distribuciones_de_probabilidad_discretas

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María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
Distribuciones de probabilidad
Variable aleatoria
Función de probabilidad
Función de densidad
Función de distribución acumulada
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
VARIABLE ALEATORIA
Ejemplo: se observa la llegada de tres 
clientes a la ventanilla de un banco para 
realizar un depósito de dinero en efectivo.
 Se supone que el cliente tiene dos 
alternativas: 
• Depósito en caja de ahorro (CA)
• Depósito en cuenta corriente (CC)
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
El diagrama de árbol de probabilidades es:
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3
CA
CC
CA
CC
CA
CC
CA
CC
CA
CC
CA
CC
CA
CC
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
Puntos muestrales Probabil.
(CA, CA, CA)
(CA, CA, CC)
(CA, CC, CA)
(CA, CC, CC)
(CC, CA, CA)
(CC, CA, CC)
(CC, CC, CA)
(CC, CC, CC)
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
Var. Aleat.  X: N° de depósitos en Caja de Ahorros
xi f(xi)= P(X= xi) F(xi)= P(X xi)
0 1/8 1/8
1 3/8 4/8
2 3/8 7/8
3 1/8 8/8
i f(xi)= 1 (xi = 0, …,3) 
[xi , f(xi)] es función de probabilidad de X 
F(xi) es función de distribución acumulada.
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
Ejemplo con tres opciones
Ejemplo: se observa la llegada de tres 
clientes a la ventanilla de un banco para 
realizar un depósito de dinero en efectivo.
 Se supone que el cliente tiene tres 
alternativas: 
• Depósito en caja de ahorro (CA)
• Depósito en cuenta corriente (CC)
• Depósito a plazo fijo (PF)
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
El diagrama de árbol de probabilidades es:
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3
CA
CC
PF
CA
CC
PF
CA
CA
CC
CC
PF
PF
CA
CA
CA
CA
CA
CA
CA
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
PF
PF
PF
PF
PF
PF
PF
CC
CC
CA
CA
PF
PF
Puntos muestrales
(CA, CA, CA)
(CA, CA, CC)
(CA, CA, PF)
………
………
………
( PF,PF, PF)
Prob
1/27
1/27
1/27
………
………
………
1/27
1
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
Var. Aleat.  X: N° de depósitos en Caja de Ahorros
xi f(xi)= P(X= xi) F(xi)= P(X xi)
0 8/27 8/27
1 12/27 20/27
2 6/27 26/27
3 1/27 27/27
f(xi)= 1 (xi = 0, …,3) 
[xi , f(xi)] es función de probabilidad de X 
F(xi) es función de distribución acumulada.
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Valor esperado y varianza de una 
variable aleatoria
Dada una función de probabilidad de una variable 
aleatoria discreta:
 xi : x1 , x2 , x3 , . . . , xk 
f(xi) : f(x1), f(x2), f(x3) , . . . , f(xk)
E(X) = x1f(x1) + x2f(x2) + x3f(x3) + . . . + xkf(xk) = ixif(xi) =  
V(X) = E(x – )2 = i(xi – )2 f(xi) ó V(X) = E(X2) – [E(X)]2
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Ejemplo de aplicación
Retomando el ejemplo de observar tres clientes en un Bco., donde:
Var. Aleat.  X: N° de depósitos en Caja de Ahorros
xi f(xi)=P(X=xi) xi f(xi) (xi)2f(xi) 
0 8/27 0 0
1 12/27 12/27 12/27 
2 6/27 12/27 24/27 
3 1/27 3/27 9/27
 E(X) = 27/27=1 ; E(X2) =45/27 = 1,67 
V(X) = 1,67 – 1 = 0,67 y x = 0,82 ≈ 1
Se espera que, en promedio, de cada 3 clientes 1 deposite 
en Caja de ahorro, con una desviación estándar de 1 cliente.
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 Magister en Estadística Aplicada
Si la variable aleatoria es 
continua…
E(X) = 


dxxfx )(.
Y V(X) = E(X2) – [E(X)]2
Igual que para variable discreta
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Distribuciones de probabilidad 
discretas
• BINOMIAL
• MULTINOMIAL
• HIPERGEOMÉTRICA
• DE POISSON
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Distribución Binomial
Una variable aleatoria binomial se genera 
cuando:
 Se realizan n pruebas independientes
 En cada prueba hay dos resultados 
posibles, mutuamente excluyentes, 
llamados “Éxitos” y “Fracasos”
 En cada prueba es P(éxito) = p y
 P(fracaso) = 1 – p = q
Ambas probabilidades son constantes
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 Magister en Estadística Aplicada
La probabilidad de obtener x éxitos en n pruebas (x  n) es: 
E E F E F F F E . . . E 
 p p q p q q q p . . . p
 ppp ... p (x veces) y qqq ... q (n-x veces)
Como son sucesos independientes se multiplican las probabilidades
Entonces es : px.q(n-x) o bien, px.(1 – p)(n-x) 
¿De cuántas maneras distintas se pueden presentar 
los éxitos y fracasos?
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
La variable aleatoria discreta X: número de éxitos
Se llama variable binomial y su función de probabilidad es:
px.(1 – p)(n-x) C
n
xf(x) = b(x;n,p) =
Sus parámetros son n y p y 
E(X) = np V(X) = np(1-p) y x =  np(1-p)
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
Ejemplo de aplicación
Se supone que la probabilidad de nacer varón es 0.45. 
Hallar la probabilidad de que en una familia en la que 
nazcan 8 hijos sean:
a) Todos varones; b) Al menos 2 varones; c) Ningún varón.
SOLUCIÓN
La variable en estudio es X : n° de hijos varones
• Hay n pruebas independientes : los 8 hijos (n = 8)
• En cada nacimiento hay dos resultados posibles, 
mutuamente excluyentes : Varón o mujer.
• La P(éxito) es constante : P(varón) = 0.45
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
Por lo expuesto, el N° de varones que nacen en una familia 
es una variable con distribución binomial, con los 
parámetros n = 8 y p = 0.45.
Y q = 1 – p = 0.55
0
8
a) f(8) = P(X = 8) = C8
8 0.458 . 0.550 = 0.0017
b) f(al menos 2 varones) = P(X  2) = 1 – P(X < 2) = 1 – 
F(1)
 1 – [( ) 0.450.0.558 + (
1
8
) 0.451. 0.557] = 1 – (0,0084 + 0,0548) 
P(X  2) = 0,936 c) f(0) = P(X = 0) = 0,0084
E(X) = np = 8.0,45 = 3,6 (entre 3 y 4 varones, en promedio).
V(X) = 8.0,45.0,55 = 1,98 y x = 1,41 varones
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 Magister en Estadística Aplicada
Distribución multinomial
Una variable aleatoria multinomial se genera 
cuando:
• Se realizan n pruebas independientes
• En cada prueba hay más de dos resultados 
posibles, mutuamente excluyentes 
• En cada prueba, la probabilidad de ocurrencia 
de cada uno de los resultados posibles es 
constante
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
En cada una de las n pruebas los resultados posibles son:
Resultados : Ei : E1 E2 E3 . . . . Ek
 Probabilidad: pi : p1 p2 p3 . . . . pk
 N° de veces: xi : x1 x2 x3 . . . . xk
Condiciones: p1 + p2+ p3 + . . . + pk = ipi = 1
Y x1 + x2 + x3 + . . . + xk = ixi = n
 María Elena Marcoleri 
 
 Magister en Estadística Aplicada
La probabilidad de obtener:
x1 veces E1 x3 veces E3
x2 veces E2 . . . . . . . . . .
xk veces Ek es:
p k
x
k
f(x1,x2, x3, …,xk) = 
n!
x1! x2! x3! … xk!
p
x1
1
p
x2
2
p
x3
3 …
Si se necesitara la probabilidad de obtener x veces E1 , entonces es:
f(x) = 
n!
x! (n – x)! 
p1x (1 – p1)n-x Se transforma en binomial
 María Elena Marcoleri 
 
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Ejemplo de aplicación
Las probabilidades de que un estudiante seleccionado al azar de un curso, 
tenga una calificación inferior a 40 puntos, entre 40 y 70 puntos, entre 70 y 
90 puntos, o más de 90 puntos, son 0.30, 0.40, 0.20 y 0,10 
respectivamente.
a) Identificar la variable y justificar el procedimiento empleado para resolver el 
problema.
b) Calcular la probabilidad de que:
b.1) Entre ocho de tales estudiantes, 2 tengan menos de 40 puntos, 3 tengan 
entre 40 y 70 puntos, 2 tengan entre 70 y 90 puntos y uno tenga más de 
90 puntos. 
b.2) Entre cinco de los estudiantes, 3 tengan más de 90 puntos.
SOLUCIÓN : con distribución multinomial
a) X : n° de estudiantes que pertenecen a cada categoría de calificación
E1 : Calif < 40 ptos. p1 = 0.30 x1 = 2
E2 : 40 ptos. < Calif < 70 ptos. p2 = 0.40x2 = 3
E3 : 70 < Calif < 90 ptos. p3 = 0.20x3 = 2
E4 : Calif > 90 ptos. p4 = 0.10x4 = 1
i pi = 1 i xi = n = 8 estudiantes
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La probabilidad del punto b.1) es:
f(2,3,2,1) = 
8!
2! 3! 2! 1!
0,302. 0,403. 0,202. 0,101 = 0,0387
El punto b.2) se resuelve aplicando distribución binomial
n = 5 estudiantes p = 0,10 x = 3
f(3) = P(X = 3) 
=
5!
3! 2!
0,103. 0,902 = 0,0081
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Distribución Hipergeométrica
• Población finita constituida por dos clases 
de elementos: de clase A y no de clase A
• Extracciones sin reposición
• Sucesos no independientes
• Probabilidad de éxito no constante
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Esquema general
Población de 
tamaño N
k elementos de clase A
N - k elementos de clase no A
Se realiza selección aleatoria sin reposición
Muestra de 
tamaño n
x elementos de clase A
n - x elementos de clase no A
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La probabilidad de obtener en la muestra x 
elementos de clase A es:
C
k
x C
kN
xn


f(x) =
C
N
n
Los parámetros son : N, n, k
E(X) = n (k/N) y 
V(X) = n (k/N) (1 – k/N) [(N – n)/(n – 1)]
 María Elena Marcoleri 
 
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Ejemplo de aplicación
De ocho empleados, tres han estado en la compañía durante cinco 
o más años. Si se eligen cinco empleados al azar de ese grupo, 
¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan 
una antigüedad de cinco años o más?
Solución
Variable X: N° de empleados que han estado en la compañía 5 años o más.
N = 8
k = 3 empleados que tienen 5 o más años de antigüedad
N - k = 5 empleados que no tienen 5 o más años de antig.
n = 5
x = 2 empleados que tienen 5 o más años de antigüedad
n - x = 3 empleados que no tienen 5 o más años de antig.
X tiene distribución hipergeométrica, porque 
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f(2) =
3
2C
5
3C
8
5C
Aplicando la fórmula …
= 0,089
La probabilidad de que exactamente dos 
empleados tengan una antigüedad de cinco años 
o más es 0,089.
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Distribución de Poisson
Postulados
• El número de ocurrencias del hecho es independiente de 
una unidad especificada a otra.
• El valor esperado de la variable es proporcional al 
tamaño de la unidad especificada.
• La probabilidad de más de una ocurrencia del suceso en 
una unidad especificada muy pequeña, es despreciable 
en comparación con la probabilidad de una sola 
ocurrencia.
Se usa para obtener probabilidades del número de 
ocurrencias de sucesos raros, tales como errores, accidentes 
u otros sucesos que aparecen al azar e independientemente 
en intervalos de tiempo, espacio o volumen. 
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La función de probabilidad de Poisson tiene 
un único parámetro :
promedio de ocurrencias del suceso por 
unidad especificada
La función de probabilidad de la variable X , es:
f(x) =
e-x
x!
 E(X) = V(X) = 
 María Elena Marcoleri 
 
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Ejemplo de aplicación
En promedio, cada hora cinco personas realizan transacciones en el 
mostrador de servicios especiales de un banco. Suponiendo que las 
llegadas de esas personas son independientes e igualmente 
probables, ¿cuál es la probabilidad de que en dos horas 7 personas 
soliciten servicios especiales?
Solución
Variable X: Cantidad de personas que solicitan servicios especiales
X tiene distribución de Poisson con personas por hora
En este caso,  = 10 personas por cada período de dos horas
f(7) =
e-x
x!
e-107
7!
= =
454
5040
= 0,09
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Aproximaciones
C
kN
xn


Aproximación Hipergeométrica-binomial
Si se toma una muestra pequeña de una población 
grande, teniendo como regla empírica n  0.05N
C
k
x
C
N
n
≈ Cxn (k/N)x [(N–k)/N]n-x
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Aproximación binomial-Poisson
Si n es grande y p pequeño, tanto como n>100 
y p < 0.01, entonces las probabilidades 
binomiales se aproximan a las de Poisson
≈
e-np(np)x
x!
C
n
x p
x.(1 – p)(n-x) 
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