Tarea 3 Derivadas_479

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Tarea 3: Derivadas 
 
 
Tutor: 
Jose Alberto Escobar 
 
Presentado por : 
 Paula Andrea Vargas Idarraga 
 
Grupo: 479 
 
 
 
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD 
Administración de Empresas 
Calculo Diferencial (100410) 
 2023 
 
 
 
Introducción 
 
El propósito de este trabajo es comprender el concepto de derivadas utilizando las 
reglas de diferenciación en la derivación de funciones, a través del desarrollo de 
ejercicios para la solución de problemas de aplicación en las matemáticas y en otras 
ciencias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
Ejercicio 1 
 
De acuerdo con la definición de derivada de una función es: 
 
𝒇´(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
 
 
 
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: 
 
E 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 6𝑥3 − 2 
 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 6𝑥3 − 2 Primero hay que encontrar 𝑓(𝑥 + ℎ) 
 
𝑓(𝑥 + ℎ) = 4(𝑥 + ℎ) + 6(𝑥 + ℎ)3 − 2 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
(4(𝑥 + ℎ) + 6(𝑥 + ℎ)3 − 2) − (4x + 6x3 − 2)
ℎ
 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
4𝑥 + 4ℎ + 6(𝑥3 + 3𝑥ℎ + ℎ3) − 2 + 4x + 6x3 − 2)
ℎ
 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
4𝑥 + 4ℎ + 6𝑥3 + 18𝑥ℎ + 6ℎ3 − 2 + 4x + 6x3 − 2)
ℎ
 
 
Se eliminan términos semejantes 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
4𝑥 + 4ℎ + 6𝑥3 + 18𝑥ℎ + 6ℎ3 − 2 + 4x + 6x3 − 2
ℎ
 
Sacamos el común de la h 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
18𝑥ℎ + 6ℎ3 − 4ℎ
ℎ
 
Se cancela la indeterminación 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
ℎ(18𝑥 + 6ℎ − 2)
ℎ
 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
18𝑥 + 6ℎ − 2 
 
Se evalúa el limite 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
18𝑥2 + 6(0) − 2 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
18𝑥2 + 4 
 
𝑓´(𝑥) = 18𝑥2 + 4 
 
Comprobación en GeoGebra 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2 
 
Calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación 
𝑓(𝑥) =
3𝑥2 + 2𝑥
2 − cos 2𝑥
 
 
Se aplica la regla de la derivada parcial 
 
𝑑
𝑑𝑥
 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
−f(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑔2𝑥
 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 2 − cos 2𝑥 
 
Para calcular 
𝒅
𝒅𝒙
𝒇(𝒙): 
 
Se diferencia 3𝑥2 + 2𝑥 miembro por miembro: 
 
▪ La derivada del producto de una constante por funcion es igual al producto de 
esta constante por la derivada de esta funcion: 
 
• Según el principio, aplicamos: x tenemos 1 
Entonces como resultado: 2 
 
▪ La derivada del producto de una constante por funcion es igual al producto de 
esta constante por la derivada de esta funcion: 
 
• Según el principio aplicamos: 𝒙𝟐 tenemos 2x 
Entonces como resultado: 𝟔𝒙 
Como resultado de: 𝟔𝒙 + 𝟐 
 
Para calcular 
𝒅
𝒅𝒙
𝒈(𝒙): 
Se diferencia 2 − cos 2𝑥 miembro por miembro: 
 
▪ La derivada de una constante 2 es igual a cero. 
▪ La derivada del producto de una constante por funcion es igual al producto de 
esta constante por la derivada de esta funcion. 
• Sustituimos 𝒖 = 𝟐𝒙 
• La derivada del coseno es igual a menos el seno: 
𝒅
𝒅𝒖
𝐜𝐨𝐬 𝒖 = − 𝐬𝐢𝐧 𝒖 
• Luego se aplica una cadena de reglas. multiplicamos por 
𝒅
𝒅𝒙
𝟐𝒙: 
• La derivada del producto de una constante por funcion es igual al 
producto de esta constante por la derivada de esta funcion 
• Según el principio, aplicamos: x tenemos 1 
 Entonces como resultado: 2 
• Como resultado de esta secuencia de reglas: 
−𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 
• Entonces como resultado: 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 
▪ Como resultado de: 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una división: 
 
(2 − cos 2𝑥)(6𝑥 + 2) − 2(3𝑥2 + 2𝑥) sin 2𝑥
(2 − cos 2𝑥)2
 
 
Se simplifica: 
 
2(−𝑥(3𝑥 + 2) sin 2𝑥 + (−3𝑥 − 1)(cos 2𝑥 − 2)
(cos 2𝑥 − 2)2
 
Respuesta 
2(−3𝑥2 − 2𝑥) sen 2𝑥 + (6𝑥 + 2)(2 − cos 2𝑥)
(2 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
 
 
Comprobación en GeoGebra 
 
 
 
 
Ejercicio 3 
 
Calcule la derivada implícita de la siguiente función. 
sin(𝑥𝑦) = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
Derivada implícita 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 de sin(𝑥𝑦) = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Pasos 
sin(𝑥𝑦) = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Diferenciar ambos lados cos(𝑥𝑦) (𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = − sin 𝑥 
 
Despejar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
−𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
 
 
 
 
 
Ejercicio 4 
 
Calcule las siguientes derivadas de orden superior. 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑓′′′(𝑥) =? 
 
Pasos 
Primera derivada 
𝑓(𝑥) = 2𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2 
𝑓´(𝑥) = 2 ∗ (𝑥5) + 3 ∗ (𝑥4) − 2 ∗ (𝑥2) + 𝑥 − 2 
𝑓´(𝑥) = 2 ∗ 5𝑥4 + 3 ∗ 4𝑥3 − 2 ∗ 2𝑥 + 1 + 0 
𝑓´(𝑥) = 10𝑥4 + 12𝑥3 − 4𝑥 + 1 
Segunda derivada 
𝑓(𝑥) = 10𝑥4 + 12𝑥3 − 4𝑥 + 1 
𝑓´(𝑥) = 10 ∗ (𝑥4) + 12 ∗ (𝑥3) − 4 ∗ (𝑥) + 1 
𝑓´(𝑥) = 10 ∗ 4𝑥3 + 12 ∗ 3𝑥2 − 4 ∗ 1 + 0 
𝑓´(𝑥) = 40𝑥3 + 36𝑥2 − 4 
Tercera derivada 
𝑓(𝑥) = 40𝑥3 + 36𝑥2 − 4 
𝑓´(𝑥) = 40 ∗ (𝑥3) + 36 ∗ (𝑥2) − 4 
𝑓´(𝑥) = 40 ∗ 3𝑥2 + 36 ∗ 2𝑥 + 0 
𝑓´(𝑥) = 120𝑥2 + 72𝑥 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio de aplicación 
 
De acuerdo con los siguientes ejercicios 
a) A calcule analíticamente los máximos, mínimos y puntos de inflexión 
b) Compruebe en GeoGebra sus cálculos graficando la funcion original y ubicando 
los puntos calculados 
Ejercicio 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥4 
Solución 
Hallamos primera derivada 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥4 
𝑓´(𝑥) = 2(𝑥2) − (𝑥4) 
𝑓´(𝑥) = 2 ∗ 2𝑥 − 4𝑥3 
𝑓´(𝑥) = 4x − 4𝑥3 
 
Igualamos 𝑓´(𝑥) = 0 
𝑓´(𝑥) = 4x − 4𝑥3 = 0 
Despejamos 
4x − 4𝑥3 = 0 
4 ∗ (x) − 4 ∗ (𝑥3) 
4 ∗ 1 − 4 ∗ 3𝑥2 
4 − 12x2 
Puntos de inflexión 
𝑥 =
1
√3
,
5
9
 
𝑥 = −
1
√3
,
5
9
 
Hallamos segunda derivada 
𝑓(𝑥) = 4 − 12x2 
𝑓´(𝑥) = 4 − 12 ∗ (𝑥2) 
𝑓´(𝑥) = 0 − 12 ∗ 2𝑥 
𝑓´(𝑥) = −24x 
 
Punto de inflexión 
x = 0 
 
Comprobación en GeoGebra 
 
 
Enlace del video. 
https://youtu.be/KRwjrf5gwfc 
 
https://youtu.be/KRwjrf5gwfc
Referencias bibliográficas 
 
Benjumea, L., Cruz, L., Cervelion, Á., Cabrera, J., Insuasti, A., Barrios, E. 
(2020). Derivadas – Objeto Virtual de Aprendizaje. [OVA]. Repositorio 
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 Solano, L. (2022). La derivada. [OVA]. Repositorio Institucional 
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https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39987?page=231
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39987?page=231
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/53065