Función de distribución y función de densidad

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Función de distribución y función de densidad.
La función de distribución y la función de densidad son dos conceptos fundamentales en
el estudio de las variables aleatorias. Estas funciones nos permiten describir y analizar el
comportamiento de una variable aleatoria, tanto en el caso discreto como en el caso
continuo.
La función de distribución de una variable aleatoria X, denotada como F(x), es una
función que asigna una probabilidad acumulada a cada valor posible de X. Es decir, para
cualquier valor x, la función de distribución nos da la probabilidad de que X sea menor o
igual a x. Formalmente, se define como:
F(x) = P(X ≤ x)
La función de distribución tiene varias propiedades importantes. Primero, es no
decreciente, lo que significa que a medida que x aumenta, la probabilidad acumulada
también aumenta o se mantiene constante. Segundo, es una función acotada entre 0 y 1,
ya que la probabilidad acumulada siempre está en ese rango. Además, la función de
distribución es continua por la derecha, lo que significa que la probabilidad de que X sea
igual a un valor específico es cero.
En el caso de una variable aleatoria discreta, la función de distribución se llama función
de masa de probabilidad (PMF, por sus siglas en inglés). La PMF asigna una probabilidad
a cada valor posible de la variable aleatoria. Por ejemplo, si X representa el resultado de
lanzar un dado, la PMF nos daría la probabilidad de obtener cada número del 1 al 6.
En el caso de una variable aleatoria continua, la función de distribución se llama función
de densidad de probabilidad (PDF, por sus siglas en inglés). La PDF describe la
probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de un intervalo específico. A
diferencia de la PMF, la PDF no nos da la probabilidad exacta de un valor único, ya que
la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor específico es cero.
En su lugar, la PDF nos da la probabilidad relativa de que la variable aleatoria caiga
dentro de un rango de valores.
La función de densidad de probabilidad tiene varias propiedades importantes. Primero, es
siempre no negativa, lo que significa que la probabilidad relativa de que la variable
aleatoria caiga en un intervalo es mayor o igual a cero. Segundo, la integral de la PDF
sobre todo el rango de valores posibles de la variable aleatoria es igual a 1, lo que
garantiza que la probabilidad total sea igual a 1.
En resumen, la función de distribución y la función de densidad son herramientas
fundamentales en el estudio de las variables aleatorias. Nos permiten describir y analizar
el comportamiento de una variable aleatoria, ya sea discreta o continua, y nos brindan
información sobre las probabilidades asociadas a diferentes valores o rangos de valores.
Estas funciones son esenciales para comprender y modelar la incertidumbre en diversos
fenómenos y tomar decisiones informadas basadas en la probabilidad.