FUNCIÓN LINEAL docx

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Lic. en Criminalística Matemática I Apunte teórico: Unidad II
UNIDAD II: FUNCIONES
Función lineal
En muchos comercios de alimentos hay una balanza en la que se puede teclear el precio por kilo
de la mercadería que se va a pesar. Al efectuar la pesada, la balanza indica el peso y el costo
total de la mercadería adquirida.
Es decir que al pesar, por ejemplo, 230g de chocolate de $400 el kilogramo, la máquina, además
del peso exacto, da el costo: $92.
La tabla que sigue presenta diferentes cantidades pesadas de chocolate y el precio total para
cada una de ellas.
𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠) 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑒𝑛 $)
100 40
200 80
230 92
Estos registros se pueden modelizar mediante una función 𝑃(𝑥) donde 𝑥 representa la cantidad
de chocolate en gramos y 𝑃 el precio total a pagar en pesos.
Para hallar la fórmula que modeliza este problema, vamos a retomar la tabla y escribir en cada
renglón la cuenta que se realizó para obtener el precio total.
Calculemos cuánto vale 1 gramo de chocolate:
Sabiendo que 1kg son 1000 g, tenemos que el gramo de chocolate vale ,$ 4001000 = $ 0, 4
entonces:
𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠) 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑒𝑛 $)
100 100. 0,4
200 200. 0,4
230 230. 0,4
300 300. 0,4
310 310. 0,4
... ...
𝑥 𝑃 𝑥( ) = 0, 4. 𝑥
Esta relación funcional se puede gráficamente utilizando el sistema de ejes cartesianos en el que
ubicamos los puntos obtenidos en cada renglón:
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𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠) 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑒𝑛 $) 𝑃unto
100 100. 0,4 = 40 (100; 40)
200 200. 0,4 = 80 (200; 80)
230 230. 0,4 = 92 (230; 92)
300 300. 0,4 = 120 (300; 120)
310 310. 0,4 = 124 (310; 124)
Representación gráfica:
Podemos observar que los puntos están alineados, pero ¿es posible unir los puntos?
Como el precio aumenta proporcionalmente según la cantidad de chocolate, la representación
gráfica es una recta:
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Preguntas:
a) ¿Cuánto cuestan 3,125 kg de chocolate?
b) ¿Cuánto chocolate se puede comprar con $510?
Para responder este tipo de interrogantes, la gráfica puede resultar de utilidad, pero en general,
no brinda información exacta por lo cual es indispensable utilizar la ley o fórmula que modeliza
la situación.
Para el apartado a) tenemos de dato la cantidad de chocolate y debemos buscar el valor de 𝑦
(precio).
La cantidad de chocolate está dada en kg y lo tenemos que expresar en gramos ya que la
variable de la función admite valores en gramos: 3,125 kg = 3125 g.
Calculamos: 𝑃 3125( ) = 3125. 0, 4 = 1250
Por lo tanto 3,125 kg de chocolate cuestan $1250
En el apartado b) se quiere averiguar cuánto chocolate (el valor de ) se puede comprar con𝑥
$510 (valor de ).𝑦
Hallamos tal que𝑥 𝑃 𝑥( ) = 510
𝑥. 0, 4 = 510
 𝑥 = 510: 0, 4 
 𝑥 = 1275 𝑔 
Respuesta: Por $510 es posible comprar 1275g = 1,275 kg.
Muchos fenómenos y situaciones de la vida diaria se comportan de forma que las funciones que
los representan verifican que los cambios en la variable dependiente ( ) son proporcionales a los𝑦
que se aplican a la variable independiente ( ). Algunos ejemplos son:𝑥
● Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto con velocidad constante en
función del tiempo (movimiento rectilíneo uniforme).
● Longitud de una circunferencia en función del radio,
● Costo total de la factura de agua en función de los litros consumidos por mes en cada
domicilio.
A este tipo de funciones se las denomina función lineal.
Definición:
Dada función se llama función lineal a aquella de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚. 𝑥 + 𝑏. Donde𝑓: ℝ → ℝ
𝑚 y 𝑏 son números reales y se llaman parámetros de la función lineal.
Ejemplos:
● La función del problema anterior cuya ley es: 𝑃(𝑥) = 0, 4. 𝑥 es una función lineal cuyo
dominio es .𝐷𝑜𝑚 𝑃 = ℝ
0
+
● A continuación se muestran algunos ejemplos de funciones lineales cuyo dominio es el
conjunto de los números reales:
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𝑓 𝑥( ) =− 3𝑥 + 1 𝑚 =− 3; 𝑏 = 1
𝑔 𝑥( ) = 23 𝑥 − 2 𝑚 =
2
3 ; 𝑏 =− 2
ℎ 𝑥( ) = 5 − 𝑥 𝑚 =− 1; 𝑏 = 5
𝑛 𝑥( ) = 𝑥 − 7 𝑚 = 1; 𝑏 =− 7 
Gráfica de una función lineal
El nombre de función lineal proviene de que su representación gráfica es una línea recta.
Un punto pertenece a la recta de ecuación si y solo si sus𝑃 𝑥
0
, 𝑦
0( ) 𝑓 𝑥( ) = 𝑚. 𝑥 + 𝑏
coordenadas verifican 𝑦
0
= 𝑚. 𝑥
0
+ 𝑏.
Ejemplo: 𝑓 𝑥( ) = 12 𝑥 − 2
El punto pertenece a la recta ya que sus coordenadas verifican la fórmula:𝑃(6; 1)
𝑓(6) = 12 . 6 − 2 = 3 − 2 = 1
El punto pertenece a la recta ya que sus coordenadas verifican la fórmula:𝑃(4; 0)
𝑓(4) = 12 . 4 − 2 = 2 − 2 = 0
El punto pertenece a la recta ya que sus coordenadas verifican la fórmula:𝑃(0; − 2) 
𝑓(0) = 12 . 0 − 2 = 0 − 2 =− 2
Pendiente y ordenada al origen
Los parámetros “ ” y “ ” de la ecuación tienen un significado en la𝑚 𝑏 𝑓(𝑥) = 𝑚. 𝑥 + 𝑏
representación gráfica de la función. Analizamos a continuación qué representa cada uno.
Pendiente
El parámetro “m” de la función se llama pendiente de la recta.𝑓(𝑥) = 𝑚. 𝑥 + 𝑏
La pendiente indica cómo varía (aumenta o disminuye) la función por cada cambio unitario
de la variable independiente. Según la pendiente puede observarse la inclinación de la recta.
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Dados dos puntos cualesquiera de una recta, la pendiente “ ” de la𝑃 𝑥
1
; 𝑦
1( ) 𝑦 𝑄 𝑥2; 𝑦2( ) 𝑚
misma es el cociente entre la variación de la variable dependiente y la variación de la variable
independiente:
𝑚 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
Ejemplo 1:
Consideremos la función lineal cuya fórmula es: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
Consideramos los puntos de la gráfica: .𝑃(− 1; − 1); 𝑄(0; 1) 𝑦 𝑅(2; 5)
Calculamos la pendiente considerando dos puntos de la misma (ya sabemos por su fórmula que
es 2).
● Consideramos :𝑃(− 1; − 1) 𝑦 𝑄(0; 1)
𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
= 1−(−1)0−(−1) =
2
1 = 2
● Consideramos : 𝑃(− 1; − 1) 𝑦 𝑅(2; 5)
𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
= 5−(−1)2−(−1) =
6
3 = 2
● Consideramos :𝑄(0; 1) 𝑦 𝑅(2; 5)
𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
= 5−12−0 =
4
2 = 2
Ejemplo 2:
Consideramos la función lineal cuya ley es: 𝑓(𝑥) =− 𝑥 + 2
Marcamos los puntos: 𝑃(− 1; 3); 𝑄(1; 1) 𝑦 𝑅(2; 0)
Calculamos la pendiente:
● Consideramos :𝑃(− 1; 3) 𝑦 𝑄(1; 1)
𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
= 1−31−(−1) =
−2
2 =− 1
● Consideramos :𝑄(1; 1) 𝑦 𝑅(2; 0)
𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
= 0−12−1 =
−1
1 =− 1
● Consideramos :𝑃(− 1; 3) 𝑦 𝑅(2; 0)
𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
= 0−32−(−1) =
−3
3 =− 1
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Signo de la pendiente
m>0
Pendiente positiva
Función creciente
m<0
Pendiente negativa
Función decreciente
m=0
Pendiente nula
Función constante
Ordenada al origen
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑚. 𝑥 + 𝑏 una función lineal.
La ordenada al origen de la función es el valor de 𝑦 para el cual 𝑥 = 0: 
𝑓(0) = 𝑚. 0 + 𝑏 = 𝑏.
Es decir, es la ordenada del punto en que la recta interseca al eje y.
Ejemplos:
Hallamos la ordenada al origen de las funciones trabajadas en los ejemplos anteriores:
● 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
La ordenada al origen es 1 ya que: 𝑓(0) = 2. 0 + 1 = 1
● 𝑓(𝑥) =− 𝑥 + 2
La ordenada al origen es 2 ya que: 𝑓(0) =− 0 + 2 = 2
Gráficos de rectas según la pendiente m y la ordenada al origen b:
Para graficar una recta conociendo el valor de y se puede proceder de la siguiente manera:𝑚 𝑏
1) Se ubica la ordenada al origen en el sistema de ejes cartesianos.
2) Considerando la pendiente , donde p es un número entero y q un número natural,𝑚 = 𝑝𝑞
desde ese punto se mueven “q” unidades hacia la derecha y “p” unidades hacia arriba o(0; 𝑏)
abajo, según el signo de la pendiente, y se marca otro punto.
3) Como por dos puntos pasa una única recta, es posible trazarlagráfica de la función lineal.
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Ejemplos:
Para graficar la función 𝑓 𝑥( ) = 32 𝑥 − 1
ubicamos la ordenada al origen y𝑏 =− 1
desde allí nos desplazamos 2 unidades hacia
la derecha y 3 unidades hacia arriba y
marcamos otro punto.
Para graficar la función 𝑓 𝑥( ) =− 3𝑥 + 12
ubicamos la ordenada al origen: , y12 = 0, 5
desde allí nos movemos 1 unidad hacia la
derecha y 3 unidades hacia abajo (ya que
) y marcamos el otro punto.− 3 =− 31
Formas de hallar la ecuación de una recta
1) Si se conoce un punto perteneciente a la recta y la pendiente
Dada la pendiente y un punto perteneciente a la recta, la ecuación de la recta está𝑚 𝑃(𝑥
0
; 𝑦
0
)
dada por: 𝑦 − 𝑦
0
 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥
0
)
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es y pasa por el punto .𝑚 = 15 𝑃(2; 50)
𝑦 − 50 = 15. (𝑥 − 2)
𝑦 − 50 = 15𝑥 − 30
 𝑦 = 15𝑥 − 30 + 50
 𝑦 = 15𝑥 + 20
2) Si se conocen dos puntos pertenecientes a la recta
Dados dos puntos pertenecientes a la recta, la ecuación de la recta está𝑃(𝑥
1
; 𝑦
1
) 𝑦 𝑄(𝑥
2
; 𝑦
2
)
dada por:
, con .𝑦 − 𝑦
1
=
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
. 𝑥 − 𝑥
1( ) 𝑥1≠𝑥2
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃(1; 3) 𝑦 𝑄(5; − 4)
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𝑦 − 3 = −4−35−1 . 𝑥 − 1( )
𝑦 − 3 = −74 . 𝑥 − 1( )
𝑦 − 3 =− 74 𝑥 +
7
4
 𝑦 =− 74 𝑥 +
7
4 + 3
𝑦 =− 74 𝑥 +
19
4
- Otra forma de hallar la ecuación de la recta dados dos puntos:
Dados dos puntos pertenecientes a la recta:𝑃(𝑥
1
; 𝑦
1
) 𝑦 𝑄(𝑥
2
; 𝑦
2
)
● Calcular la pendiente: .𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
● Calcular la ordenada al origen reemplazando las coordenadas de uno de los puntos en la
ecuación sabiendo que la verifica.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos .𝑃(− 2; 3) 𝑦 𝑄(1; − 1)
Identificamos .𝑥
1
=− 2; 𝑦
1
= 3; 𝑥
2
= 1; 𝑦
2
 =− 1
Calculamos la pendiente: 𝑚 = −1−31−(−2) =
−4
3 =−
4
3
Tenemos que: 𝑓 𝑥( ) =− 43 𝑥 + 𝑏
Falta obtener el valor de b. Sabemos que 𝑃 y 𝑄 son puntos pertenecientes a la recta y por lo
tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuación. Tomamos uno de ellos (cualquiera de los dos) y
reemplazamos:
𝑓(1) = − 1
 − 43 . 1 + 𝑏 =− 1
 𝑏 =− 1 + 43
 𝑏 = 13
Por lo tanto: .𝑓 𝑥( ) =− 43 𝑥 +
1
3
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Rectas paralelas y perpendiculares
En el gráfico se representan las rectas . Se puede observar que:𝑦
1
, 𝑦
2
 𝑒 𝑦
3
● Las rectas tienen la misma inclinación y son paralelas.𝑦
1
 𝑒 𝑦
2
● Al intersecarse las rectas forman un ángulo recto y por lo tanto son𝑦
1
 𝑒 𝑦
3
perpendiculares. Lo mismo sucede con .𝑦
2
 𝑒 𝑦
3
¿Cómo se traducen estas propiedades geométricas en términos de sus ecuaciones?
La ecuación de cada recta es:
a) 𝑦
1
= 2𝑥 + 3
b) 𝑦
2
 = 2𝑥 + 1
c) 𝑦
3
=− 12 𝑥 + 5
Las rectas son paralelas, lo cual se simboliza . Estas rectas tienen la misma𝑦
1
 𝑒 𝑦
2
𝑦
1
 // 𝑦
2
inclinación y por lo tanto la misma pendiente.
Las rectas son perpendiculares, lo cual se simboliza . La pendiente de la recta𝑦
1
 𝑒 𝑦
3
𝑦
1
⊥𝑦
3
𝑦
3
es el opuesto del inverso multiplicativo de la pendiente de . Es decir, si la pendiente de es𝑦
1
𝑦
1
, entonces la pendiente de es .𝑚
1
= 2 𝑦
3
𝑚
2
=− 1𝑚
1
=− 12
Rectas paralelas y perpendiculares
Sean dos rectas cuyas ecuaciones son:𝑟
1
 𝑦 𝑟
2
𝑟
1
= 𝑚
1
𝑥 + 𝑏
1
 𝑦 𝑟
2
= 𝑚
2
𝑥 + 𝑏
2
● si y solo si .𝑟
1 
// 𝑟
2
𝑚
1
= 𝑚
2
● si y solo si .𝑟
1 
⊥ 𝑟
2
𝑚
2
=− 1𝑚
1
Diferentes formas de la ecuación de una recta
Forma explícita: donde es la pendiente y la ordenada al origen.𝑦(𝑥) = 𝑚. 𝑥 + 𝑏, 𝑚 𝑏
Forma implícita: 𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑦 + 𝐶 = 0
Al despejar se obtiene la forma explícita de la recta:“𝑦”
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𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑦 + 𝐶 = 0
𝐵𝑦 =− 𝐴𝑥 − 𝐶
𝑦 =− 𝐴𝐵 𝑥 −
𝐶
𝐵
Forma segmentaria: donde “ ” es el valor de la raíz, es decir el número en el cual𝑥𝑎 +
𝑦
𝑏 = 1 𝑎
la recta interseca al eje y “ ” es el valor de la ordenada al origen, es decir el número en el cual𝑥 𝑏
la recta interseca al eje .𝑦
Actividad resuelta: situación que se describe utilizando una función lineal a trozos.
Se coloca a calentar un recipiente con agua. La temperatura del agua varía respecto al tiempo
transcurrido, de acuerdo con el siguiente gráfico.
Hallar la fórmula para la función representada y calcular con ella la temperatura a los 4; 6 y 7
minutos.
Resolución:
Se puede observar que el gráfico está compuesto por dos segmentos de rectas: uno que
corresponde a los valores de tales que , y otro a los valores de .𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 6 𝑡 > 6
La parte del gráfico que corresponde a 0 ≤ 𝑡 ≤ 6 es un segmento de recta que pasa por los puntos
(0;10) y (6;100).
Observamos que la ordenada al origen es 10 y la pendiente se puede calcular a partir de los dos
puntos mencionados anteriormente: . Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa𝑚 = 100−106−0
por esos puntos es: .𝑇(𝑡) = 15𝑡 + 10 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 6
La parte del gráfico correspondiente a los valores de 𝑡 > 6 es una recta horizontal cuya ecuación
es .𝑇 𝑡( ) = 100 𝑠𝑖 𝑡 > 6
La fórmula de la función es:
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Para calcular la temperatura en el minuto 4 utilizamos la primera parte de la ley porque
0 ≤ 4 ≤ 6
𝑇(4) = 15. 4 + 10 = 60 + 10 = 70
Para calcular la temperatura en el minuto 6 utilizamos la primera parte de la ley porque
0 ≤ 6 ≤ 6
𝑇(6) = 15. 6 + 10 = 90 + 10 = 100
Para calcular la temperatura en el minuto 7 utilizamos la segunda parte de la ley porque 7 > 6
𝑇(7) = 100
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Una empresa tiene un ingreso mensual de $30 por unidad vendida de cierto producto. Por otra
parte, el costo fijo mensual es de $4800 y el costo variable es de $22 por unidad.
Se quiere averiguar cuántas unidades es necesario vender por mes para que el ingreso sea igual
al costo, y cuál es el valor.
Para resolver este problema debemos, primeramente, modelizar matemáticamente lo enunciado.
Observamos que tanto el ingreso como el costo mensual dependen de la cantidad de unidades
vendidas.
Definimos la variable : cantidad de unidades vendidas del producto.𝑥
Traducimos la información del enunciado en expresiones matemáticas (lenguaje simbólico):
● Ingresos: 30𝑥
● Costos fijos: 4800
● Costo variable: 22𝑥
● Costos totales: 4800 + 22𝑥
Definimos las funciones de interés para el
problema:
función ingresos: 𝐼(𝑥) = 30. 𝑥
unción costos: 𝐶(𝑥) = 4800 + 22. 𝑥
Observemos que las funciones son𝐼 𝑦 𝐶
lineales y sus gráficas son rectas.
Nos interesa hallar las coordenadas del
punto donde se intersecan las𝑃(𝑥; 𝑦)
rectas.
En otras palabras: hallamos las
coordenadas del punto tal que𝑃(𝑥; 𝑦)
𝐼(𝑥) = 𝐶(𝑥) = 𝑦
Debemos resolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas:
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Para hallar la solución, podemos igualar los segundos miembros de las dos ecuaciones para
obtener el valor de x
30𝑥 = 4800 + 22. 𝑥
 30𝑥 − 22𝑥 = 4800
 8𝑥 = 4800
𝑥 = 4800: 8
𝑥 = 600
Respuesta: Se deben vender 600 unidades por mes para que el ingreso sea igual al costo.
El valor de la función Ingreso para debe ser igual al valor de la función costo en𝑥 = 600
Veamos:𝑥 = 600.
𝐼(600) = 30. 600 = 18000
𝐶(600) = 4800 + 22. 600 = 4800 + 13200 = 18000
Sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones. En particular, un sistema
de ecuaciones lineales con dos incógnitas es aquel que tiene dos ecuaciones de grado uno,
donde cada una de ellas tiene dos incógnitas.
𝑎
1
𝑥 + 𝑏
1
𝑦 = 𝑐
1
𝑎
2
𝑥 + 𝑏
2
𝑦 = 𝑐
2
Resolver un sistema de ecuacionessignifica hallar los pares ordenados que verifican(𝑥; 𝑦)
todas las ecuaciones simultáneamente. Es decir, un punto es solución del sistema si𝑃(𝑥; 𝑦)
sus coordenadas verifican todas las ecuaciones del sistema.
Soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Dadas dos rectas se pueden presentar los siguientes casos:
● Que tengan un punto en común y el sistema se llama compatible determinado.
● Que tengan infinitos puntos en común (rectas coincidentes) y el sistema se llama
compatible indeterminado.
● Que no tengan ningún punto en común (rectas paralelas no coincidentes) y el sistema se
llama incompatible.
Veamos cómo se reflejan estos casos al resolver los sistemas de ecuaciones lineales.
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Caso 1
Resolvemos el sistema:
Igualando los segundos miembros se tiene:
2𝑥 = 𝑥 + 5
 2𝑥 − 𝑥 = 5
𝑥 = 5
Para obtener el valor de reemplazamos el valor de𝑦
en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema: 𝑥
𝑦 = 2. 5 = 10
La solución del sistema es el punto Es decir,(5; 10).
las rectas se intersecan en un único punto.
📙 Un sistema que tiene solución se dice compatible. Si además la solución es única, se
llama compatible determinado y gráficamente las rectas se intersecan en un único punto.
🔎 Observación: El método analítico que se utilizó para resolver el sistema de ecuaciones
lineales anterior se llama método de igualación.
Caso 2:
Resolver el sistema:
Las ecuaciones están dadas en forma implícita.
Para resolver este sistema se puede despejar la variable de una de las ecuaciones y reemplazar𝑦
o sustituir en la otra ecuación el valor de por la expresión obtenida.𝑦
Por ejemplo, despejamos de la segunda ecuación:𝑦 𝑦 = 3𝑥 − 1
Reemplazando en la primera:
2. (3𝑥 − 1) − 6𝑥 + 2 = 0
6𝑥 − 2 − 6𝑥 + 2 = 0
0𝑥 = 0
Esta igualdad es siempre verdadera. Cualquier valor de la𝑥
satisface la igualdad. Esto significa que todo par de la(𝑥; 𝑦)
recta, es solución del sistema. Es decir, el sistema tiene
infinitas
soluciones.
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Si se grafican las rectas, se puede observar que son coincidentes y cualquiera de sus puntos
pertenece a la intersección entre dichas rectas.
📘 Un sistema que tiene infinitas soluciones se llama compatible indeterminado y
gráficamente las rectas son coicidentes.
🔎 Observación: El método analítico que se utilizó para resolver el sistema se llama método
de sustitución.
Caso 3:
Resolver el sistema:
Utilizando el método de igualación tenemos:
2𝑥 = 2𝑥 + 5
2𝑥 − 2𝑥 = 5
0𝑥 = 5
¡Contradicción! no hay ningún valor real “ ” que𝑥
multiplicado por cero de cinco.
Por lo tanto, este sistema no tiene solución.
📗 Si un sistema no tiene solución se dice que el sistema es incompatible. Gráficamente,
estas rectas son paralelas, no coincidentes.
📑Aclaración: Al resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden
utilizar diferentes métodos. En los ejemplos anteriores se utilizó el método de igualación y el de
sustitución. Existe otro más que se llama método de reducción por sumas y restas. Veamos un
ejemplo:
Resolver el sistema
Se multiplica una o ambas ecuaciones por un número no nulo de modo que el valor absoluto de
los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales, obteniendo un sistema equivalente.
Por ejemplo:
Multiplicamos la primera ecuación por 5 y obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente
(recordar que se multiplican ambos miembros de la igualdad):
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Luego, se suman o restan ambas ecuaciones, logrando que se anule una de las dos incógnitas.
En el ejemplo: Restamos miembro a miembro:
Se resuelve la ecuación obteniendo el valor de la incógnita y:
7𝑦 = 49
 𝑦 = 49: 7
 𝑦 = 7
Se reemplaza la incógnita encontrada en alguna de las dos ecuaciones iniciales y se halla el
valor de la incógnita faltante.
Por ejemplo, tomamos la primera: 𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥 + 7 = 20
𝑥 = 20 − 7
𝑥 = 13
Obtenemos así la solución del sistema que es el punto (13;7).
Al igual que con los otros métodos, es posible verificar y representar gráficamente.
Verificación:
✅13 + 7 = 20
✅5. 13 − 2. 7 = 65 − 14 = 51
Representación gráfica:
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