RESUMEN TEMA 2 MATRICES

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
RESUMEN DEL TEMA 2
MATRICES
1.-INTRODUCCION: En el anterior tema introducimos la idea de matriz al trabajar con el
algoritmo de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En este tema, vamos a definir
formalmente el concepto de matriz, definiremos también las operaciones de suma de matrices,
producto de un escalar por una matriz y el producto de dos matrices y estudiaremos sus propiedades.
Estudiaremos algunas matrices especiales y ciertas propiedades de ellas que luego vamos a utilizar
en alguno de los temas que siguen.
2.-MATRICES
2.1.-Definición: Llamamos matriz a todo ordenamiento rectangular de números (reales o
complejos). Un ordenamiento rectangular es una tabla de doble entrada de filas y columnas. A cada
uno de esos números denominamos elementos de la matriz, los que quedarán identificados en el
ordenamiento indicando su posición en ese orden, la que quedará definida, indicando la fila y la
columna a la que pertenece simultáneamente.
Si A es una matriz de m filas y n columnas diremos que A es de tamaño m  n y la
simbolizaremos por A  aij con i  1,2, ,m y j  1,2, ,n. aij (o bien Aij) representa
cualquier elemento de A o el elemento genérico de A, e indica que es el elemento ubicado en la fila
i  ésima y en la columna j  ésima.
Expresaremos ese ordenamiento rectangular de números entre paréntesis. Es decir: A  aij
A  aij 
a11 a12. . . . . . . . . . . .a1j. . . . . . . . . . . .a1n
a21 a22. . . . . . . . . . . .a2j. . . . . . . . . . . .a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1 ai2. . . . . . . . . . . .aij. . . . . . . . . . . . .ain
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2. . . . . . . . . .amj. . . . . . . . . . . .amn
Si m  n entonces decimos que A es una matriz cuadrada de orden n.
Si los elementos de A son todos números reales, decimos que A es una matriz real y si son
números complejos decimos que es una matriz compleja. En general, en nuestro curso vamos a
trabajar con matrices reales salvo que se diga lo contrario.
Si A  aij y aij  0 ij entonces a A se la denomina matriz nula y se la simboliza por 
3.- IGUALDAD DE MATRICES
3.1.- Definición: Diremos que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas
componentes. En símbolos será:
Dadas las matrices A  aij y B  bij :
A  B  Amn, Bmn  aij  bij ij
Ejemplo:
Las matrices A 
2 1
3 0
y B 
2 1
3 0
no son iguales ya que i  1,j  2/
a12  1  b12  1
4.-SUMA DE MATRICES
4.1.-Definición: Dadas dos matrices A  aij y B  bij del mismo tamaño definimos la suma
de A y B como la matriz C  A  B tal que c ij  aij  bij i j (o bien A  Bij  Aij  Bij i j
Es decir la matriz suma de otras dos es la matriz que se obtiene sumando las respectivas
componentes de las matrices que se suman.
Si las matrices A y B son de tamaño m  n también A  B será de tamaño m  n.
Si A2x2, B2x2 tendremos
A 
a11 a12
a21 a22
B 
b11 b12
b21 b22
C  A  B 
a11  b11 a12  b12
a21  b21 a22  b22
Para sumar dos matrices, lo primero que debemos verificar es que las matrices tengan el mismo
tamaño ya que la suma de matrices de distinto tamaño no esta definida (no se puede realizar).
4.2.-Propiedades: La suma de matrices cumple las siguientes propiedades:
P1 : A  B  B  A Es conmutativa
P2 : A  B  C  A  B  C Es asociativa
P3 : A /A, A  A  A  A  A Posee elemento neutro
P4 : A A  / A  A   A   A  A Posee elemento inverso u opuesto.
5.-PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNAMATRIZ
5.1.-Definición: Dada una matriz A  aij y un escalar . Se define el producto del escalar 
por la matriz A, a la matriz que se obtiene al multiplicar todos y cada uno de los elementos de A por
él escalar . Es decir es una matriz B  bij  A del mismo tamaño que A tal que bij  aij i j
Si A2x2 , A 
a11 a12
a21 a22
y  es B  A 
a11 a12
a21 a22
Ejemplo: A 
4 2
1 0
si   2 será B  A  2A 
24 2  2
2  1 2  0

8 4
2 0
5.2.-Propiedades: El producto de un escalar por una matriz cumple las siguientes propiedades:
Dadas A,B matrices del mismo tamaño y un escalar  
P1 : A  B  A  B Es distrib. respecto a la suma de matrices
P2 :   A  A  A Es distrib. respecto a la suma de escalares
P3 : A  A  A Es asociativo
P4 : 1/A, 1A  A Tiene elemento neutro
Si 0 es el neutro de la suma en el cuerpo de escalares (Reales) y  el neutro de la suma de
matrices se cumple las siguientes propiedades:
P1 A , 0A   P2 A , 1A  A
P3 ,    P4 A,,A      0  A  
6.- PRODUCTO DE MATRICES
6.1.-Definición: Dadas dos matrices A  aij de tamaño m  n y B  bij de tamaño n  p (es
decir matrices tales que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la
segunda) se llama producto AB o producto de A por B a la matriz C  c ij de tamaño m  p tal que:
c ij  ai1b1j  ai2b2j . . . . .ainbnj 
n
k1
 aikbkj
Observemos que el elemento ij de la matriz producto de A por B se obtiene multiplicando los
elementos de la fila i  ésima de A por los respectivos elementos de la columna j  ésima de B y
luego sumando esos productos. Esta forma de multiplicación la vamos a llamar producto escalar
entre vectores cuando estudiemos el espacio vectorial n.
Ejemplo: Sean las matrices:
A 
1 3
2 0
B 
2 2
1 3
C 
0 1
3 2
4 1
Calcular, de ser posible: AB; BA; AC
Sea AB  C  c ij  c ij 
2
k1
 aikbkj
c11  a11b11  a12b21  1  2  31  2  3  1
c12  a11b21  a12b22  12  3  3  2  9  7
c21  a21b11  a22b21  2  2  01  4  0  4
c22  a21b21  a22b22  22  0  3  4  0  4
Entonces:
AB  C 
1 7
4 4
Si BA  Q  qij
q11  b11a11  b12a21  2  1  2. 2  2  4  2
q21  b11a21  b12a22  2  3  20  6  0  6
q22  b21a11  b22a21  11  3  2  1  6  5
q22  b21a12  b22a22  13  3  0  3  0  3
Entonces:
BA  D 
2 6
5 3
Como podemos ver en el ejemplo dado, AB  BA. Esto nos permite afirmar que el producto de
matrices no es conmutativo.
No existe la matriz AC (no es posible realizar el producto de A por C ya que no se cumple la
condición exigida en la definición, debido a que la cantidad de filas de C que son 3 no es igual a la
cantidad de columnas de A que son 2. Aquí tenemos un contraejemplo para refutar la afirmación de
que el producto de dos matrices siempre está definido.
Definición: Decimos que dos matrices A y B conmutan si y solo si AB y BA están definidas y
AB  BA
6.2.-Propiedades: El producto de matrices cumple las siguientes propiedades
P1 : Amn,Bnp,Cpq, entonces ABC  ABC Asociativa
P2 : Amn,Bnp,Cnp, entonces AB  C  AB  AC Distrib. a izquierda resp. a la suma
P3 : Amn,Bmn,Cnp, entonces A  BC  AC  BC Distrib. a derecha resp. a la suma
P4 : Amn,np , entonces A  
7.-MATRIZ TRANSPUESTA DE UNAMATRIZ
7.1.-Definición: Dada una matriz A  aij, Amn, llamamos transpuesta de A y la simbolizamos
por AT a la matriz que se obtiene al cambiar las filas por las columnas en A. Es decir Amn  aij,
entonces será AnmT  aji.
Ejemplo:
Si A32 
0 1
2 1
3 0
 A23
T 
0 2 3
1 1 0
7.2.- Propiedades: Suponiendo definidas las operaciones de suma y producto que aparecen.
P1 : A , ATT  A P2 : A,B; A  BT  AT  BT
P3 : A, AT  AT P4 : A,B; ABT  BTAT
8.-MATRICES CUADRADAS
8.1. Definición: Una matriz A decimos que es una matriz cuadrada si y solo sitiene igual
cantidad de filas que de columnas. Si Ann, diremos que A es una matriz de orden n.
8.2.-Matriz Identidad: Llamamos matriz identidad y la simbolizamos por I a toda matriz
cuadrada cuyas elementos son todas nulas a excepción de los ubicados en la diagonal principal que
son todas iguales a la unidad. Es decir, en símbolos será:
Inn  i i,j/ i ij 
0 si i  j
1 si i  j
Ejemplo:
I22 
1 0
0 1
, I33 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Propiedad: Ann, Inn  AI  IA  A
En otras palabras la matriz identidad es el elemento neutro para el producto de matrices
cuadradas.
8.2.-Matriz escalar: Llamamos matriz escalar a toda matriz cuadrada que se obtiene del
producto de un escalar no nulo por la matriz identidad. es decir:
Si Ann  aij y A  kI k  0, es A  k i ij, aij 
0 si i  j
k si i  j
entonces A se denomina
matriz escalar
Ejemplo:
A 
3 0 0
0 3 0
0 0 3
es una matriz escalar ya que A  3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 3I
8.3.-Matriz triangular :
8.3.1.-Triangular superior: Llamamos matriz triangular superior a toda matriz cuadrada cuyos
elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.
En símbolos: Sea Ann, A  aij, A es triangular superior si y solo si aij  0 i  j
Ejemplo:
A 
1 2 1
0 5 4
0 0 2
y B 
2 1 0
0 0 1
0 0 0
son triangulares superiores
8.3.2.-Triangular inferior: Llamamos matriz triangular inferior a toda matriz cuyas elementos
por arriba de la diagonal principal son nulos.
En simbolos Sea Ann,A  aij, A es triangular inferior si y solo si aij  0 i  j
Ejemplo:
C 
1 0 0
3 2 0
1 4 1
,y D 
0 0 0
1 0 0
3 0 0
son triangulares inferiores
8.4.-Matriz diagonal: llamamos matriz diagonal a toda matriz cuadrada cuyas elementos por
arriba y por abajo de la diagonal principal son nulas.
En simbolos Sea Ann, A  aij, A es diagonal si y solo sí aij  0 i  j
Ejemplo:
A 
1 0 0
0 3 0
0 0 5
, y B 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
son diagonales
8.5.-Matriz simétrica: Llamamos matriz simétrica a toda matriz cuadrada que es igual a su
transpuesta.
En símbolos: Sea Ann  aij A es simétrica si y solo si A  AT (ó equivalentemente aij  aji
ij
Ejemplo:
A 
1 3 0
3 3 1
0 1 5
es una matriz simétrica ya que AT 
1 3 0
3 3 1
0 1 5
 A
8.6.-Matriz antisimétrica: Llamamos matriz antisimétrica a toda matriz cuadrada que es igual a
la opuesta de su transpuesta.
En símbolos: Sea Ann  aij A es antisimétrica si y solo sí A  AT (o equivalentemente
aij  aji ij
Ejemplo:
A 
0 1 0
1 0 2
0 2 0
es una matriz antisimétrica ya que AT 
0 1 0
1 0 2
0 2 0
y
AT 
0 1 0
1 0 2
0 2 0
 A
Teorema 2.1: La suma de dos matrices simétricas es una matriz simétrica.
Teorema 2.2: Una matriz es simétrica y antisimétrica si y solo si es la matriz nula.
Teorema 2.3: Toda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y
otra antisimétrica.
Teorema 2.4: La suma de una matriz y su transpuesta es una matriz simétrica.
Teorema 2.5: El producto de una matriz y su transpuesta es una matriz simétrica.
9.- INVERSA DE UNAMATRIZ
9.1.- Definición: Dada una matriz Ann  aij. Decimos que A es inversible, si y solo sí, existe
una matriz Bnn, B  bij tal que AB  BA  I.
En este caso decimos que B es la inversa de A y la simbolizamos por B  A1. Asimismo, si B es
la inversa de A también A es la inversa de B.
Veamos que significa, dada una matriz, hallar su inversa. Ello equivale a encontrar la matriz A1
que verifica AA1  A1A  I. Se puede justificar que si A admite inversa si se cumple AA1  I
también se cumple A1A  I ,por lo que bastará para determinar la inversa de A resolver una de las
igualdades. Es decir bastará resolver el sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas (elementos
de la matriz inversa) asociado a esa ecuación matricial. Para asegurar la existencia de la inversa
bastará pedir que el sistema tenga solución. Pero vamos a ver mediante el siguiente teorema que
además requiere que tenga única solución.
Si A es una matriz inversible decimos que A es no singular, caso contrario (cuando A no es
inversible) decimos que es singular.
Teorema 2.6: La inversa de una matriz, si existe, es única.
Ejemplo:
Dada A 
1 2
1 1
. Determinar si A admite inversa y en caso afirmativo encontrarla.
Sea A1 
x y
z t
la posible inversa de A. Entonces debe ocurrir que AA1  I

1 2
1 1
x y
z t

1 0
0 1

x  2z  1
x  z  0
y  2t  0
y  t  1
Este sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas puede separarse en dos sistemas de 2 ecuaciones
con 2 incógnitas independientes entre ellos de manera que la solución de éstos últimos permite
encontrar la solución del anterior. Esto se debe a que las ecuaciones que se separan para un sistema
tienen variables distintas a las del otro sistema. Así tenemos para el ejemplo, los sistemas
1
x  2z  1
x  z  0
y 2
y  2t  0
y  t  1
que si los resolvemos por Gauss tendremos:
1
1 2 1
1 1 0

1 2 1
0 3 1

x  2z  1
3z  1
que tiene solución única y que es:
z  1
3
y x  1  2z  x  1  2 1
3
  x  1
3
2
1 2 0
1 1 1

1 2 0
0 3 1

y  2t  0
3t  1
que tiene solución única que es:
t  1
3
y y  2t  y  2 1
3
  y   2
3
Por lo tanto el sistema original también tiene solución única, y en consecuencia, podemos decir
que la matriz es inversible y que su inversa es:
A1 
x y
z t

1
3 
2
3
1
3
1
3
A los efectos de comprobar que hemos encontrado bien A1, verificamos que A1A  I
1
3 
2
3
1
3
1
3
1 2
1 1

1 0
0 1
La inversa esta bien determinada.
9.2.-Propiedades: Ann,Bnn inversibles y k   k  0
P1 : A11  A P2 : AB es inversible y AB1  B1A1
P3 : kA1  k1A1 P4 : A1T  AT1
10.- POTENCIA DE MATRICES
10.1.- Definición
Sea Ann definimos:
Si n  , entonces An 
n
AA. . . . . .A
Si n  0, entonces A0  Inn
10.2 Propiedades: Ann, Inn
P1 : In  I P2 : AmAn  Amn
P3 : Anm  Amn P4 : kAn  knAn
11-MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Al estudiar sistema de ecuaciones lineales y el algoritmo de Gauss para resolverlos hicimos uso
de las matrices, indicando que luego volveríamos sobre ello cuando hayamos estudiado las matrices
y definido ciertas operaciones con ellas. Recordemos que un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas:
I
a11x1  a12x2   a1nxn  b1
a21x1  a22x2  a2nxn  b2
    
ai1x1  ai2x2  ainxn  bi
    
am1x1  am2x2  amnxn  bm
Podíamos expresarlo en forma matricial como la ecuación matricial:
a11 a12. . . . . . . . . . . .a1j. . . . . . . . . . . .a1n
a21 a22. . . . . . . . . . . .a2j. . . . . . . . . . . .a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1 ai2. . . . . . . . . . . .aij. . . . . . . . . . . . .ain
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2. . . . . . . . . .amj. . . . . . . . . . . .amn
x1
x2
.
.
x i
.
.
xn

b1
b2
.
.
bi
.
.
bm
Si llamamos Amn a la matriz de coeficientes, Xn1 a la matriz de las incógnitas y Bm1 a la matriz
de los términos independientes podemos escribir esta ecuación en forma simbólica como: AX  B
que es la expresión del sistema de ecuaciones lineales en forma matricial, es decir, como una
ecuación matricial.
Teorema 2.7 : Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas AX  B tiene solución única
solo si la matriz A es inversible.
Teorema 2.8: Si X1 y X2 son soluciones del sistema AX   entonces ,  X1  X2
también es solución de AX  
Teorema 2.9: Si el sistema AX  B admite infinitas soluciones y XG es la solución general de
AX   y XP es una solución particular de AX  B entonces (XG  XP es la solución general de
AX  B
Recordemos también que para resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicabamos el
algoritmo de Gauss el que consisteen realizar operaciones elementales en las filas de la matriz
ampliada del sistema para llevarla a su forma escalonada y obtener de esa manera un sistema
escalonado equivalente al original. Tiene sentido definir entonces:
11.1.-Matrices equivalentes por filas
Decimos que B es equivalente por filas a A (o que A y B son equivalentes por fila) si B se puede
obtener de A mediante operaciones elementales en las filas de A.
Así cada una de las matrices que se van obteniendo en cada paso del proceso de Gauss para
resolver un sistema de ecuaciones lineales, son equivalentes por filas a la matriz ampliada del
sistema original.
11.2.-Matriz escalonada
Decimos que una matriz A esta en su forma escalonada o que es una matriz escalonada si
cumple:
1 Las filas nulas (si las hay) se ubican al final
2 En cada fila el primer elemento distinto de cero (denominado entrada principal de la fila ó
cabeza de escalón ó pivot) se ubica en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal
debajo de ella
11.3.-Matriz escalonada reducida por filas
Decimos que una matriz A está en la forma escalonada reducida por filas si cumple:
1 Es una matriz escalonada
2 Los pivots o entrada principal o cabeza de escalón en cada fila son todos iguales a 1.
3 Las columnas que contienen al pivot o entrada principal o cabeza de escalón de cada fila
tienen los demás elementos nulos.
12.-APLICACIONES DE LAS MATRICES
Hay muchas aplicaciones de las matrices en las diversas áreas de las ciencias, si bien muchas de
ellas requieren conocimientos previos de esas áreas. Veamos algunas de ellas a modo de ejemplos
ilustrativos.
Definición: Un grafo dirigido es un conjunto finito de puntos P1,P2, . . . .Pn llamados vértices o
nodos que están unidos por un conjunto finito de flechas llamadas aristas o lados, cada uno de los
cuales une un par de vértices distintos pero considerándolos como un par ordenado. Es decir
P i  P j  P j  P i. Además, ninguno de los vértices puede estar unido a él mismo por medio de
una sola flecha pero si mediante otros vértices, tampoco puede unirse dos vértices por múltiples
flechas ( P i  P j es única). Un grafo dirigido tiene asociada una matriz cuadrada A  aij tal que
aij  1 si existe P i  P j y aij  0 en caso contrario. Los grafos permiten formular modelos de
muchos problemas de diversas áreas de la ciencia.
Ejemplo 1: Considera un grupo de 6 equipos de futbol que disputan un torneo corto en el que no
se permite empate. Considera que E i  E j significa que el equipo E i ganó al equipo E j. Después de
disputarse tres fechas se muestra la información mediante el siguiente grafo dirigido:
a Escribe la matriz asociada al grafo
b Indica cual es el equipo que va primero
hasta esa fecha (considera que el equipo
ganador obtiene 2 puntos por partido)
c ¿Cómo calcularías el puntaje obtenido
por cada equipo desde la matriz?
a Si llamamos A a la matriz asociada al grafo será:
A 
0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0
b Como en la matriz los 1 en la posición ij, significa que el equipo i le gano al equipo j entonces
la fila con mayor cantidad de 1 indicará el equipo que más triunfos obtuvo hasta la fecha
considerada. En el ejemplo es la fila 5 por lo que el equipo 5 es el que va primero hasta la 3er fecha.
c La cantidad de 1 en cada fila multiplicada por la cantidad de puntos que se obtiene por triunfo
será el puntaje obtenido por cada equipo.
Cadenas de Markov: Consideremos un sistema que está, en cualquier momento dado, en uno y
solo un estado entre una cantidad finita de ellos. Por ejemplo el clima en cierta área puede ser
lluvioso o despejado, una persona puede fumar o no, etc. Al pasar el tiempo el sistema puede pasar
de un estado a otro, y supondremos que el estado del sistema se observa a periodos fijos (una hora,
día, mes, etc.). En muchas aplicaciones conocemos el estado actual del sistema y queremos predecir
el que tendrá en el siguiente periodo de observación, o en cualquier otro. Con frecuencia podemos
predecir, a partir de datos históricos, la probabilidad de que el sistema esté en cierto estado particular
en determinado periodo de observación. La aplicación que proponemos a continuación es de este
tipo.
Definición: Una cadena de Markov o proceso de Markov, es aquel en el que la probabilidad
de que el sistema esté en un estado particular en un determinado periodo de observación , depende
solo de su estado en el periodo de observación anterior. Supongamos que el sistema tiene n estados
posibles. Para cada i  1,2, ,n y cada j  1,2, ,n sea t ij la probabilidad de que si el sistema se
encuentra en el estado j en cierto periodo de observación, estará en el estado i en el siguiente; t ij
recibe el nombre de probabilidad de transición. Además, t ij se aplica a cada periodo; es decir, no
cambia con el tiempo.
Como t ij es una probabilidad, debemos tener que: 0  t ij  1; 1  i, j  n
Asimismo si el sistema está en el estado j en cierto periodo de observación, entonces debe estar
en alguno de los n estados (ya que también podría permanecer en el estado j. Por lo tanto tenemos
que: t1j  t2j   tnj  1
Es conveniente disponer las probabilidades de transición como una matriz T  t ij de n  n
llamada la matriz de transición de la cadena de Markov o matriz de Markov o matriz estocástica o
matriz de probabilidades. Las componentes de cada columna de esta matriz son no negativas y su
suma es 1.
Si llamamos pj
k a la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado j en el periodo de
observación k, y al vector columna Xk, k  0 vector de estado será: Xk 
p1
k
p2
k
.
.
pnk
en el caso k  0 se denomina vector de estado inicial. Además Xk1  TXk siendoT la matriz
de transición.
Si Xk  TXk para algún k, decimos que el proceso de Markov ha alcanzado el equilibrio y que
el vector Xk es fijo. En este caso se lo llama vector estacionario.
Ejemplo 2: Una empresa dedicada a la investigación de mercados está analizando un gran grupo
de consumidores de café, que compran una lata de café por semana. Se ha determinado que el 50%
de las personas que actualmente utilizan la marca A, la comprarán de nuevo la próxima semana, el
25% cambiará a la marca B y 25% preferirá alguna otra. De las personas que ahora consumen la
marca B, 30 % la comprará otra vez la próxima semana, 60% optará por la marca A y 10% cambiará
a otra. De los consumidores que actualmente compran otra marca, 30% adquirirá de nuevo otra
marca la próxima semana, 40% elegirá la marca A y 30% cambiará a la B. Los estados A,B y C
representan la marca A, la marca B y otra marca, respectivamente. La probabilidad de que una
persona que consume la marca B la siga comprando es 0.3 y así sucesivamente.
a Escribe la matriz de probabilidad o matriz de transición de esta cadena de Markov
b Suponiendo que al comenzar el estudio vemos que la marca A tiene 20% del mercado, la
marca B tiene 20% del mismo y las otras marcas tienen el 60% restante. Escribe el vector de estado
inicial y calcula el vector de estado al cabo de un mes.
c Escribe el vector de estado al cabo de h semanas. Determina, si existe, el valor de h para el
cual el proceso de Markov alcanza el equilibrio
a
A
B
C
A B C
0.5 0. 6 0.4
0. 25 0.3 0.3
0. 25 0.1 0.3
 T 
0.5 0. 6 0.4
0. 25 0.3 0.3
0. 25 0.1 0.3
b El vector de estado inicial será:
X0 
p1
0
p2
0
p3
0

0.2
0. 2
0. 6
c Como el intervalo de tiempo en el cual se observa es una semana, al cabo de un mes (4
semanas) tendremos que:
X4  T4X0
Queda como ejercicio, realizar los cálculos y obtener el resultado.
Ing Augusto A. Estrada V.