1- Ejemplo TFI_

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Ejercicio de aplicación del Teorema de Función Impĺı cita
- Consideremos las superficies x2 + 3yz + z4 = 7 y sen(xz) + y2 + 2z = 6. Llamemos C a la curva
intersección entre ambas superficies.
a) Probar que es posible definir una parametrización r(y) de la curva C, de clase C1 en la cercańıa del
punto (x0, y0, z0) = (0, 2, 1).
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto (0, 2, 1).
Llamemos F (x, y, z) = x2 + 3yz + z4 − 7 y G(x, y, z) = sen(xz) + y2 + 2z − 6.
Reinterpretemos al enunciado. Si C es la curva intersección entre ambas superficies, estamos pensando en
puntos (x, y, z) que verifican simultáneamente{
F (x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0
Además, el punto (x0, y0, z0) = (0, 2, 1) debe estar en la curva, es decir, verificar F (0, 2, 1) = 0 y G(0, 2, 1) = 0.
El Teormea de la Función Impĺıcita nos puede ayudar a ver si, en este caso, podemos despejar x y z como
función de y.
Veamos entonces si estamos en las condiciones del Teorema de la Función Impĺıcita:
F y G son funciones de clase C1 en un entorno de (0, 2, 1): F es un polinomio, y G una suma de un
polinomio y la composición de la función seno con xz. Luego son de clase C1 en realidad de R3, en
particular en cualquier entorno del punto (0, 2, 1).
Observación: dependiendo de las funciones involucradas, es posible que la función sea C1 solamente
en un entorno del punto; es importante aclararlo. Si sólo escribimos ”F es C1”, se interpreta que la
función es C1 en todo su dominio
F (0, 2, 1) = 0 y G(0, 2, 1) = 0: lo comprobamos haciendo las cuentas.
Por último, como queremos que y sea la variable independiente, tenemos que verificar que el determi-
nante de la submatriz jacobiana de (F,G) respecto de (x, z) sea no nulo.
∂(F,G)
∂(x, y, z)
(0, 2, 1) =

∂F
∂x
∂F
∂y
∂F
∂z
∂G
∂x
∂G
∂x
∂G
∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(0,2,1)
=
 2x 3z 3y + 4z3
z cos(xz) 2y x cos(xz) + 2
∣∣∣∣∣∣
(0,2,1)
Entonces
det
∂(F,G)
∂(x, z)
(0, 2, 1) =
∣∣∣∣ 0 101 2
∣∣∣∣ = −10 6= 0
Luego, el Teorema de la Función Impĺıcita garantiza que:
Existe un entorno U de y0 = 2 y un entorno V de (x0, z0) = (0, 1) de modo que se puede definir a
x = x(y) y z = z(y), ambas de clase C1(U), que cumplen que{
F (x(y), y, z(y)) = 0
G(x(y), y, z(y)) = 0
en el entorno U .
Pensando en la curva C, lo que obtuvimos es una parametrización de un trozo de la misma, de la forma
r(y) = (x(y), y, z(y)) definida en el entorno U de clase C1(U) tal que r(2) = (0, 2, 1).
Para la segunda parte, si nos piden la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto P0 = (0, 2, 1),
necesitaremos un punto (lo tenemos, es P0), y un vector director a la recta, que puede estar dado por r
′(2).
Pero r′(y) = (x′(y), 1, z′(y)).
Entonces tenemos que calcular x′(2) y z′(2), usando regla de la cadena (o recordando la forma de las derivadas
para este caso particular del Teorema de la Función Impĺıcita)
Como F (x(y), y, z(y)) = 0, derivando respecto de y tendremos que (usando ya el punto (0, 2, 1) e y0 = 2)
d
dy
(F (x(y), y, z(y))) |y0=2 =
∂F
∂x
(0, 2, 1)x′(2) +
∂F
∂y
(0, 2, 1) +
∂F
∂z
(0, 2, 1)z′(2) = 0
De la misma manera, como G(x(y), y, z(y)) = 0, derivando respecto de y tendremos que (usando ya el punto
(0, 2, 1) e y0 = 2)
d
dy
(G(x(y), y, z(y))) |y0=2 =
∂G
∂x
(0, 2, 1)x′(2) +
∂G
∂y
(0, 2, 1) +
∂G
∂z
(0, 2, 1)z′(2) = 0
Reemplazando los valores de las derivadas parciales, queda un sistema lineal de 2× 2: 3 + 10z
′(2) = 0
x′(2) + 4 + 2z′(2) = 0
→
 z
′(2) = − 310
x′(2) = −4− 2z′(2) = − 145
Finalmente la ecuación (paramétrica) de la recta tangente a la curva C en el punto P0 = (0, 2, 1) es
P − P0 = tr′(2), t ∈ R
o sea, x = −
3
10 t
y = 2 + t
z = 1− 145 t