RESUMEN TEMA 4 DETERMINANTES

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
RESUMEN DEL TEMA 4
DETERMINANTES
1.- INTRODUCCION:
En el presente capítulo vamos a estudiar los determinantes definiéndolos desde el punto de vista
axiomático. Es decir como una función con dominio en el espacio de las matrices cuadradas y
codominio en un cuerpo de escalares que pueden ser los reales o los complejos.
Estudiaremos algunas de sus propiedades, mostraremos el cálculo del determinante de algunas
matrices especiales como las triangulares y la diagonal y en general el cálculo del determinante
mediante el desarrollo por filas (o columnas) llamado método de Laplace. Asimismo vamos a ver el
cálculo de los determinantes utilizando el escalonamiento de Gauss y usando propiedades.
Estudiaremos la condición suficiente para que una matriz posea inversa y mostraremos como
calcularla utilizando la matriz adjunta y el determinante de la matriz. Por último enunciaremos la
regla de Cramer que permite encontrar la solución utilizando determinantes, de aquellos sistemas de
igual cantidad de ecuaciones que incógnitas, consistentes con única solución.
2.- DETERMINANTES
2.1.-Definición: Sea A una matriz cuadrada de n  n y consideremos que A  F1,F2, ,Fn en
la que F i , i  1,2, ,n son las filas de A.
Llamamos determinante a cualquier función que a cada matriz cuadrada Ann le hace
corresponder un escalar (real o complejo). y que cumpla los siguientes axiomas:
Axioma 1: Linealidad por filas
det F1,F2, ,F j1  F j2 , ,Fn  detF1,F2, ,F j1 , ,Fn  detF1,F2, ,F j2 , ,Fn
Axioma 2: Homogeneidad por filas
det F1,F2, ,kF j, ,Fn  kdetF1,F2, ,F j, ,Fn
Axioma 3:
Si A  F1,F2, , ,F i, ,F j, ,Fn  F i  F j  det F1,F2, ,F i, ,F j, ,Fn  0
Axioma 4:
Si I  I1, I2, . Ij, , In matriz identidad de n  n, entonces detI1, I2, , In  1
Notación: Usaremos también para simbolizar el determinante de una matriz A el símbolo |A|
2.2.-Propiedades
Teorema 4.1: Si una matriz tiene una fila nula, su determinante es nulo.
Teorema 4.2: Si en una matriz una de sus filas es combinación lineal de las restantes, entonces
su determinante es nulo
Teorema 4.3: Si en una matriz a una fila se le suma un múltiplo de otra, su determinante no
cambia
Teorema 4.4: Si en una matriz a una fila se le suma una combinación lineal de las restantes, su
determinante no cambia
Teorema 4.5: El determinante de una matriz cambia de signo si se intercambia dos filas de la
matriz
Teorema 4.6: El determinante de una matriz y su transpuesta son iguales
Teorema 4.7: El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) o diagonal es el
producto de los elementos de su diagonal principal
Teorema 4.8: El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de
las matrices factores
Teorema 4.9.- Si A22  aij, entonces detA  a11a22  a21a12
3.-CALCULO DE DETERMINANTES
3.1.-Calculo utilizando el desarrollo de Laplace
Dada una matriz cuadrada Ann  aij
3.1.1.- Definición:Menor correspondiente al elemento aij : Se denomina así al determinante
de la submatriz Mij de orden n  1 que resulta de eliminar en la matriz A la fila i y la columna j y lo
simbolizamos con mij  det Mij
3.1.2.- Definición: Cofactor correspondiente al elemento aij : Denominamos así al
correspondiente menor con su signo y lo simbolizamos con A ij. Es decir c ij  1 ijmij
3.1.3.- Definición:Matriz de los cofactores de Ann : Denominamos así a la matriz cuadrada de
n  n cuyas componentes son los cofactores de la matriz A y la simbolizamos con:
C  CofacA  c ij
3.1.4.- Definición:Matriz Adjunta de una matriz Ann: Llamamos así a la matriz transpuesta
de la matriz de los cofactores de la matriz A y la simbolizamos con:
AdjA  CofAT  CT  c ji
Teorema 4.10: Si Ann  aij, entonces:
detA 
n
k1
 aikc ik 1
La 1 permite calcular el determinante de A mediante el desarrollo de Laplace por la fila i,
siendo c ik los cofactores correspondientes a los elementos aik k  1,2, ,n
De la misma manera:
detA 
n
k1
 akjckj 2
La 2 permite calcular el determinante de A mediante el desarrollo de Laplace por la columna j,
siendo ckj los cofactores correspondientes a los elementos akj k  1,2, ,n
Ejemplo 1:
Calcula el determinante de la matriz A utilizando el desarrollo de Laplace por la 2da fila y por la
3er columna, siendo:
A 
1 2 2
2 1 3
1 1 0
Desarrollo por la 2da fila. Será i  2 y en consecuencia tendremos que:
|A| 
3
k1
 a2kc2k  a21c21  a22c22  a23c23  |A|  a21c21  a22c22  a23c23 
Calculamos los cofactores correspondientes a los elementos de la 2da fila ( que aparecen en el
desarrollo), para ello recordamos que el cofactor correspondiente al elemento aij viene dado por
c ij  1 ijmij siendo mij el menor correspondiente al elemento aij y que sabemos se define como el
determinante de la submatriz Mij de orden n  1 que resulta de eliminar en la matriz A la fila i y la
columna j. Así que:
c21  121m21  13m21  
2 2
1 0
 2  0  12  2
c22  122m22  14m22 
1 2
1 0
 1  0  12  2
c23  123m23  15m23  
1 2
1 1
 11  1  2  3
Si reemplazamos los respectivos elementos de la fila 2 y sus respectivos cofactores en 
tenemos:
|A|  a21c21  a22c22  a23c23  22  12  33  4  2  9  3
Desarrollo por la 3er columna será j  3 y en consecuencia tendremos que:
|A| 
3
k1
 akjckj  a13c13  a23c23  a33c33  |A|  a13c13  a23c23  a33c33  
Calculamos los cofactores correspondientes a los elementos de la 3er columna ( que aparecen en
el desarrollo)
c13  113m13  14m13 
2 1
1 1
 2  1  11  3
c23  3 calculado anteriormente
c33  133m33  16m33 
1 2
2 1
 11  2  2  3
Si reemplazamos los respectivos elementos de la 3er columna y sus respectivos cofactores en
  tenemos:
|A|  a31c31  a32c32  a33c33  23  3  3  0  3  6  9  0  3
Como podemos observar el valor del determinante es el mismo, calculado mediante el desarrollo
de Laplace por una fila o por una columna. Esto ocurrirá siempre debido a que el determinante es
único para cada matriz (ya que se trata de una función). Así que podemos calcular utilizando el
desarrollo de Laplace por cualquier fila o columna y obtendremos el mismo valor.
Lo anterior es muy importante en la práctica, ya que para el desarrollo de Laplace, podremos
elegir aquella fila o columna que contenga la mayor cantidad de ceros. De esta manera, nos evitamos
calcular los cofactores correspondientes a estos elementos ya que no aportan a la suma por ser su
producto nulo.
Asimismo, si recordamos el Teorema 4.3, cuando se suma a una fila un múltiplo de otra el
determinante de la matriz no cambia. Podemos utilizar el teorema para hacer ceros en alguna fila o
columna _(n  1 ceros_ y luego aplicar el desarrollo por esa fila o columna, de manera que solo será
necesario calcular un único cofactor (el correspondiente al elemento no nulo)
Así en el anterior ejemplo la tercer fila contiene un cero. Si le sumamos a la 2da columna la
primera multiplicada por (-1) obtendríamos un segundo cero, luego podríamos desarrollar por esa
fila. Veamos operativamente lo que estamos diciendo:
|A| 
1 2 2
2 1 3
1 1 0

C2  1C1
1 3 2
2 3 3
1 0 0
Aplicando el desarrollo de Laplace por la 3er fila en el último determinante tenemos que:
|A|  a31c31  a32c32  a33c33  1  c31  0  c32  0  c33  c31  131
3 2
3 3
 3  3  
Menor esfuerzo ¿verdad?
3.2.- Calculo utilizando el algoritmo de Gauss
Cuando escalonamos una matriz utilizando el algoritmo de Gauss, utilizamos las operaciones
elementales:
1.- Multiplicar una fila por un escalar no nulo
2.- Sumarle a una fila un múltiplo de otra
3.- Intercambiar dos filas
Dada una matriz, mediante el algoritmode Gauss (uso de estas operaciones elementales)
obtenemos otra matriz equivalente por filas y que está en su forma escalonada. Dicha matriz
escalonada es una matriz triangular superior y su determinante está relacionado con el determinante
de la matriz equivalente por filas de la que se obtuvo mediante el proceso de escalonamiento.
Además por el Teorema 4.7 su determinante es fácil de calcular (es el producto de los elementos
de su diagonal principal). Así que bastará encontrar cual es la relación de su determinante con la
matriz inicial y aprovechar esta relación para calcular el determinante de dicha matriz. Para ello
veamos cómo afectan las operaciones elementales al determinante de la matriz cuando se aplican.
La operación 1 es equivalente al Axioma 2, así que cada vez que la apliquemos en una fila el
determinante de la matriz quedará afectado por el escalar
La operación 2 es equivalente al Teorema 4.3 por lo que no afecta el determinante cuando se la
aplica
La operación 3 es equivalente al Teorema 4.5 por lo que cada vez que se la aplique el
determinante cambiará de signo.
En el algoritmo de Gauss cada vez que utilizamos una fila como pivot para hacer ceros en cada
una de las filas restantes se está utilizando en forma conjunta las operaciones 1 y 2 así que en cada
paso del proceso los determinantes de las matrices equivalentes están relacionados mediante la
aplicación del axioma 2 en cada fila en la que se hizo cero.
Veamos un ejemplo para luego generalizar el método:
Ejemplo
Calcula el determinante de la matriz A utilizando el algoritmo de Gauss y los axiomas y/o
propiedades, siendo A la matriz del ejemplo 1 dado para el desarrollo de Lapalce
Apliquemos el algoritmo de Gauss para escalonar la matriz A
Veamos si se clarifica con el desarrollo del ejemplo
1 2 2
2 1 3
1 1 0
A
12

1 2 2
0 3 1
0 3 2
B
31

1 0 1
0 3 7
0 0 3
C
Como vemos la matriz escalonada (C es una matriz triangular por lo que si aplicamos el
teorema 4.6 será: |C|  133  9
Veamos lo que ocurre con el determinante de las matrices sucesivas que se obtienen en cada
paso del proceso de escalonamiento.
Para pasar de A a B hemos utilizado el pivot 1 para hacer cero en la fila 2 y en la fila 3
realizando dos operaciones:
1 Multiplicar cada fila por el pivot 1
2 Reemplazado la fila 2 o 3 por la fila 2o 3 más la fila 1 multiplicada por el coeficiente de la
fila (2 ó 3) según la fila que se está considerando
La operación 1 no es más que aplicar el Axioma 2 de homogeneidad en la fila (2 o 3 (para
recordarlo escribo en la parte superior de la matriz A el pivot elevado a la cantidad de veces que lo
utilicé para hacer ceros). En este caso 12
. La 2 es la aplicación del teorema 4.5 que ya sabemos no cambia el determinante. En
consecuencia tendremos que:
|B|  12|A|
Para pasar de B a C el proceso es similar pero ahora con el pivot 3 utilizado una vez para
hacer ceros en la fila 3 de B por lo que
|C|  31|B|
Si reemplazamos en esta expresión las anteriores tenemos que:
|C|  31|B|  3112|A|  |A|  |C|
31. 12
 93  3  |A|  3
Que como no podía ser de otra manera, es el mismo valor encontrado anteriormente utilizando el
desarrollo de Laplace.
Si generalizamos el procedimiento podemos decir que:
Dada una matriz A que mediante el procesos de Gauss se la lleva a su forma escalonada. Si
llamamos AE a la matriz escalonada (matriz triangular) entonces:
|A|  |
AE |
1np1
r1 .p2
r2pk
rk 3
Siendo:
n : cantidad de intercambios de filas realizado en todo el proceso de escalonamiento
pi i  1,2, ,k cada uno de los pivot utilizados en el proceso
ri i  1,2, ,k el número de veces que se utilizo el pivot pi para hacer ceros en las filas de las
matrices durante el proceso
4.- CALCULO DE LA INVERSA DE UNAMATRIZ UTILIZANDO EL
DETERMINANTE Y LA ADJUNTA
Teorema 4.11: Si Ann  aij, entonces A  AdjA  AdjA  A  detA  I
Corolario: Si detA  0 entonces A 1
detA
AdjA   1
detA
AdjAA  I
Es decir:
A1  1
detA
AdjA 4
De la 3 surge que: La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea inversible
es que su determinante sea no nulo
Ejemplo 1
Calcula, de ser posible, la inversa de la matriz A dada en el anterior ejemplo, usando la adjunta y
el determinante de la misma:
Sabemos que: A1  1
detA
AdjA solo si detA  0
En el ejemplo anterior encontramos que detA  3  0, asi que A es inversible y podemos
calcular su inversa mediante 4
Deberíamos calcular la AdjA que sabemos es:
AdjA  cofacAT 
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
T
 AdjA 
c11 c21 c31
c12 c22 c32
c13 c23 c33
En el ejemplo anterior ya calculamos algunos de los cofactores, solo resta calcular los que nos
faltan para obtener la matriz Adjunta.
c11  111m11  12m11 
1 3
1 0
 1  0  1  3  3
c12  112m12  13m12  
1 2
1 0
 1  0  12  2
c31  131m31  14m31 
2 2
1 3
 2  3  12  4
c32  132m32  15m32  
1 2
2 3
 1  3  22  7
AdjA 
3 2 4
2 2 7
3 1 5
 A1  13
3 2 4
2 2 7
3 1 5

1 23 
4
3
2
3 
2
3 
7
3
1  13
5
3
Teorema 4.12: Una matriz Ann es inversible (no singular) si y solo si su determinante es distinto
de cero
Teorema 4.13: Si Ann es inversible entonces detA1  1detA
4.1.-Definición: Llamamos matriz ortogonal, a toda matriz cuadrada cuya transpuesta sea igual a
su inversa.
En símbolos: Dada Ann. Decimos que A es ortogonal si y solo si AT  A1
Teorema 4.14: Si A es una matriz ortogonal, entonces detA  1  detA  1
5.-REGLA DE CRAMER
Si Ann  aij, y detA  0, entonces el sistema AX  B tiene solución única y j  1,2, ,n
es:
x j 
detA j
detA
5
Siendo A j la matriz que resulta de reemplazar en la matriz A la columna j por la columna de los
términos independientes B
Observación: La condición necesaria y suficiente para que un sistema de n ecuaciones lineales
con n incógnitas pueda ser resuelto mediante la regla de Cramer es que el determinante de la matriz
de coeficientes sea no nulo (en este caso decimos que el sistema es crameriano).
Teorema 4.15: Si Ann  aij y AX  B tiene solución única entonces detA  0
Teorema 4.16: Si Ann  aij y AX  B tiene solución única entonces A es inversible
Ejemplo1:
Determina, de ser posible, utilizando la regla de Cramer, la solución del sistema:
1 1 0
2 1 2
1 3 0
x
y
z

1
0
1
Calculamos el determinante de la matriz de coeficiente para ver si el sistema es o no Crameriano.
Para ello utilizamos desarrollo de Laplace por la 3er columna.
|A| 
1 1 0
2 1 2
1 3 0
 2
1 1
1 3
 4
Como |A|  4  0 entonces el sistema es Crameriano, es decir, se puede resolver utilizando la
regla de Cramer.
Según la 5 tenemos que:
x  |Ax |
|A|
y 
|Ay |
|A|
z  |Az |
|A|
Si calculamos |Ax |, |Ay | y |Az | mediante desarrollo de Laplace por la 3er columna tenemos:
|Ax | 
1 1 0
0 1 2
1 3 0
 2
1 1
1 3
 4  x  |Ax |
|A|
 4
4
 1  x  1
|Ay | 
1 1 0
2 0 2
1 1 0
 2
1 1
1 1
 0  y 
|Ay |
|A|
 0
4
 0  y  0
|Az | 
1 1 1
2 1 0
1 3 1
 1
2 1
1 3
 1
1 1
2 1
 5  1  4  z  |Az |
|A|
 4
4
 1  z
En consecuencia la única solución del sistema es la terna x,y, z  1,0,1
Ejemplo 2
Similar consigna que para el ejemplo 1, para el sistema:
1 1
2 2
x
y

1
0
Como |A|  1  2  2  1  0, entonces el sistema no es Crameriano, es decir no se puede
resolver utilizando la regla de Cramer.
Ing Augusto A. Estrada V.