Ejercicios con Matrices y Determinantes con Ejemplos de la Vida Cotidiana

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Ejercicios con Matrices y Determinantes con Ejemplos de la Vida Cotidiana.
Ejercicio 1: Suma de matrices
Supongamos que tienes una lista de compras y otra lista con los precios de cada artículo.
Quieres calcular el costo total de tus compras. Puedes representar la lista de compras y
los precios como matrices y luego sumarlas para obtener el costo total.
Lista de compras: [2, 3, 1]
Precios: [1.5, 2, 3]
Solución:
[2, 3, 1] + [1.5, 2, 3] = [3.5, 5, 4]
El costo total de tus compras es 3.5 + 5 + 4 = 12.5.
Ejercicio 2: Producto de matrices
Imagina que tienes una matriz que representa la cantidad de horas que trabajas en
diferentes días de la semana, y otra matriz que representa tu salario por hora en esos días.
Quieres calcular tu salario semanal multiplicando estas dos matrices.
Horas trabajadas: [[8, 7, 6, 8, 9]]
Salario por hora: [[10], [12], [11], [10], [13]]
Solución:
[[8, 7, 6, 8, 9]] * [[10], [12], [11], [10], [13]] = [[240]]
Tu salario semanal es de 240 dólares.
Ejercicio 3: Transposición de matrices
Supongamos que tienes una matriz que representa los resultados de una encuesta sobre el
color favorito de las personas. Quieres mostrar los resultados en forma de tabla, donde las
filas representan los colores y las columnas representan la cantidad de personas que
eligieron cada color.
Resultados de la encuesta: [[5], [8], [3]]
Solución: La transposición de la matriz sería: [[5], [8], [3]]^T = [[5, 8, 3]] La tabla de
resultados sería: Color | Cantidad
1 | 5
2 | 8
3 | 3
Ejercicio 4: Inversa de una matriz
Imagina que tienes una matriz que representa un sistema de ecuaciones lineales. Quieres
encontrar las soluciones del sistema resolviendo la matriz inversa.
Sistema de ecuaciones:
2x + 3y = 8
4x - 2y = 2
Matriz del sistema: [[2, 3], [4, -2]]
Solución:
La inversa de la matriz sería:
[[2, 3], [4, -2]]^(-1) = [[0.2, 0.3], [0.4, -0.2]]
Las soluciones del sistema serían:
x = 0.2(8) + 0.3(2) = 2.2
y = 0.4(8) - 0.2(2) = 3.2
Ejercicio 5: Cálculo de promedio de calificaciones
Supongamos que tienes las calificaciones de un estudiante en diferentes asignaturas.
Quieres calcular el promedio de calificaciones. Puedes representar las calificaciones
como una matriz y luego calcular el promedio.
Calificaciones: [[8, 7, 9, 6, 8]]
Solución:
Promedio = (8 + 7 + 9 + 6 + 8) / 5 = 7.6
El promedio de calificaciones del estudiante es 7.6.
Ejercicio 6: Multiplicación de matrices para cálculo de precios
Imagina que tienes una matriz que representa los precios de diferentes productos y otra
matriz que representa la cantidad de cada producto que deseas comprar. Quieres calcular
el costo total de tu compra multiplicando estas dos matrices.
Precios: [[2.5], [3.0], [1.5]]
Cantidad: [[3], [2], [4]]
Solución:
[[2.5], [3.0], [1.5]] * [[3], [2], [4]] = [[7.5], [6.0], [6.0]]
El costo total de tu compra es 7.5 + 6.0 + 6.0 = 19.5.
Ejercicio 7: Matriz de horarios
Supongamos que tienes una matriz que representa tu horario semanal. Cada fila
representa un día de la semana y cada columna representa una hora del día. Quieres
encontrar el día y la hora en la que tienes una cita.
Horario:
[[0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0]]
Solución:
La cita está programada el día 4 (índice de fila) a la hora 2 (índice de columna). Es decir,
el jueves a las 2:00 PM.
Ejercicio 8: Matriz de asientos en un cine
Imagina que tienes una matriz que representa los asientos de un cine. Cada elemento de la
matriz representa un asiento, donde 0 significa que está vacío y 1 significa que está
ocupado. Quieres encontrar la cantidad de asientos disponibles.
Asientos:
[[1, 0, 1],
[0, 1, 1],
[1, 1, 0]]
Solución:
La cantidad de asientos disponibles es igual al número de elementos en la matriz que
tienen el valor 0. En este caso, hay 2 asientos disponibles.
Ejercicio 9: Cálculo de gastos mensuales
Supongamos que tienes una matriz que representa tus gastos diarios durante un mes.
Cada fila representa un día y cada columna representa una categoría de gasto (por
ejemplo, alimentos, transporte, entretenimiento, etc.). Quieres calcular el gasto total en
cada categoría durante el mes.
Gastos diarios:
[[20, 15, 10],
[10, 5, 8],
[15, 12, 10],
[18, 10, 5]]
Solución:
Para calcular el gasto total en cada categoría, sumamos los valores de cada columna:
Alimentos: 20 + 10 + 15 + 18 = 63
Transporte: 15 + 5 + 12 + 10 = 42
Entretenimiento: 10 + 8 + 10 + 5 = 33
Por lo tanto, el gasto total en alimentos es de 63 unidades monetarias, en transporte es de
42 unidades monetarias y en entretenimiento es de 33 unidades monetarias.
Ejercicio 10: Cálculo de descuentos en una tienda
Imagina que tienes una matriz que representa los precios originales de diferentes
productos en una tienda y otra matriz que representa los descuentos aplicados a cada
producto. Quieres calcular el precio final de cada producto después de aplicar los
descuentos.
Precios originales:
[[20, 30, 15],
[10, 25, 12],
[18, 20, 8]]
Descuentos:
[[0.1, 0.2, 0.15],
[0.05, 0.1, 0.08],
[0.15, 0.1, 0.05]]
Solución:
Para calcular el precio final de cada producto, multiplicamos los precios originales por
los descuentos correspondientes:
Precio final = Precio original - (Precio original * Descuento)
Por ejemplo, el precio final del primer producto sería:
20 - (20 * 0.1) = 20 - 2 = 18
Aplicando este cálculo a todos los productos, obtenemos la siguiente matriz de precios
finales:
[[18, 24, 12],
[9.5, 22.5, 11.04],
[15.3, 18, 7.6]]
Ejercicio 11: Cálculo de calificaciones ponderadas
Supongamos que tienes una matriz que representa las calificaciones de un estudiante en
diferentes asignaturas y otra matriz que representa los pesos de cada asignatura. Quieres
calcular el promedio ponderado del estudiante.
Calificaciones:
[[8, 7, 9, 6, 8]]
Pesos:
[[0.2, 0.15, 0.25, 0.1, 0.3]]
Solución:
Para calcular el promedio ponderado, multiplicamos cada calificación por su respectivo
peso, y luego sumamos los resultados:
Promedio ponderado = (8 * 0.2) + (7 * 0.15) + (9 * 0.25) + (6 * 0.1) + (8 * 0.3) = 7.55
Por lo tanto, el promedio ponderado del estudiante es 7.55.
Ejercicio 12: Cálculo de ingresos mensuales
Imagina que tienes una matriz que representa tus ingresos diarios durante un mes. Cada
fila representa un día y cada columna representa una fuente de ingreso (por ejemplo,
salario, ventas, intereses, etc.). Quieres calcular el ingreso total en cada fuente durante el
mes.
Ingresos diarios:
[[100, 50, 20],
[80, 60, 30],
[120, 40, 25],
[90, 70, 35]]
Solución:
Para calcular el ingreso total en cada fuente, sumamos los valores de cada columna:
Salario: 100 + 80 + 120 + 90 = 390
Ventas: 50 + 60 + 40 + 70 = 220
Intereses: 20 + 30 + 25 + 35 = 110
Por lo tanto, el ingreso total por salario es de 390 unidades monetarias, por ventas es de
220 unidades monetarias y por intereses es de 110 unidades monetarias.
Ejercicio 13:
Supongamos que tienes dos tarjetas de regalo para dos tiendas diferentes. En la primera
tienda, puedes comprar 3 camisetas y 2 pantalones por $100. En la segunda tienda,
puedes comprar 2 camisetas y 4 pantalones por $120. Quieres saber cuánto cuesta una
camiseta y un pantalón por separado. Podemos plantear el siguiente sistema de
ecuaciones:
3c + 2p = 100
2c + 4p = 120
Para resolverlo, podemos escribir los coeficientes en una matriz y calcular el
determinante:
| 3 2 |
| 2 4 |
El determinante de esta matriz es: (3 * 4) - (2 * 2) = 12 - 4 = 8. Como el determinante es
diferente de cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema.
Después de realizar los cálculos, encontramos que una camiseta cuesta $20 y un pantalón
cuesta $30.
Ejercicio 14:
Imagina que tienes tres tipos de monedas: monedas de 1 peso, monedas de 5 pesos y
monedas de 10 pesos. Tienes un total de 20 monedas que suman $100. Quieressaber
cuántas monedas de cada tipo tienes. Podemos plantear el siguiente sistema de
ecuaciones:
x + 5y + 10z = 100
x + y + z = 20
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 1 5 10 |
| 1 1 1 |
| 0 0 1 |
El determinante de esta matriz es: (1 * 1 * 1) + (5 * 1 * 0) + (10 * 1 * 0) - (10 * 1 * 1) -
(1 * 1 * 0) - (5 * 1 * 1) = 1 - 10 - 5 = -14. Como el determinante es diferente de cero,
podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema. Después de realizar los
cálculos, encontramos que tienes 10 monedas de 1 peso, 5 monedas de 5 pesos y 5
monedas de 10 pesos.
Ejercicio 15:
Supongamos que tienes dos tipos de frutas: manzanas y naranjas. Compraste 5 manzanas
y 3 naranjas por $20 en un puesto de frutas. En otro puesto de frutas, compraste 2
manzanas y 4 naranjas por $15. Quieres saber cuánto cuesta una manzana y una naranja
por separado. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
5m + 3n = 20
2m + 4n = 15
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 5 3 |
| 2 4 |
El determinante de esta matriz es: (5 * 4) - (3 * 2) = 20 - 6 = 14. Como el determinante es
diferente de cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema.
Después de realizar los cálculos, encontramos que una manzana cuesta $3 y una naranja
cuesta $4.
Ejercicio 16:
Imagina que tienes tres tipos de bebidas: agua, refresco y jugo. Compraste 4 botellas de
agua, 2 botellas de refresco y 3 botellas de jugo por $15 en una tienda. En otra tienda,
compraste 2 botellas de agua, 3 botellas de refresco y 1 botella de jugo por $10. Quieres
saber cuánto cuesta cada tipo de bebida por separado. Podemos plantear el siguiente
sistema de ecuaciones:
4a + 2r + 3j = 15
2a + 3r + 1j = 10
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 4 2 3 |
| 2 3 1 |
El determinante de esta matriz es: (4 * 3) - (2 * 2) = 12 - 4 = 8. Como el determinante es
diferente de cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema.
Después de realizar los cálculos, encontramos que una botella de agua cuesta $2, una
botella de refresco cuesta $3 y una botella de jugo cuesta $1.
Ejercicio 17:
Supongamos que tienes dos tipos de monedas: monedas de 1 peso y monedas de 5 pesos.
Tienes un total de 10 monedas que suman $25. Quieres saber cuántas monedas de cada
tipo tienes. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 5y = 25
x + y = 10
Para resolverlo, podemos escribir los coeficientes en una matriz y calcular el
determinante:
| 1 5 |
| 1 1 |
El determinante de esta matriz es: (1 * 1) - (5 * 1) = 1 - 5 = -4. Como el determinante es
diferente de cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema.
Después de realizar los cálculos, encontramos que tienes 5 monedas de 1 peso y 5
monedas de 5 pesos.
Ejercicio 18:
Imagina que tienes tres tipos de frutas: manzanas, naranjas y plátanos. Compraste 4
manzanas, 3 naranjas y 2 plátanos por $15 en un puesto de frutas. En otro puesto de
frutas, compraste 2 manzanas, 1 naranja y 3 plátanos por $10. Quieres saber cuánto
cuesta cada tipo de fruta por separado. Podemos plantear el siguiente sistema de
ecuaciones:
4m + 3n + 2p = 15
2m + 1n + 3p = 10
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 4 3 2 |
| 2 1 3 |
El determinante de esta matriz es: (4 * 1 * 3) + (3 * 2 * 2) + (2 * 1 * 2) - (2 * 1 * 2) - (4 *
2 * 2) - (3 * 1 * 3) = 12 + 12 + 4 - 4 - 16 - 9 = -1. Como el determinante es diferente de
cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema. Después de realizar
los cálculos, encontramos que una manzana cuesta $2, una naranja cuesta $3 y un plátano
cuesta $4.
Ejercicio 19:
Supongamos que tienes dos tipos de bebidas: agua y refresco. Compraste 5 botellas de
agua y 3 botellas de refresco por $12 en una tienda. En otra tienda, compraste 2 botellas
de agua y 4 botellas de refresco por $10. Quieres saber cuánto cuesta cada tipo de bebida
por separado. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
5a + 3r = 12
2a + 4r = 10
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 5 3 |
| 2 4 |
El determinante de esta matriz es: (5 * 4) - (3 * 2) = 20 - 6 = 14. Como el determinante es
diferente de cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema.
Después de realizar los cálculos, encontramos que una botella de agua cuesta $2 y una
botella de refresco cuesta $3.
Ejercicio 20:
Imagina que tienes tres tipos de libros: novelas, ensayos y poesía. Compraste 2 novelas, 3
ensayos y 4 libros de poesía por $60 en una librería. En otra librería, compraste 1 novela,
2 ensayos y 3 libros de poesía por $30. Quieres saber cuánto cuesta cada tipo de libro por
separado. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
2n + 3e + 4p = 60
1n + 2e + 3p = 30
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 2 3 4 |
| 1 2 3 |
El determinante de esta matriz es: (2 * 2 * 3) + (3 * 1 * 4) + (4 * 2 * 1) - (4 * 2 * 4) - (2 *
1 * 4) - (3 * 2 * 3) = 12 + 12 + 8 - 32 - 8 - 18 = -6. Como el determinante es diferente de
cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema. Después de realizar
los cálculos, encontramos que una novela cuesta $10, un ensayo cuesta $5 y un libro de
poesía cuesta $8.
Ejercicio 21:
Supongamos que tienes dos tipos de billetes: billetes de $10 y billetes de $20. Tienes un
total de 5 billetes que suman $100. Quieres saber cuántos billetes de cada tipo tienes.
Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 5
10x + 20y = 100
Para resolverlo, podemos escribir los coeficientes en una matriz y calcular el
determinante:
| 1 1 |
| 10 20 |
El determinante de esta matriz es: (1 * 20) - (1 * 10) = 20 - 10 = 10. Como el
determinante es diferente de cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el
sistema. Después de realizar los cálculos, encontramos que tienes 3 billetes de $10 y 2
billetes de $20.
Ejercicio 22:
Imagina que tienes tres tipos de frutas: manzanas, naranjas y plátanos. Compraste 2
manzanas, 3 naranjas y 4 plátanos por $15 en un puesto de frutas. En otro puesto de
frutas, compraste 1 manzana, 2 naranjas y 3 plátanos por $10. Quieres saber cuánto
cuesta cada tipo de fruta por separado. Podemos plantear el siguiente sistema de
ecuaciones:
2m + 3n + 4p = 15
1m + 2n + 3p = 10
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 2 3 4 |
| 1 2 3 |
El determinante de esta matriz es: (2 * 2 * 3) + (3 * 1 * 4) + (4 * 2 * 1) - (4 * 2 * 3) - (2 *
1 * 4) - (3 * 2 * 2) = 12 + 12 + 8 - 24 - 8 - 12 = -12. Como el determinante es diferente de
cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema. Después de realizar
los cálculos, encontramos que una manzana cuesta $2, una naranja cuesta $3 y un plátano
cuesta $1.
Ejercicio 23:
Supongamos que tienes dos tipos de bebidas: agua y refresco. Compraste 4 botellas de
agua y 2 botellas de refresco por $10 en una tienda. En otra tienda, compraste 2 botellas
de agua y 3 botellas de refresco por $12. Quieres saber cuánto cuesta cada tipo de bebida
por separado. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
4a + 2r = 10
2a + 3r = 12
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 4 2 |
| 2 3 |
El determinante de esta matriz es: (4 * 3) - (2 * 2) = 12 - 4 = 8. Como el determinante es
diferente de cero, podemos utilizar el método de Cramer para resolver el sistema.
Después de realizar los cálculos, encontramos que una botella de agua cuesta $2 y una
botella de refresco cuesta $3.
Ejercicio 24:
Imagina que tienes tres tipos de libros: novelas, ensayos y poesía. Compraste 3 novelas, 2
ensayos y 4 libros de poesía por $60 en una librería. En otra librería, compraste 2
novelas, 1 ensayo y 3 libros de poesía por $40. Quieres saber cuántocuesta cada tipo de
libro por separado. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
3n + 2e + 4p = 60
2n + 1e + 3p = 40
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| 3 2 4 |
| 2 1 3 |
El determinante de esta matriz es: (3 * 1 * 3) + (2 * 2 * 4) + (4 * 1 * 2) - (4 * 1 * 4) - (2 *
2 * 2) - (3 * 1 * 3) = 9 + 16 + 8 - 16 - 8 - 9 = 0. Como el determinante es igual a cero, el
sistema no tiene solución única. Esto significa que no podemos determinar el precio
individual de cada tipo de libro con la información proporcionada.