Análisis Numérico

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Análisis Numérico
GRAICELYS VOLCÁN 27600737 SISTEMAS.01
Introducciòn
Es la rama de las Matemáticas que estudia los métodos
numéricos de resolución de problemas, es decir, los
métodos que permiten obtener una solución aproximada
(en ocasiones exacta) del problema considerado tras
realizar un numero finito de operaciones lógicas y
algebraicas elementales.
Los problemas que trata el Análisis numérico se pueden
clasificar en dos grandes grupos, según tengan naturaleza
numérico (o finito–dimensional) o naturaleza funcional (o
infinito–dimensional).
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LA
INTEGRACIÓN
NUMÉRICA
Constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor
numérico de una integral definida y, por extensión, el término se
usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver
ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a
menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de
integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de
una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más
dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
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RAZONES PARA LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Las integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una
manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede
ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una
solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que
depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un
resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.
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MÉTODOS PARA INTEGRALES UNIDIMENSIONALES
Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del
integrando para obtener una aproximación a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de
integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de
evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es
normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de
operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta
tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.De todos modos, un modo de integración por «fuerza
bruta» puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.
MÉTODOS BASADOS EN FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN
Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar f(x) por otro función g(x) de la cual
se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de
puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos,
la nueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para
encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación. Típicamente estas funciones son
polinomios.
La interpolación con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en [a,b] da las fórmulas de Newton-Cotes, de
las que la regla del rectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta k = n + 1 será
la fórmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen k = n − 1 será la fórmula de Newton-Cotes abierta.La interpolación
con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en [a,b] da las fórmulas de Newton-Cotes, de las que la regla
del rectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta k = n + 1 será la fórmula de
Newton-Cotes cerrada y si se escogen k = n − 1 será la fórmula de Newton-Cotes abierta.
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LA REGLA
TRAPEZOIDAL
La regla del trapecio es uno de los métodos
más utilizados para calcular aproximaciones
numéricas de integrales definidas. Es la primera
de las fórmulas cerradas de integración de 
Newton – Cotes, para el caso cuando el
polinomio interpolante es de grado uno.
El nombre regla del trapecio se debe a la
interpretación geométrica que se hace de la
fórmula. Cuando el polinomio interpolante es de
grado uno, su gráfica representa una línea
recta en el intervalo [a, b] que es el área del
trapecio que se forma.
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Regla de
Simpson
En análisis numérico, la regla o método de
Simpson
Nombrada así en honor de Thomas Simpson y a veces
llamada regla de Kepler es un método de integración numérica
que se utiliza para obtener la aproximación de la integral.
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Cuadratura
Gaussiana
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera
óptima.El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn
en [a, b] y los coeficientes c1, c2,. . ., cn que minimicen el error de
la aproximación
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Reglas de Cuadrátura Gaussiana
Caso n=1: Aqui I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1
de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos
pues la fómula numérica I1(f)=2f(0) lo cúal se conoce como la fórmula del punto medio.
Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para
i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para x1,x2,w1,w2: Suponiendo que
x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's)
mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo asi que Sustituyendo estas
expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x1, x2 .
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Fórmula de
Legendre
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En matemáticas, en el análisis de ecuaciones diferenciales
ordinarias, las funciones de Legendre son las soluciones de las
ecuaciones diferenciales de Legendre,llamadas así en honor del
matemático francés Adrien-Marie Legendre. Estas ecuaciones se
encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen
cuando se resuelve la ecuación de Helmholtz (un tipo de ecuación
en derivadas parciales) en coordenadas esféricas mediante el
método de separación de variables.La ecuación diferencial de
Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias.
En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y
en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...)
las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales
llamados Polinomios de Legendre.
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 CONCLUSIÓN
Los métodos numéricos son técnicas mediante
las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan
resolverse usando operaciones aritméticas.Los
métodos numéricos nos vuelven aptos para
entender esquemas numéricos a fin de resolver
problemas matemáticos, de ingeniería y
científicos en una computadora, reducir
esquemas numéricos básicos, escribir
programas y resolverlos en una computadora y
usar correctamente el software existente para
dichos métodos y no solo aumenta nuestra
habilidad para el uso de computadoras sino que
también amplia la pericia matemática y la
comprensi6n de los principios científicos
básicos.
El análisis numérico trata de diseñar métodos
para “ aproximar” de una manera eficiente las
soluciones de problemas expresados
matemáticamente.El objetivo principal del
análisis numérico es encontrar soluciones
“aproximadas” a problemas complejos
utilizando sólo las operaciones más simples
de la aritmética. Se requiere de una secuencia
de operaciones algebraicas y lógicas que
producen la aproximación al problema
matemático.
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 Anexos
La Regla Trapezoidal
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 Anexos Cuadratura Gaussiana Tabla
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Biografía
Wikipedia. (2021).[ pagina web en línea].
Disponible: https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica
 [ Consulta: 2021, enero 4].
Sistrevolution. [ pagina web en línea].
Disponible: https://sites.google.com/site/sistrevolution/home/unidad-4/integracion-numerica[ Consulta: 2021, enero 4].
Wikipedia. (2021).[ pagina web en línea].
Disponible: https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson [ Consulta: 2021, enero 4].
Filosofos. (2021).[ pagina web en línea].
Disponible:https://sites.google.com/site/khriztn/home/424-mtodo-de-cuadratura-gaussiana
[Consulta: 2021, enero 4].
Wikipedia. (2021).[ pagina web en línea].
Disponible: https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Legendre
 [ Consulta: 2021, enero 4].
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