Semana 8 - La Derivada

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Preliminares
La Derivada
La Derivada
Docente: Rafael Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Trujillo
29 de mayo de 2023
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Determina la derivada de una función real de variable real
Reconoce si una función es derivable en un punto o un
intervalo.
Interpreta geométrica y f́ısicamente la derivada de un función
en un punto..
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Determina la derivada de una función real de variable real
Reconoce si una función es derivable en un punto o un
intervalo.
Interpreta geométrica y f́ısicamente la derivada de un función
en un punto..
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Determina la derivada de una función real de variable real
Reconoce si una función es derivable en un punto o un
intervalo.
Interpreta geométrica y f́ısicamente la derivada de un función
en un punto..
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Determina la derivada de una función real de variable real
Reconoce si una función es derivable en un punto o un
intervalo.
Interpreta geométrica y f́ısicamente la derivada de un función
en un punto..
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Preliminares
Desde la antigüedad (300 A.C.) exist́ıa el problema de la
determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de
una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema.
Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al
Cálculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED
WILHELM LEIBNIZ (1646-1716), quien, junto con ISAAC
NEWTON (1642-1727), se preocuparon por describir la velocidad
instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una
trayectoria.
El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una
cantidad, cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las
cuales depende la cantidad original. Los siguientes ejemplos
ilustran tales situaciones
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Preliminares
Desde la antigüedad (300 A.C.) exist́ıa el problema de la
determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de
una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema.
Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al
Cálculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED
WILHELM LEIBNIZ (1646-1716), quien, junto con ISAAC
NEWTON (1642-1727), se preocuparon por describir la velocidad
instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una
trayectoria.
El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una
cantidad, cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las
cuales depende la cantidad original. Los siguientes ejemplos
ilustran tales situaciones
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Preliminares
Desde la antigüedad (300 A.C.) exist́ıa el problema de la
determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de
una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema.
Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al
Cálculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED
WILHELM LEIBNIZ (1646-1716), quien, junto con ISAAC
NEWTON (1642-1727), se preocuparon por describir la velocidad
instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una
trayectoria.
El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una
cantidad, cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las
cuales depende la cantidad original. Los siguientes ejemplos
ilustran tales situaciones
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Incrementos y Tasas
El cambio en el costo total de operación de una planta que
resultan de cada unidad adicional producida.
El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un
incremento de una unidad (por ejemplo, $1) en el precio.
El cambio en el producto nacional bruto de un páıs con cada
año que pasa
Definición
Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2.
Entonces, el cambio en el valor de x , que es x2 − x1, se denomina
el incremento de x y se denota por ∆x .
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Incrementos y Tasas
El cambio en el costo total de operación de una planta que
resultan de cada unidad adicional producida.
El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un
incremento de una unidad (por ejemplo, $1) en el precio.
El cambio en el producto nacional bruto de un páıs con cada
año que pasa
Definición
Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2.
Entonces, el cambio en el valor de x , que es x2 − x1, se denomina
el incremento de x y se denota por ∆x .
Uceda, R.A. La Derivada
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Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Incrementos y Tasas
El cambio en el costo total de operación de una planta que
resultan de cada unidad adicional producida.
El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un
incremento de una unidad (por ejemplo, $1) en el precio.
El cambio en el producto nacional bruto de un páıs con cada
año que pasa
Definición
Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2.
Entonces, el cambio en el valor de x , que es x2 − x1, se denomina
el incremento de x y se denota por ∆x .
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Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Incrementos y Tasas
El cambio en el costo total de operación de una planta que
resultan de cada unidad adicional producida.
El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un
incremento de una unidad (por ejemplo, $1) en el precio.
El cambio en el producto nacional bruto de un páıs con cada
año que pasa
Definición
Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2.
Entonces, el cambio en el valor de x , que es x2 − x1, se denomina
el incremento de x y se denota por ∆x .
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Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Usamos la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o
incremento de cualquier variable.
∆x denota el cambio de la variable x
∆p indica el cambio de la variable p
∆q denota el cambio de la variable q
Sea y una variable que depende de x tal que y = f (x) está
definida para todo valor de x entre x1 y x2. Cuando x = x1, y tiene
el valor y1 = f (x1).
De manera similar, cuando x = x2, y tiene el valor y2 = f (x2). Aśı,
el incremento de y es
∆y = y2 − y1
= f (x2)− f (x1)
Uceda, R.A. La Derivada
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Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Usamos la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o
incremento de cualquier variable.
∆x denota el cambio de la variable x
∆p indica el cambio de la variable p
∆q denota el cambio de la variable q
Sea y una variable que depende de x tal que y = f (x) está
definida para todo valor de x entre x1 y x2. Cuando x = x1, y tiene
el valor y1 = f (x1).
De manera similar, cuando x = x2, y tiene el valor y2 = f (x2). Aśı,
el incremento de y es
∆y = y2 − y1
= f (x2)− f (x1)
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Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Usamos la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o
incremento de cualquier variable.
∆x denota el cambiode la variable x
∆p indica el cambio de la variable p
∆q denota el cambio de la variable q
Sea y una variable que depende de x tal que y = f (x) está
definida para todo valor de x entre x1 y x2. Cuando x = x1, y tiene
el valor y1 = f (x1).
De manera similar, cuando x = x2, y tiene el valor y2 = f (x2). Aśı,
el incremento de y es
∆y = y2 − y1
= f (x2)− f (x1)
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Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Usamos la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o
incremento de cualquier variable.
∆x denota el cambio de la variable x
∆p indica el cambio de la variable p
∆q denota el cambio de la variable q
Sea y una variable que depende de x tal que y = f (x) está
definida para todo valor de x entre x1 y x2. Cuando x = x1, y tiene
el valor y1 = f (x1).
De manera similar, cuando x = x2, y tiene el valor y2 = f (x2). Aśı,
el incremento de y es
∆y = y2 − y1
= f (x2)− f (x1)
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Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Usamos la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o
incremento de cualquier variable.
∆x denota el cambio de la variable x
∆p indica el cambio de la variable p
∆q denota el cambio de la variable q
Sea y una variable que depende de x tal que y = f (x) está
definida para todo valor de x entre x1 y x2. Cuando x = x1, y tiene
el valor y1 = f (x1).
De manera similar, cuando x = x2, y tiene el valor y2 = f (x2). Aśı,
el incremento de y es
∆y = y2 − y1
= f (x2)− f (x1)
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Usamos la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o
incremento de cualquier variable.
∆x denota el cambio de la variable x
∆p indica el cambio de la variable p
∆q denota el cambio de la variable q
Sea y una variable que depende de x tal que y = f (x) está
definida para todo valor de x entre x1 y x2. Cuando x = x1, y tiene
el valor y1 = f (x1).
De manera similar, cuando x = x2, y tiene el valor y2 = f (x2). Aśı,
el incremento de y es
∆y = y2 − y1
= f (x2)− f (x1)
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo.
El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio
depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos,
se encuentra que el volumen de venta q (en litros por d́ıa) está
dado por
q = 500(150− p)
Calcule el precio en el volumen de ventas que corresponde a un
incremento en el precio de 120c. a 130c. por litro.
Solución.
En este caso, p es la variable independiente y q la función de p. El
primer valor de p es p1 = 120 y el segundo valor es p2 = 130. El
incremento de p es
∆p = p2 − p1 = 130− 120 = 10
Los valores correspondientes de q son:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo.
El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio
depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos,
se encuentra que el volumen de venta q (en litros por d́ıa) está
dado por
q = 500(150− p)
Calcule el precio en el volumen de ventas que corresponde a un
incremento en el precio de 120c. a 130c. por litro.
Solución.
En este caso, p es la variable independiente y q la función de p. El
primer valor de p es p1 = 120 y el segundo valor es p2 = 130. El
incremento de p es
∆p = p2 − p1 = 130− 120 = 10
Los valores correspondientes de q son:
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo.
El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio
depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos,
se encuentra que el volumen de venta q (en litros por d́ıa) está
dado por
q = 500(150− p)
Calcule el precio en el volumen de ventas que corresponde a un
incremento en el precio de 120c. a 130c. por litro.
Solución.
En este caso, p es la variable independiente y q la función de p. El
primer valor de p es p1 = 120 y el segundo valor es p2 = 130. El
incremento de p es
∆p = p2 − p1 = 130− 120 = 10
Los valores correspondientes de q son:
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo.
El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio
depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos,
se encuentra que el volumen de venta q (en litros por d́ıa) está
dado por
q = 500(150− p)
Calcule el precio en el volumen de ventas que corresponde a un
incremento en el precio de 120c. a 130c. por litro.
Solución.
En este caso, p es la variable independiente y q la función de p. El
primer valor de p es p1 = 120 y el segundo valor es p2 = 130. El
incremento de p es
∆p = p2 − p1 = 130− 120 = 10
Los valores correspondientes de q son:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
q1 = 500(150− p1) = 500(150− 120) = 15, 000
q2 = 500(150− p2) = 500(150− 130) = 10, 000
En consecuencia, el incremento de q estará dado por
∆q = q2 − q1 = 10, 000− 15, 000 = −5, 000
El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea
negativo significa que q en realidad decrece. El volumen de ventas
decrece en 5,000 litros por d́ıa si el precio se incrementa de 120 a
130 centavos.
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
q1 = 500(150− p1) = 500(150− 120) = 15, 000
q2 = 500(150− p2) = 500(150− 130) = 10, 000
En consecuencia, el incremento de q estará dado por
∆q = q2 − q1 = 10, 000− 15, 000 = −5, 000
El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea
negativo significa que q en realidad decrece. El volumen de ventas
decrece en 5,000 litros por d́ıa si el precio se incrementa de 120 a
130 centavos.
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
q1 = 500(150− p1) = 500(150− 120) = 15, 000
q2 = 500(150− p2) = 500(150− 130) = 10, 000
En consecuencia, el incremento de q estará dado por
∆q = q2 − q1 = 10, 000− 15, 000 = −5, 000
El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea
negativo significa que q en realidad decrece. El volumen de ventas
decrece en 5,000 litros por d́ıa si el precio se incrementa de 120 a
130 centavos.
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Sea P el punto (x1, y1) y Q el punto (x2, y2), ambos situados en la
gráfica de la función y = f (x). Entonces, el incremento ∆x es
igual a la distancia horizontal de P a Q, mientras que ∆y es igual
a la distancia vertical de P a Q. En otras palabras, ∆x es el
recorrido y ∆y es la elevación de P a Q.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Observación
En algunas de las aplicaciones que veremos más adelante, será
conveniente considera el incremento ∆x como muy pequeño (esto
es, sólo desearemos considerar pequeños cambios en la variable
independiente).
Resolviendo la ecuación ∆x = x2 − x1 para x2, tenemos
x2 = x1 + ∆x . Usando este valor de x2 en la definición de ∆y ,
obtenemos,
∆y = f (x1 + ∆x)− f (x1)
Dado que x1 puede ser cualquier valor de x , suprimimos el
sub́ındice y escribimos:
∆y = f (x + ∆x)− f (x)
En forma alternativa, dado que f (x) = y , podemos escribir:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasade Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Observación
En algunas de las aplicaciones que veremos más adelante, será
conveniente considera el incremento ∆x como muy pequeño (esto
es, sólo desearemos considerar pequeños cambios en la variable
independiente).
Resolviendo la ecuación ∆x = x2 − x1 para x2, tenemos
x2 = x1 + ∆x . Usando este valor de x2 en la definición de ∆y ,
obtenemos,
∆y = f (x1 + ∆x)− f (x1)
Dado que x1 puede ser cualquier valor de x , suprimimos el
sub́ındice y escribimos:
∆y = f (x + ∆x)− f (x)
En forma alternativa, dado que f (x) = y , podemos escribir:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Observación
En algunas de las aplicaciones que veremos más adelante, será
conveniente considera el incremento ∆x como muy pequeño (esto
es, sólo desearemos considerar pequeños cambios en la variable
independiente).
Resolviendo la ecuación ∆x = x2 − x1 para x2, tenemos
x2 = x1 + ∆x . Usando este valor de x2 en la definición de ∆y ,
obtenemos,
∆y = f (x1 + ∆x)− f (x1)
Dado que x1 puede ser cualquier valor de x , suprimimos el
sub́ındice y escribimos:
∆y = f (x + ∆x)− f (x)
En forma alternativa, dado que f (x) = y , podemos escribir:
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
y + ∆y = f (x + ∆x)
Ejemplo
Dada f (x) = x2, calcule ∆y si x = 1 y ∆x = 0,2.
Solución.
Sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y :
∆y = f (x + ∆x)− f (x) = f (1 + 0,2)− f (1) = f (1,2)− f (1)
= (1,2)2 − (1)2 = 1,44− 1 = 0,44
Esto quiere decir que un cambio de 0.2 en el valor de x da como
resultado un cambio en y de 0.44. Esto se ilustra de manera
gráfica en la figura siguiente:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
y + ∆y = f (x + ∆x)
Ejemplo
Dada f (x) = x2, calcule ∆y si x = 1 y ∆x = 0,2.
Solución.
Sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y :
∆y = f (x + ∆x)− f (x) = f (1 + 0,2)− f (1) = f (1,2)− f (1)
= (1,2)2 − (1)2 = 1,44− 1 = 0,44
Esto quiere decir que un cambio de 0.2 en el valor de x da como
resultado un cambio en y de 0.44. Esto se ilustra de manera
gráfica en la figura siguiente:
Uceda, R.A. La Derivada
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Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
y + ∆y = f (x + ∆x)
Ejemplo
Dada f (x) = x2, calcule ∆y si x = 1 y ∆x = 0,2.
Solución.
Sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y :
∆y = f (x + ∆x)− f (x) = f (1 + 0,2)− f (1) = f (1,2)− f (1)
= (1,2)2 − (1)2 = 1,44− 1 = 0,44
Esto quiere decir que un cambio de 0.2 en el valor de x da como
resultado un cambio en y de 0.44. Esto se ilustra de manera
gráfica en la figura siguiente:
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
y + ∆y = f (x + ∆x)
Ejemplo
Dada f (x) = x2, calcule ∆y si x = 1 y ∆x = 0,2.
Solución.
Sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y :
∆y = f (x + ∆x)− f (x) = f (1 + 0,2)− f (1) = f (1,2)− f (1)
= (1,2)2 − (1)2 = 1,44− 1 = 0,44
Esto quiere decir que un cambio de 0.2 en el valor de x da como
resultado un cambio en y de 0.44. Esto se ilustra de manera
gráfica en la figura siguiente:
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejercicio
Para la función y = x3, determine ∆y cuando x = 1 para cualquier
incremento ∆x . Interprete los resultados.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Tasa de Cambio Promedio
Definición
La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo
de x a x + ∆x se define por la razón ∆y/∆x . Por tanto, la tasa de
cambio promedio de y con respecto a x es:
∆y
∆x =
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
Observación
Es necesario que el intervalo completo de x a x + ∆x pertenezca al
dominio de f .
Gráficamente, si P es el punto (x , f (x)) y Q es el punto
(x + ∆x , f (x + ∆x)) sobre la gráfica de y = f (x), entonces
∆y = f (x + ∆x)− f (x) es la elevación y ∆x es el recorrido de P
a Q.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Tasa de Cambio Promedio
Definición
La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo
de x a x + ∆x se define por la razón ∆y/∆x . Por tanto, la tasa de
cambio promedio de y con respecto a x es:
∆y
∆x =
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
Observación
Es necesario que el intervalo completo de x a x + ∆x pertenezca al
dominio de f .
Gráficamente, si P es el punto (x , f (x)) y Q es el punto
(x + ∆x , f (x + ∆x)) sobre la gráfica de y = f (x), entonces
∆y = f (x + ∆x)− f (x) es la elevación y ∆x es el recorrido de P
a Q.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Tasa de Cambio Promedio
Definición
La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo
de x a x + ∆x se define por la razón ∆y/∆x . Por tanto, la tasa de
cambio promedio de y con respecto a x es:
∆y
∆x =
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
Observación
Es necesario que el intervalo completo de x a x + ∆x pertenezca al
dominio de f .
Gráficamente, si P es el punto (x , f (x)) y Q es el punto
(x + ∆x , f (x + ∆x)) sobre la gráfica de y = f (x), entonces
∆y = f (x + ∆x)− f (x) es la elevación y ∆x es el recorrido de P
a Q.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por la definición de pendiente, podemos decir que ∆y/∆x es la
pendiente del segmento rectiĺıneo PQ. Aśı que la tasa de cambio
promedio de y con respecto a x es igual a la pendiente de la
secante PQ que une los puntos P y Q sobre la gráfica de
y = f (x).
Estos puntos corresponden a los valores x y x + ∆x de
la variable independiente.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por la definición de pendiente, podemos decir que ∆y/∆x es la
pendiente del segmento rectiĺıneo PQ. Aśı que la tasa de cambio
promedio de y con respecto a x es igual a la pendiente de la
secante PQ que une los puntos P y Q sobre la gráfica de
y = f (x). Estos puntos corresponden a los valores x y x + ∆x de
la variable independiente.
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por la definición de pendiente, podemos decir que ∆y/∆x es la
pendiente del segmento rectiĺıneo PQ. Aśı que la tasa de cambio
promedio de y con respecto a x es igual a la pendiente de la
secante PQ que une los puntos P y Q sobre la gráfica de
y = f (x). Estos puntos corresponden a los valores x y x + ∆x de
la variable independiente.
Uceda, R.A. La Derivada
Ejemplo
Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le
permite caer libremente bajo la fuerza de gravedad, la distancia s
(en pies) recorrida en el tiempo t (en segundos) está dada por
s(t) = 16t2
Determine la velocidad promedio del objeto durante los siguientes
intervalos de tiempo:
a) El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos.
b) El cuarto segundo (de t = 3 a t = 4 segundos).
c) El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y 3 12 segundos.
d) El lapso de t a t + ∆t.
Solución.
La velocidad promedio de cualquier móvil es igual a la distancia
recorrida dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Durante
el lapso de t a t + ∆t, la distancia recorrida es el incremento ∆s, y
aśı la velocidadpromedio es la razón ∆s/∆t.
Ejemplo
Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le
permite caer libremente bajo la fuerza de gravedad, la distancia s
(en pies) recorrida en el tiempo t (en segundos) está dada por
s(t) = 16t2
Determine la velocidad promedio del objeto durante los siguientes
intervalos de tiempo:
a) El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos.
b) El cuarto segundo (de t = 3 a t = 4 segundos).
c) El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y 3 12 segundos.
d) El lapso de t a t + ∆t.
Solución.
La velocidad promedio de cualquier móvil es igual a la distancia
recorrida dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Durante
el lapso de t a t + ∆t, la distancia recorrida es el incremento ∆s, y
aśı la velocidad promedio es la razón ∆s/∆t.
Ejemplo
Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le
permite caer libremente bajo la fuerza de gravedad, la distancia s
(en pies) recorrida en el tiempo t (en segundos) está dada por
s(t) = 16t2
Determine la velocidad promedio del objeto durante los siguientes
intervalos de tiempo:
a) El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos.
b) El cuarto segundo (de t = 3 a t = 4 segundos).
c) El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y 3 12 segundos.
d) El lapso de t a t + ∆t.
Solución.
La velocidad promedio de cualquier móvil es igual a la distancia
recorrida dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Durante
el lapso de t a t + ∆t, la distancia recorrida es el incremento ∆s, y
aśı la velocidad promedio es la razón ∆s/∆t.
Ejemplo
Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le
permite caer libremente bajo la fuerza de gravedad, la distancia s
(en pies) recorrida en el tiempo t (en segundos) está dada por
s(t) = 16t2
Determine la velocidad promedio del objeto durante los siguientes
intervalos de tiempo:
a) El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos.
b) El cuarto segundo (de t = 3 a t = 4 segundos).
c) El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y 3 12 segundos.
d) El lapso de t a t + ∆t.
Solución.
La velocidad promedio de cualquier móvil es igual a la distancia
recorrida dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Durante
el lapso de t a t + ∆t, la distancia recorrida es el incremento ∆s, y
aśı la velocidad promedio es la razón ∆s/∆t.
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
a) Aqúı t = 3 y t + ∆t = 5. Luego,
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(5)− s(3)
5− 3
= 16(5
2)− 16(32)
2 =
400− 144
2 =
256
2 = 128
Por consiguiente, durante el lapso de t = 3 a t = 5, el móvil cae
una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/
segundo.
b) Ahora, t = 3 y t + ∆t = 4.
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(4)− s(3)
4− 3
= 16(4
2)− 16(32)
1 = 256− 144 = 112
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
a) Aqúı t = 3 y t + ∆t = 5. Luego,
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(5)− s(3)
5− 3
= 16(5
2)− 16(32)
2 =
400− 144
2 =
256
2 = 128
Por consiguiente, durante el lapso de t = 3 a t = 5, el móvil cae
una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/
segundo.
b) Ahora, t = 3 y t + ∆t = 4.
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(4)− s(3)
4− 3
= 16(4
2)− 16(32)
1 = 256− 144 = 112
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
a) Aqúı t = 3 y t + ∆t = 5. Luego,
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(5)− s(3)
5− 3
= 16(5
2)− 16(32)
2 =
400− 144
2 =
256
2 = 128
Por consiguiente, durante el lapso de t = 3 a t = 5, el móvil cae
una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/
segundo.
b) Ahora, t = 3 y t + ∆t = 4.
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(4)− s(3)
4− 3
= 16(4
2)− 16(32)
1 = 256− 144 = 112
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
a) Aqúı t = 3 y t + ∆t = 5. Luego,
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(5)− s(3)
5− 3
= 16(5
2)− 16(32)
2 =
400− 144
2 =
256
2 = 128
Por consiguiente, durante el lapso de t = 3 a t = 5, el móvil cae
una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/
segundo.
b) Ahora, t = 3 y t + ∆t = 4.
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(4)− s(3)
4− 3
= 16(4
2)− 16(32)
1 = 256− 144 = 112
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
a) Aqúı t = 3 y t + ∆t = 5. Luego,
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(5)− s(3)
5− 3
= 16(5
2)− 16(32)
2 =
400− 144
2 =
256
2 = 128
Por consiguiente, durante el lapso de t = 3 a t = 5, el móvil cae
una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/
segundo.
b) Ahora, t = 3 y t + ∆t = 4.
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(4)− s(3)
4− 3
= 16(4
2)− 16(32)
1 = 256− 144 = 112
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
a) Aqúı t = 3 y t + ∆t = 5. Luego,
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(5)− s(3)
5− 3
= 16(5
2)− 16(32)
2 =
400− 144
2 =
256
2 = 128
Por consiguiente, durante el lapso de t = 3 a t = 5, el móvil cae
una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/
segundo.
b) Ahora, t = 3 y t + ∆t = 4.
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(4)− s(3)
4− 3
= 16(4
2)− 16(32)
1 = 256− 144 = 112
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
a) Aqúı t = 3 y t + ∆t = 5. Luego,
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(5)− s(3)
5− 3
= 16(5
2)− 16(32)
2 =
400− 144
2 =
256
2 = 128
Por consiguiente, durante el lapso de t = 3 a t = 5, el móvil cae
una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/
segundo.
b) Ahora, t = 3 y t + ∆t = 4.
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
s(4)− s(3)
4− 3
= 16(4
2)− 16(32)
1 = 256− 144 = 112
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, el móvil tiene una velocidad promedio de 112 pies/
segundo durante el cuarto segundo de cáıda.
c) En este caso, t = 3 y ∆t = 3 12 − 3 =
1
2 .
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16
(
3 12
)2
− 16(3)2
1
2
= 196− 1441
2
= 521
2
= 104.
Aśı pues, el móvil tiene una velocidad promedio de 104 pies/
segundo durante el lapso de 3 a 3 12 segundos.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, el móvil tiene una velocidad promedio de 112 pies/
segundo durante el cuarto segundo de cáıda.
c) En este caso, t = 3 y ∆t = 3 12 − 3 =
1
2 .
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16
(
3 12
)2
− 16(3)2
1
2
= 196− 1441
2
= 521
2
= 104.
Aśı pues, el móvil tiene una velocidad promedio de 104 pies/
segundo durante el lapso de 3 a 3 12 segundos.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, el móvil tiene una velocidad promedio de 112 pies/
segundo durante el cuarto segundo de cáıda.
c) En este caso, t = 3 y ∆t = 3 12 − 3 =
1
2 .
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16
(
3 12
)2
− 16(3)2
1
2
= 196− 1441
2
= 521
2
= 104.
Aśı pues, el móvil tiene una velocidad promedio de 104 pies/
segundo durante el lapso de 3 a 3 12 segundos.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, el móvil tiene una velocidad promedio de 112 pies/
segundo durante el cuarto segundo de cáıda.
c) En este caso, t = 3 y ∆t = 3 12 − 3 =
1
2 .
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16
(
3 12
)2
− 16(3)2
1
2
= 196− 1441
2
= 521
2
= 104.
Aśı pues, el móvil tiene una velocidad promedio de 104 pies/
segundo durante el lapso de 3a 3 12 segundos.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, el móvil tiene una velocidad promedio de 112 pies/
segundo durante el cuarto segundo de cáıda.
c) En este caso, t = 3 y ∆t = 3 12 − 3 =
1
2 .
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16
(
3 12
)2
− 16(3)2
1
2
= 196− 1441
2
= 521
2
= 104.
Aśı pues, el móvil tiene una velocidad promedio de 104 pies/
segundo durante el lapso de 3 a 3 12 segundos.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
d) En el caso general:
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16(t + ∆t)2 − 16t2
∆t
= 16[t
2 + 2t ·∆t + (∆t)2]− 16t2
∆t
= 32t ·∆t + 16(∆t)
2
∆t = 32t + 16∆t.
La cual es la velocidad promedio durante el lapso de t a t + ∆t.
Observación
Todos los resultados particulares del ejemplo anterior pueden
obtenerse como casos especiales de la parte d) poniendo los valores
apropiados de t y ∆t.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
d) En el caso general:
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16(t + ∆t)2 − 16t2
∆t
= 16[t
2 + 2t ·∆t + (∆t)2]− 16t2
∆t
= 32t ·∆t + 16(∆t)
2
∆t = 32t + 16∆t.
La cual es la velocidad promedio durante el lapso de t a t + ∆t.
Observación
Todos los resultados particulares del ejemplo anterior pueden
obtenerse como casos especiales de la parte d) poniendo los valores
apropiados de t y ∆t.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
d) En el caso general:
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16(t + ∆t)2 − 16t2
∆t
= 16[t
2 + 2t ·∆t + (∆t)2]− 16t2
∆t
= 32t ·∆t + 16(∆t)
2
∆t = 32t + 16∆t.
La cual es la velocidad promedio durante el lapso de t a t + ∆t.
Observación
Todos los resultados particulares del ejemplo anterior pueden
obtenerse como casos especiales de la parte d) poniendo los valores
apropiados de t y ∆t.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
d) En el caso general:
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16(t + ∆t)2 − 16t2
∆t
= 16[t
2 + 2t ·∆t + (∆t)2]− 16t2
∆t
= 32t ·∆t + 16(∆t)
2
∆t = 32t + 16∆t.
La cual es la velocidad promedio durante el lapso de t a t + ∆t.
Observación
Todos los resultados particulares del ejemplo anterior pueden
obtenerse como casos especiales de la parte d) poniendo los valores
apropiados de t y ∆t.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
d) En el caso general:
∆s/∆t = s(t + ∆t)− s(t)∆t =
16(t + ∆t)2 − 16t2
∆t
= 16[t
2 + 2t ·∆t + (∆t)2]− 16t2
∆t
= 32t ·∆t + 16(∆t)
2
∆t = 32t + 16∆t.
La cual es la velocidad promedio durante el lapso de t a t + ∆t.
Observación
Todos los resultados particulares del ejemplo anterior pueden
obtenerse como casos especiales de la parte d) poniendo los valores
apropiados de t y ∆t.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Definición
Sea y = f (x) una función dada. La derivada de y con respecto
a x denotada por dy/dx se define por
dy
dx = ĺım∆→0
∆y
∆x
o bien
dy
dx = ĺım∆→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
siempre que el ĺımite exista.
Si la derivada de una función existe en un punto particular,
decimos que f es diferenciable en tal punto.
La derivada de y = f (x) con respecto a x también se denota por
uno de los siguientes śımbolos:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Definición
Sea y = f (x) una función dada. La derivada de y con respecto
a x denotada por dy/dx se define por
dy
dx = ĺım∆→0
∆y
∆x
o bien
dy
dx = ĺım∆→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
siempre que el ĺımite exista.
Si la derivada de una función existe en un punto particular,
decimos que f es diferenciable en tal punto.
La derivada de y = f (x) con respecto a x también se denota por
uno de los siguientes śımbolos:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Definición
Sea y = f (x) una función dada. La derivada de y con respecto
a x denotada por dy/dx se define por
dy
dx = ĺım∆→0
∆y
∆x
o bien
dy
dx = ĺım∆→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
siempre que el ĺımite exista.
Si la derivada de una función existe en un punto particular,
decimos que f es diferenciable en tal punto.
La derivada de y = f (x) con respecto a x también se denota por
uno de los siguientes śımbolos:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Definición
Sea y = f (x) una función dada. La derivada de y con respecto
a x denotada por dy/dx se define por
dy
dx = ĺım∆→0
∆y
∆x
o bien
dy
dx = ĺım∆→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
siempre que el ĺımite exista.
Si la derivada de una función existe en un punto particular,
decimos que f es diferenciable en tal punto.
La derivada de y = f (x) con respecto a x también se denota por
uno de los siguientes śımbolos:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
d
dx (y),
df
dx ,
d
dx (f ), y
′, f ′(x), Dxy , Dx f .
Observación
dy/dx representa un solo śımbolo y no deberá interpretarse como
el cociente de las cantidades dy y dx . Con la finalidad de ampliar
la notación, note que dy/dx indica la derivada de y con respecto a
x si y es una función de la variable independiente x ; dC/dq denota
la derivada de Ccon respecto a q si C es una función de la variable
independiente q; dx/du indica la derivada de x con respecto a u si
x es una función de la variable independiente u.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
d
dx (y),
df
dx ,
d
dx (f ), y
′, f ′(x), Dxy , Dx f .
Observación
dy/dx representa un solo śımbolo y no deberá interpretarse como
el cociente de las cantidades dy y dx . Con la finalidad de ampliar
la notación, note que dy/dx indica la derivada de y con respecto a
x si y es una función de la variable independiente x ; dC/dq denota
la derivada de Ccon respecto a q si C es una función de la variable
independiente q; dx/du indica la derivada de x con respecto a u si
x es una función de la variable independiente u.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Interpretación Geométrica de la Derivada
Supongamos que se quiere encontrar la ecuación de la recta
tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0, como se
muestra en la figura a continuación:
La ecuación de la recta tangente estaŕıa dada por:
y − f (x0) = mtg (x − x0)
Ahora vamos a calcular la pendiente de la recta tangente.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La pendiente de la recta secante entre los puntos P(x , f (x)) y
Q(x + ∆x , f (x + ∆x)) seŕıa: msec =
f (x + ∆x)− f (x)
∆x .
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La pendiente de la recta tangente se obtendŕıa haciendo que ∆x se
haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante
toma la posiciónde la recta tangente, y resolveŕıamos nuestro
problema; es decir:
mtg = ĺım∆x→0 f (x+∆x)−f (x)∆x
Velocidad Instantánea
Supongamos que tenemos la ecuación del espacio e recorrido por
un móvil, y que sea función del tiempo, es decir e = f (t). Suponga
ahora que se quiere determinar la velocidad media mv en un
intervalo de tiempo [t, t + ∆t] , esta estaŕıa dada por:
vm = ∆e∆t =
f (t+∆t)−f (t)
t+∆t−t
La velocidad instantánea v seŕıa la velocidad media calculada en
intervalos de tiempo ∆t cada vez más pequeños, es decir:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La pendiente de la recta tangente se obtendŕıa haciendo que ∆x se
haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante
toma la posición de la recta tangente, y resolveŕıamos nuestro
problema; es decir:
mtg = ĺım∆x→0 f (x+∆x)−f (x)∆x
Velocidad Instantánea
Supongamos que tenemos la ecuación del espacio e recorrido por
un móvil, y que sea función del tiempo, es decir e = f (t). Suponga
ahora que se quiere determinar la velocidad media mv en un
intervalo de tiempo [t, t + ∆t] , esta estaŕıa dada por:
vm = ∆e∆t =
f (t+∆t)−f (t)
t+∆t−t
La velocidad instantánea v seŕıa la velocidad media calculada en
intervalos de tiempo ∆t cada vez más pequeños, es decir:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La pendiente de la recta tangente se obtendŕıa haciendo que ∆x se
haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante
toma la posición de la recta tangente, y resolveŕıamos nuestro
problema; es decir:
mtg = ĺım∆x→0 f (x+∆x)−f (x)∆x
Velocidad Instantánea
Supongamos que tenemos la ecuación del espacio e recorrido por
un móvil, y que sea función del tiempo, es decir e = f (t). Suponga
ahora que se quiere determinar la velocidad media mv en un
intervalo de tiempo [t, t + ∆t] , esta estaŕıa dada por:
vm = ∆e∆t =
f (t+∆t)−f (t)
t+∆t−t
La velocidad instantánea v seŕıa la velocidad media calculada en
intervalos de tiempo ∆t cada vez más pequeños, es decir:
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
v = ĺım
∆t→0
vm = ĺım
∆t→0
∆e
∆t = ĺım∆t→0
f (t + ∆t)− f (t)
∆t
En ambas situaciones podemos concluir lo siguiente:
1 La derivada dydx representa la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en un punto dado x .
2 La derivada dedt representa la velocidad instantánea, v , de un
móvil cuyo recorrido se mide por la función e = f (t).
Ejercicio
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x) = √x
en el punto (4, 2).
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
v = ĺım
∆t→0
vm = ĺım
∆t→0
∆e
∆t = ĺım∆t→0
f (t + ∆t)− f (t)
∆t
En ambas situaciones podemos concluir lo siguiente:
1 La derivada dydx representa la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en un punto dado x .
2 La derivada dedt representa la velocidad instantánea, v , de un
móvil cuyo recorrido se mide por la función e = f (t).
Ejercicio
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x) = √x
en el punto (4, 2).
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
v = ĺım
∆t→0
vm = ĺım
∆t→0
∆e
∆t = ĺım∆t→0
f (t + ∆t)− f (t)
∆t
En ambas situaciones podemos concluir lo siguiente:
1 La derivada dydx representa la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en un punto dado x .
2 La derivada dedt representa la velocidad instantánea, v , de un
móvil cuyo recorrido se mide por la función e = f (t).
Ejercicio
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x) = √x
en el punto (4, 2).
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
v = ĺım
∆t→0
vm = ĺım
∆t→0
∆e
∆t = ĺım∆t→0
f (t + ∆t)− f (t)
∆t
En ambas situaciones podemos concluir lo siguiente:
1 La derivada dydx representa la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en un punto dado x .
2 La derivada dedt representa la velocidad instantánea, v , de un
móvil cuyo recorrido se mide por la función e = f (t).
Ejercicio
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x) = √x
en el punto (4, 2).
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Definición
Sea f : R→ R una función de variable real y sea x0 un punto de su
dominio. La derivada de f en “x0”, denotada por f ′(x0), se define
como:
f ′(x0) = ĺım
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
siempre que este ĺımite exista.
Nota
Cuando la derivada en “x0” existe, se dice que es f es diferenciable
en x0.
Notaciones
Las notaciones más usuales para la derivada son: y ′ Dxy ,
dy
dx
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Definición
Sea f : R→ R una función de variable real y sea x0 un punto de su
dominio. La derivada de f en “x0”, denotada por f ′(x0), se define
como:
f ′(x0) = ĺım
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
siempre que este ĺımite exista.
Nota
Cuando la derivada en “x0” existe, se dice que es f es diferenciable
en x0.
Notaciones
Las notaciones más usuales para la derivada son: y ′ Dxy ,
dy
dx
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La derivada en cualquier punto “x” es:
f ′(x) = ĺım
h→0
f (x + h)− f (x)
h
Forma Alternativa
Una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos
casos resulta muy útil es la siguiente: en la expresión para la
derivada, hacemos el cambio de variable: h = x − x0
f ′(x0) = ĺım
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h = ĺımx→x0
f (x0 + x − x0)− f (x0)
x − x0
= ĺım
x→x0
f (x)− f (x0)
x − x0
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La derivada en cualquier punto “x” es:
f ′(x) = ĺım
h→0
f (x + h)− f (x)
h
Forma Alternativa
Una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos
casos resulta muy útil es la siguiente: en la expresión para la
derivada, hacemos el cambio de variable: h = x − x0
f ′(x0) = ĺım
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h = ĺımx→x0
f (x0 + x − x0)− f (x0)
x − x0
= ĺım
x→x0
f (x)− f (x0)
x − x0
Uceda, R.A. La Derivada
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
DerivaciónEl proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Derivación
El proceso de encontrar la derivada de una función puede
complicarse al utilizar la definición. Sin embargo, para facilitar este
trabajo se disponen de técnicas y reglas.
Fórmulas de Derivación
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las fórmulas siguientes:
1 Dx (k) = 0, ∀ k ∈ R
2 Dx (x) = 1
3 Dx (xn) = n(xn−1)
4 Dx (ex ) = ex
5 Dx (ax ) = ax ln a
6 Dx (ln x) =
1
x
7 Dx (loga x) =
1
x ln a
8 Dx (sin x) = cos x
9 Dx (cos x) = − sin x
10 Dx (tan x) = sec2 x
11 Dx (cot x) = − csc2 x
12 Dx (sec x) = sec x tan x
13 Dx (csc x) = − csc x cot x
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1) Si f (x) = 4, entonces f ′(x) = 0.
2) Si f (x) = x3, entonces, f ′(x) = 3x3−1 = 3x2.
3) f (x) = √x = x1/2, entonces,f ′(x) = 12(x)
1
2−1 = 12√x .
4) Hallar la ecuación de la recta tangente a f (x) = x3 en x = 1.
Solución.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1) Si f (x) = 4, entonces f ′(x) = 0.
2) Si f (x) = x3, entonces, f ′(x) = 3x3−1 = 3x2.
3) f (x) = √x = x1/2, entonces, f ′(x) = 12(x)
1
2−1 = 12√x .
4) Hallar la ecuación de la recta tangente a f (x) = x3 en x = 1.
Solución.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1) Si f (x) = 4, entonces f ′(x) = 0.
2) Si f (x) = x3, entonces, f ′(x) = 3x3−1 = 3x2.
3) f (x) = √x = x1/2, entonces, f ′(x) = 12(x)
1
2−1 = 12√x .
4) Hallar la ecuación de la recta tangente a f (x) = x3 en x = 1.
Solución.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1) Si f (x) = 4, entonces f ′(x) = 0.
2) Si f (x) = x3, entonces, f ′(x) = 3x3−1 = 3x2.
3) f (x) = √x = x1/2, entonces, f ′(x) = 12(x)
1
2−1 = 12√x .
4) Hallar la ecuación de la recta tangente a f (x) = x3 en x = 1.
Solución.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1) Si f (x) = 4, entonces f ′(x) = 0.
2) Si f (x) = x3, entonces, f ′(x) = 3x3−1 = 3x2.
3) f (x) = √x = x1/2, entonces, f ′(x) = 12(x)
1
2−1 = 12√x .
4) Hallar la ecuación de la recta tangente a f (x) = x3 en x = 1.
Solución.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x) (suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x) (suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x) (suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x) (suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x) (suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x) (suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x) (suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x)(suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
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Propiedades de la Derivada
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está
dada por: y − y0 = m(x − x0).
El punto seŕıa: x0 = 1 y y0 = f (x0) = (1)3 = 1
La pendiente seŕıa: mtg = f ′(x0) = f ′(1) = 3(1)2 = 3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 3(x − 1).
Reglas de Derivación para las Operaciones Entre Funciones
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:
1 Dx (kf (x)) = kf ′(x) (Multiplicación por una constante)
2 Dx (f (x)± g(x)) = f ′(x)± g ′(x) (suma y resta de funciones)
3 Dx (f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x) (producto de
funciones)
4 Dx
( f (x)
g(x)
)
= f
′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2 (cociente de funciones)
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1. Si f (x) = 43√x = 4x
−1/3, entonces
f ′(x) = 4Dx (x−1/3) = 4
(
−13x
−1/3−1
)
= −43x
−4/3.
2. Si Si f (x) = 4
√
x − 2x + 3, entonces:
f ′(x) = ddx (4
√
x)− ddx (2x
−1)+ ddx (3) = 4
( 1
2√x
)
+2x−2 +0
3. Si f (x) = (x2 + 2)(x3 + 1), entonces:
f ′(x) = ddx (x2 + 2)(x3 + 1) + (x2 + 2)
d
dx (x3 + 1) =
= (2x + 0)(x3 + 1) + (x2 + 2)(3x2 + 0)
= 2x4 + 2x + +3x4 + 6x2 = 5x4 + 6x2 + 2x
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
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La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1. Si f (x) = 43√x = 4x
−1/3, entonces
f ′(x) = 4Dx (x−1/3) = 4
(
−13x
−1/3−1
)
= −43x
−4/3.
2. Si Si f (x) = 4
√
x − 2x + 3, entonces:
f ′(x) = ddx (4
√
x)− ddx (2x
−1)+ ddx (3) = 4
( 1
2√x
)
+2x−2 +0
3. Si f (x) = (x2 + 2)(x3 + 1), entonces:
f ′(x) = ddx (x2 + 2)(x3 + 1) + (x2 + 2)
d
dx (x3 + 1) =
= (2x + 0)(x3 + 1) + (x2 + 2)(3x2 + 0)
= 2x4 + 2x + +3x4 + 6x2 = 5x4 + 6x2 + 2x
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
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Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1. Si f (x) = 43√x = 4x
−1/3, entonces
f ′(x) = 4Dx (x−1/3) = 4
(
−13x
−1/3−1
)
= −43x
−4/3.
2. Si Si f (x) = 4
√
x − 2x + 3, entonces:
f ′(x) = ddx (4
√
x)− ddx (2x
−1)+ ddx (3) = 4
( 1
2√x
)
+2x−2 +0
3. Si f (x) = (x2 + 2)(x3 + 1), entonces:
f ′(x) = ddx (x2 + 2)(x3 + 1) + (x2 + 2)
d
dx (x3 + 1) =
= (2x + 0)(x3 + 1) + (x2 + 2)(3x2 + 0)
= 2x4 + 2x + +3x4 + 6x2 = 5x4 + 6x2 + 2x
Uceda, R.A. La Derivada
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Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1. Si f (x) = 43√x = 4x
−1/3, entonces
f ′(x) = 4Dx (x−1/3) = 4
(
−13x
−1/3−1
)
= −43x
−4/3.
2. Si Si f (x) = 4
√
x − 2x + 3, entonces:
f ′(x) = ddx (4
√
x)− ddx (2x
−1)+ ddx (3) = 4
( 1
2√x
)
+2x−2 +0
3. Si f (x) = (x2 + 2)(x3 + 1), entonces:
f ′(x) = ddx (x2 + 2)(x3 + 1) + (x2 + 2)
d
dx (x3 + 1) =
= (2x + 0)(x3 + 1) + (x2 + 2)(3x2 + 0)
= 2x4 + 2x + +3x4 + 6x2 = 5x4 + 6x2 + 2x
Uceda, R.A. La Derivada
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Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1. Si f (x) = 43√x = 4x
−1/3, entonces
f ′(x) = 4Dx (x−1/3) = 4
(
−13x
−1/3−1
)
= −43x
−4/3.
2. Si Si f (x) = 4
√
x − 2x + 3, entonces:
f ′(x) = ddx (4
√
x)− ddx (2x
−1)+ ddx (3) = 4
( 1
2√x
)
+2x−2 +0
3. Si f (x) = (x2 + 2)(x3 + 1), entonces:
f ′(x) = ddx (x2 + 2)(x3 + 1) + (x2 + 2)
d
dx (x3 + 1) =
= (2x + 0)(x3 + 1) + (x2 + 2)(3x2 + 0)
= 2x4 + 2x + +3x4 + 6x2 = 5x4 + 6x2 + 2x
Uceda, R.A. La Derivada
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Propiedades de la Derivada
Ejemplos
1. Si f (x) = 43√x = 4x
−1/3, entonces
f ′(x) = 4Dx (x−1/3) = 4
(
−13x
−1/3−1
)
= −43x
−4/3.
2. Si Si f (x) = 4
√
x − 2x + 3, entonces:
f ′(x) = ddx (4
√
x)− ddx (2x
−1)+ ddx (3) = 4
( 1
2√x
)
+2x−2 +0
3. Si f (x) = (x2 + 2)(x3 + 1), entonces:
f ′(x) = ddx (x2 + 2)(x3 + 1) + (x2 + 2)
d
dx (x3 + 1) =
= (2x + 0)(x3 + 1) + (x2 + 2)(3x2 + 0)
= 2x4 + 2x + +3x4 + 6x2 = 5x4 + 6x2 + 2x
Uceda, R.A. La Derivada
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Propiedades de la Derivada
Nota
Para el caso del producto de tres funciones, la regla es:
d
dx [f (x)g(x)h(x)] = f
′(x)g(x)h(x)+f (x)g ′(x)h(x)+f (x)g(x)h′(x)
Ejemplos
1) Si f (x) = ex sin x ln x , entonces:
f ′(x) =
[
d
dx e
x
]
sin x ln x + ex
[
d
dx sin x
]
ln x + ex sin x
[
d
dx ln x
]
= ex sin x ln x + ex cos x ln x + ex sin x
(1
x
)
2) Si f (x) = x
2 + 2
x3 + 1, entonces:
f ′(x) =
[ d
dx (x
2 + 2)
]
(x3+1)−(x2+2)
[ d
dx (x
3 + 1)
]
(x3+1)2 =
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Nota
Para el caso del producto de tres funciones, la regla es:
d
dx [f (x)g(x)h(x)] = f
′(x)g(x)h(x)+f (x)g ′(x)h(x)+f (x)g(x)h′(x)
Ejemplos
1) Si f (x) = ex sin x ln x , entonces:
f ′(x) =
[
d
dx e
x
]
sin x ln x + ex
[
d
dx sin x
]
ln x + ex sin x
[
d
dx ln x
]
= ex sin x ln x + ex cos x ln x + ex sin x
(1
x
)
2) Si f (x) = x
2 + 2
x3 + 1, entonces:
f ′(x) =
[ d
dx (x
2 + 2)
]
(x3+1)−(x2+2)
[ d
dx (x
3 + 1)
]
(x3+1)2 =
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
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La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Nota
Para el caso del producto de tres funciones, la regla es:
d
dx [f (x)g(x)h(x)] = f
′(x)g(x)h(x)+f (x)g ′(x)h(x)+f (x)g(x)h′(x)
Ejemplos
1) Si f (x) = ex sin x ln x , entonces:
f ′(x) =
[
d
dx e
x
]
sin x ln x + ex
[
d
dx sin x
]
ln x + ex sin x
[
d
dx ln x
]
= ex sin x ln x + ex cos x ln x + ex sin x
(1
x
)
2) Si f (x) = x
2 + 2
x3 + 1, entonces:
f ′(x) =
[ d
dx (x
2 + 2)
]
(x3+1)−(x2+2)
[ d
dx (x
3 + 1)
]
(x3+1)2 =
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
= (2x)(x
3 + 1)− (x2 + 2)(3x2)
(x3 + 1)2
= 2x
4 + 2x − 3x4 − 6x2
(x3 + 1)2 =
−x4 − 6x2 + 2x
(x3 + 1)2 .
Teorema
Si f es diferenciable en x0, es decir, existe f ′(x0), entonces f es
continua en x0.
Observación
El teorema anterior nos pemite concluir que, si una función es
discontinua en “x0” entonces no es diferenciable en “x0”. Además,
se debe tener en cuenta que no toda función continua es
diferenciable.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
= (2x)(x
3 + 1)− (x2 + 2)(3x2)
(x3 + 1)2
= 2x
4 + 2x − 3x4 − 6x2
(x3 + 1)2 =
−x4 − 6x2 + 2x
(x3 + 1)2 .
Teorema
Si f es diferenciable en x0, es decir, existe f ′(x0), entonces f es
continua en x0.
Observación
El teorema anterior nos pemite concluir que, si una función es
discontinua en “x0” entonces no es diferenciable en “x0”. Además,
se debe tener en cuenta que no toda función continua es
diferenciable.
Uceda, R.A. La Derivada
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La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
= (2x)(x
3 + 1)− (x2 + 2)(3x2)
(x3 + 1)2
= 2x
4 + 2x − 3x4 − 6x2
(x3 + 1)2 =
−x4 − 6x2 + 2x
(x3 + 1)2 .
Teorema
Si f es diferenciable en x0, es decir, existe f ′(x0), entonces f es
continua en x0.
Observación
El teorema anterior nos pemite concluir que, si una función es
discontinua en “x0” entonces no es diferenciable en “x0”. Además,
se debe tener en cuenta que no toda función continua es
diferenciable.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo
Si f (x) = |x − 1|, hallar f ′(1).
Solución.
Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ′(1) = ĺımx→1
f (x)− f (1)
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1| − 0
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1|
x − 1
El último ĺımite se obtiene aplicando ĺımites laterales, es decir:
1 ĺım
x→1+
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
x − 1
x − 1 = 1
2 ĺım
x→1−
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
−(x − 1)
x − 1 = −1
Como los ĺımites laterales son diferentes, entonces ĺım
x→1
|x − 1|
x − 1 no
existe.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo
Si f (x) = |x − 1|, hallar f ′(1).
Solución.
Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ′(1) = ĺım
x→1
f (x)− f (1)
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1| − 0
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1|
x − 1
El último ĺımite se obtiene aplicando ĺımites laterales, es decir:
1 ĺım
x→1+
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
x − 1
x − 1 = 1
2 ĺım
x→1−
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
−(x − 1)
x − 1 = −1
Como los ĺımites laterales son diferentes, entonces ĺım
x→1
|x − 1|
x − 1 no
existe.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
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La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo
Si f (x) = |x − 1|, hallar f ′(1).
Solución.
Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ′(1) = ĺım
x→1
f (x)− f (1)
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1| − 0
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1|
x − 1
El último ĺımite se obtiene aplicando ĺımites laterales, es decir:
1 ĺım
x→1+
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
x − 1
x − 1 = 1
2 ĺım
x→1−
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
−(x − 1)
x − 1 = −1
Como los ĺımites laterales son diferentes, entonces ĺım
x→1
|x − 1|
x − 1 no
existe.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
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La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo
Si f (x) = |x − 1|, hallar f ′(1).
Solución.
Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ′(1) = ĺım
x→1
f (x)− f (1)
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1| − 0
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1|
x − 1
El último ĺımite se obtiene aplicando ĺımites laterales, es decir:
1 ĺım
x→1+
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
x − 1
x − 1 = 1
2 ĺım
x→1−
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
−(x − 1)
x − 1 = −1
Como los ĺımites laterales son diferentes, entonces ĺım
x→1
|x − 1|
x − 1 no
existe.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
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Propiedades de la Derivada
Ejemplo
Si f (x) = |x − 1|, hallar f ′(1).
Solución.
Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ′(1) = ĺım
x→1
f (x)− f (1)
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1| − 0
x − 1 = ĺımx→1
|x − 1|
x − 1
El último ĺımite se obtiene aplicando ĺımites laterales, es decir:
1 ĺım
x→1+
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
x − 1
x − 1 = 1
2 ĺım
x→1−
|x − 1|
x − 1 = ĺımx→1
−(x − 1)
x − 1 = −1
Como los ĺımites laterales son diferentes, entonces ĺım
x→1
|x − 1|
x − 1 no
existe.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La gráfica de y = |x − 1| se muestra a continuación:
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes
pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1. En este caso se
dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1.
Esta función aunque es continua en x = 1, no es diferenciable en
ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
La gráfica de y = |x − 1| se muestra a continuación:
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes
pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1. En este caso se
dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1.
Esta función aunque es continua en x = 1, no es diferenciable en
ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo
Dada f (x) = 3√x , hallar f ′(0).
Solución:
Empleando la forma alternativa:
f ′(0) = ĺım
x→0
f (x)− f (0)
x − 0 = ĺımx→0
3
√
x − 0
x = ĺımx→0
1
x2/3
=∞
Este es un ejemplo de una función que, a pesar de ser continua y
suave en un punto, no es diferenciable en ese punto. Lo que ocurre
es que la recta tangente en x = 0 es vertical (pendiente infinita)
como muestra su gráfica a continuación.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo
Dada f (x) = 3√x , hallar f ′(0).
Solución:
Empleando la forma alternativa:
f ′(0) = ĺım
x→0
f (x)− f (0)
x − 0 = ĺımx→0
3
√
x − 0
x = ĺımx→0
1
x2/3
=∞
Este es un ejemplo de una función que, a pesar de ser continua y
suave en un punto, no es diferenciable en ese punto. Lo que ocurre
es que la recta tangente en x = 0 es vertical (pendiente infinita)
como muestra su gráfica a continuación.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Ejemplo
Dada f (x) = 3√x , hallar f ′(0).
Solución:
Empleando la forma alternativa:
f ′(0) = ĺım
x→0
f (x)− f (0)
x − 0 = ĺımx→0
3
√
x − 0
x = ĺımx→0
1
x2/3
=∞
Este es un ejemplo de una función que, a pesar de ser continua y
suave en un punto, no es diferenciable en ese punto. Lo que ocurre
es que la recta tangente en x = 0 es vertical (pendiente infinita)
como muestra su gráfica a continuación.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Gráfica de la función 3
√
x
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, si una función es diferenciable en un punto x0, ocurren
tres cosas:
1 Es continua en ese punto
2 Es suave en ese punto
3 La recta tangente no es vertical en ese punto.
Ejemplo
Cierto art́ıculo puede fabricarse y venderse con una utilidad de $10
cada uno. Si el fabricante gasta x dólares en la publicidad del
art́ıculo, el número de art́ıculos que pueden venderse será igual a
1000(1− e−0,001x ). Si P denota la utilidad neta por las ventas,
calcule dP/dx e interprete esta derivada. Evalúe dP/dx si
x = 1000 y cuando x = 3000.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, si una función es diferenciable en un punto x0, ocurren
tres cosas:
1 Es continua en ese punto
2 Es suave en ese punto
3 La recta tangente no es vertical en ese punto.
Ejemplo
Cierto art́ıculo puede fabricarse y venderse con una utilidad de $10
cada uno. Si el fabricante gasta x dólares en la publicidad del
art́ıculo, el número de art́ıculos que pueden venderse será igual a
1000(1− e−0,001x ). Si P denota la utilidad neta por las ventas,
calcule dP/dx e interprete esta derivada. Evalúe dP/dx si
x = 1000 y cuando x = 3000.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, si una función es diferenciable en un punto x0, ocurren
tres cosas:
1 Es continua en ese punto
2 Es suave en ese punto
3 La recta tangente no es vertical en ese punto.
Ejemplo
Cierto art́ıculo puede fabricarse y venderse con una utilidad de $10
cada uno. Si el fabricante gasta x dólares en la publicidad del
art́ıculo, el número de art́ıculos que pueden venderse será igual a
1000(1− e−0,001x ). Si P denota la utilidad neta por las ventas,
calcule dP/dx e interprete esta derivada. Evalúe dP/dx si
x = 1000 y cuando x = 3000.
Uceda, R.A. La Derivada
Preliminares
La Derivada
Tasa de Cambio Promedio
La Derivada o Tasa de Cambio Instantánea
Propiedades de la Derivada
Por tanto, si una función es diferenciable en un punto x0, ocurren
tres cosas:
1 Es continua