CLASE-10-Obligatorios-resueltos9

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
1 
 
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 
∫(𝛼. 𝑓(𝑥) + 𝛽. 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝛼∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛽∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
 
CLASE N°10 - Ejercicios obligatorios 
INTEGRALES INDEFINIDAS 
Integrales Algebraicas 
Ejercicio A1 
∫(𝟓 ∙ 𝒆𝒙 −
𝟏
𝟐
∙ 𝒄𝒐𝒔𝒙 −
𝟖
𝒙𝟑
)𝒅𝒙 = 
 
= ∫5𝑒𝑥𝑑𝑥 − ∫
1
2
∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑑𝑥 − ∫
8
𝑥3
. 𝑑𝑥 = 
 
= 5 ∙ ∫𝑒𝑥𝑑𝑥 −
1
2
∙ ∫cos 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 − 8 ∙ ∫
1
𝑥3
𝑑𝑥 = 
 
= 5 ∙ ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 −
1
2
∙ ∫ cos 𝑥 . 𝑑𝑥 − 8 ∙ ∫𝑥−3𝑑𝑥 = 
= 5 ∙ 𝑒𝑥 + 𝐶1 −
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶2 − 8 ∙
𝑥−2
−2
+ 𝐶3 = 
= 5 ∙ 𝑒𝑥 −
1
2
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 4. 𝑥−2 + 𝐶 = 5 ∙ 𝑒𝑥 −
1
2
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
4
𝑥2
+ 𝐶 
 
Ejercicio A2 
∫(𝒔𝒆𝒏 𝒙 +
𝟐
𝟓
∙ 𝟑𝒙)𝒅𝒙 = 
= ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 +
2
5
∙ ∫ 3𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = − cos𝑥 +
2
5
∙
3𝑥
ln 3
+ 𝐶 
 
Ejercicio A5 
∫(𝟓√𝒙 − √𝒙𝟑
𝟓
+ 𝒙𝟔)𝒅𝒙= 
Aplicamos propiedad de linealidad y reescribimos las raíces como exponentes fraccionarios 
= 5∫𝑥
1
2. 𝑑𝑥 − ∫𝑥
3
5. 𝑑𝑥 + ∫𝑥6𝑑𝑥 = 5 ∙
𝑥
3
2
3
2
−
𝑥
8
5
8
5
+
𝑥7
7
+ 𝐶 = 5 ∙
2
3
𝑥
3
2 −
5
8
∙ 𝑥
8
5 +
𝑥7
7
+ 𝐶 = 
=
10
3
𝑥
3
2 −
5
8
𝑥
8
5 +
1
7
. 𝑥7 + 𝐶 
Usamos ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
 
Entonces ∫𝑥−3𝑑𝑥 = 
 𝑥−3+1
−3+1 
 
Tomamos 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 𝐶 
 
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Ejercicio A7 
∫
√𝒙
𝟑 + √𝒙
𝟓
√𝒙
𝟕 𝒅𝒙 = 
Reescribimos las raíces como exponentes fraccionarios 
= ∫
𝑥
1
3 + 𝑥
1
5
𝑥
1
7
𝑑𝑥 = 
Distribuimos denominador y aplicamos propiedad de linealidad 
= ∫
𝑥
1
3
𝑥
1
7
𝑑𝑥 + ∫
𝑥
1
5
𝑥
1
7
𝑑𝑥 = 
Operamos recordando las propiedades de la potencia (cociente de potencias de igual base se restan 
los exponentes) 
= ∫𝑥
4
21. 𝑑𝑥 + ∫𝑥
2
35. 𝑑𝑥 =
𝑥
25
21
25
21
+
𝑥
37
35
37
35
+ 𝐶 =
21
25
. 𝑥
25
21 +
35
37
. 𝑥
37
35 + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio A8 
∫(2𝑥 − 5)2𝑑𝑥 = ∫(4𝑥2 − 20𝑥 + 25)𝑑𝑥 = 4∫𝑥2𝑑𝑥 − 20∫𝑥1 ∙ 𝑑𝑥 + 25∫1. 𝑑𝑥 = 
= 4 ∙
𝑥3
3
− 20 ∙
𝑥2
2
+ 25 ∙ 𝑥 + 𝐶 =
4
3
𝑥3 − 10𝑥2 + 25𝑥 + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Integrales por Sustitución 
Ejercicio B1 
∫𝒙𝟐. √𝟑 − 𝒙𝟑. 𝒅𝒙 = 
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3 
 
𝑢 = 𝑥2 + 𝑥 
𝑑𝑢 = (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 
𝑑𝑢
2𝑥 + 1
= 𝑑𝑥 
Sustituyendo todo en la integral… 
= ∫𝑥2. √𝑢.
𝑑𝑢
−3𝑥2
= 
Simplificamos 𝑥2 para que quede todo en función de 𝑢 
= ∫√𝑢.
𝑑𝑢
−3
= ∫√𝑢. 𝑑𝑢. (−
1
3
) = −
1
3
.∫𝑢
1
2 ∙ 𝑑𝑢 = −
1
3
 ∙ 
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶 = −
1
3
 ∙ 
2
3
𝑢
3
2 + 𝐶 = −
2
9
𝑢
3
2 + 𝐶 = 
Reemplazamos a 𝑢 = 3 − 𝑥3 
= −
2
9
(3 − 𝑥3)
3
2 + 𝐶 = −
2
9
√(3 − 𝑥3)3 + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio B2 
∫
𝒙𝟑
√𝒙𝟒 + 𝟓
𝒅𝒙 = 
Reemplazando… 
= ∫
𝑥3
√𝑢
∙
𝑑𝑢
4𝑥3
= ∫
1
√𝑢
∙
𝑑𝑢
4
= 
=
1
4
∫
1
√𝑢
∙ 𝑑𝑢 = 
=
1
4
∫𝑢− 
1
2 ∙ 𝑑𝑢 = 
Integramos respecto de 𝑢 
=
1
4
∙
𝑢
1
2
1
2
+ 𝐶 =
1
4
∙ 2 ∙
𝑢
1
2
1
+ 𝐶 =
1
2
 (𝑥4 + 5)
1
2 + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio B3 
∫ √𝒙𝟐 + 𝒙
𝟑
. (𝟐𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 = 
Reemplazando… 
𝑢 = 𝑥4 + 5 
𝑑𝑢 = 4𝑥3 ∙ 𝑑𝑥 
𝑑𝑢
4𝑥3
= 𝑑𝑥 
𝑢 = 3 − 𝑥3 
𝑑𝑢 = −3𝑥2 ∙ 𝑑𝑥 
𝑑𝑢
−3𝑥2
= 𝑑𝑥 
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4 
 
= ∫ √𝑢
3 (2𝑥 + 1) ∙
𝑑𝑢
2𝑥 + 1
= 
 
Simplificamos para que quede todo en función de 𝑢 
= ∫𝑢 
1
3 ∙ 𝑑𝑢 =
3
4
 𝑢 
4
3 + 𝐶 =
3
4
 (𝑥2 + 𝑥)
4
3 + 𝐶 =
3
4
√(𝑥2 + 𝑥)4
3
+ 𝐶 = 
3
4
(𝑥2 + 𝑥)√(𝑥2 + 𝑥)
3
+ 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
 Ejercicio B8 
∫(8𝑥 − 11)10𝑑𝑥 = 
Reemplazando… 
= ∫𝑢10 ∙
𝑑𝑢
8
=
1
8
∙ ∫𝑢10𝑑𝑢 
Integramos respecto de 𝑢 
=
1
8
∙
1
11
∙ 𝑢11 + 𝑐 =
1
88
(8𝑥 − 11)11 + 𝑐 = 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio B9 
∫𝑥3𝑒𝑥
4
𝑑𝑥 = 
∫𝑥3𝑒𝑢
𝑑𝑢
4𝑥3
= 
 
Reemplazando… 
Simplificamos para que quede todo en función de 𝑢 
1
4
∫𝑒𝑢𝑑𝑢= 
Integramos respecto de 𝑢 
𝑢 = 8𝑥 − 11 
𝑑𝑢 = 8 ∙ 𝑑𝑥 
𝑑𝑢
8
= 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥4 
𝑑𝑢 = 4𝑥3 ∙ 𝑑𝑥 
𝑑𝑢
4𝑥3
= 𝑑𝑥 
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5 
 
1
4
𝑒𝑢 + 𝑐 = 
Reemplazamos a 𝑢 = 𝑥4 
1
4
𝑒𝑥
4
+ 𝑐 = 
Ejercicio B12 
12) ∫
𝑒√𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = 
Reemplazando… 
= ∫
𝑒𝑢
√𝑥
. 2√𝑥. 𝑑𝑢 = 
Simplificamos para que quede todo en función de 𝑢 
= 2∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = 2. 𝑒𝑢 + 𝐶 = 2. 𝑒√𝑥 + 𝐶 = 
 
Sustitución 
Llamamos 𝑢 = √𝑥 
𝑑𝑢 =
1
2√𝑥
. 𝑑𝑥 
Despejamos dx 
2√𝑥. 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 
Ejercicio B14 
14) ∫(𝑙𝑛𝑥)3
1
𝑥
𝑑𝑥 = 
Reemplazando… 
∫𝑢3
1
𝑥
. 𝑥. 𝑑𝑢 = 
Simplificamos para que quede todo en función de 𝑢 
∫𝑢3𝑑𝑢= 
Integramos respecto de 𝑢 
1
4
𝑢4 + 𝑐 = 
Reemplazamos a 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 
1
4
(𝑙𝑛𝑥)4 + 𝑐 = 
Sustitución 
Llamamos 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
Despejamos dx 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
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_____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
Integrales por Partes 
Ejercicio C1 
∫𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑑𝑥 = 
Para resolver integrales por este método debemos recordar que debemos usar esta expresión : 
∫𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 
Donde debemos elegir convenientemente a qué expresión llamar u y a cual dv, teniendo en cuenta que 
la expresión dv debe ser “fácil de integrar”. 
Para elegir el u usamos ILPET 
(funciones Inversas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas) llamando u a la 
función que aparezca primero en dicha lista. 
En este caso tenemos las funciones x y sen x, donde x es una función potencial y sen x trigonométrica. 
Por lo tanto llamaremos u a x, y dv al resto: 
∫𝑥⏟
𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
= 
Para poder llegar al resultado, necesitamos completar la fórmula de integración por partes, hallando 
du y v. Para hallar du debemos derivar a ambos miembros, y para hallar v debemos integrar a ambos 
miembros: 
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑢 = 1. 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
 
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Completamos entonces: 
∫𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. (−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫(−𝑐𝑜𝑠𝑥).𝑑𝑥 = −𝑥. cos 𝑥 + ∫cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = −𝑥. cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio C2 
∫𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 
En este caso, llamaremos u a 𝒍𝒏𝒙 y dv al resto: 
∫𝑥2⏟
𝑑𝑣
ln 𝑥⏟
𝑢
𝑑𝑥⏟
𝑑𝑣
= 
𝑢 = ln 𝑥
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥2. 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥
𝑣 =
𝑥3
3
=
1
3
𝑥3
 
Entonces tenemos que: 
∫𝑥2 ln 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢 
∫𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 ∙ 
1
3
𝑥3 −
1
3
∫𝑥3 ∙
1
𝑥
∙ 𝑑𝑥 = 
Simplificamos y extraemos 1/3 fuera de la integral (prop. Linealidad): 
∫𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 ∙
1
3
𝑥3 −
1
3
∫𝑥2𝑑𝑥 
Resolvemos la integral resultante y agregamos la constante de integración: 
∫𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 .
1
3
. 𝑥3 −
1
3
.
𝑥3
3
+ 𝐶 
∫𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 .
1
3
𝑥3 −
1
9
𝑥3 + 𝐶 
Por último, podemos extraer factor común de la siguiente manera: 
∫𝑥2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3 (ln𝑥 −
1
3
) + 𝐶 
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_____________________________________________________________________________________________________________________Ejercicio C3 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 
Llamaremos u a la función potencial, y dv al resto: 
∫𝑥2⏟
𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
= 
Hallamos du y v, derivando e integrando respectivamente: 
𝑢 = 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
 
Tenemos entonces: 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. (−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫(−𝑐𝑜𝑠𝑥). 2𝑥 𝑑𝑥 
Asociamos y extraemos el 2 fuera de la integral: 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2∫𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
La integral resultante no es inmediata, por lo que debemos aplicar algún método para resolverla. Al 
ser un producto de funciones donde no puede aplicarse el método de sustitución, podemos aplicar 
nuevamente la integración por partes. Para ello buscaremos los nuevos u y dv: 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2∫ 𝑥⏟
𝑢
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
 
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
 
Entonces, teniendo en cuenta la fórmula de integración por partes: 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2. [𝑢. 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢] 
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∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 [𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 −∫𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥] 
Resolvemos la integral resultante, que es inmediata, y agregamos la constante de integración: 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 [𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − (−𝑐𝑜𝑠𝑥)] + 𝐶 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 [𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ] + 𝐶 
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio c 6 
∫(3𝑥 − 1)𝑒−4𝑥 𝑑𝑥 = 
En este caso tenemos el producto entre una función potencial y una exponencial. Llamaremos u a la 
primera y dv al resto: 
∫(3𝑥 − 1)⏟ 
𝑢
𝑒−4𝑥𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
= 
Hallamos du y v. La integral necesaria para hallar v la resolvemos aplicando el método por sustitución, 
ya que es una función compuesta: 
 
𝑢 = 3𝑥 − 1
𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑒−4𝑥𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒−4𝑥𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒𝑧
𝑑𝑧
−4
𝑣 = −
1
4
∫𝑒𝑧 𝑑𝑧
𝑣 = −
1
4
𝑒𝑧
𝑣 = −
1
4
𝑒−4𝑥
 Sustitución: 
𝑧 = −4𝑥
𝑑𝑧 = −4 𝑑𝑥
𝑑𝑧
−4
= 𝑑𝑥
 
 
Resolvemos entonces la integral dada: 
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∫(3𝑥 − 1)𝑒−4𝑥𝑑𝑥 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢 
∫(3𝑥 − 1)𝑒−4𝑥𝑑𝑥 = (3𝑥 − 1). (−
1
4
𝑒−4𝑥) −∫−
1
4
𝑒−4𝑥 . 3 𝑑𝑥 
Asociamos: 
∫(3𝑥 − 1)𝑒−4𝑥𝑑𝑥 = −
1
4
𝑒−4𝑥(3𝑥 − 1) + 
3
4
∫ 𝑒−4𝑥𝑑𝑥 
La integral resultante es la misma que resolvimos antes para hallar v. Luego añadimos la constante de 
integración: 
∫(3𝑥 − 1)𝑒−4𝑥𝑑𝑥 = −
1
4
𝑒−4𝑥(3𝑥 − 1) +
3
4
 . (−
1
4
𝑒−4𝑥) + 𝐶 
∫(3𝑥 − 1)𝑒−4𝑥𝑑𝑥 = −
1
4
𝑒−4𝑥(3𝑥 − 1) −
3
16
𝑒−4𝑥 + 𝐶 
Por último, podemos extraer factor común de la siguiente forma: 
∫(3𝑥 − 1)𝑒−4𝑥𝑑𝑥 = −
1
4
𝑒−4𝑥 (3𝑥 − 1 +
3
4
) + 𝐶 
∫(3𝑥 − 1)𝑒−4𝑥𝑑𝑥 = −
1
4
𝑒−4𝑥 (3𝑥 −
1
4
) + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio c) 12) 
∫(8𝑥2 + 5𝑥) cos(2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = 
Llamaremos u a la función potencial y dv al resto: 
∫(8𝑥2 + 5𝑥)⏟ 
𝑢
cos (2𝑥 − 3)𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
= 
Hallamos ahora du y v. Para hallar v resolvemos la integral por sustitución, ya que es una función 
compuesta: 
 
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𝑢 = 8𝑥2 + 5𝑥
𝑑𝑢 = (16𝑥 + 5)𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = cos(2𝑥 − 3)𝑑𝑥
𝑣 = ∫ cos(2𝑥 − 3) 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ cos 𝑧 
𝑑𝑧
2
𝑣 =
1
2
 ∫ cos 𝑧 𝑑𝑧
𝑣 =
1
2
 𝑠𝑒𝑛 𝑧 
𝑣 = 
1
2
 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3)
 Sustitución: 
𝑧 = 2𝑥 − 3
𝑑𝑧 = 2 𝑑𝑥
𝑑𝑧
2
= 𝑑𝑥
 
 
Resolvemos la integral dada por partes: 
∫(8𝑥2 + 5𝑥) cos(2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢 
= (8𝑥2 + 5𝑥)
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) − ∫
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3)(16𝑥 + 5)𝑑𝑥 
Ordenamos y extraemos el ½ fuera de la integral: 
=
1
2
(8𝑥2 + 5𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) −
1
2
 ∫(16𝑥 + 5)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3)𝑑𝑥 
La integral resultante no es inmediata. La resolvemos nuevamente por el método de integración por 
partes. Para ello hallamos los nuevos u y dv: 
=
1
2
(8𝑥2 + 5𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) −
1
2
 ∫ (16𝑥 + 5)⏟ 
𝑢
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3)𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
 
 
𝑢 = 16𝑥 + 5
𝑑𝑢 = 16 𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3)𝑑𝑥
𝑣 = ∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3)𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑧 
𝑑𝑧
2
𝑣 = 
1
2
 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑑𝑧
𝑣 = 
1
2
 . (− cos 𝑧)
𝑣 = −
1
2
cos(2𝑥 − 3)
 Sustitución: 
𝑧 = 2𝑥 − 3
𝑑𝑧 = 2 𝑑𝑥
𝑑𝑧
2
= 𝑑𝑥
 
Resolvemos nuevamente integrando por partes: 
=
1
2
(8𝑥2 + 5𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) −
1
2
 . [𝑢. 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢] 
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=
1
2
(8𝑥2 + 5𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) −
1
2
[(16𝑥 + 5)(−
1
2
cos(2𝑥 − 3) − ∫−
1
2
cos(2𝑥 − 3) . 16𝑑𝑥] 
=
1
2
(8𝑥2 + 5𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) −
1
2
[−
1
2
(16𝑥 + 5) cos(2𝑥 − 3) + 8∫ cos(2𝑥 − 3)𝑑𝑥] 
Aplicamos propiedad distributiva para eliminar los corchetes: 
=
1
2
(8𝑥2 + 5𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) +
1
4
(16𝑥 + 5) cos(2𝑥 − 3) − 4∫ cos(2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 
La integral restante ya la tenemos resuelta por sustitución anteriormente. Colocamos su resultado y 
agregamos la constante de integración: 
=
1
2
(8𝑥2 + 5𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) +
1
4
(16𝑥 + 5) cos(2𝑥 − 3) − 4 .
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) + 𝐶 
Simplificamos: 
=
1
2
(8𝑥2 + 5𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) +
1
4
(16𝑥 + 5) cos(2𝑥 − 3) − 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
d) Descomposición en Fracciones Simples 
Ejercicio D1 
∫
𝑥2 + 5𝑥 + 9
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑𝑥 = 
Para resolver una integral de la forma ∫
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 donde P(x) y Q(x) son polinomios, si el grado de P(x) 
es mayor o igual al grado de Q(x) debemos primero dividir los polinomios y usando la fórmula 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝐶(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
siendo C(x) el cociente y R(x) el resto de la división. 
Debemos recordar que el grado de 𝑅(𝑥) deberá ser siempre menor al grado de 𝑄(𝑥). 
Una vez obtenida una fracción donde el grado del numerador es menor al del denominador, podemos 
descomponerla en fracciones simples, es decir, expresarla como la suma de fracciones irreducibles. 
Dividimos los polinomios: 
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13 
 
 
Podemos decir entonces que: 
𝑥2 + 5𝑥 + 9
𝑥2 − 5𝑥 + 6
= 1 +
10𝑥 + 3
𝑥2 − 5𝑥 + 6
 
Y la fracción resultante podemos descomponerla en la suma de fracciones simples. Para ello 
factorizamos el denominador y planteamos la suma: 
10𝑥 + 3
𝑥2 − 5𝑥 + 6
=
10𝑥 + 3
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
= 
𝐴
𝑥 − 2
+
𝐵
𝑥 − 3
 
Debemos ahora calcular A y B. Para ello vamos a resolver la suma buscando el denominador en 
común: 
10𝑥 + 3
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
=
𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
 
La fracción que queremos descomponer debe ser igual a la suma de las fracciones simples. Si las 
comparamos, tienen igual denominador, por lo tanto, debemos lograr que sus numeradores sean 
iguales: 
10𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 2) 
Para hallar de forma rápida los valores de A y B, podemos reemplazar las raíces del denominador (que 
son 2 y 3) en la expresión anterior: 
 
𝑆𝑖 𝑥 = 2 
10.2 + 3 = 𝐴. (−1) + 𝐵. 0 
23 = −𝐴 
𝐴 = −23 
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2400 - Matemática I 
 
14 
 
𝑆𝑖 𝑥 = 3 
10.3 + 3 = 𝐴. 0 + 𝐵. 1 
⇒ 33 = 𝐵 
Por lo tanto: 
10𝑥 + 3
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
= 
−23
𝑥 − 2
+
33
𝑥 − 3
 
 
(Otra forma de hallar A y B es, al comparar los numeradores, plantear un sistema de ecuaciones y 
resolverlo) 
 
Hecha la descomposición, resolvemos la integral inicial: 
∫
𝑥2 + 5𝑥 + 9
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑𝑥 =∫ [1 +
10𝑥 + 3
𝑥2 − 5𝑥 + 6
] 𝑑𝑥 = ∫ [1 +
−23
𝑥 − 2
+
33
𝑥 − 3
] 𝑑𝑥 
Aplicamos las propiedadesde integrales: 
= ∫1 𝑑𝑥 +∫
−23
𝑥 − 2
 𝑑𝑥 +∫
33
𝑥 − 3
 𝑑𝑥 
= ∫1 𝑑𝑥 − 23 .∫
1
𝑥 − 2
 𝑑𝑥 + 33 .∫
1
𝑥 − 3
 𝑑𝑥 
La primera integral es inmediata, las otras dos las resolvemos por el método de sustitución por ser 
funciones compuestas: 
𝑧 = 𝑥 − 2
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
 
𝑡 = 𝑥 − 3
𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
 
 
Realizamos cada sustitución y resolvemos las integrales, llevando luego a la variable original x: 
= ∫1 𝑑𝑥 − 23.∫
1
𝑧
 𝑑𝑧 + 33.∫
1
𝑡
 𝑑𝑡 
= 𝑥 − 23 𝑙𝑛|𝑧| + 33 𝑙𝑛|𝑡| + 𝐶 
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2400 - Matemática I 
 
15 
 
= 𝑥 − 23 𝑙𝑛|𝑥 − 2| + 33 𝑙𝑛|𝑥 − 3| + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio D2 
∫
5𝑥3 + 2
𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥
 𝑑𝑥 = 
Al ser polinomios del mismo grado, los dividimos: 
 
Por lo tanto: 
5𝑥3 + 2
𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥
= 5 +
25𝑥2 − 20𝑥 + 2
𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥
 
Descomponemos la fracción resultante en la suma de fracciones simples, factorizando el 
denominador. Planteamos la suma y resolvemos buscando denominador común: 
25𝑥2 − 20𝑥 + 2
𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥
=
25𝑥2 − 20𝑥 + 2
𝑥. (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
= 
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 1
+
𝐶
𝑥 − 4
 
25𝑥2 − 20𝑥 + 2
𝑥. (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
=
𝐴(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) + 𝐵. 𝑥. (𝑥 − 4) + 𝐶. 𝑥. (𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
 
Igualamos numeradores: 
25𝑥2 − 20𝑥 + 2 = 𝐴(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) + 𝐵. 𝑥. (𝑥 − 4) + 𝐶. 𝑥. (𝑥 − 1) 
 
Reemplazamos las raíces del denominador (0, 1 y 4) y hallamos los valores de A, B y C: 
𝑆𝑖 𝑥 = 0 ⇒ 25.0 − 20.0 + 2 = 𝐴(−1)(−4) + 𝐵. 0 + 𝐶. 0 ⇒ 2 = 4𝐴 ⇒ 𝐴 = 1 2⁄ 
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2400 - Matemática I 
 
16 
 
𝑆𝑖 𝑥 = 1 ⇒ 25.1 − 20.1 + 2 = 𝐴. 0 + 𝐵(−3) + 𝐶. 0 ⇒ 7 = −3𝐵 ⇒ 𝐵 = −7 3⁄ 
𝑆𝑖 𝑥 = 4 ⇒ 25.16 − 20.4 + 2 = 𝐴. 0 + 𝐵. 0 + 𝐶. 12 ⇒ 322 = 12𝐶 ⇒ 𝐶 = 161 6⁄ 
Tenemos entonces que: 
25𝑥2 − 20𝑥 + 2
𝑥. (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
= 
1
2⁄
𝑥
+
−7
3⁄
𝑥 − 1
+
161
6⁄
𝑥 − 4
 
 
Hecha la descomposición, resolvemos la integral inicial: 
∫
5𝑥3 + 2
𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥
 𝑑𝑥 = ∫5 +
25𝑥2 − 20𝑥 + 2
𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥
 𝑑𝑥 = ∫(5 +
1
2⁄
𝑥
+
−7
3⁄
𝑥 − 1
+
161
6⁄
𝑥 − 4
)𝑑𝑥 
Aplicamos propiedades de las integrales: 
= ∫5 𝑑𝑥 +∫
1
2⁄
𝑥
 𝑑𝑥 + ∫
−7
3⁄
𝑥 − 1
 𝑑𝑥 + ∫
161
6⁄
𝑥 − 4
 𝑑𝑥 
= 5.∫1 𝑑𝑥 + 
1
2
 .∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 −
7
3
 . ∫
1
𝑥 − 1
 𝑑𝑥 + 
161
6
 . ∫
1
𝑥 − 4
 𝑑𝑥 
Las dos primeras integrales son inmediatas; las otras dos las resolvemos por el método de sustitución: 
𝑧 = 𝑥 − 1
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
 
𝑡 = 𝑥 − 4
𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
 
 
= 5 ∫1 𝑑𝑥 + 
1
2
 ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 −
7
3
 ∫
1
𝑧
 𝑑𝑧 + 
161
6
 ∫
1
𝑡
 𝑑𝑡 
= 5𝑥 + 
1
2
 𝑙𝑛|𝑥| −
7
3
 𝑙𝑛|𝑧| +
161
6
 𝑙𝑛|𝑡| + 𝐶 
= 5𝑥 +
1
2
 𝑙𝑛|𝑥| −
7
3
 𝑙𝑛|𝑥 − 1| +
161
6
 𝑙𝑛|𝑥 − 4| + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio d) 7) 
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17 
 
∫
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
 𝑑𝑥 = 
En este caso el polinomio que está en el numerador es de grado menor al que está en el denominador, 
por lo tanto no es posible realizar la división. Por lo tanto, factorizamos el denominador y planteamos 
la descomposición en fracciones simples: 
Factoreo el denominador 
𝑥. (𝑥2 + 𝑥 − 6) = 0 
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
=
𝑥 + 1
𝑥. (𝑥 − 2). (𝑥 + 3)
 
𝑥 + 1
𝑥. (𝑥 − 2). (𝑥 + 3)
= 
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 2
+
𝐶
𝑥 + 3
 
 
𝑥 + 1
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
=
𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) + 𝐵𝑥(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2)
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
 
Igualamos numeradores y reemplazamos por las raíces del denominador: 
𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) + 𝐵𝑥(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2) 
𝑆𝑖 𝑥 = 0 
0 + 1 = 𝐴(−2). 3 + 𝐵. 0 + 𝐶. 0 ⇒ 1 = −6𝐴 
𝐴 = −1 6⁄ 
𝑆𝑖 𝑥 = 2 
2 + 1 = 𝐴. 0 + 𝐵. 10 + 𝐶. 0 
3 = 10𝐵 
𝐵 =
3
10
 
𝑆𝑖 𝑥 = −3 
−3 + 1 = 𝐴. 0 + 𝐵. 0 + 𝐶. 15 
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18 
 
 −2 = 15𝐶 
𝐶 = −
2
15
 
Podemos entonces decir que: 
𝑥 + 1
𝑥. (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
= 
−1
6⁄
𝑥
+
3
10⁄
𝑥 − 2
+
−2
15⁄
𝑥 + 3
 
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
= 
−1
6⁄
𝑥
+
3
10⁄
𝑥 − 2
+
−2
15⁄
𝑥 + 3
 
Resolvemos ahora la integral inicial: 
∫
𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
 𝑑𝑥 = ∫(
−1
6⁄
𝑥
+
3
10⁄
𝑥 − 2
+
−2
15⁄
𝑥 + 3
) 𝑑𝑥 
Aplicando propiedades: 
= ∫−
1
6
.
1
𝑥
 𝑑𝑥 +∫
3
10⁄
𝑥 − 2
 𝑑𝑥 +∫
−2
15⁄
𝑥 + 3
 𝑑𝑥 
= −
1
6
 ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 + 
3
10
 ∫
1
𝑥 − 2
 𝑑𝑥 −
2
15
 ∫
1
𝑥 + 3
 𝑑𝑥 
La primera integral es inmediata, las otras dos las resolvemos por el método de sustitución: 
𝑧 = 𝑥 − 2
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
 
𝑡 = 𝑥 + 3
𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
 
 
= −
1
6
 ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 +
3
10
 ∫
1
𝑧
 𝑑𝑧 −
2
15
 ∫
1
𝑡
 𝑑𝑡 
= −
1
6
 𝑙𝑛|𝑥| +
3
10
 𝑙𝑛|𝑧| −
2
15
 𝑙𝑛|𝑡| + 𝐶 
= −
1
6
 𝑙𝑛|𝑥| +
3
10
 𝑙𝑛|𝑥 − 2| −
2
15
 𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 𝐶 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
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19 
 
Ejercicio e) 1) Integrales trigonométricas 
∫𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = 
Para resolver integrales del tipo trigonométricas, debemos utilizar alguna identidad trigonométrica 
que sea equivalente a la expresión que queremos integrar, pero que sea más fácil de hacerlo. 
En este caso podemos utilizar la identidad: 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 
1
2
(1 − cos(2𝑥)) 
Reemplazamos: 
∫𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1
2
(1 − cos(2𝑥))𝑑𝑥 
Distribuimos el 1/2: 
= ∫(
1
2
−
1
2
cos(2𝑥))𝑑𝑥 
Aplicamos las propiedades de integrales de linealidad: 
= ∫
1
2
 𝑑𝑥 − ∫
1
2
cos(2𝑥)𝑑𝑥 
=
1
2
∫𝑑𝑥 −
1
2
∫cos(2𝑥)𝑑𝑥 
La primera integral es inmediata, pero la segunda debemos resolverla por el método de sustitución, ya 
que es una función compuesta: 
𝑧 = 2𝑥
𝑑𝑧 = 2 𝑑𝑥
𝑑𝑧
2
= 𝑑𝑥
 
=
1
2
∫𝑑𝑥 − 
1
2
∫cos 𝑧 
𝑑𝑧
2
 
Extraemos el ½: 
=
1
2
∫𝑑𝑥 −
1
2
.
1
2
∫ cos 𝑧 𝑑𝑧 = 
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2400 - Matemática I 
 
20 
 
=
1
2
∫𝑑𝑥 −
1
4
∫cos 𝑧 𝑑𝑧 = 
Integramos y agregamos la constante de integración: 
= 
1
2
𝑥 − 
1
4
 𝑠𝑒𝑛 𝑧 + 𝐶 = 
=
1
2
𝑥 −
1
4
 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio e) 2) Integrales trigonométricas 
∫𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = 
En este caso podemos utilizar la identidad: 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
2
(1 + cos(2𝑥)) 
Reemplazamos y aplicamos las propiedades vistas: 
∫𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1
2
(1 + cos(2𝑥) 𝑑𝑥 
= ∫(
1
2
+ 
1
2
cos(2𝑥)) 𝑑𝑥 
= ∫
1
2
 𝑑𝑥 + ∫
1
2
cos(2𝑥)𝑑𝑥 
=
1
2
∫𝑑𝑥 +
1
2
∫cos(2𝑥)𝑑𝑥 
La primera integral es inmediata, pero la segunda debemos resolverla por el método de sustitución, ya 
que es una función compuesta: 
𝑧 = 2𝑥
𝑑𝑧 = 2 𝑑𝑥
𝑑𝑧
2
= 𝑑𝑥
 
=
1
2
∫𝑑𝑥 +
1
2
∫cos 𝑧 
𝑑𝑧
2
 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
21 
 
=
1
2
∫𝑑𝑥 + 
1
2
.
1
2
∫ cos 𝑧 𝑑𝑧 
=
1
2
∫𝑑𝑥 +
1
4
∫cos 𝑧 𝑑𝑧 
Integramos: 
=
1
2
𝑥 +
1
4
 𝑠𝑒𝑛𝑧 + 𝐶 
=
1
2
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio f) 6) Integrales diversas 
∫𝑐𝑜𝑠 (𝑥5⏟
𝑧
) 𝑥4 𝑑𝑥 = 
Como 𝑥5 derivada es igual a 5𝑥4, y difiere sólo de una constante con respecto a 𝑥4, podemos resolver 
esta integral por el método de sustitución de la siguiente manera: 
𝑧 = 𝑥5
𝑑𝑧 = 5𝑥4 𝑑𝑥
𝑑𝑧
5𝑥4
= 𝑑𝑥
 
Sustituimos y simplificamos: 
= ∫cos 𝑧 𝑥4 
𝑑𝑧
5𝑥4
 
= ∫cos 𝑧 
𝑑𝑧
5
 
Extraemos 1/5 fuera de la integral, integramos y agregamos la constante de integración: 
=
1
5
∫ cos 𝑧 𝑑𝑧 
= 
1
5
 𝑠𝑒𝑛 𝑧 + 𝐶 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
22 
 
=
1
5
 𝑠𝑒𝑛(𝑥5) + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________Ejercicio f) 7) Integrales diversas 
∫𝑥 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 + 4⏟ 
𝑧
)𝑑𝑥 = 
Si derivamos el argumento de la función seno, difiere sólo de una constante con respecto a x, por lo 
tanto podemos resolver esta integral por el método de sustitución de la siguiente forma: 
𝑧 = 3𝑥2 + 4
𝑑𝑧 = 6𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑧
6𝑥
= 𝑑𝑥
 
Sustituimos: 
= ∫𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑧 
𝑑𝑧
6𝑥
 
= ∫𝑠𝑒𝑛 𝑧 
𝑑𝑧
6
 
Extraemos 1/6 e integramos: 
=
1
6
∫𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑑𝑧 
=
1
6
 (− cos 𝑧) + 𝐶 
= −
1
6
cos(3𝑥2 + 4) + 𝐶 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio f) 23) Integrales diversas 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 
Aplicamos el método de integración por partes llamando u a la función compuesta y dv al dx que es 
más fácil de integrar: 
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23 
 
∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)⏟ 
𝑢
𝑑𝑥⏟
𝑑𝑣
 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(ln𝑥)
𝑑𝑢 = cos (ln 𝑥).
1
𝑥
 𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
𝑣 = ∫𝑑𝑥
𝑣 = 𝑥
 
Por lo tanto: 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(ln𝑥). 𝑥 − ∫ 𝑥. cos(𝑙𝑛𝑥) .
1
𝑥
 𝑑𝑥 
Simplificando las 𝑥: 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln𝑥) − ∫ cos (ln𝑥) 𝑑𝑥 
La integral resultante no es inmediata, debemos resolverla aplicando nuevamente el método de 
integración por partes: 
𝑢 = cos (ln 𝑥)
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(ln𝑥).
1
𝑥
𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑥
 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − [𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢] 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln𝑥) − [cos (ln𝑥). 𝑥 − ∫𝑥. −𝑠𝑒𝑛(ln𝑥).
1
𝑥
𝑑𝑥] 
Eliminamos los corchetes cambiando los signos y simplificamos dentro de la integral: 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln𝑥) − 𝑥 cos (ln𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 
Como la integral resultante es la misma del principio, estamos ante lo que llamamos una integral 
“cíclica”. Para resolver este problema, podemos despejar la integral buscada como si fuera una 
ecuación, de la siguiente forma: 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 +∫𝑠𝑒𝑛(ln𝑥 )) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln𝑥) − 𝑥 cos (ln𝑥) 
Sumamos las integrales: 
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24 
 
2 ∫ 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − 𝑥 cos (ln𝑥) 
Despejamos la integral buscada y agregamos la constante de integración: 
∫𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − 𝑥 cos (ln𝑥)
2
+ 𝐶