PROBLEMA DE PROYECTILES

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7. La aceleración de la tierra está dada por la siguiente función: 
 
donde 𝑎 es la aceleración en y “𝑦” es la altura en 𝑚 sobre la superficie 
de la tierra. 
Si un proyectil se lanza a 8000 𝑚/𝑠 desde una altura y=0, ¿qué tan alto 
llegará el proyectil? (desprecie la resistencia del aire). 
 
Introducción: 
El proyectil realiza un movimiento vertical hacia arriba donde la velocidad 
inicial es de 8000 𝑚/𝑠, se pide calcular su altura máxima es decir cuando la 
velocidad del proyectil se hace 0, la aceleración del proyectil está en función 
de la altura del proyectil, por lo que se necesita relacionar la velocidad del 
proyectil con la altura, ya que no se conoce ningún dato del tiempo en el 
problema. 
 
Explicación: 
Paso 1: 
Relacionar la velocidad del proyectil con su aceleración en función de “y”: 
Se conoce que la velocidad es: 𝑣 = y la aceleración es: 𝑎 = 
Dónde: 
𝑑ℎ…diferencial de la altura del proyectil. 
𝑑𝑡…diferencial del tiempo del proyectil. 
𝑑𝑣…diferencial de la velocidad del proyectil. 
De la velocidad y la aceleración el término que coincide es el 𝑑𝑡, lo 
despejamos y se igualan las dos expresiones. 
𝑑𝑡 =
𝑑ℎ
𝑣
= 𝑑𝑡 =
𝑑𝑣
𝑎
 
𝑑ℎ
𝑣
=
𝑑𝑣
𝑎
 
Ya se conoce que la aceleración está en función de “y”, es decir, de la altura 
por lo que de la expresión anterior se puede colocar la aceleración en función 
de 𝑑ℎ y la velocidad en función de 𝑑𝑣. 
𝑎𝑑ℎ = 𝑣𝑑𝑣 
 
Paso 2: 
Al obtener la expresión que relaciona la velocidad con la aceleración se debe 
definir los límites de las integrales para encontrar la altura máxima. 
Se conoce que para y=0, la velocidad= 8000m/s; para ymax, la velocidad =0. 
 
Paso 3: 
Se procede a integrar ambas expresiones. 
Para la primera expresión integramos con el método de sustitución: 
 
 
Esta integral la resolvemos directamente por la siguiente ecuación: 
1
𝑥
=
𝑥
−𝑛 + 1
 
Se obtiene: 
 
Integramos la segunda expresión, la cual es una integral directa: 
 
Paso 4: 
Evaluamos los límites en las expresiones obtenidas: 
 
Igualamos estas dos expresiones para hallar ymax: 
 
 
Conclusión: 
la altura máxima que alcanza el proyectil es: