Práctica 3 calculo integral

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PRÁCTICA 4 
Cálculo integral y aplicaciones
1. Integración con Mathematica
1.1 Integrales indefinidas, integrales definidas
Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones:
Integrate[expresión, variable] 
Calcula la integral indefinida de la expresión dada con respecto a la variable indicada
Integrate[expresión,{variable,a,b}] 
Calcula la integral definida de la expresión dada con respecto a la variable indicada en el intervalo [a,b]. 
También pueden indicarse mediante los símbolos que figuran en la paleta BasicInput
 Ÿ Ñ „ Ñ (integral indefinida) ŸÑ
Ñ
Ñ „ Ñ (integral definida)
 
ü Ejemplo 1.1
‡ Ix3 − x2 + 7M x
x4
4
-
x3
3
+ 7 x
‡
0
πê2
Sin@xD x
1
1.2 Integración de expresiones simbólicas
Mathematica también nos permite calcular la integral de determinadas expresiones simbólicas. Lo que hace el programa es, en defini-
tiva, mostrarnos la fórmula de integración de determinadas expresiones.
Clear@fD
‡ f ' @xD x
f HxL
‡ f@xDn f'@xD x
f HxLn+1
n + 1
‡
f '@xD
1 + f@xD2
 x
tan-1H f HxLL
‡
f '@xD
f@xD
 x
logH f HxLL
Clear@fD
Y, por supuesto, Mathematica reconoce el Teorema Fundamental del Cálculo Integral
F@x_D := ‡
a
x
f@tD t
F'@xD
f HxL
y la regla de Leibniz
F@x_D := ‡
u@xD
v@xD
f@tD t
F'@xD
f HvHxLL v£HxL - f HuHxLL u£HxL
1.3 Integrales impropias
Para calcular integrales impropias aplicamos la definición correspondiente según se trate de integrales impropias de 1ª, 2ª o 3ª especie.
ü Ejemplo 1.3 Calcular las siguientes integrales
aL ‡
0
¶
‰-x „ x
Aplicando la definición de integral impropia de 1 ª especie : ‡
0
∞
−x x =
def
 lim
t→∞
‡
0
t
−x x
‡
0
t
−x x
1 - ‰-t
Limit@%, t → ∞D
1
Por tanto la integral es convergente.
También, podemos obtener el resultado directamente con el programa Mathematica
2 practica4.nb
‡
0
∞
−x x
1
bL‡
0
1 1
1 - x2
 „ x
Aplicando la definición de integral impropia de 2 ª especie : ‡
0
1 1
1 − x2
 x =
def
 lim
t→1−
‡
0
t 1
1 − x2
 x
FullSimplifyB‡
0
t 1
1 − x2
 x, 0 < t < 1F
sin-1HtL
Limit@%, t → 1, Direction → 1D
p
2
Por tanto la integral es convergente.
También, podemos obtener el resultado directamente con el programa Mathematica
‡
0
1 1
1 − x2
 x
p
2
cL‡
0
2 1
x - 2
 „ x
Aplicando la definición de integral impropia de 2 ª especie : ‡
0
2 1
x − 2
 x =
def
 lim
t→2−
‡
0
t 1
x − 2
 x
FullSimplifyB‡
0
t 1
x − 2
 x, 0 < t < 2F
log 1 -
t
2
Limit@%, t → 2, Direction → 1D
-¶
La integral es divergente.
Mathematica calcula directamente las integrales impropias que son convergentes y, como vemos a continuación, nos da un
mensaje en las que no son convergentes, dando como salida la misma expresión.
‡
0
∞
−x x
1
practica4.nb 3
‡
0
1 1
1 − x2
 x
p
2
‡
0
2 1
x − 2
 x
Integrate::idiv : Integral of
1
x - 2
does not converge on 80, 2<. More…
‡
0
2 1
x - 2
 „ x
1.4 Valor aproximado de una integral
Mathematica tiene sus limitaciones a la hora de calcular ciertas integrales. De hecho, no siempre es capaz de darnos el valor
exacto de una integral y en ocasiones dicho resultado viene expresado en términos de ciertas funciones especiales que el programa tiene
definidas. Sin embargo, en ambas situaciones podemos pedirle que nos dé un valor aproximado de la integral.
Para que nos dé el valor aproximado de una integral podemos utilizar el comando N o la instrucción específica NIntegrate
pero es importante saber que la forma de operar no es la misma. Veamos unos ejemplos: Si intentamos hallar la siguiente
integral
‡
−1
1
−x2 x
p erf H1L
El resultado exacto que nos devuelve Mathematica viene expresado en términos de la función especial Erf (función error) y
está definida en la forma Erf(z)= 2
p
 Ÿ0
z
‰-z
2
 „ z
Para obtener un valor aproximado usamos las dos instrucciones anteriores:
NB‡
−1
1
−x2 xF
1.49365
NIntegrateA −x2, 8x, −1, 1<E
1.49365
Aunque el resultado mostrado por las instrucciones anteriores es el mismo, hemos de indicar que la forma de operar es bien
distinta. 
N[Ÿ-1
1
‰-x
2
 „ x] Fuerza al programa a calcular el valor exacto de la integral y a continuación nos muestra un valor aproximado.
NIntegrate[‰-x
2 , 8x, -1, 1<E Aplica fórmulas de integración numérica para calcular directamente un valor aproximado de la
integral.
Observación: Las fórmulas de integración numérica que utiliza Mathematica al aplicar la instrucción NIntegrate funcionan
bastante bien cuando se trata de calcular valores apro-ximados de integrales definidas en intervalos acotados. Por el contrario, no ocurre
lo mismo si aplicamos la instrucción NIntegrate para calcular valores aproximados de integrales impropias definidas en intervalos
no acotados.
Si hacemos lo mismo para la integral Ÿ1
¶ Sin@xD
x „ x
4 practica4.nb
‡
1
∞ Sin@xD
x
 x
1
2
Hp - 2 SiH1LL
El programa nos devuelve el valor exacto en términos de la función especial Si(z); si utilizamos las instrucciones de antes,
NB‡
1
∞ Sin@xD
x
 xF
0.624713
NIntegrateB
Sin@xD
x
, 8x, 1, ∞<F
NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to
prescribed accuracy after 7 recursive bisections in x near x = 1.99399μ 1019. More…
1.39383
Mathematica nos avisa que en este último caso el resultado no es muy fiable, de hecho es muy distinto del valor real.
2.- Aplicaciones de la integral 
2.1 Cálculo de áreas de recintos planos
Mathematica permite visualizar al área limitada por dos curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b], mediante la instrucción
FilledPlot, cuya sintaxis es la siguiente:
FilledPlot[{f[x],g[x]},{x,a,b}]
Visualiza el área limitada por las curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b].
FilledPlot[f[x],{x,a,b}]
Visualiza el área limitada por las curva y = f (x) y el eje OX en el intervalo [a,b].
Para utilizar al instrucción FilledPlot hay que cargar el paquete Graphics`FilledPlot`
<< Graphics`FilledPlot`
ü Ejemplo 2.1 
a) Calcular el área limitada por la parábola y = x2 - 3 x y el eje OX en el intervalo @-1, 1D
Definimos la función y cargamos el paquete Graphics`FilledPlot`
f@x_D := x2 − 3 x
<< Graphics`FilledPlot`
Visualizamos el área que queremos calcular
practica4.nb 5
FilledPlot@f@xD, 8x, −1, 4<D;
-1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
4
-1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
4
FilledPlot@Abs@f@xDD, 8x, −1, 4<D;
-1 1 2 3 4
1
2
3
4
-1 1 2 3 4
1
2
3
4
Calculamos los puntos de corte con el eje OX
Solve@f@xD 0D
88x Ø 0<, 8x Ø 3<<
Calculamos el área
AbsB‡
−1
0
f@xD xF + AbsB‡
0
3
f@xD xF + AbsB‡
3
4
f@xD xF
49
6
Mathematica puede calcular directamente la integral anterior en la forma
‡
−1
4
Abs@f@xDD x
49
6
b) Determinar el área limitada por las curvas y = x2 - 2 x, y = - x2 + 2 x en el intervalo @-1, 3D
Definimos las funciones
f@x_D := x2 − 2 x
g@x_D := −x2 + 2 x
6 practica4.nb
Visualizamos el área que queremos calcular cargando previamente el paquete Graphics`FilledPlot`
<< Graphics`FilledPlot`
FilledPlot@8f@xD, g@xD<, 8x, −1, 3<, PlotRange → All, AspectRatio → AutomaticD;
-1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
-1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Calculamos los puntos de corte de ambas gráficas
Solve@f@xD g@xDD
88x Ø 0<, 8x Ø 2<<
Calculamos el área
s = AbsB‡
−1
0
Hf@xD − g@xDL xF + AbsB‡
0
2
Hf@xD − g@xDL xF + AbsB‡
2
3
Hf@xD − g@xDL xF
8
También en este caso podríamos haber calculado el área directamente en la forma
‡
−1
3
Abs@f@xD − g@xDD x
8
c) Determinar el área limitada por la cicloide x = t-sen t, y = 1 - cos t entre t = 0 y t = 2p
Si entre los puntos de abscisa a = x(t1) y b = x(t2) las ecuaciones paramétricas x = x (t), y = y(t) para t e [t1, t2] definen una función
integrable 
y = f (x), entonces el área encerrada por la curva y el eje de abscisas viene dada por
 A = Ÿa
b » f HxL » „ x = Ÿt1
t2 » yHtL x ' HtL » „ t
Definimos las ecuaciones paramétricas
x@t_D := t − Sin@tD
y@t_D :=1 − Cos@tD
practica4.nb 7
Dibujamos la gráfica de la cicloide en el intervalo [0,2ð]
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 2 π<, AspectRatio → AutomaticD;
1 2 3 4 5 6
0.5
1
1.5
2
Calculamos el área
‡
0
2 π
Abs@y@tD x ' @tDD t
3 p
2.2 Longitud de un arco de curva
Si f es una función de clase 1 en el intervalo [a,b], entonces la longitud del arco de curva y = f(x) en dicho intervalo viene
dada por L = Ÿa
b 1 + H f ' HxLL2 „ x
y si la curva viene dada por sus ecuaciones paramétricas x = x(t) e y = y(t), tœ[t1, t2D, entonces L =
Ÿt1
t2 Hx ' HtLL2 + Hy ' HtLL2 „ t
ü Ejemplo 2.2 
a) Calcular la longitud del arco de curva y = sen x en el intervalo @0, 2 pD
f@x_D := Sin@xD
Plot@Sin@xD, 8x, 0, 2 π<D;
1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0.5
1
‡
0
2 π
1 + Hf '@xDL2 x
4 2 E
1
2
Mathematica nos devuelve el valor exacto en términos de la función especial EllipticE. Para obtener un valor aproximado podemos
utilizamos el comando N
8 practica4.nb
N@%D
7.6404
b) Calcular la longitud del arco de astroide x = cos3 t , y = sen3 t para t Π[0, 2p]
x@t_D := Cos@tD3
y@t_D := Sin@tD3
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 2 π<, AspectRatio → AutomaticD;
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
‡
0
2 π
Hx'@tDL2 + Hy'@tDL2 t
6
2.3 Superficies de revolución
Podemos imaginar una superficie en R3 como la deformación de una malla rectangular. A cada punto (u,v) sobre la malla rectangu-
lar le corresponde un punto P(x,y,z) sobre la superficie, siendo x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), con u œ [u1, u2], v œ [v1, v2].
Las ecuaciones anteriores se denominan ecuaciones paramétricas de la superficie.
Mathematica dispone de la instrucción ParametricPlot3D para dibujar la gráfica de una superficie dada en forma paramétrica, cuya
sintaxis es la siguiente:
 ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2}]
Las ecuaciones paramétricas de una esfera de centro (0,0,0) y de radio r vienen dadas por x = r cos u cos v, y = r cos u sen v, z = r
sen u, con u œ [0, 2 p], 
v œ [0, p].
practica4.nb 9
ParametricPlot3D@8Cos @uD Cos @vD, Cos @uD Sin @vD, Sin @uD<, 8u, 0, 2 π<, 8v, 0, π<D;
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
Las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OX en el
intervalo [a,b] vienen dadas por: x = u, y = f(u) cos v, z = f(u) sen v para u œ [a, b], v œ [0, 2 p].
Las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OY en el
intervalo [a,b] vienen dadas por: x = u cos v, y = u sen v, z = f(u) para u œ [a, b], v œ [0, 2 p].
Los siguientes comandos nos van a permitir dibujar la superficie de revolución generada por una curva al girar alrededor del
eje OX y del eje OY:
RevolucionOX@a_, b_D := ParametricPlot3D@8u, f@uD Cos @vD, f@uD Sin @vD<, 8u, a, b<, 8v, 0, 2 p<D
RevolucionOY@a_, b_D := ParametricPlot3D@8uCos @vD, u Sin @vD, f@uD<, 8u, a, b<, 8v, 0, 2 p<D
General::spell1 : 
Possible spelling error: new symbol name "RevolucionOY" is similar to existing symbol "RevolucionOX". More…
Área de una superficie de revolución
El área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OX en el intervalo [a,b] viene dada
por
 AOX = 2 p Ÿa
b f HxL 1 + @ f ' HxLD2 „ x
El área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OY en el intervalo [a,b] viene dada
por
 AOY = 2 p Ÿa
bx 1 + @ f ' HxLD2 „ x
ü Ejemplo 2.3. Calcular el área de la superficie de revolución generada la girar la curva y = 
x3 en el intervalo @0, 1D, alrededor del eje OY
f@x_D := x3
Representamos la curva en el intervalo [0,1]
10 practica4.nb
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<, AspectRatio → Automatic, PlotRange → AllD;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Representamos la superficie de revolución alrededor del eje OY
RevolucionOY@0 _, 1 _D = ParametricPlot3D@8uCos @vD, u Sin @vD, f@uD<, 8u, 0, 1<, 8v, 0, 2 p<D;
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0.25
0.5
0.75
1
-1
-0.5
0
0.5
Calculamos el área de la superficie de revolución
2 π ‡
0
1
x 1 + Hf'@xDL2 x
1
6
p K3 10 + sinh-1H3LO
b) Calcular el área de la superficie de revolución generada la girar la curva y = sen x en el intervalo @0, pD, 
alrededor del eje OX
Definimos la función
f@x_D := Sin@xD
practica4.nb 11
Representamos la curva en el intervalo [0,p]
Plot@f@xD, 8x, 0, π<, AspectRatio → AutomaticD;
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Representamos la superficie de revolución alrededor de OX
ParametricPlot3D@8u, f@uD Cos @vD, f@uD Sin @vD<, 8u, 0, p<, 8v, 0, 2 p<D;
0
1
2
3 -1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
0
1
2
3
Calculamos el área de la superficie de revolución
2 π ‡
0
π
f@xD 1 + Hf'@xDL2 x
2 p K 2 + sinh-1H1LO
2.4 Volúmenes de cuerpos de revolución
ü Ejemplo 2.4 
a) Calcular volumen del elipsoide de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX la elipse de ecuación 
x2
a2
+
y2
b2
=1, 
con a = 4 y b = 3.
Clear@fD
Definimos la función (despejamos la variable y en la ecuación anterior)
SolveB
x2
162
+
y2
92
== 1, yF
::y Ø -
9
16
256 - x2 >, :y Ø
9 256 - x2
16
>>
Nos quedamos con la parte positiva
f@x_D :=
3
4
 16 − x2
12 practica4.nb
Representamos la curva en el intervalo [-4,4]
Plot@f@xD, 8x, −4, 4<, AspectRatio → AutomaticD;
-4 -2 2 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Representamos la superficie de revolución alrededor del eje OX
ParametricPlot3D@8u, f@uD Cos @vD, f@uD Sin @vD<, 8u, -4, 4<, 8v, 0, 2 p<D;
-4
-2
0
2
4
-2
0
2
-2
0
2
-4
-2
0
2
-2
0
2
Calculamos el volumen del cuerpo de revolución aplicando el método de los discos
π ‡
−4
4
f@xD2 x
48 p
b) Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar, alrededor de OX y de OY, la región 
limitada por las curvas y = x2 e y = x
f@x_D := x2
g@x_D := x
Solve@f@xD g@xDD
88x Ø 0<, 8x Ø 1<<
practica4.nb 13
FilledPlot@8f@xD, g@xD<, 8x, 0, 1<, AspectRatio → AutomaticD;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Calculamos el volumen del cuerpo de revolución alrededor del eje OX aplicando el método de las arandelas (observemos que
g(x) = f (x) en el intervalo [0,1])
VOX = π ‡
0
1
Ig@xD2 − f@xD2M x
3 p
10
Calculamos el volumen del cuerpo de revolución alrededor del eje OY aplicando el método de las envolventes (observemos que la
altura de la envolvente en cada punto x viene dada por g(x) - f (x))
VOY = 2 π ‡
0
1
x Hg@xD − f@xDL x
3 p
10
 3. EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Calcular: Ÿ sen 2 x „ x; Ÿ sen x1+sen x „ x; Ÿ1
2ln x „ x.
2. Estudiar el carácter de las integrales: Ÿ0
¶ 1
x ln x
 „ x;
Ÿ0
1 x2
1-x2
 „ x.
3. Calcular la derivada de la siguiente función
14 practica4.nb
F HxL = Ÿx
x2 t
1+t2
 t.
4. Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido al
girar la región limitada por la curva y = ln x y el eje OX en el
intervalo [0,e] alrededor del eje OX y alrededor del eje OY. 
practica4.nb 15