Ejercicios con derivadas

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Ejercicios con derivadas usando analogias de la vida cotidiana
Ejercicio 1: Velocidad de un automóvil
Supongamos que un automóvil se mueve a lo largo de una carretera recta y su posición en
el tiempo está dada por la función x(t) = 2t^2 + 3t + 1, donde x representa la posición en
metros y t representa el tiempo en segundos. Encuentra la velocidad del automóvil en
cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función x(t) para obtener la velocidad v(t). La derivada de 2t^2 es
4t, la derivada de 3t es 3, y la derivada de 1 es 0. Por lo tanto, la velocidad v(t) es igual a
4t + 3.
Analogía: Imagina que estás conduciendo un automóvil y quieres saber qué tan rápido
estás yendo en cualquier momento. La velocidad del automóvil en cualquier instante se
puede obtener tomando la derivada de la función que describe tu posición en función del
tiempo.
Ejercicio 2: Tasa de cambio de temperatura
Supongamos que la temperatura de una taza de café disminuye con el tiempo según la
función T(t) = 50e^(-0.1t), donde T representa la temperatura en grados Celsius y t
representa el tiempo en minutos. Encuentra la tasa de cambio de temperatura en cualquier
instante.
Paso 1: Derivamos la función T(t) para obtener la tasa de cambio de temperatura. La
derivada de 50e^(-0.1t) es -5e^(-0.1t). Por lo tanto, la tasa de cambio de temperatura es
igual a -5e^(-0.1t).
Analogía: Imagina que tienes una taza de café caliente y quieres saber cómo está
cambiando su temperatura en cualquier momento. La tasa de cambio de temperatura en
cualquier instante se puede obtener tomando la derivada de la función que describe la
temperatura en función del tiempo.
Ejercicio 3: Crecimiento de una población
Supongamos que la población de una ciudad está creciendo según la función P(t) =
1000e^(0.05t), donde P representa la población y t representa el tiempo en años.
Encuentra la tasa de crecimiento de la población en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función P(t) para obtener la tasa de crecimiento de la población. La
derivada de 1000e^(0.05t) es 50e^(0.05t). Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la
población es igual a 50e^(0.05t).
Analogía: Imagina que estás estudiando el crecimiento de una población y quieres saber
cómo está cambiando en cualquier momento. La tasa de crecimiento de la población en
cualquier instante se puede obtener tomando la derivada de la función que describe la
población en función del tiempo.
Ejercicio 4: Velocidad de un ciclista
Supongamos que un ciclista se mueve a lo largo de una pista circular y su posición en el
tiempo está dada por la función x(t) = 2cos(t), donde x representa la posición en metros y
t representa el tiempo en segundos. Encuentra la velocidad del ciclista en cualquier
instante.
Paso 1: Derivamos la función x(t) para obtener la velocidad v(t). La derivada de 2cos(t)
es -2sin(t). Por lo tanto, la velocidad v(t) es igual a -2sin(t).
Analogía: Imagina que estás montando en bicicleta y quieres saber qué tan rápido estás
yendo en cualquier momento. La velocidad del ciclista en cualquier instante se puede
obtener tomando la derivada de la función que describe tu posición en función del
tiempo.
Ejercicio 5: Crecimiento de una planta
Supongamos que el crecimiento de una planta está modelado por la función h(t) = 5t^3 +
2t^2 + 3t, donde h representa la altura en centímetros y t representa el tiempo en días.
Encuentra la tasa de crecimiento de la planta en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función h(t) para obtener la tasa de crecimiento de la planta. La
derivada de 5t^3 es 15t^2, la derivada de 2t^2 es 4t, y la derivada de 3t es 3. Por lo tanto,
la tasa de crecimiento de la planta es igual a 15t^2 + 4t + 3.
Analogía: Imagina que estás observando el crecimiento de una planta y quieres saber
cómo está cambiando en cualquier momento. La tasa de crecimiento de la planta en
cualquier instante se puede obtener tomando la derivada de la función que describe la
altura en función del tiempo.
Ejercicio 6: Flujo de agua en un grifo
Supongamos que el flujo de agua en un grifo está dado por la función Q(t) = 10t^2 - 4t +
2, donde Q representa el flujo en litros por segundo y t representa el tiempo en segundos.
Encuentra la tasa de cambio del flujo de agua en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función Q(t) para obtener la tasa de cambio del flujo de agua. La
derivada de 10t^2 es 20t, la derivada de -4t es -4, y la derivada de 2 es 0. Por lo tanto, la
tasa de cambio del flujo de agua es igual a 20t - 4.
Analogía: Imagina que estás abriendo o cerrando un grifo y quieres saber cómo está
cambiando el flujo de agua en cualquier momento. La tasa de cambio del flujo de agua en
cualquier instante se puede obtener tomando la derivada de la función que describe el
flujo en función del tiempo.
Ejercicio 7: Velocidad de un corredor
Supongamos que un corredor se mueve a lo largo de una pista recta y su posición en el
tiempo está dada por la función x(t) = 3t^2 + 2t + 1, donde x representa la posición en
metros y t representa el tiempo en segundos. Encuentra la velocidad del corredor en
cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función x(t) para obtener la velocidad v(t). La derivada de 3t^2 es
6t, la derivada de 2t es 2, y la derivada de 1 es 0. Por lo tanto, la velocidad v(t) es igual a
6t + 2.
Analogía: Imagina que estás corriendo en una pista y quieres saber qué tan rápido estás
yendo en cualquier momento. La velocidad del corredor en cualquier instante se puede
obtener tomando la derivada de la función que describe tu posición en función del
tiempo.
Ejercicio 8: Crecimiento de una cuenta bancaria
Supongamos que el saldo de una cuenta bancaria está creciendo según la función S(t) =
1000e^(0.05t), donde S representa el saldo en dólares y t representa el tiempo en años.
Encuentra la tasa de crecimiento del saldo en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función S(t) para obtener la tasa de crecimiento del saldo. La
derivada de 1000e^(0.05t) es 50e^(0.05t). Por lo tanto, la tasa de crecimiento del saldo es
igual a 50e^(0.05t).
Analogía: Imagina que tienes una cuenta bancaria y quieres saber cómo está creciendo tu
saldo en cualquier momento. La tasa de crecimiento del saldo en cualquier instante se
puede obtener tomando la derivada de la función que describe el saldo en función del
tiempo.
Ejercicio 9: Cambio en el nivel de agua en un tanque
Supongamos que el nivel de agua en un tanque está dado por la función h(t) = 10t^3 -
5t^2 + 2t, donde h representa el nivel de agua en metros y t representa el tiempo en
segundos. Encuentra la tasa de cambio del nivel de agua en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función h(t) para obtener la tasa de cambio del nivel de agua. La
derivada de 10t^3 es 30t^2, la derivada de -5t^2 es -10t, y la derivada de 2t es 2. Por lo
tanto, la tasa de cambio del nivel de agua es igual a 30t^2 - 10t + 2.
Analogía: Imagina que estás llenando o vaciando un tanque de agua y quieres saber cómo
está cambiando el nivel de agua en cualquier momento. La tasa de cambio del nivel de
agua en cualquier instante se puede obtener tomando la derivada de la función que
describe el nivel de agua en función del tiempo.
Ejercicio 10: Velocidad de un objeto en caída libre
Supongamos que un objeto cae libremente desde una altura inicial y su posición en el
tiempo está dada por la función h(t) = 4.9t^2, donde h representa la altura en metros y t
representa el tiempo en segundos. Encuentra la velocidad del objeto en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función h(t) para obtener la velocidad v(t). La derivada de 4.9t^2 es
9.8t. Por lo tanto, la velocidad v(t) es igual a 9.8t.
Analogía: Imagina que lanzas un objeto hacia arriba y luego cae libremente. La velocidad
del objeto en cualquier instante se puede obtener tomando la derivada de la función que
describe la altura en función del tiempo.
Ejercicio 11: Tasa de cambio de temperatura enuna habitación
Supongamos que la temperatura en una habitación está disminuyendo según la función
T(t) = 20e^(-0.1t), donde T representa la temperatura en grados Celsius y t representa el
tiempo en minutos. Encuentra la tasa de cambio de temperatura en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función T(t) para obtener la tasa de cambio de temperatura. La
derivada de 20e^(-0.1t) es -2e^(-0.1t). Por lo tanto, la tasa de cambio de temperatura es
igual a -2e^(-0.1t).
Analogía: Imagina que estás en una habitación y la temperatura está disminuyendo. La
tasa de cambio de temperatura en cualquier instante se puede obtener tomando la
derivada de la función que describe la temperatura en función del tiempo.
Ejercicio 12: Crecimiento de una población de bacterias
Supongamos que el crecimiento de una población de bacterias está modelado por la
función P(t) = 1000e^(0.05t), donde P representa la población y t representa el tiempo en
horas. Encuentra la tasa de crecimiento de la población en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función P(t) para obtener la tasa de crecimiento de la población. La
derivada de 1000e^(0.05t) es 50e^(0.05t). Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la
población es igual a 50e^(0.05t).
Analogía: Imagina que estás observando el crecimiento de una población de bacterias en
un cultivo. La tasa de crecimiento de la población en cualquier instante se puede obtener
tomando la derivada de la función que describe la población en función del tiempo.
Ejercicio 13: Velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta y su posición en el
tiempo está dada por la función x(t) = 2t^2 + 3t + 1, donde x representa la posición en
metros y t representa el tiempo en segundos. Encuentra la velocidad del objeto en
cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función x(t) para obtener la velocidad v(t). La derivada de 2t^2 es
4t, la derivada de 3t es 3, y la derivada de 1 es 0. Por lo tanto, la velocidad v(t) es igual a
4t + 3.
Analogía: Imagina que estás caminando a lo largo de una calle recta y quieres saber qué
tan rápido estás yendo en cualquier momento. La velocidad en cualquier instante se
puede obtener tomando la derivada de la función que describe tu posición en función del
tiempo.
Ejercicio 14: Tasa de cambio de temperatura en una habitación
Supongamos que la temperatura en una habitación está disminuyendo según la función
T(t) = 20e^(-0.1t), donde T representa la temperatura en grados Celsius y t representa el
tiempo en minutos. Encuentra la tasa de cambio de temperatura en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función T(t) para obtener la tasa de cambio de temperatura. La
derivada de 20e^(-0.1t) es -2e^(-0.1t). Por lo tanto, la tasa de cambio de temperatura es
igual a -2e^(-0.1t).
Analogía: Imagina que estás en una habitación y la temperatura está disminuyendo. La
tasa de cambio de temperatura en cualquier instante se puede obtener tomando la
derivada de la función que describe la temperatura en función del tiempo.
Ejercicio 15: Crecimiento de una población de bacterias
Supongamos que el crecimiento de una población de bacterias está modelado por la
función P(t) = 1000e^(0.05t), donde P representa la población y t representa el tiempo en
horas. Encuentra la tasa de crecimiento de la población en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función P(t) para obtener la tasa de crecimiento de la población. La
derivada de 1000e^(0.05t) es 50e^(0.05t). Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la
población es igual a 50e^(0.05t).
Analogía: Imagina que estás observando el crecimiento de una población de bacterias en
un cultivo. La tasa de crecimiento de la población en cualquier instante se puede obtener
tomando la derivada de la función que describe la población en función del tiempo.
Ejercicio 16: Velocidad de un automóvil
Supongamos que un automóvil se mueve a lo largo de una carretera recta y su posición en
el tiempo está dada por la función x(t) = 2t^2 + 3t + 1, donde x representa la posición en
metros y t representa el tiempo en segundos. Encuentra la velocidad del automóvil en
cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función x(t) para obtener la velocidad v(t). La derivada de 2t^2 es
4t, la derivada de 3t es 3, y la derivada de 1 es 0. Por lo tanto, la velocidad v(t) es igual a
4t + 3.
Analogía: Imagina que estás conduciendo un automóvil por una carretera y quieres saber
qué tan rápido estás yendo en cualquier momento. La velocidad del automóvil en
cualquier instante se puede obtener tomando la derivada de la función que describe tu
posición en función del tiempo.
Ejercicio 17: Tasa de cambio de temperatura en una habitación
Supongamos que la temperatura en una habitación está disminuyendo según la función
T(t) = 20e^(-0.1t), donde T representa la temperatura en grados Celsius y t representa el
tiempo en minutos. Encuentra la tasa de cambio de temperatura en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función T(t) para obtener la tasa de cambio de temperatura. La
derivada de 20e^(-0.1t) es -2e^(-0.1t). Por lo tanto, la tasa de cambio de temperatura es
igual a -2e^(-0.1t).
Analogía: Imagina que estás en una habitación y la temperatura está disminuyendo. La
tasa de cambio de temperatura en cualquier instante se puede obtener tomando la
derivada de la función que describe la temperatura en función del tiempo.
Ejercicio 18: Crecimiento de una población de bacterias
Supongamos que el crecimiento de una población de bacterias está modelado por la
función P(t) = 1000e^(0.05t), donde P representa la población y t representa el tiempo en
horas. Encuentra la tasa de crecimiento de la población en cualquier instante.
Paso 1: Derivamos la función P(t) para obtener la tasa de crecimiento de la población. La
derivada de 1000e^(0.05t) es 50e^(0.05t). Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la
población es igual a 50e^(0.05t).
Analogía: Imagina que estás estudiando el crecimiento de una población de bacterias en
un cultivo. La tasa de crecimiento de la población en cualquier instante se puede obtener
tomando la derivada de la función que describe la población en función del tiempo.