Ejercicios con Funciones II

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Ejercicios con Funciones
Ejercicio 1:
Dada la función f(x) = x^2 - 3x + 2, grafica su gráfica.
Para resolver este ejercicio, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Encontrar los puntos críticos de la función. Estos son los valores de x donde la
pendiente de la función es cero. Para encontrarlos, igualamos la derivada de la función a
cero y resolvemos la ecuación:
f'(x) = 2x - 3 = 0
Resolviendo esta ecuación, encontramos que x = 3/2 es el único punto crítico.
Paso 2: Encontrar los puntos de intersección de la función con los ejes x e y. Para
encontrar los puntos de intersección con el eje x, igualamos la función a cero y
resolvemos la ecuación:
x^2 - 3x + 2 = 0
Resolviendo esta ecuación, encontramos que x = 1 y x = 2 son los puntos de intersección
con el eje x.
Para encontrar el punto de intersección con el eje y, evaluamos la función en x = 0:
f(0) = (0)^2 - 3(0) + 2 = 2
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje y es (0, 2).
Paso 3: Graficar la función. Utilizando los puntos críticos y los puntos de intersección
encontrados, podemos dibujar la gráfica de la función f(x) = x^2 - 3x + 2.
La gráfica de la función se verá como una parábola que abre hacia arriba, pasando por los
puntos (1, 0), (2, 0) y (0, 2), y alcanzando su punto mínimo en el punto (3/2, -1/4).
Ejercicio 2:
Dada la función g(x) = 2cos(x) + 3, grafica su gráfica.
Para resolver este ejercicio, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Observar el comportamiento de la función. La función g(x) = 2cos(x) + 3 es una
función trigonométrica que representa una onda sinusoidal desplazada verticalmente
hacia arriba en 3 unidades.
Paso 2: Encontrar los puntos críticos de la función. En este caso, la función coseno no
tiene puntos críticos, ya que su período es constante.
Paso 3: Encontrar los puntos de intersección de la función con los ejes x e y. Para
encontrar los puntos de intersección con el eje x, igualamos la función a cero y
resolvemos la ecuación:
2cos(x) + 3 = 0
Resolviendo esta ecuación, encontramos que no hay puntos de intersección con el eje x,
ya que la función coseno nunca alcanza el valor de -3.
Para encontrar el punto de intersección con el eje y, evaluamos la función en x = 0:
g(0) = 2cos(0) + 3 = 2 + 3 = 5
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje y es (0, 5).
Paso 4: Graficar la función. Utilizando la información obtenida, podemos dibujar la
gráfica de la función g(x) = 2cos(x) + 3.
La gráfica de la función será una onda sinusoidal desplazada verticalmente hacia arriba
en 3 unidades. El punto de intersección con el eje y es (0, 5).
Ejercicio 3:
Dada la función h(x) = e^x / x, grafica su gráfica.
Para resolver este ejercicio, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Observar el comportamiento de la función. La función h(x) = e^x / x es una
función exponencial dividida por x.
Paso 2: Encontrar los puntos críticos de la función. Para encontrar los puntos críticos,
igualamos la derivada de la función a cero y resolvemos la ecuación:
h'(x) = (e^x * x - e^x) / x^2 = 0
Simplificando la ecuación, obtenemos:
e^x * x - e^x = 0
Factorizando e^x, obtenemos:
e^x (x - 1) = 0
Esto nos da dos posibles puntos críticos: x = 0 y x = 1.
Paso 3: Encontrar los puntos de intersección de la función con los ejes x e y. Para
encontrar los puntos de intersección con el eje x, igualamos la función a cero y
resolvemos la ecuación:
e^x / x = 0
Sin embargo, no hay solución para esta ecuación, ya que el exponencial nunca es igual a
cero.
Para encontrar el punto de intersección con el eje y, evaluamos la función en x = 0:
h(0) = e^0 / 0 = 1 / 0
Sin embargo, la división por cero no está definida, por lo que no hay punto de
intersección con el eje y.
Paso 4: Graficar la función. Utilizando la información obtenida, podemos dibujar la
gráfica de la función h(x) = e^x / x.
La gráfica de la función será una curva que se acerca a cero a medida que x se acerca a
infinito y a medida que x se acerca a cero desde la derecha. La función no está definida
para x = 0, por lo que hay un agujero en la gráfica en ese punto.
Ejercicio 4:
Dada la función f(x) = x^2 - 3x + 2, encuentra los puntos de intersección con los ejes
coordenados.
Para encontrar los puntos de intersección con el eje x, igualamos f(x) a cero:
x^2 - 3x + 2 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos soluciones: x = 1 y x = 2.
Para encontrar el punto de intersección con el eje y, evaluamos f(x) cuando x = 0:
f(0) = (0)^2 - 3(0) + 2 = 2
Por lo tanto, los puntos de intersección con los ejes coordenados son (1, 0), (2, 0) y (0, 2).
Ejercicio 5:
Dada la función g(x) = 2x + 3, encuentra el punto de intersección con el eje y.
El punto de intersección con el eje y se encuentra cuando x = 0. Evaluamos g(x) en x = 0:
g(0) = 2(0) + 3 = 3
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje y es (0, 3).
Ejercicio 6:
Dada la función h(x) = -x^2 + 4x - 3, encuentra el vértice de la parábola.
El vértice de una parábola se encuentra en el punto (h, k), donde h es el valor x del
vértice y k es el valor y del vértice.
Para encontrar el vértice, utilizamos la fórmula h = -b / (2a), donde a, b y c son los
coeficientes de la función cuadrática.
En este caso, a = -1, b = 4 y c = -3. Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:
h = -4 / (2(-1)) = -4 / (-2) = 2
Para encontrar el valor de k, evaluamos h(x) en x = 2:
h(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1
Por lo tanto, el vértice de la parábola es (2, 1).
Ejercicio 7:
Dada la función f(x) = |x|, encuentra los puntos de intersección con los ejes coordenados.
Para encontrar los puntos de intersección con el eje x, igualamos f(x) a cero:
|x| = 0
La única solución para esta ecuación es x = 0.
Para encontrar el punto de intersección con el eje y, evaluamos f(x) cuando x = 0:
f(0) = |0| = 0
Por lo tanto, los puntos de intersección con los ejes coordenados son (0, 0).
Ejercicio 8:
Dada la función g(x) = sqrt(x), encuentra el punto de intersección con el eje y.
El punto de intersección con el eje y se encuentra cuando x = 0. Evaluamos g(x) en x = 0:
g(0) = sqrt(0) = 0
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje y es (0, 0).