diversas duraciones son ndependientes. Calcular el tiempo medio de uso de dos juegos completos de ruedas si se sabe que el primero duró más de cien horas. 3. Sean X e Y dos variables aleatorias con densidad conjunta fX,Y (x, y) = e − ( x 2 2 + y x ) 1{x > 0, y > 0}. Calcular P(E[Y |X] > 1). 4. En una urna hay, entre blancas y negras, un total de 8 bolas. Se extraen 5 bolas sin reposición y se observan 3 bolas negras y 2 blancas. En base a la información muestral estimar por máxima verosimilitud la probabilidad de que al extraer otra bola al azar sea negra. 5. El 50% de los bits emitidos por un canal de comunicación binario son 1. El receptor indica que hay un 1 cuando efectivamente se ha enviado un 1 con probabilidad p e indica que hay un 0 cuando efectivamente se ha enviado un 0 con probabilidad 6/10. Cuántos bits deberán emitirse para que sea posible construir un intervalo de confianza de nivel 0.95 para p cuya longitud sea menor que 0.01.
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