Ejercicio continuidad-diferenciabilidad

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EJERCICIO DE CONTINUIDAD - DIFERENCIABILIDAD
1. Dar un posible valor para ĺım
(x,y)→(0,0)
(
π +
x3
x2 + y4
)
y demostrarlo.
2. Consideremos la función f(x, y) = cos
(
π +
x3
x2 + y4
)
. Hallar ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) .
3. Siendo f la función del inciso anterior, se define ahora
g(x, y) =
{
f(x, y) si y 6= 0
a si y = 0
.
Hallar el valor adecuado de a para que g sea continua en (0, 0). Para ese valor de a, analizar la
continuidad de g en todo su dominio. No hace falta de demostrar ningún ĺımite por definición.
4. a) Siempre para el mismo valor de a, analizar si g es diferenciable en los puntos (π, 0) y (1, 1).
b) Analizar si g admite plano tangente en los puntos (π, 0) y (1, 1).
RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO
1. Dar un posible valor para ĺım
(x,y)→(0,0)
(
π +
x3
x2 + y4
)
y demostrarlo.
Buscamos un candidato. Por ejemplo, podemos acercarnos por las rectas y = 0 y x = 0 (si bien con
un solo camino séıa suficiente, calculemos dos para estar seguros de no habernos equivocado en las
cuentas).
Por la recta y = 0 tendremos: ĺım
x→0
(
π +
x3
x2 + 04
)
= ĺım
x→0
(π + x) = π .
Por la recta x = 0 tendremos: ĺım
y→0
(
π +
03
02 + y4
)
= ĺım
y→0
π = π .
Probémoslo ahora por definición: Sea ε > 0. Buscamos δ(ε) > 0 tal que
si 0 < ‖(x, y)− (0, 0)‖ < δ, entonces
∣∣∣∣π + x3x2 + y4 − π
∣∣∣∣ < ε.
Sea ε > 0. ∣∣∣∣π + x3x2 + y4 − π
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ x3x2 + y4
∣∣∣∣ = x2x2+y4︸ ︷︷ ︸
≤ 1,pues
x2 ≤ x2 + y4
|x| ≤ |x| ≤
√
x2 + y2 < δ ≤ ε
Luego, tomando δ = ε (o cualquiera menor) se garantiza que si 0 < ‖(x, y) − (0, 0)‖ < δ, entonces∣∣∣π + x3x2+y4 − π∣∣∣ < ε, lo que demuestra el ĺıımite pedido.
Otra opción seŕıa utilizar el lema del sandwich: Repitiendo el razonamiento anterior, arribamos a que:
0 ≤
∣∣∣∣π + x3x2 + y4 − π
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ x3x2 + y4
∣∣∣∣ ≤ |x|
Llamando f(x, y) = 0 y g(x, y) = |x|, es claro que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = 0
con lo que queda demostrado que
ĺım
(x,y)→(0,0)
∣∣∣∣π + x3x2 + y4 − π
∣∣∣∣ = 0, que es equivalente a ĺım(x,y)→(0,0)π + x3x2 + y4 = π
1
2. Consideremos la función f(x, y) = cos
(
π +
x3
x2 + y4
)
. Hallar ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) .
Como g(u) = cos(u) es continua para todo u ∈ R, se tiene que
ĺım
(x,y)→(0,0)
cos
(
π +
x3
x2 + y4
)
︸ ︷︷ ︸
→π por ej. 1
= cosπ = −1
3. Siendo f la función del inciso anterior, se define ahora
g(x, y) =
{
f(x, y) si y 6= 0
a si y = 0
.
Hallar el valor adecuado de a para que g sea continua en (0, 0). Para ese valor de a, analizar
la continuidad de g en todo su dominio. No hace falta de demostrar ningún ĺımite por
definición.
(a) Analicemos ĺım
(x,y)→(0,0)
g(x, y). En todo entorno de (0, 0) hay puntos (x, y) con y = 0 ó con y 6= 0.
Veamos los dos casos entonces:
si y 6= 0, ĺım
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = −1, por el ejercicio 2
si y = 0, ĺım
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = ĺım
(x,0)→(0,0)
a = a.
Para que exista el ĺımite (que debe ser único), −1 = a (no lo probamos porque lo dice el ejercicio)
Además, g(0, 0) = a (porque y = 0). Luego se verifica que ĺım
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = −1 = a = g(0, 0) y por
lo tanto g es continua en (0,0).
(b) Continuidad en (x, y), con y 6= 0:
Como el conjunto A = {(x, y) : y 6= 0} es abierto, se pueden usar las reglas de continuidad, ya que
todo punto tiene un entorno contenido en A, donde g(x, y) = f(x, y) = cos
(
π +
x3
x2 + y4
)
, que es
una composición entre la función π +
x3
x2 + y4
(continua por ser suma de constante y un cociente de
polinomios con denominador no nulo en A) y la función cosu (continua para todo u ∈ R).
(c) Continuidad en (x0, 0), con x0 6= 0:
Sea x0 6= 0 y veamos el ĺım
(x,y)→(x0,0)
g(x, y). En todo entorno de (x0, 0) hay puntos (x, y) con y = 0 ó
con y 6= 0. Estudiemos los dos casos entonces:
si y 6= 0, ĺım
(x,y)→(x0,0)
g(x, y) = ĺım
(x,y)→(x0,0)
cos
(
π +
x3
x2 + y4
)
= cos
(
π +
x30
x20
)
= cos(π + x0)
si y = 0, ĺım
(x,y)→(x0,0)
g(x, y) = ĺım
(x,0)→(x0,0)
−1 = −1.
Entonces debe ser cos(π + x0) = −1, ⇒ π + x0 = (2k + 1)π ⇒ x0 = 2kπ, k ∈ Z.
Además g(2kπ, 0) = −1 (pues y = 0). Luego:
en los puntos (2kπ, 0), k ∈ Z, g es continua, ya que ĺım
(x,y)→(x0,0)
g(x, y) = −1 = g(x0, 0)
en los puntos (x0, 0), x0 6= 2kπ no existe ĺım
(x,y)→(x0,0)
g(x, y) y, por lo tanto, g no es continua.
4. a) Siempre para el mismo valor de a, analizar si g es diferenciable en los puntos (π, 0) y
(1, 1).
En (π, 0) la función g no es continua (visto en el ejercicio anterior). Por lo tanto no es diferenciable
en dicho punto.
2
Si una función es diferenciable en P0, entonces es continua en P0.
Por el contrarećıproco, si una función no es continua en P0, no puede ser diferenciable en P0.
En (1, 1), como existe un entorno totalmente contenido en A (por ser abierto), donde g(x, y) =
f(x, y) = cos
(
π +
x3
x2 + y4
)
, se puede utilizar las propiedades de diferenciabilidad (igual que
en el ejercicio anterior para la continuidad) para afirmar que g es diferenciable en (1,1) por ser
una composición entre la función h(x, y) = π +
x3
x2 + y4
(diferenciable en (1,1) por ser suma de
constante y un cociente de polinomios con denominador no nulo) y la función cosu (derivable
para todo u ∈ R, en particular en h(1, 1) = π + 12 ).
b) Analizar si g admite plano tangente en los puntos (π, 0) y (1, 1).
Recordemos que la existencia de plano tangente a la gráfica de una función en un punto (a, b, g(a, b))
es equivalente a que la función g sea diferenciable en (a, b).
Entonces, como g no es diferenciable en (π, 0), no admite plano tangente en dicho punto.
En cambio, en el punto (1,1) la función admite plano tangente por ser diferenciable. La ecuación
de dicho plano puede obtenerse como
y = g(1, 1) +
∂g
∂x
(1, 1)(x− 1) + ∂g
∂y
(1, 1)(1, 1),
donde
∂g
∂x
(1, 1) =
∂f
∂x
(1, 1) y
∂g
∂y
(1, 1) =
∂f
∂y
(1, 1), ya que (1, 1) ∈ A (que es un conjunto abierto
y por lo tanto pueden utilizarse las reglas de derivación)
3