Unidad 2 1_ Funciones

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Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad II 
 
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UNIDAD II: FUNCIONES 
 
Conceptos generales 
 
 Temas: concepto de función. Dominio, codominio y conjunto imagen. Diferentes formas de 
representar una función: sistema sagital, tabla, gráfica (prueba de la recta vertical); ley o fórmula. 
Análisis de funciones: intersección con los ejes coordenados, raíces o ceros, ordenada al origen, 
máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, conjuntos de positividad y 
negatividad. Función par e impar. Composición de funciones. Traslaciones y desplazamientos de las 
funciones en general. 
 
¿Qué es un modelo? 
Es una representación gráfica, esquemática o analítica de una realidad, que sirve para organizar y 
comunicar de forma clara los elementos que la conforman y sus relaciones. 
La Matemática, que muchos describen como "el lenguaje del universo", nos otorga la posibilidad de 
describir, calcular y predecir el comportamiento del mundo que nos rodea, y desde luego dar respuesta 
a miles de preguntas. 
Aquellas representaciones en las que se explicitan las relaciones entre las variables mediante fórmulas, 
ecuaciones y uso de números en general se denominan modelos matemáticos. 
El proceso de construcción de un modelo matemático podría describirse en cuatro etapas: 
 
● Etapa 1. Observar el mundo real 
En un primer momento debemos observar y analizar los componentes de la situación-problema real, lo 
que permitirá seleccionar aquellas características relevantes de los aspectos a analizar, seleccionar el 
conjunto de variables que sintetizan el comportamiento del problema, identificando las variables 
externas al mismo. 
Por ejemplo, cuando se va a realizar un primer modelo para describir la trayectoria de un objeto que 
es arrojado desde cierta altura, obviamente debemos tener en cuenta la acción de la gravedad, pero se 
podría obviar en el comienzo, los efectos de la resistencia del aire. En cambio, si realizamos un modelo 
del ascenso de un avión, la acción del aire no se puede dejar de considerar. 
 
● Etapa 2. Descripción coloquial del modelo preliminar 
Una vez cumplida la observación se elabora el modelo preliminar en el que debemos explicitar, de 
manera clara y simplificada, la relación matemática que vincula a las variables presentes en la situación-
problema. A partir de esta formulación preliminar procedemos a relevar la información que permita 
analizar la viabilidad de las decisiones a implementar el uso de fórmulas conocidas, la realización de 
nuevas ecuaciones o funciones que describen el problema, etcétera. 
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Por ejemplo. en el caso del modelo para describir la trayectoria de un objeto que es arrojado desde 
cierta altura, debemos describir la situación considerando valores de la variable tiempo, partiendo de 
cero para el momento en que se arroja. Si modelizamos los gastos de producción de una empresa 
deberemos determinar todos los costos iniciales fijos. 
 
● Etapa 3. Modelo matemático 
Utilizando las herramientas matemáticas definiciones, algoritmos, propiedades y teoremas, debemos 
construir las expresiones matemáticas tales como, funciones, ecuaciones, inecuaciones, entre otras, 
que relacionan las variables o incógnitas respectivamente, que describen la situación-problema, esto 
es, realizar el modelo. 
Por ejemplo. un modelo matemático para describir la distancia recorrida (𝑑) por un objeto pesado que 
es arrojado en caída libre desde cierta altura en el tiempo (𝑡) está representado por la función cuya 
expresión es: 
𝑑(𝑡) =
1
2
 𝑔 𝑡2 
donde g es la aceleración constante determinada por la gravedad en la superficie terrestre 
(aproximadamente 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠²), y el objeto carece de velocidad inicial. 
 
● Etapa 4. Resultados 
A partir de los valores medidos para las variables que están presentes en el modelo, debemos realizar 
el cálculo con aquello construído. Estos resultados deben contrastarse, evaluarse e interpretarse 
considerando los valores estimados u observados en la realidad. Esta etapa brinda la posibilidad de 
decidir la bondad del modelo desarrollado y permite un nuevo ajuste para una mejor representación de 
la realidad. 
 
Muchas situaciones necesitan, para su resolución, la formulación de modelos que las representen. A 
partir de ellos se pueden obtener las mejores respuestas. 
En esta unidad vamos a estudiar las funciones matemáticas elementales, que se utilizan muchas veces 
para resolver problemas reales. 
A continuación, iremos desarrollando los diferentes contenidos: 
 
Función 
 
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función “𝑓” de A en B es una relación que asigna a cada 
elemento 𝒙 del conjunto A un único elemento 𝒚 del conjunto B. 
 
En símbolos: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 
 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
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En esta unidad vamos a estudiar funciones definidas en el conjunto de los números reales. 
● El símbolo 𝑓(𝑥) se lee “f de x” o “f en x” y se denomina valor de 𝑓 en 𝑥 o la imagen de 𝑥 a través 
de 𝑓. 
● Al conjunto A se lo denomina dominio de 𝑓 y se denota: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 𝑜 𝐷𝑓 
● Al conjunto B se lo denomina codominio de 𝑓 y se denota: 𝐶𝑓 
● El rango o conjunto imagen de 𝒇 es el conjunto de todos los valores posibles de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 
varía en todo el dominio. En símbolos: 𝐼𝑚(𝑔) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑓 = {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐴} 
● La letra 𝑥, representa un número arbitrario del dominio de la función 𝑓, esta se llama variable 
independiente. 
● La letra 𝑦, representa un número en el rango de 𝑓, esta se llama variable dependiente. 
 Observaciones: 
➔ Podemos utilizar cualquier letra para el nombre de la función: 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑠, etcétera. 
También podemos utilizar cualquier letra para denotar la variable independiente, generalmente 
usamos: 𝑥 𝑜 𝑡 . 
➔ Todos los elementos del conjunto A (dominio de una función) deben estar relacionados con un 
elemento del conjunto B. 
➔ Convención: en los casos en los cuales no tenemos explicitado el dominio y el codominio vamos 
a considerar como dominio el mayor subconjunto de los números reales en el cual la función esté 
definida, y como codominio al conjunto de los números reales. 
➔ Es útil considerar una función como una máquina. 
Si 𝑥 está en el dominio de la función 𝑓, entonces cuando 𝑥 entra a la 
máquina, es aceptada como entrada y la máquina produce una salida 
𝑓(𝑥) de acuerdo con la regla de la función. 
Así, podemos interpretar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas y el rango como el 
conjunto de todas las posibles salidas. 
 
Ejemplos de relaciones funcionales: 
- El precio del combustible está relacionado con el precio del petróleo. 
 variable independiente: precio del petróleo 
 variable dependiente: precio del combustible 
 Dominio de la función: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ+0 
- El costo de enviar un paquete por correo depende de su peso. 
 variable independiente: peso del paquete a enviar 
 variable dependiente: costo del envío del paquete 
 Dominio de la función: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ+0 
- El área de un círculo es una función de su radio. 
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 variable independiente: longitud del radio de un círculo 
 variable dependiente: área del círculo 
 Dominio de la función: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ+ 
-La temperatura promedio de cada día del mes de marzo de 2021 depende de cada día 
 variable independiente: cada día del mes de marzo de 2021 
 variable dependiente: temperatura promedio de cada día 
 Dominio de la función: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {1;2; 3; 4; 5;6; 7; … … . . ; 31} A este tipo de dominios se los llama 
dominio discreto. 
- El número de bacterias en un cultivo es función del tiempo. 
- El peso de un/a astronauta es una función de su elevación. 
- El precio de una determinada mercaderíaes una función de la demanda de esa mercancía. 
 
Algunas formas de representar una función 
 
Diagrama Sagital 
En un diagrama sagital (usualmente se conoce con el nombre de diagramas de Venn) se representan los 
conjuntos por medio de una curva cerrada (círculos u óvalos), los elementos mediante puntos y las 
relaciones entre los elementos de cada conjunto por medio de flechas. 
Ejemplo: 
En el diagrama de Venn que representa a la función f se puede observar: 
*Dom f = {1, 2, 3, 4} (dominio discreto) 
*Im f = {a, b, d}; 
*El valor de f (3) = b 
*El elemento del dominio cuya imagen es la letra d: x = 4, que 
escribimos f (4) = d; 
*La imagen del número 4: y = d que escribimos f (4) = d . 
➢ Ventajas: el diagrama sagital permite observar rápidamente la imagen de cada elemento. 
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➢ Desventajas: no es adecuado para representar funciones cuando el dominio o la imagen de la 
misma son conjuntos con infinitos elementos. 
Observación: 
Con este tipo de diagrama se puede observar rápidamente cuando la relación no es funcional, por 
ejemplo: 
 
Tabla 
Cuando se representa una función mediante una tabla, se puede observar en la primera columna los 
elementos del dominio y, en la segunda columna, los elementos del conjunto imagen. 
En esta forma de representación, la correspondencia de cada elemento con su imagen se observa en 
cada fila de la tabla. Cabe destacar que la tabla también n se puede trabajar de manera horizontal 
Ejemplo: 
La siguiente tabla es una representación de una función f. 
A partir de la tabla podemos obtener: 
*La definición en palabras de la función 𝑦 = 𝑓 (𝑥), esto es: "la 
función f asigna a cada año, entre 2001 y 2005, la cantidad de 
estudiantes matriculados en el nivel polimodal en la República 
Argentina"; 
*Las variables que se relacionan por la función: variable 
independiente x: año; variable dependiente y: cantidad de 
estudiantes matriculados en el nivel polimodal; 
*El conjunto 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {2001, 2002, 2003, 2004, 2005}; 
*El conjunto 𝐼𝑚 𝑓 = {1.640.278, 1.649.332, 1.644.694, 1.575.653, 1.545.992}; 
* La cantidad de estudiantes que se matricularon en el polimodal en 2003, que es 1.644.694 representa 
la imagen por la función de 𝑥 = 2003; 
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*En el año 2005 se registró el menor número de matrícula en este nivel de enseñanza; 
*La imagen del número 2001 es 𝑓 (2001) = 1.640.278; 
*La matrícula en el nivel polimodal en Argentina fue decreciente en el primer quinquenio de este siglo. 
➢ Ventajas: las tablas permiten observar rápidamente la imagen de cada elemento. 
➢ Desventajas: no son adecuadas para observar tendencias o evolución del fenómeno si hay muchos 
elementos en el dominio. 
Gráficos 
Una función se puede representar de forma gráfica en un sistema de ejes cartesianos: en el eje 
horizontal (llamado eje de las abscisas ) se representa la variable independiente, y en el eje vertical 
(llamado eje de ordenadas) la variable dependiente. 
De esta manera, cada elemento del dominio y su correspondiente imagen se pueden expresar mediante 
un punto que se denomina par ordenado (𝑥 ; 𝑓(𝑥)) en el plano coordenado. 
En el punto (𝑥 ; 𝑦) que se marca en el plano para obtener el gráfico de una función importa el orden, 
de allí el nombre de par ordenado, es decir la primer coordenada 𝑥 es el valor de la variable 
independiente y la segunda coordenada y verifica 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 ¡Importante! 
El gráfico de una función f está formado por todos los puntos (𝑥; 𝑦), donde 𝑥 perteneciente al dominio 
de 𝑓 se visualiza en el eje de las abscisas (eje x), su respectiva imagen 𝑦 = 𝑓(𝑥) se visualiza en el eje 
de las ordenadas (eje y). 
Ejemplo 1: 
El gráfico muestra la función que para cada ºC de 
temperatura indica cuál es la presión de vapor de agua, 
medida en kPa (kilopascal). 
En este caso definimos 
 𝑓: ℝ+0 → ℝ
+
0 
 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑦 =presión del vapor (en kPa) para x ºC de 
temperatura. 
A partir del gráfico podemos obtener: 
*Las variables que se relacionan en esta función: variable 
independiente x: temperatura; variable dependiente y: presión del vapor; 
*El conjunto 𝐷𝑓 = [0,100] cuyos elementos se miden utilizando como unidad de medida ºC (grados 
centígrados); 
*El conjunto 𝐼𝑚𝑓 = [0,100] cuyos elementos se miden utilizando como unidad de medida el kPa; 
*La presión de vapor para 0ºC que es la imagen por la función del elemento 0 del dominio, esto es 
𝑓(0) = 0kPa; 
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*La presión de vapor para 100ºC que es la imagen por la función del elemento 100 del dominio, esto es 
𝑓(100) = 100 𝑘𝑃𝑎; 
*La presión de vapor, a medida que aumenta la temperatura, toma valores cada vez mayores, es decir 
la presión crece con la temperatura; 
*una presión de vapor medida es de 40 kPa, corresponde a una temperatura de 82ºC aproximadamente; 
*El punto A indica el valor que corresponde a la temperatura 37º𝐶, que es la temperatura corporal y, a 
veces, la de la piel es unos grados menores. La transpiración (básicamente agua) se evapora a la 
temperatura de la piel, entonces se produce aproximadamente a 4 kPa. 
Ejemplo 2: Gráfica de puntos aislados 
El gráfico muestra la cantidad de especies 
melíferas en floración en cada mes del año para la 
localidad de Ojo de Agua en Santiago del Estero. 
A partir del gráfico podemos deducir que: 
*La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) describe el número de 
especies melíferas en floración en cada mes x del 
año, para la localidad de Ojo de Agua en Santiago 
del Estero; 
*Las variables que se relacionan son: variable 
independiente: mes del año; variable dependiente: 
número de especies; 
*El conjunto Dom f = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} y se visualiza en el eje de las abscisas (eje 𝑥) 
(dominio discreto) 
*En el eje de las ordenadas (eje y) se visualiza el conjunto Img f ; 
*Se verifica que f (8) = 22 lo cual indica que el número de plantas que florecieron en agosto fue de 22; 
*En el mes de octubre (mes 10) se registró el menor número de plantas melíferas florecidas, que fue de 
12 plantas. En cambio en el mayor número de plantas florecidas se produjo en los meses de abril y 
mayo; 
*Notar que en este caso no tiene sentido unir con una curva los puntos del gráfico ya que la variable 
independiente es un número natural. 
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Ejemplo 3: Funciones definidas por tramos 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−2; 2] 
En este gráfico podemos observar que la función se 
comporta de manera diferente en los intervalos 
(−2, 1] 𝑦 (1, 2]. 
Para los valores de −2 < 𝑥 ≤ 1 las variables se relacionan 
de una manera diferente que para los valores de 1 < 𝑥 ≤
2. 
 
 
 
 
La prueba de la recta vertical para determinar si una gráfica representa o no una función 
La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿Qué curvas del plano xy 
son gráficas que representan funciones? Esto se puede contestar por medio de la prueba de la recta 
vertical. 
Una curva en el plano de coordenadas es la gráfica de una función si y sólo si 
ninguna recta vertical interseca la curva más de una vez. 
Podemos ver en la figura por qué la Prueba de la Recta Vertical es verdadera. 
 
 
 
 
 
 
Si cada recta vertical 𝑥 = 𝑎 interseca la curva sólo una vez en el punto (a, b), entonces exactamente 
un valor funcional está definido por 𝑓(𝑎) = 𝑏. 
Pero si una recta 𝑥 = 𝑎 interseca la curva dos veces, en (a, b) y en (a, c), entonces la curva no puede 
representar una función pues una función no puede asignar dos imágenes diferentes a 𝑎. 
 
 
 
 
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Ejemplos: 
Dadas las gráficas: 
 
Usando la Prueba de la Recta Vertical, vemos que las curvasde las gráficas (b) y (c) representan 
funciones, mientras que las de (a) y (d) no representan una relación funcional. 
Ley o fórmula 
Todo fenómeno que se pretenda modelizar necesita ser cuantificado, así las variables relacionadas 
pueden considerarse como pertenecientes a conjuntos de números, en este caso hablamos de funciones 
numéricas. 
Ejemplos: 
● 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
 es una función que asigna a cada valor de la variable independiente 𝑥 un único valor de 
la variable dependiente 𝑦 que se obtiene al dividir por dos el valor de 𝑥 correspondiente. 
A partir de la ley podemos deducir: 
- 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ 
- Podemos obtener el valor de la función para cada valor de 𝑥 del 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
Ejemplo: 𝑓(1) =
1
2
 lo que significa que el punto (1;
1
2
) está en la gráfica de 𝑓. 
De esa forma podemos hallar cualquier punto de la gráfica de 𝑓. 
● 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 es una función que asigna a cada valor de la variable independiente 𝑥 un único 
valor de la variable dependiente 𝑦 que se obtiene al calcular el siguiente del cuadrado del valor 
de 𝑥 correspondiente. 
A partir de la ley podemos deducir: 
- 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ 
- Podemos obtener el valor de la función para cada valor de 𝑥 del 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 
Ejemplo: 𝑔(1) = 12 + 1 = 1 + 1 = 2 lo que significa que el punto (1; 2) está en la gráfica de 𝑔. 
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Así, podemos hallar cualquier punto de la gráfica de 𝑔. 
● 
 
 
A partir de la ley podemos deducir: 
- 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (−2;2] 
- Podemos obtener el valor de la función para cada valor de 𝑥 del 𝐷𝑜𝑚(ℎ) 
Ejemplos: 
ℎ(0) = 0 +
3
2
=
3
2
 (porque 0 ∈ (−2; 1]) lo que significa que el punto (0;
3
2
) está en la gráfica de ℎ. 
ℎ(
3
2
) = (
3
2
)2 =
9
4
 (porque 
3
2
∈ (1; 2])lo que significa que el punto (
3
2
;
9
4
) está en la gráfica de ℎ. 
- De la misma manera que en el ítem anterior, podemos hallar cualquier punto de la gráfica de ℎ. 
● 𝑠(𝑥) = √𝑥 + 5 
A partir de la ley podemos deducir: 
- 𝐷𝑜𝑚(𝑠) = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 + 5 ≥ 0} = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≥ −5} = [−5; +∞) 
- Podemos obtener el valor de la función para cada valor de 𝑥 del 𝐷𝑜𝑚(𝑠) 
Ejemplos: 
𝑠(−5) = √−5 + 5 = √0 = 0 lo que significa que el punto (−5; 0) está en la gráfica de 𝑠. 
𝑠(4) = √4 + 5 = √9 = 3 lo que significa que el punto (4;3) está en la gráfica de 𝑠. 
- De la misma manera que en los ítems anteriores podemos hallar cualquier punto de la gráfica de 
𝑠. 
 Observación: 
Las distintas formas de representar una función están relacionadas. En esta materia vamos a trabajar 
más con la representación gráfica y con la ley o fórmula. 
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Estudio de funciones: 
Muchas veces es de utilidad conocer algunos aspectos específicos de la función que se está trabajando 
como por ejemplo la intersección de la gráfica con los ejes coordenados; si posee o no máximos o 
mínimos relativos; los intervalos donde la función crece, decrece o es constante. 
Numerosas propiedades de una función se obtienen más fácilmente de una gráfica que de la ley que 
describe la función. 
Actividad resuelta: 
La función T graficada representa la temperatura entre el 
mediodía y las 6pm de un día de otoño en Tucumán. 
a) Determinar cuál fue la temperatura a la 1 pm; a las 3pm y 
a las 5pm. 
b) ¿La temperatura fue mayor a las 2 o a las 4 pm? Justificar. 
c) Hallar los horarios en los que ese día, en ese rango de 
tiempo, la temperatura fue de 25°C. 
d) Hallar los horarios en los que ese día, en ese rango de 
tiempo, la temperatura fue mayor o igual a 25°C. 
e) ¿Qué significa que el punto (0;15) está en la gráfica? 
f) ¿En qué intervalo de tiempo la temperatura aumentó? 
g) ¿Cuál fue la temperatura máxima que se registró ese día en ese rango horario? ¿y la mínima? 
Resolvemos: 
a) Para determinar la temperatura a la 1pm debemos calcular 𝑇(1) que está representada por la 
imagen de la función en 𝑥 = 1. Entonces, 𝑇(1) = 25° . 
De la misma manera calculamos: 𝑇(3) = 30° y 𝑇(5) = 20°. 
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b) Para comparar las temperaturas registradas a las 2pm y 4pm debemos observar que la gráfica en 
𝑥 = 2 está por encima de lo que se encuentra en 𝑥 = 4. 
También podemos determinar 𝑇(2) 𝑦 𝑇(4) y comparar los resultados: 
𝑇(2) = 34 y 𝑇(4) = 25 por lo tanto, a las 2 pm la temperatura fue mayor que a las 4 pm. 
c) Para determinar los horarios en los que la temperatura fue de 25° debemos hallar los valores de 
x tales que: 𝑇(𝑥) = 25°. 
Observamos para qué valores de x la altura de la gráfica es 25: cuando 𝑥 = 1 y cuando 𝑥 = 4. 
Es decir, la temperatura es de 25°C a la 1:00 p.m. y a las 4:00 p.m 
d) Hallamos los valores de x tales que: 𝑇(𝑥) ≥ 25°La gráfica está por encima de 25 para 𝑥 entre 1 
y 4. Es decir, la temperatura era 25°C o mayor entre la 1:00 p.m. y las 4:00 p.m. 
En símbolos: 𝑇(𝑥) ≥ 25° ∀ 𝑥 ∈ [1;4] 
e) Que el punto (0;15) esté en la gráfica significa que en el “momento cero”, es decir, a las 12 del 
mediodía la temperatura fue de 15°C. 
f) La temperatura aumentó en el intervalo [0;2] ya que a medida que los valores de x aumentan, 
los valores de T también aumentan. 
g) La temperatura máxima que se registró fue de 34°C. 
La temperatura mínima que se registró fue de 15°C. 
 
Veremos a continuación cómo obtener características específicas de una función dada la gráfica o la ley 
de la misma. 
❖ Intersección de la gráfica de una función con los ejes coordenados 
➢ Intersección con el eje de abscisas: 
La intersección de la gráfica de una función 𝑓 con el eje de abscisas es un punto cuya ordenada 
es igual a cero. 
Es decir: 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 ∶ (𝑥𝑖; 0) 
Cada abscisa 𝑥𝑖 se calcula resolviendo la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 
 
En la actividad anterior podemos observar que no hay ningún valor de x tal que 𝑇(𝑥) = 0; es 
decir, la gráfica no interseca al eje x en ningún punto. 
 
➢ Intersección con el eje de ordenadas 
La intersección entre la gráfica de una función 𝑓 y el eje de ordenadas es un punto cuya abscisa 
es igual a cero. 
Es decir: 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 ∶ (0; 𝑦) 
La ordenada 𝑦1 se calcula haciendo 𝑓(0) = 𝑦1. 
 
En la actividad anterior podemos observar que el punto de intersección entre la gráfica de T y 
el eje y es: (0;15). 
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❖ Raíces o ceros de una función 
Son los valores de la variable independiente “𝑥” tales que 𝑓(𝑥) = 0. 
❖ Ordenada al origen de una función 
Es el valor de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 = 0. Es decir: 𝑓(0). 
❖ Máximos y mínimos locales o relativos de una función 
● Una función 𝒇 posee un máximo relativo en 𝒄 si 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en algún intervalo 
abierto que contiene a c. 
En este caso decimos que 𝑓 tiene un máximo local en 𝑥 = 𝑐. 
● Una función 𝒇 posee un mínimo relativo en c si si 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en algún 
intervalo abierto que contiene a c. 
En este caso decimos que 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑥 = 𝑎. 
❖ Intervalos de crecimiento y de decrecimientos de una función 
● Una función 𝑓 es estrictamente creciente sobre un intervalo I si para cualesquiera dos 
números 𝑥1 𝑦 𝑥2 en el intervalo, 𝑥1 < 𝑥2 implica 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2). 
En otras palabras, 𝑓 es creciente en un intervalo I si a medida que los valores de la 
variable independiente aumentan, los valores de la variable dependiente también 
aumentan. 
● Una función 𝑓 es estrictamente decreciente sobre un intervalo I si para cualesquiera 
dos números 𝑥1 𝑦 𝑥2 en el intervalo, 𝑥1 < 𝑥2 implica 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2). 
En otras palabras, 𝑓 es decreciente en un intervalo I si a medida que los valores de 𝑥 
aumentan, los valores de 𝑓(𝑥) disminuyen. 
● Una función 𝑓 es constante sobre un intervalo I si para cualesquiera dos números 𝑥1 𝑦 𝑥2 
en el intervalo,𝑥1 < 𝑥2 implica 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). 
❖ Conjuntos de positividad y conjunto de negatividad de una función 
Los conjuntos de positividad y negatividad están formados por los elementos del dominio 
para los cuales la función toma valores positivos o negativos respectivamente. 
En símbolos: 
Conjunto de positividad: 𝐶+ = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 / 𝑓(𝑥) > 0} 
Conjunto de negatividad: 𝐶− = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 / 𝑓(𝑥) < 0} 
 
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Ejemplos: 
Para cada función hacer un análisis completo, determinar: dominio, conjunto imagen, 
raíces, ordenada al origen, máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y 
decrecimiento, conjuntos de positividad y negatividad. 
a) 
● 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 
● 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 
● 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥: (−4;0), (−2; 0) 𝑦 (5; 0) 
● 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦: (0; 5) 
● 𝑅𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝑥1 = −4, 𝑥2 = −2 , 𝑥3 = 5 
● 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛: 𝑦1 = 5 
● 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙: − 1 
● 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙: 6 
● 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝐼𝑐 = (−3; −1) 
● 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝐼𝑑 = (−∞; −3) ∪ (−1; +∞) 
● 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝐶+ = (−∞; −4) ∪ (−2; 5) 
● 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝐶− = (−4; −2) ∪ (5; +∞) 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 +
1
2
 
 
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● 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 
● 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 
● 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑦𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 (𝑥𝑖;0) 
Buscamos 𝑥1/ 𝑓(𝑥1) = 0 
 3𝑥 +
1
2
= 0 
 3𝑥 = −
1
2
 
 𝑥 = −
1
6
 
Entonces: 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥: (−
1
6
; 0) 
● 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛: (0; 𝑦1) 
Buscamos 𝑦1/ 𝑓(0) = 𝑦1 
 𝑓(0) = 3.0 +
1
2
=
1
2
 
Entonces, 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦: (0;
1
2
) 
● 𝑅𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝑥1 = −
1
6
 
● 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛: 𝑦1 =
1
2
 
● 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 
● 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 
● 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝐼𝑐 = ℝ 
● 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝐼𝑑 =⊘ (𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒) 
● 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝐶+ = (−
1
6
; +∞) 
● 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝐶− = (−∞; −
1
6
) 
Funciones pares e impares 
● Una función 𝑓 es par si: 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 
Gráficamente, una función es par si su gráfica resulta simétrica con respecto al eje y. 
Es decir: si un punto 𝑃(𝑥; 𝑦) está en la gráfica de 𝑓, entonces el punto 𝑄(−𝑥; 𝑦) también está en 
la gráfica de 𝑓. 
Ejemplos: 
a) 𝑓(𝑥) = 2 función constante, 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) = 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ ℝ 
Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad II 
 
16 
 
Observar que los puntos simétricos respecto al eje y están en la gráfica: 
 (1;2) 𝑦 (−1;2) 
 (2;2) 𝑦 (−2;2) 
 (3;2) 𝑦 (−3;2) 
b) 𝑓(𝑥) = |𝑥| función valor absoluto, 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) = |𝑥| 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ ℝ 
 
Observar que los puntos simétricos respecto al eje y están en la gráfica: 
 (1;1) 𝑦 (−1; 1) 
 (2;2) 𝑦 (−2; 2) 
 (3;3) 𝑦 (−3; 3) 
 
 Observación: 
El dominio de la función debe ser simétrico. 
Ya que si por ejemplo definimos la función valor absoluto en el intervalo [−1;2] resulta 
que la gráfica no es simétrica con respecto al eje y para los valores de x que se 
encuentran en el intervalo (1; 2] 
● Una función 𝑓 es impar si: 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad II 
 
17 
Gráficamente, una función es impar si su gráfica resulta simétrica con respecto al origen 
de coordenadas. 
Es decir: si un punto 𝑃(𝑥; 𝑦) está en la gráfica de 𝑓, entonces el punto 𝑄(−𝑥; −𝑦) también 
está en la gráfica de 𝑓 
 Ejemplos: 
● 𝑓(𝑥) = 𝑥 
−𝑓(−𝑥) = −(−𝑥) = 𝑥 = 𝑓(𝑥) 
por lo tanto: 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
 
Observar que los siguientes puntos simétricos respecto al origen de coordenadas están 
en la gráfica: 
 (1;1) 𝑦 (−1; −1) 
 (2;2) 𝑦 (−2; −2) 
 (
1
2
;
1
2
) 𝑦 (−
1
2
; −
1
2
) 
● 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
−𝑓(−𝑥) = −(−𝑥)3 = −(−𝑥3) = 𝑥3 = 𝑓(𝑥) 
por lo tanto: 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
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18 
 
 
Observar que los puntos simétricos respecto al origen de coordenadas están en la gráfica: 
 (1;1) 𝑦 (−1; −1) (azul) 
 (2;2) 𝑦 (−2; −2) (rojo) 
 (
3
2
;
27
8
) 𝑦 (−
3
2
; −
27
8
) (verde) 
Composición de funciones 
La composición de funciones es una forma de combinar dos funciones para obtener una 
nueva función. Supongamos que 𝑓(𝑥) = √𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 . Podemos definir una nueva 
función h como: 
 
La función ℎ está formada por las funciones 𝑓 y 𝑔 de la siguiente manera: 
“Dado un número 𝑥, primero le aplicamos la función 𝑔 (obtenemos 𝑔(𝑥)) y luego aplicamos 
𝑓 al resultado”. 
En este caso, 𝑓 indica “aplique la raíz cuadrada”, 𝑔 indica “eleve al cuadrado, luego sume 
1”, y ℎ indica “eleve al cuadrado, luego sume 1 y finalmente aplique la raíz cuadrada”. 
En otras palabras, obtenemos la regla ℎ al aplicar la ley de 𝑔 y luego la ley 𝑓. 
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19 
La Figura muestra intuitivo para comprender cómo se conforma ℎ: 
 
En general, dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔 cualesquiera, empezamos con un número 𝑥 en el 
dominio de 𝑔 y su imagen 𝑔(𝑥). Si este número 𝑔(𝑥) está en el dominio de 𝑓, podemos 
calcular el valor de 𝑓(𝑔(𝑥)). El resultado es una nueva función ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). Se 
denomina la composición (o compuesta) de 𝑓 𝑦 𝑔, y se denota con (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) (“𝑓 
compuesta con 𝑔”). 
Composición de funciones 
Dadas dos funciones cualesquiera 𝑓 𝑦 𝑔, la función compuesta 𝑓 ∘ 𝑔 (también llamada 
composición de 𝑓 𝑦 𝑔) está definida por: 
 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 
 
El dominio de (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) es el conjunto de toda 𝑥 en el dominio de 𝑔 tal que 𝑔(𝑥) está en 
el dominio de 𝑓. En otras palabras, (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) está definida siempre que tanto 𝑔(𝑥) como 
𝑓(𝑔(𝑥)) estén definidas. Podemos describir (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) usando un diagrama sagital: 
 
Ejemplo 1: 
Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 
a) Hallar la ley de 𝑓 ∘ 𝑔 𝑦 𝑔 ∘ 𝑓 y sus dominios. 
b) Hallar (𝑓 ∘ 𝑔)(5) y (𝑔 ∘ 𝑓)(7) 
 
 
Solución: 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 
 = 𝑓(𝑥 − 3) (usamos la definición de 𝑔) 
 = (𝑥 − 3)2 (usamos la definición de 𝑓, evaluada en “𝑥 − 3”) 
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20 
 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 
 = 𝑔(𝑥2) (usamos la definición de 𝑓) 
 = 𝑥2 − 3 (usamos la definición de 𝑔, evaluada en “𝑥2”) 
 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 / 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓} 
 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑔(𝑥) ∈ ℝ} = ℝ 
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 / 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔} 
 = {𝑥 ∈ ℝ /𝑓(𝑥) ∈ ℝ} = ℝ 
b) (𝑓 ∘ 𝑔)(5) = (5 − 3)2 = 2² = 4 
(𝑔 ∘ 𝑓)(7) = 72 − 3 = 49 − 3 = 46 
 
Ejemplo 2: Sean 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 𝑦 𝑔(𝑥) = 2𝑥 
a) Hallar la ley de 𝑓 ∘ 𝑔 𝑦 𝑔 ∘ 𝑓 y sus dominios. 
b) Hallar (𝑓 ∘ 𝑔)(6) y (𝑔 ∘ 𝑓)(4) 
Solución: 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 
 = 𝑓(2𝑥) (usamos la definición de 𝑔) 
= √2𝑥 − 3 (usamos la definición de 𝑓, evaluada en “2𝑥”) 
Antes de hallar el dominio de la composición veamos el dominio de 𝑓 𝑦 𝑔 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 − 3 ≥ 0} 
 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≥ 3} 
= [3; +∞) 
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 / 𝑔(𝑥) = 2𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓} 
 = {𝑥 ∈ ℝ / 2𝑥 ∈ [3; +∞)} 
 = {𝑥 ∈ ℝ / 2𝑥 ≥ 3} 
 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥≥
3
2
} 
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21 
 = [
3
2
; +∞) 
 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 
 = 𝑔(√𝑥 − 3) (usamos la definición de 𝑓) 
= 2. √𝑥 − 3 (usamos la definición de 𝑔, evaluada en “√𝑥 − 3”) 
 
𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∘ 𝑓 = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 / 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 } 
 = {𝑥 ∈ [3; +∞) / √𝑥 − 3 ∈ ℝ} 
 = [3; +∞) 
b) (𝑓 ∘ 𝑔)(6) = √2.6 − 3 = √9 = 3 
(𝑔 ∘ 𝑓)(4) = 2. √4 − 3 = 2. √1 = 2 
 
Transformaciones de funciones 
Estudiaremos ahora la forma en que ciertas transformaciones de una función afectan su 
gráfica. Esto nos dará una mejor idea de cómo graficar funciones. Las transformaciones 
que estudiamos son: desplazamientos horizontales y verticales, reflexiones, contracciones 
y dilataciones. 
● Desplazamiento vertical 
Sumar una constante a una función, desplaza verticalmente su gráfica: 
● hacia arriba si la constante es positiva 
● hacia abajo si es negativa. 
En general, supongamos que conocemos la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
¿Cómo obtenemos de ella las gráficas de las funciones 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 y 𝑦 = 𝑓(𝑥) −
𝑐 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 > 0? 
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22 
Observemos que la coordenada “𝑦” de cada punto en la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 está c 
unidades arriba de la coordenada "𝑦" del punto correspondiente en la gráfica de 𝑦 =
𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
 
Por tanto, obtenemos la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 simplemente desplazando la gráfica de 
𝑦 = 𝑓(𝑥) c unidades hacia arriba 
Del mismo modo, obtenemos la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 desplazando la gráfica de 𝑦 =
𝑓(𝑥) c unidades hacia abajo. 
Desplazamiento vertical 
Sea 𝑐 > 0 una constante: 
● Para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 se desplaza la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) c unidades 
hacia arriba. 
● Para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 se desplaza la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) c unidades 
hacia abajo. 
 
 
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
Graficar 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3 y ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 3 a partir de la gráfica de 𝑓. 
Observemos que: 
 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3 = 𝑓(𝑥) + 3 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 3 = 𝑓(𝑥) − 3 
Entonces, para cada valor de 𝒙, la coordenada 𝑦 de cada punto sobre la gráfica de 𝑔 está 
3 unidades arriba del punto correspondiente en la gráfica de 𝑓. 
Esto significa que para graficar 𝑔 desplazamos 3 unidades hacia arriba la gráfica de 𝑓 (ver 
la figura). 
Análogamente, para graficar ℎ, desplazamos 3 unidades hacia abajo la gráfica de 𝑓 (ver 
la figura). 
Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad II 
 
23 
 
 
● Desplazamiento horizontal 
Supongamos que conocemos la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑐) y ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥 −
𝑐) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 > 0? 
Desplazamiento horizontal 
Sea 𝑐 > 0 una constante 
● Para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐) se desplaza la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) c unidades 
hacia la izquierda. 
● Para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) se desplaza la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) c unidades 
hacia la derecha. 
 
 
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24 
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
Graficar 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 3)2 y ℎ(𝑥) = (𝑥 − 3)2 a partir de la gráfica de 𝑓. 
Observemos que: 
 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 3)2 = 𝑓(𝑥 + 3) 
ℎ(𝑥) = (𝑥 − 3)2 = 𝑓(𝑥 − 3) 
Entonces, para cada valor de 𝒚, si la abscisa de 𝑓 es 𝑥 (es decir, 𝑓(𝑥) = 𝑦) , la abscisa de 
𝑔 será: “𝑥 − 3" (para que den el mismo valor de y 𝑔(𝑥 − 3) = 𝑓(𝑥 − 3 + 3) = 𝑓(𝑥)). 
Por lo tanto cada punto de la gráfica de 𝑔 está 3 unidades hacia la izquierda del punto 
correspondiente en la gráfica de 𝑓. 
Esto significa que para graficar 𝑔 desplazamos 3 unidades hacia la izquierda la gráfica de 
𝑓 (ver la figura). 
Análogamente, para graficar ℎ, desplazamos 3 unidades hacia la derecha la gráfica de 𝑓 
(ver la figura). 
 
● Combinación de desplazamiento horizontal y vertical 
Ejemplo 1: 
Trazar la gráfica de ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 4 a partir de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥². 
Comenzamos trazando la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
Realizamos el desplazamiento horizontal: desplazamos 1 unidad hacia la derecha 
obteniendo la gráfica de 𝑓1(𝑥) = (𝑥 − 1)
2 y por último realizamos el desplazamiento 
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25 
vertical: desplazamos la gráfica de 𝑓1(𝑥) 4 unidades hacia arriba obteniendo así la gráfica 
de ℎ: ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 4 
 
Ejemplo 2: 
Trazar la gráfica de ℎ(𝑥) = √𝑥 + 3 + 2 
Comenzamos trazando la gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥. 
Realizamos el desplazamiento horizontal: desplazamos 3 unidades hacia la izquierda 
obteniendo la gráfica de 𝑓1(𝑥) = √𝑥 + 3. 
Por último, realizamos el desplazamiento vertical: desplazamos la gráfica de 𝑓1(𝑥) 2 
unidades hacia arriba obteniendo así la gráfica de ℎ: ℎ(𝑥) = √𝑥 + 3 + 2. 
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26 
 
● Gráficas que se reflejan 
Supongamos que conocemos la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥) y ℎ(𝑥) = 𝑓(−𝑥)? 
La coordenada 𝑦 de cada uno de los puntos en la gráfica de 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥) es el opuesto 
de la coordenada 𝑦 del punto correspondiente en la gráfica de 𝑓(𝑥). 
Es decir: 
𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; −𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑔 
Por lo tanto, la gráfica deseada es la reflexión de la gráfica de 𝒚 = 𝒇(𝒙) respecto al eje 
x. 
Por otro lado, el valor de ℎ(𝑥) en cierto valor de 𝑥 es igual al valor de 𝑓 evaluada en “−𝑥” 
ya que ℎ(𝑥) = 𝑓(−𝑥). 
Es decir: 
𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 ℎ 
Por lo tanto, la gráfica deseada es la reflexión de la gráfica de 𝒚 = 𝒇(𝒙) respecto al eje 
y. 
Gráficas que se reflejan 
 
● Para graficar 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥), reflejar la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) respecto al eje x. 
● Para graficar ℎ(𝑥) = 𝑓(−𝑥), reflejar la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) respecto al eje y. 
 
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27 
Ejemplo: 
Conociendo la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥, graficar las funciones: 𝑔(𝑥) = −√𝑥 y ℎ(𝑥) =
√−𝑥. 
La gráfica de 𝑔 se obtiene al reflejar la gráfica de 𝑓 respecto al eje y. 
Es decir: si el punto (𝑥; √𝑥) está en la gráfica de 𝑓, entonces el punto (𝑥; −√𝑥) está en la 
gráfica de 𝑔. 
La gráfica de ℎ se obtiene al reflejar la gráfica de 𝑓 respecto al eje x. 
Es decir: si el punto (𝑥; √𝑥) está en la gráfica de 𝑓, entonces el punto (𝑥; √−𝑥) está en la 
gráfica de 𝑔. 
 
 
● Alargamientos y contracciones verticales 
Supongamos que conocemos la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥)? 
La coordenada 𝑦 de 𝑔(𝑥) = 𝑐. 𝑓(𝑥) en 𝑥 es igual que la coordenada 𝑦 correspondiente de 
𝑦 = 𝑓(𝑥) multiplicada por c. 
Multiplicar las coordenadas por c tiene el efecto de alargar o contraer verticalmente la 
gráfica en un factor de c. 
Es decir: 
𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑐. 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑔 
Alargamiento o contracción verticales de gráficas 
 
Para graficar 𝑔(𝑥) = 𝑐. 𝑓(𝑥): 
● Si 𝑐 > 1 alargar verticalmente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un factor de c. 
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28 
● Si 0 < 𝑐 < 1 contraer verticalmente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un factor de c. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Graficar las funciones 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 𝑦 ℎ(𝑥) =
1
3
𝑥2 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
La gráfica de 𝑔 de obtiene multiplicando a cada ordenada de 𝑓(𝑥) = 𝑦 por 3 (la gráfica se 
alarga). 
Es decir: si el punto (𝑥; 𝑥2) está en la gráfica de 𝑓, entonces el punto (𝑥;3.𝑥2) está en la 
gráfica de 𝑔. 
La gráfica de 𝑔 de obtiene multiplicando a cada ordenada de 𝑓(𝑥) = 𝑦 por 
1
3
 (la gráfica se 
contrae). 
Es decir: si el punto (𝑥; 𝑥2) está en la gráfica de 𝑓, entonces el punto (𝑥;
1
3
. 𝑥2) está en la 
gráfica de 𝑔. 
𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥² 𝑔(𝑥) = 3. 𝑓(𝑥) 
ℎ(𝑥) =
1
3
. 𝑓(𝑥) 
-1 1 3 1
3
 
1 1 3 1
3
 
2 4 12 4
3
 
-2 4 12 4
3
 
 
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29 
 
● Combinación desplazamiento, alargamiento y reflexión 
Ejemplo: 
Trazar la gráfica de ℎ(𝑥) = 1 −
1
2
(𝑥 + 3)2. 
Comenzamos trazando la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
Realizamos el desplazamiento horizontal: desplazamos 3 unidades hacia la izquierda 
obteniendo la gráfica de 𝑓1(𝑥) = (𝑥 + 3)
2. 
Realizamos la contracción vertical a 𝑓1(𝑥) multiplicándola por 
1
2
 y obteniendo la gráfica de 
𝑓2(𝑥) =
1
2
(𝑥 + 3)2. 
Reflejamos 𝑓2(𝑥) respecto del eje x obteniendo la gráfica de la función: 𝑓3(𝑥) = −
1
2
(𝑥 +
3)2. 
Y por último realizamos el desplazamiento vertical: desplazamos la gráfica de 𝑓3(𝑥) 1 
unidad hacia arriba obteniendo así la gráfica de ℎ(𝑥) = 1 −
1
2
(𝑥 + 3)2 
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30 
 
 
● Alargamiento y contracciones horizontales 
Supongamos que conocemos la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐. 𝑥)? 
La coordenada 𝑦 de 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐. 𝑥) en 𝑥 es igual que la coordenada 𝑦 correspondiente de 
𝑦 = 𝑓(𝑥) evaluada en 𝑐. 𝑥. 
Por lo tanto, las coordenadas 𝑥 de la gráfica de 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐. 𝑥) son las coordenadas de x de 
la gráfica de f multiplicada por 
1
𝑐
. En otras palabras, para obtener la gráfica de 𝑔(𝑥) 
debemos contraer (o alargar) la gráfica horizontalmente en un factor de 
𝟏
𝒄
. 
Es decir: 
𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (
𝑥
𝑐
; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑔 
 
 
 
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31 
Alargamiento o contracción horizontales de gráficas 
 
Para graficar 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐. 𝑥): 
● Si 𝑐 > 1 contraer horizontalmente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un factor de 
1
𝑐
. 
● Si 0 < 𝑐 < 1 alargar horizontalmente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un factor de 
1
𝑐
. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Graficar 𝑔(𝑥) = (3𝑥)2 y ℎ(𝑥) = (
1
3
𝑥)2 a partir de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
Para graficar 𝑔(𝑥) = (3𝑥)2 pensamos: (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺𝑓 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (
𝑥
3
; 𝑦) ∈ 𝐺𝑔. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
Para graficar ℎ(𝑥) = (
1
3
𝑥)2 pensamos: (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺𝑓 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (3𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺ℎ