normal

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La distribución de probabilidad 
normal
Condiciones
La variable X, para tener distribución 
normal, debe cumplir lo siguiente:
• X debe ser continua
• Deben existir las constantes μ y σ, 
tales que: -∞ < μ < ∞ y σ > 0
• La función de densidad es:
El histograma de frecuencias y la 
curva normal
Tensión sistólica de 1000 pacientes
Tensión sistólica de 5000 pacientes
Gráfico Q – Q de probabilidad (Q – Q plot)
Para probar la normalidad de los datos muestrales
Propiedades
• Tiene una única moda, que coincide con su 
media y su mediana. 
• La curva normal es asintótica al eje de 
abscisas. Por ello, cualquier valor entre 
 -∞ y ∞ es teóricamente posible. El área total 
bajo la curva es, por tanto, igual a 1. 
• Es simétrica con respecto a su media μ . Según 
esto, para este tipo de variables existe una 
probabilidad de un 50% de observar un dato 
mayor que la media, y un 50% de observar un 
dato menor. 
• La distancia entre la línea trazada en la media y 
el punto de inflexión de la curva es igual a una 
desviación típica (σ). 
 Cuanto mayor sea σ, más aplanada será la 
curva de la densidad. 
• El área bajo la curva comprendido entre los 
valores situados aproximadamente a dos 
desviaciones estándar de la media es igual a 
0.95. En concreto, existe un 95% de 
posibilidades de observar un valor comprendido 
en el intervalo 
( μ – 1,96σ ; μ + 1,96σ )
• La forma de la campana de Gauss depende de 
los parámetros μ y σ. La media indica la 
posición de la campana, de modo que para 
diferentes valores de μ la gráfica es desplazada 
a lo largo del eje horizontal. 
 Por otra parte, la desviación estándar determina 
el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto 
mayor sea el valor de σ , más se dispersarán los 
datos en torno a la media y la curva será más 
plana. Un valor pequeño de este parámetro 
indica, por tanto, una gran probabilidad de 
obtener datos cercanos al valor medio de la 
distribución. 
Función de distribución acumulada
• Puede tomar cualquier valor (-∞, +∞) 
• Son más probables los valores cercanos a uno 
central que llamamos media  
• Conforme nos separamos de ese valor , la 
probabilidad va decreciendo de igual forma a 
derecha e izquierda (es simétrica). 
• Conforme nos separamos de ese valor  , la 
probabilidad va decreciendo de forma más o 
menos rápida dependiendo de un parámetro  , 
que es la desviación típica. 
La distribución normal 
estandarizada, reducida o típica
 No existe una única distribución normal, 
sino una familia de distribuciones con una 
forma común, diferenciadas por los 
valores de su media y su varianza. De 
entre todas ellas, la más utilizada es la 
distribución normal estándar, que 
corresponde a una distribución de media 0 
y varianza 1. 
Variable normal tipificada o Z 
E(Z) = 0 V(Z) = 1 
σz = 1
 La transformación de la variable X en la 
variable Z produce el efecto de reducir X a 
unidades en términos de desviaciones 
estándares alejadas de la media. Es decir, 
dado un valor de X, el correspondiente 
valor de Z indica cuán alejada está X de 
su media  , y en qué dirección, en 
términos de su desviación estándar . 
 Por ejemplo, Z = 1,8 significa que el 
valor de X está a una distancia igual 
a 1,8 veces  a la derecha de . 
En cambio z = -2,3 indica que X se 
encuentra a una distancia de 2,3 a 
la izquierda de .
La función de densidad de Z es:
Ejemplo de aplicación
Supongamos que se sabe que el peso de los 
sujetos de una determinada población sigue una 
distribución aproximadamente normal, con una 
media de 80 Kg y una desviación estándar de 10 
Kg. 
•a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona, 
elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?
•b) ¿Cuál es el peso no superado por el 40% de 
los individuos de menor peso?
•c) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de un 
sujeto esté entre 60 y 100 Kg? 
Aproximación binomial-normal
Cuando una variable binomial tiene p ≈ q ≈ 0,5, 
entonces…
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