AMII_Integrales_conocidas

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Repaso de Integrales Indefinidas de AMI
Análisis Matemático II (Ciencias)
1. Sea n ∈ N. Entonces,
∫
senn (x) dx =

− cos (x) + c si n = 1 ,
−sen
n−1(x) · cos (x)
n
+
n− 1
n
∫
senn−2 (x) dx si n ≥ 2 ,
donde c ∈ R.
2. Sean n ∈ N, m ∈ N. Entonces,∫
senn (x) · cosm (x) dx =
=

−cos
m+1 (x)
m+ 1
+ c si n = 1 ,
senn+1 (x)
n+ 1
+ c si m = 1 ,
−sen
n−1(x) · cosm+1 (x)
m+ n
+
n− 1
m+ n
∫
senn−2 (x) · cosm (x) dx si n ≥ 2 y m es par,
senn+1(x) · cosm−1 (x)
m+ n
+
m− 1
m+ n
∫
senn (x) · cosm−2 (x) dx si n≥2 y m es impar,con m≥3 .
3. Sean a ∈ R, b ∈ R. Entonces,∫
dx
a2 + (bx)2
=
1
ab
· arc tg
(
bx
a
)
+ c ,
donde c ∈ R.
4. Sean a ∈ R, a > 0, y b ∈ R. Entonces,∫
dx√
a2 − (bx)2
=
1
b
· arc sen
(
bx
a
)
+ c ,
donde c ∈ R.
5. Sea a ∈ R, a > 0. Entonces,∫ √
a2 + x2 dx =
x ·
√
a2 + x2
2
+
a2
2
ln
(
x+
√
a2 + x2
)
+ c ,
donde c ∈ R.
1
6. Sea a ∈ R, a > 0. Entonces,∫ √
a2 − x2 dx = x ·
√
a2 − x2
2
+
a2
2
· arc sen
(x
a
)
+ c ,
donde c ∈ R.
Demostración. Veamos algunas ideas para demostrar cada item:
1. Para n = 1, es por definición.
Para n ≥ 2, observemos que demostrar la igualdad∫
senn (x) dx = −sen
n−1(x) · cos (x)
n
+
n− 1
n
∫
senn−2 (x) dx+ c (0.1)
equivale a demostrar
n
∫
senn (x) dx = − senn−1(x) · cos (x) + (n− 1)
∫
senn−2 (x) dx+ c .
Entonces, planteamos
n
∫
senn (x) dx = n
∫
senn−1 (x) · sen (x) dx ,
y aplicamos el método de Integración por Partes.
2. Veamos los cuatro casos:
Para n = 1, ∫
senn (x) · cosm (x) dx =
∫
sen (x) · cosm (x) dx
se resuelve haciendo una sustitución.
Para m = 1, ∫
senn (x) · cosm (x) dx =
∫
senn (x) · cos (x) dx
y también se resuelve haciendo una sustitución (diferente a la anterior).
Si n ≥ 2 y m es par, observemos que la igualdad∫
senn (x)·cosm (x) dx = −sen
n−1(x) · cosm+1 (x)
m+ n
+
n− 1
m+ n
∫
senn−2 (x)·cosm (x) dx (0.2)
es una generalización de lo demostrado en el item 1. (ya que podemos considerar que la
igualdad (0.1) es (0.2) para m = 0), y se demuestra de forma muy similar.
2
Si n ≥ 2 y m es un natural impar mayor o igual que 3, observemos la igualdad∫
senn (x) · cosm (x) dx = sen
n+1(x) · cosm−1 (x)
m+ n
+
m− 1
m+ n
∫
senn (x) · cosm−2 (x) dx
equivale a demostrar
(m+ n)
∫
senn (x)·cosm (x) dx = senn+1(x)·cosm−1 (x)+(m− 1)
∫
senn (x)·cosm−2 (x) dx .
Entonces, planteamos
(m+ n)
∫
senn (x) · cosm (x) dx = (m+ n)
∫
cosm−1 (x) · senn (x) · cos (x) dx ,
y aplicamos el método de Integración por Partes.
3. Dados a ∈ R y b ∈ R, observemos que∫
dx
a2 + (bx)2
=
∫
dx
a2
(
1 +
(
bx
a
)2) = 1a2
∫
dx
1 +
(
bx
a
)2 ,
y se resuelve aplicando una sustitución.
4. Dados a ∈ R, a > 0, y b ∈ R, observemos que∫
dx√
a2 − (bx)2
=
∫
dx√
a2
(
1−
(
bx
a
)2) a>0= 1a
∫
dx√
1−
(
bx
a
)2 ,
y se resuelve aplicando una sustitución.
5. Sea a ∈ R, a > 0.
Observemos que podemos escribir:∫ √
a2 + x2 dx =
∫
1 ·
√
a2 + x2 dx ,
y aquí aplicamos partes, obteniendo:∫ √
a2 + x2 dx = x ·
√
a2 + x2 −
∫
x2√
a2 + x2
dx .
Luego, resolvemos vía una sustitución hiperbólica, teniendo en cuenta que:
∀u ∈ R : cosh2(u)− senh2(u) = 1 ,
∀u ∈ R : cosh2(u) + senh2(u) = cosh(2u),
3
si definimos v = senh(u), entonces por la definición del seno hiperbólico, tenemos que:
v =
eu − e−u
2
=
eu − e−u
2
· e
u
eu
=
(eu)2 − 1
2eu
=⇒ v · 2eu = (eu)2 − 1
=⇒ u = ln
(
v +
√
v2 + 1
)
.
6. Sea a ∈ R, a > 0.
Observemos que podemos escribir:∫ √
a2 − x2 dx =
∫
1 ·
√
a2 − x2 dx ,
y aquí aplicamos partes, obteniendo:∫ √
a2 − x2 dx = x ·
√
a2 − x2 +
∫
x2√
a2 − x2
dx (0.3)
= x ·
√
a2 − x2 −
∫ (−x2)
√
a2 − x2
dx
= x ·
√
a2 − x2 −
∫ (
a2 − x2
)
− a2
√
a2 − x2
dx
= x ·
√
a2 − x2 −
∫ (
a2 − x2
)
√
a2 − x2
dx+
∫
a2√
a2 − x2
dx
= x ·
√
a2 − x2 −
∫ √
a2 − x2 dx+
∫
a2√
a2 − x2
dx . (0.4)
De esto se deduce que:
2
∫ √
a2 − x2 dx = x ·
√
a2 − x2 +
∫
a2√
a2 − x2
dx
= x ·
√
a2 − x2 +
∫
a√
1−
(
x
a
)2 dx ,
es decir, ∫ √
a2 − x2 dx = x ·
√
a2 − x2
2
+
1
2
∫
a√
1−
(
x
a
)2 dx ,
y mediante una sustitución adecuada, concluímos que:∫ √
a2 − x2 dx = x ·
√
a2 − x2
2
+
a2
2
arc sen
(x
a
)
+ c .
Observación 1. En el item 5., también podríamos haber procedido de una forma similar a lo realizado
en (0.3)-(0.4), y recién al final hacer la sustitución necesaria (¿cuál será?).
4