Ejercicios de la Elipse, Circunferencia e Hiperbola

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Ejercicios de la Elipse, Circunferencia, Hiperbola con analogias de la vida
cotidiana.
Ejercicio 1: Analogía de la elipse
Supongamos que estás en un parque y quieres caminar alrededor de una fuente de
agua. La fuente de agua es redonda y tiene un diámetro de 10 metros. Quieres
trazar una ruta que te mantenga a una distancia constante de la fuente de agua.
¿Cuál es la ecuación de la elipse que describe tu ruta?
Solución:
La ecuación canónica de la elipse es: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la elipse, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x, y
"b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la elipse coincide con el centro de la fuente de agua, por
lo que (h,k) = (0,0).
El semieje mayor "a" es igual a la mitad del diámetro de la fuente de agua, es decir,
a = 10/2 = 5 metros.
El semieje menor "b" también es igual a 5 metros, ya que la elipse es simétrica.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/5² + y²/5² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la elipse que describe tu ruta alrededor de la fuente de
agua es x²/25 + y²/25 = 1.
Ejercicio 2: Analogía de la circunferencia
Imagina que estás en una feria y quieres montar en una rueda de la fortuna. La
rueda de la fortuna tiene un radio de 15 metros y gira a una velocidad constante.
Quieres describir la posición de una persona en la rueda en función del tiempo.
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que describe su posición?
Solución:
La ecuación canónica de la circunferencia es: (x-h)² + (y-k)² = r², donde (h,k) es el
centro de la circunferencia y "r" es el radio.
En este caso, el centro de la circunferencia coincide con el centro de la rueda de la
fortuna, por lo que (h,k) = (0,0).
El radio de la circunferencia es de 15 metros, por lo que r = 15.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x² + y² = 15².
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que describe la posición de una
persona en la rueda de la fortuna es x² + y² = 225.
Ejercicio 3: Analogía de la hipérbola
Supongamos que estás en una playa y quieres construir una sombrilla que te
proporcione sombra en un área específica. Quieres que la sombra tenga forma de
hipérbola y que su eje transversal tenga una longitud de 8 metros, mientras que su
eje conjugado tenga una longitud de 6 metros. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola
que describe la forma de la sombra?
Solución:
La ecuación canónica de la hipérbola es: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la hipérbola, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x,
y "b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la hipérbola puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje transversal "a" es igual a la mitad de la longitud del eje transversal, es
decir, a = 8/2 = 4 metros.
El semieje conjugado "b" es igual a la mitad de la longitud del eje conjugado, es
decir, b = 6/2 = 3 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/4² - y²/3² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola que describe la forma de la sombra de la
sombrilla es x²/16 - y²/9 = 1.
Ejercicio 4: Analogía de la elipse
Imagina que estás en un parque y quieres construir una pista de atletismo ovalada.
Quieres que la pista tenga una longitud de 200 metros en el eje mayor y una
anchura de 100 metros en el eje menor. ¿Cuál es la ecuación de la elipse que
describe la forma de la pista?
Solución:
La ecuación canónica de la elipse es: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la elipse, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x, y
"b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la elipse puede ser cualquier punto, así que supongamos
que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje mayor "a" es igual a la mitad de la longitud de la pista, es decir, a =
200/2 = 100 metros.
El semieje menor "b" es igual a la mitad de la anchura de la pista, es decir, b =
100/2 = 50 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/100² + y²/50² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la elipse que describe la forma de la pista de atletismo
es x²/10000 + y²/2500 = 1.
Ejercicio 5: Analogía de la circunferencia
Supongamos que estás en tu jardín y quieres construir una fuente circular. Quieres
que la fuente tenga un diámetro de 6 metros. ¿Cuál es la ecuación de la
circunferencia que describe la forma de la fuente?
Solución:
La ecuación canónica de la circunferencia es: (x-h)² + (y-k)² = r², donde (h,k) es el
centro de la circunferencia y "r" es el radio.
En este caso, el centro de la circunferencia puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro, es decir, r = 6/2 = 3 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x² + y² = 3².
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que describe la forma de la fuente es
x² + y² = 9.
Ejercicio 6: Analogía de la hipérbola
Imagina que estás en una tienda de muebles y quieres comprar un sofá. Quieres
que el sofá tenga una forma de hipérbola y que su eje transversal tenga una
longitud de 8 pies, mientras que su eje conjugado tenga una longitud de 6 pies.
¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que describe la forma del sofá?
Solución:
La ecuación canónica de la hipérbola es: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la hipérbola, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x,
y "b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la hipérbola puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje transversal "a" es igual a la mitad de la longitud del eje transversal, es
decir, a = 8/2 = 4 pies.
El semieje conjugado "b" es igual a la mitad de la longitud del eje conjugado, es
decir, b = 6/2 = 3 pies.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/4² - y²/3² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola que describe la forma del sofá es x²/16 -
y²/9 = 1.
Ejercicio 7: Analogía de la elipse
Imagina que estás en un parque y quieres construir una pista de patinaje ovalada.
Quieres que la pista tenga una longitud de 100 metros en el eje mayor y una
anchura de 50 metros en el eje menor. ¿Cuál es la ecuación de la elipse que
describe la forma de la pista?
Solución:
La ecuación canónica de la elipse es: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la elipse, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x, y
"b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la elipse puede ser cualquier punto, así que supongamos
que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje mayor "a" es igual a la mitad de la longitud de la pista, es decir, a =
100/2 = 50 metros.
El semieje menor "b" es igual a la mitad de la anchura de la pista, es decir, b = 50/2
= 25 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/50² + y²/25² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la elipse que describe la forma de la pista de patinaje es
x²/2500 + y²/625 = 1.
Ejercicio 8: Analogía de la circunferencia
Supongamos que estás en tu jardín y quieres construir una piscina circular. Quieres
que la piscina tenga un diámetro de 8 metros. ¿Cuál es la ecuación de la
circunferencia que describe la forma de la piscina?
Solución:
La ecuación canónica de la circunferencia es: (x-h)² + (y-k)² = r², donde (h,k) es el
centro de la circunferencia y "r" es el radio.
En este caso, el centro de la circunferencia puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro, es decir,r = 8/2 = 4 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x² + y² = 4².
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que describe la forma de la piscina es
x² + y² = 16.
Ejercicio 9: Analogía de la hipérbola
Imagina que estás en una tienda de electrónicos y quieres comprar un altavoz con
forma de hipérbola. Quieres que el altavoz tenga un eje transversal de 10 pulgadas
y un eje conjugado de 6 pulgadas. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que
describe la forma del altavoz?
Solución:
La ecuación canónica de la hipérbola es: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la hipérbola, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x,
y "b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la hipérbola puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje transversal "a" es igual a la mitad de la longitud del eje transversal, es
decir, a = 10/2 = 5 pulgadas.
El semieje conjugado "b" es igual a la mitad de la longitud del eje conjugado, es
decir, b = 6/2 = 3 pulgadas.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/5² - y²/3² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola que describe la forma del altavoz es x²/25 -
y²/9 = 1.
Ejercicio 10: Analogía de la elipse
Imagina que estás en un parque y quieres construir una pista de atletismo ovalada.
Quieres que la pista tenga una longitud de 200 metros en el eje mayor y una
anchura de 100 metros en el eje menor. ¿Cuál es la ecuación de la elipse que
describe la forma de la pista?
Solución:
La ecuación canónica de la elipse es: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la elipse, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x, y
"b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la elipse puede ser cualquier punto, así que supongamos
que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje mayor "a" es igual a la mitad de la longitud de la pista, es decir, a =
200/2 = 100 metros.
El semieje menor "b" es igual a la mitad de la anchura de la pista, es decir, b =
100/2 = 50 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/100² + y²/50² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la elipse que describe la forma de la pista de atletismo
es x²/10000 + y²/2500 = 1.
Ejercicio 11: Analogía de la circunferencia
Supongamos que estás en tu jardín y quieres construir una piscina circular. Quieres
que la piscina tenga un diámetro de 8 metros. ¿Cuál es la ecuación de la
circunferencia que describe la forma de la piscina?
Solución:
La ecuación canónica de la circunferencia es: (x-h)² + (y-k)² = r², donde (h,k) es el
centro de la circunferencia y "r" es el radio.
En este caso, el centro de la circunferencia puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro, es decir, r = 8/2 = 4 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x² + y² = 4².
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que describe la forma de la piscina es
x² + y² = 16.
Ejercicio 12: Analogía de la hipérbola
Imagina que estás en una tienda de muebles y quieres comprar un sofá con forma
de hipérbola. Quieres que el sofá tenga un eje transversal de 10 pies y un eje
conjugado de 6 pies. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que describe la forma del
sofá?
Solución:
La ecuación canónica de la hipérbola es: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la hipérbola, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x,
y "b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la hipérbola puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje transversal "a" es igual a la mitad de la longitud del eje transversal, es
decir, a = 10/2 = 5 pies.
El semieje conjugado "b" es igual a la mitad de la longitud del eje conjugado, es
decir, b = 6/2 = 3 pies.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/5² - y²/3² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola que describe la forma del sofá es x²/25 -
y²/9 = 1.
Ejercicio 13: Analogía de la elipse
Imagina que estás en un parque y quieres construir una pista de atletismo ovalada.
Quieres que la pista tenga una longitud de 200 metros en el eje mayor y una
anchura de 100 metros en el eje menor. ¿Cuál es la ecuación de la elipse que
describe la forma de la pista?
Solución:
La ecuación canónica de la elipse es: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la elipse, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x, y
"b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la elipse puede ser cualquier punto, así que supongamos
que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje mayor "a" es igual a la mitad de la longitud del eje mayor, es decir, a =
200/2 = 100 metros.
El semieje menor "b" es igual a la mitad de la anchura del eje menor, es decir, b =
100/2 = 50 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/100² + y²/50² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la elipse que describe la forma de la pista de atletismo
es x²/10000 + y²/2500 = 1.
Ejercicio 14: Analogía de la circunferencia
Supongamos que estás en tu jardín y quieres construir una piscina circular. Quieres
que la piscina tenga un diámetro de 8 metros. ¿Cuál es la ecuación de la
circunferencia que describe la forma de la piscina?
Solución:
La ecuación canónica de la circunferencia es: (x-h)² + (y-k)² = r², donde (h,k) es el
centro de la circunferencia y "r" es el radio.
En este caso, el centro de la circunferencia puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro, es decir, r = 8/2 = 4 metros.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x² + y² = 4².
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que describe la forma de la piscina es
x² + y² = 16.
Ejercicio 15: Analogía de la hipérbola
Imagina que estás en una tienda de muebles y quieres comprar un sofá con forma
de hipérbola. Quieres que el sofá tenga un eje transversal de 10 pies y un eje
conjugado de 6 pies. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que describe la forma del
sofá?
Solución:
La ecuación canónica de la hipérbola es: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, donde (h,k) es el
centro de la hipérbola, "a" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje x,
y "b" es la distancia desde el centro hasta el vértice en el eje y.
En este caso, el centro de la hipérbola puede ser cualquier punto, así que
supongamos que (h,k) = (0,0) para simplificar.
El semieje transversal "a" es igual a la mitad de la longitud del eje transversal, es
decir, a = 10/2 = 5 pies.
El semieje conjugado "b" es igual a la mitad de la longitud del eje conjugado, es
decir, b = 6/2 = 3 pies.
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica, obtenemos: x²/5² - y²/3² = 1.
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola que describe la forma del sofá es x²/25 -
y²/9 = 1.