Teoria 9 Estructura Algebraica

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Capítulo 7 Estructuras básicas. Grupos
7.1. Monoide y semigrupo
7.1.1. Leyes de composición
De�nicion 1 Sea A un conjunto no vacío. Llamamos ley de composición interna -o simplemente ley de
composición- (l.c.i.) de�nida sobre A, a cualquier función � del producto cartesiano A� A en el mismo
conjunto A.
En símbolos:
� : A�A! A
(x, y) 7! x � y
Así, a cada par ordenado (x, y) de A�A se le asigna un único elemento de A:
Si (x, y) 2 A�A, escribimos �(x, y) = x � y, y se lee: x operado con y:
La de�nición anterior formaliza la noción de operación cerrada en A; o sea, hablamos de operación
cerrada en A o ley de composición interna como sinónimos. Las operaciones de suma y producto entre
números constituyen ejemplos naturales de leyes de composición.
Ejemplo 1 La suma de números naturales es una ley de composición interna:
+ : N� N! N
(a, b)! a+ b
Ejemplo 2 La suma de dos números enteros pares, es una operación, cerrada en el conjunto de los
enteros pares.
Ejemplo 3 La suma no es una operación cerrada en el conjunto de los números naturales impares.
Por ejemplo, 3 y 5 son impares, y la suma 3 + 5 = 8 es par.
7.1.2. Monoide
De�nicion 2 Se llama monoide a todo par (A, �), formado por un conjunto A y una ley de composición
interna � en A. Se dice también que � de�ne sobre A una estructura de monoide.
Ejemplo 4 Si A es cualquiera de los conjuntos N, Z, Q, R y � la suma ordinaria +, o el producto
ordinario � de números, se tiene los siguientes monoides: (N, +); (Z, +); (Q, +); (R, +);
(N, �); (Z, �); (Q, �); (R, �).
Ejemplo 5 Decidir si (N, �) es un monoide, donde la operación � está dada por: x � y = x� y, para x,
y 2 N.
Solución
No es un monoide. Se puede comprobar, por ejemplo, que para x = 5 e y = 8, resulta:
x � y = 5� 8 =2 N
De�nicion 3 Decimos que un monoide (A, �) es �nito, si el conjunto A es �nito. En otro caso decimos
que (A, �) es in�nito.
Ejemplo 6 Sea H = fn2 j n 2 Z+g: Decidir si (H;+) es un monoide.
Solución:
1 2 Z+; 12 2 H
2 2 Z+, 22 2 H
12 = 1; 22 = 4
1 + 4 = 5 y 5 =2 H:
Luego H no es cerrado bajo la suma, por lo que (H;+) no es un monoide.
1
7.1.2.1. Descripción de monoides �nitos
En el caso de monoides �nitos, su descripción puede hacerse mediante tablas.
Por ejemplo, si A consta de n elementos:
A = fa1;a2;a3;a4;a5; : : : ang
La operación se describe en la siguiente tabla:
� a1 a2 a3 a4 : : : aj � � � an
a1
a2
a3
...
ai ai � aj
...
an
Ejemplo 7 Sea A = f1; 2; 3g y la operación � de�nida por la tabla siguiente:
� 1 2 3
1 1 2 3
2 2 3 1
3 3 1 2
El par (A; �) es un monoide. La operación se interpreta de la siguiente manera:
1 � 1 = 1 2 � 1 = 2 3 � 1 = 3
1 � 2 = 2 2 � 2 = 3 3 � 2 = 1
1 � 3 = 3 2 � 3 = 1 3 � 3 = 2
Ejemplo 8 En A = f0; 1g se de�ne la ley de composición interna suma módulo dos por medio de la
siguiente tabla:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
La suma módulo dos es ley de composición interna. (A;+) es un monoide.
7.1.3. Leyes fundamentales
Las diferentes operaciones pueden observar el cumplimiento de leyes diversas. A continuación presen-
tamos las de�niciones formales de algunas de estas leyes importantes.
7.1.3.1. Asociativa
De�nicion 4 Sea (A, �) un monoide. Decimos que � es asociativa, si cualquiera sean x, y, z de A se
cumple que: (x � y) � z = x � (y � z).
Ejercicio 1 En el ejemplo 7, veri�car que la operación � es asociativa.
Ejemplo 9 Si A = N y la operación � está dada por: x � y = x � y + 1, decidir si esta operación es
asociativa.
Solución
Si � fuera asociativa, se debe cumplir que: (x � y) � z = x � (y � z).
Si aplicamos la operación en el primer miembro, resulta: (x�y)�z = (x �y+1)�z = (x �y+1) �z+1 =
x � y � z + z + 1 1
En el segundo miembro: x � (y � z) = x � (y � z + 1) = x � (y � z + 1) + 1 = x � y � z + x+ 1 2
De 1 y 2 se concluye que (x � y) � z 6= x � (y � z); por lo que la operación � no es asociativa.
Podemos justi�car esta a�rmación eligiendo una terna de números, por ejemplo: x = 2, y = 1, z = 1,
y realizando las operaciones establecidas en la de�nición de �:
(2 � 1) � 1 = (2 � 1 + 1) � 1 = 3 � 1 = 3 � 1 + 1 = 4
Por otro lado:
2 � (1 � 1) = 2 � (1 � 1 + 1) = 2 � 2 = 2 � 2 + 1 = 5
Luego, resulta:
(2 � 1) � 1 6= 2 � (1 � 1)
de lo que se sigue que la operación � no es asociativa.
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7.1.3.2. Conmutativa
De�nicion 5 Sea (A, �) un monoide. Se dice que � es conmutativa, si cualquiera sean x e y pertenecientes
a A, se cumple que: x � y = y � x.
Ejemplo 10 Si A es el conjunto A = f1; 2; 3g y la operación � la dada en el ejemplo 7, se tiene que la
operación es conmutativa.
7.1.3.3. Elementos distinguidos
7.1.3.3.1. Identidad o elemento neutro
De�nicion 6 Sea (A, �) un monoide. El elemento e 2 A es identidad para � si se cumple que:
8a 2 A : a � e = e � a = a
Ejemplo 11 (Z, �) es un monoide y 1 es su elemento identidad.
7.1.3.3.2. Elementos inversos
De�nicion 7 Sea (A, �) un monoide con identidad y sea a 2 A. Se dice que a posee un inverso, o que
es inversible, si existe d 2 A tal que:
d � a = a � d = e
Ejemplo 12 En (N, �), el único elemento con inverso es el 1.
Ejemplo 13 En (Z, �), los únicos elementos con inversos son el 1 y el �1.
Ejemplo 14 En (Q, �) todo elemento distinto de cero posee inverso.
Surge naturalmente el siguiente interrogante: cada elemento del conjunto considerado, ¿tiene un único
inverso, respecto de la operación de�nida en él? Para responder a esta pregunta, consideremos el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 15 Sea A = f0; 1; 2; 3g y el monoide (A; ?), cuya tabla de de�nición es la siguiente:
? 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 1 0 0
2 2 0 2 0
3 3 0 0 3
¿Cuál(es) es(son) el(los) inverso(s) de 1?
Solución
En primer término, identi�camos al elemento neutro, que -en este caso- es el 0.
Vemos que 1 poseee dos inversos: el 2 y el 3, ya que:
1 � 2 = 2 � 1 = 0
1 � 3 = 3 � 1 = 0
Así, se observa que un elemento puede tener más de un inverso.
Más adelante probaremos que, la observancia de la asociatividad en una operación, implica la unicidad
del inverso.
7.1.4. Semigrupo
De�nicion 8 Se llama semigrupo a todo monoide cuya ley de composición es asociativa.
Ejemplo 16 Los monoides numéricos considerados anteriormente: (N, +); (Z, �); (Q, +) y (R, +); son
todos semigrupos.
Ejemplo 17 Analizar si el monoide (Q, �), donde la operación � está dada por:
a � b = a+ b+ ab
es un semigrupo.
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Solución
Veri�quemos si se cumple que:
(a � b) � c = a � (b � c), 8a; b; c 2 Q,
para luego decidir si se trata de un semigrupo.
Resulta:
(a � b) � c = (a+ b+ ab) � c
= a+ b+ ab+ c+ (a+ b+ ab)c
= a+ b+ ab+ c+ ac+ bc+ abc
= a+ b+ c+ bc+ ab+ ac++abc 1
(por ley asociativa y conmutativa en Q)
Por otro lado:
a � (b � c) = a � (b+ c+ bc)
= a+ b+ c+ bc+ a(b+ c+ bc)
= a+ b+ c+ bc+ ab+ ac+ abc 2
De 1 y 2 se concluye que:
(a � b) � c = a � (b � c)
Luego, la operación es asociativa, por lo que (Q, �) es un semigrupo.
Ejemplo 18 Sea A = f0; 1; 2; 3g y (A; �) un monoide, donde � está de�nido por la tabla:
� 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 1 2 0 2
3 2 3 1 1
Decidir si el monoide dado es semigrupo.
Solución:
Se veri�ca que la operación � no es asociativa, tomando por ejemplo: 0; 2; y 3 pertenecientes a A y
realizando las siguientes operaciones:
(2 � 0) � 3 = 1 � 3 = 3
2 � (0 � 3) = 2 � 0 = 1
Se observa que: (2 � 0) � 3 6= 2 � (0 � 3)
Como la operación � no es asociativa, (A; �) no es semigrupo.
7.2. Grupo
De�nicion 9 Sea G un conjunto y � una ley de composición interna en G, es decir:
� : G�G! G
(x; y) 7! x � y
El par (G, �) es un grupo si se cumplen las siguientes leyes:
G1) Asociatividad de la operación �: 8a; b; c 2 G, (a � b) � c = a � (b � c)
G2) Existencia de elemento neutro o identidad: 9e 2 G j 8a 2 G, a � e = e � a = a:
G3) Existencia de inversos: 8a 2 G, 9a0 2 G j a � a0 = a0 � a = e
Estos cuatro postulados que de�nen un grupo (los tres dados, más el implícito en el enunciado), son
llamados axiomas de grupo.
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De�nicion 10 Se dice que un grupo G es abeliano, si a � b = b � a, para todo a, b 2 G.
La palabra abeliano se deriva del nombre del gran matemático Niels Henrik Abel (1802-1829), uno
de los más destacados cientí�cosque ha dado Noruega.
Un grupo que no cumple con la conmutatividad, se llama no abeliano.
7.2.1. Orden de un grupo
De�nicion 11 El número de elementos de un grupo G es el orden de G. Si G es �nito, el orden es �nito;
si G contiene una cantidad in�nita de elementos, se dice que el orden de G es in�nito. El orden de G se
denota con jGj, si G es �nito.
Ejemplo 19 Son grupos abelianos (Z, +); (Q, +); (R, +) y (Q � f0g, �). Los conjuntos nombrados
tienen, como sabemos, un número in�nito de elementos.
Ejemplo 20 No forman grupos (Z, �) y (Q, �).
Ejemplo 21 Sea el conjunto A = f�3;�2;�1; 0; 1; 2; 3g y la operación suma ordinaria. Como podemos
comprobar fácilmente, la operación suma no es cerrada sobre A. (A;+) no es un grupo.
Ejemplo 22 Consideremos el conjunto A = fe; a; b; cg y la ley de composición interna � de�nida por la
tabla siguiente:
� e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
La operación es asociativa y conmutativa (probarlo). El elemento neutro es el e y cada elemento tiene su
inverso.
El par (A; �) es un grupo abeliano, �nito, de cuatro elementos. Se lo conoce con el nombre de grupo
de Klein.
Ejemplo 23 Sea A el conjunto formado por A = fe; a; bg y sea � la operación dada por la siguiente
tabla:
� e a b
e e a b
a a b e
b b e a
(A; �) es un grupo y se verá más adelante que hay solo una estructura de grupo de tres elementos.
7.2.2. Propiedades en un grupo
7.2.2.1. Unicidad del elemento neutro
Proposicion 1 El elemento neutro de un grupo (G, �) es único.
Demostración
Supongamos que e y f son elementos neutros del grupo (G, �). Luego, se cumple que:
e � a = a � e = a 8a 2 G (por ser e elemento neutro) 1
b � f = f � b = b 8b 2 G (por ser f elemento neutro) 2
Si, en particular, tomamos en 1 a = f , y en 2 , b = e, se tiene que:
f = e � f = e
En consecuencia, como f = e, resulta que el grupo tiene un único elemento neutro, como queríamos
demostrar.
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7.2.2.2. Unicidad del elemento inverso
Proposicion 2 El elemento inverso de un elemento a de un grupo (G, �), es único.
Demostración
Supongamos que a0 y a00 son inversos de a, con a0 2 G y a00 2 G: O sea:
a � a0 = a0 � a = e 1
Y también que:
a � a00 = a00 � a = e 2
Podemos escribir que:
a0 = a0 � e (por existencia de elemento neutro)
= a0 � (a � a00) (por 2 )
= (a0 � a) � a00 (por asociativa)
= (a � a0) � a00 (por 1 )
= e � a00 (por 1 )
= a00 (por existencia de elemento neutro)
Luego:
a0 = a00
y, en consecuencia, el inverso de un elemento es único.
La proposición última establece que si a es un elemento de un grupo, entonces a tiene un inverso
único. Observemos que para probar esta proposición usamos la ley asociativa.
7.2.2.3. Propiedades cancelativas por la derecha y por la izquierda a un grupo (})
Proposicion 3 Si (G, �) es un grupo, se cumplen las siguientes propiedades:
i. a � c = b � c) a = b (cancelativa a derecha)
ii. c � a = c � b) a = b (cancelativa a izquierda)
Demostración
Para probar i. recordemos que,por G3), existe un elemento c0 2 G. Tomando en consideración la
hipótesis y componiéndola con c0 a la derecha, se tiene que:
(a � c) � c0 = (b � c) � c0
a � (c � c0) = b � (c � c0) (por asociativa)
a � e = b � e (por de�nición de inverso)
a = b (por de�nición de neutro)
De la misma manera, componiendo la expresión dada en la hipótesis con c0, se prueba ii.
Comentario 1 Si vale la ley cancelativa a la izquierda, entonces no se pueden repetir los elementos en
ninguna de las �las de la tabla. Si vale la ley cancelativa a la derecha, entonces no se pueden repetir los
elementos en ninguna de las columnas de la tabla.
En los grupos se puede trabajar con notación multiplicativa o notación aditiva:
Notación multiplicativa: Se usa � en lugar de � en grupos abelianos o no. El elemento inverso de
un elemento a perteneciente a G; se denota con a�1 en lugar de a0 y se escribe 1 en lugar de e:
Notación aditiva: Se usa + en lugar de � exclusivamente en grupos abelianos, o sea:
a+ b = b+ a, 8a; b 2 G
El elemento inverso de un elemento a perteneciente a G; se denota con �a en lugar de a0 y se escribe 0
en lugar de e.
En las proposiciones siguientes usaremos notación multiplicativa.
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7.2.2.4. Ecuaciones que de�nen la estructura de grupo
Proposicion 4 Si (G, �) es un grupo, las ecuaciones a � x = b; y � a = b tienen solución única en G:
Demostración:
a � x = b (Hipótesis)
a�1 � (a � x) = a�1 � b componiendo con a�1 a la izquierda
(a�1 � a) � x = a�1 � b (por asociativa)
e � x = a�1 � b (por existencia de inverso)
x = a�1 � b (por existencia de neutro)
Lo mismo con la otra ecuación y � a = b
y � a = b (Hipótesis)
(y � a) � a�1 = b � a�1 componiendo con a�1 a la derecha
y � (a � a�1) = b � a�1 (por asociativa)
y � e = b � a�1 (por existencia de inverso)
y = b � a�1 (por existencia de neutro)
Falta probar que la solución es única.
Para ello, supongamos que x y x0 son soluciones de la ecuación, es decir:
a � x = b 1
a � x0 = b 2
Luego:
a � x = a � x0 Igualando 1 y 2
x = x0 por cancelativa
De igual modo se demuestra que la otra ecuación tiene solución.
Ejemplo 24 En el semigrupo (N, +) que no es un grupo, no todas las ecuaciones a + x = b poseen
solución. Las únicas que poseen solución son aquéllas donde a < b: En cambio en (Z, +), que si es un
grupo las ecuaciones a+ x = b poseen solución, para todo a, b 2 Z.
7.2.2.5. Otras propiedades
Proposicion 5 Si (G, �) es un grupo y a es un elemento de G; entonces (a�1)�1 = a.
Demostración:
a = a � e (por G2)
= a � (a�1 � (a�1)�1) (por G3)
= (a � a�1) � (a�1)�1 (por G1)
= e � (a�1)�1 (por G3)
= (a�1)�1 (por G2) (c.q.d.)
Proposicion 6 Si (G, �) es un grupo y a, b son elementos de G, entonces (a � b)�1 = b�1 � a�1
Demostración:
Realicemos el producto entre b�1 � a�1 y a � b
(b�1 � a�1) � (a � b) = b�1 � (a�1 � a) � b = b�1 � e � b = b�1 � b = e 1
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De manera similar se prueba que:
(a � b) � (b�1 � a�1) = e 2
Luego, de 1 y 2 se concluye que (b�1 � a�1) es el inverso de (a � b), que se denota con (a � b)�1 o sea
hemos probado que:
El inverso de a � b es b�1 � a�1. Entonces:
(a � b)�1 = b�1 � a�1
Proposicion 7 Sea (G, �) un grupo. Las siguientes propiedades son equivalentes:
i. (G, �) es abeliano
ii. (a � b)�1 = a�1 � b�1
Demostración:
i.)ii.
(a � b)�1 = b�1 � a�1 (por proposición 6)
= a�1 � b�1 (por hipótesis) (c.q.d.)
ii.)i.
Supongamos que b. es cierta y sean x e y 2 G:
x � y = (x�1)�1 � (y�1)�1 (por proposición 5)
= (x�1 � y�1)�1 (por hipótesis)
= (y�1)�1 � (x�1)�1 (por proposición 6)
= y � x (por proposición 5) (c.q.d.)
En consecuencia x � y = y � x; 8x; y 2 G; por lo que G es abeliano.
Congruencia en Z
De�nicion 12 Dados dos números enteros a y b, se dice que a es congruente con b, módulo m y se
simboliza con: a � b(m), si su diferencia b� a es un múltiplo de m; o sea, si m divide a b� a.
En símbolos:
a � b(m), b� a = k �m, para algún k 2 Z
o bien si se cumple que:
b� a = mk ) b = mk + a, para algún k 2 Z
Si tenemos un número entero b, y queremos encontrar con quién es congruente b, dividimos b entre m
y tomamos el resto de la división.
Ejemplo 25 Por ejemplo 24 � 3(7), ya que 24� 3 = 21 = 3 � 7.
Ejercicio 2 Probar que la relación de congruencia de�nida en el conjunto Z, es una relación de equiva-
lencia. Se la llama relación de congruencia módulo m.
Podemos formar el conjunto de todos los elementos b que son equivalentes a a. Se los denota con [a]:
[a] = fb 2 Z : a � b(m)g
= fb 2 Z : m j b� ag
= fb 2 Z : b� a = mkg
= fb 2 Z : b = mk + ag
= fmk + a; k 2 Zg
También se denota con a: A este conjunto pertenecen todos los enteros del tipo a +mk, donde a y m
están dados, y k recorre Z. Es decir, son aquellos que se obtienen sumando a a los múltiplos de m:
Por ejemplo, los enteros congruentes con 5 módulo 11, son los enteros de la forma: 5 + 11k, con
k = : : :� 3;�2;�1; 0; 1; 2; 3 : : : :
Éstos son los enteros: : : :� 28;�17;�6; 5; 16; 27; 38; 49; 60 : : :
8
Teniendo en cuenta el algoritmo de la división entera, los posibles restos de la división de un entero
por m, son: 0; 1; 2; : : : ;m�1, ya que por el algoritmode la división entera, el resto es no negativo y menor
que el divisor. Por esta razón, se llaman restos módulo m y se representan de la siguiente manera:
0; 1; 2; 3; : : : ;m� 1
Este conjunto se denomina conjunto de las clases de congruencia módulo m: Se denota por:
Zm = f0; 1; 2; 3; : : : ;m� 1g
Notación: cuando no pueda haber lugar a confusión, escribiremos simplemente a Zm como: Zm =
f0; 1; 2; 3; : : : ;m � 1g. Este conjunto está formado por los restos que quedan al dividir un entero por
m. Se observa que Zm tiene m elementos.
Por ejemplo, si m = 3, se tiene el conjunto de las clases de congruencia módulo 3: Z3 = f[0]; [1]; [2]g
En cada uno de los conjuntos siguientes, están los números que, divididos por 3, dan resto 0, 1 y 2,
respectivamente:
0 = f: : :� 6;�3; 0; 3; 6; : : :g
1 = f: : :� 5;�2; 1; 4; 7; : : :g
2 = f: : :� 4;�1; 2; 5; 8; : : :g
En el conjunto Zm que se llama conjunto cociente (formado por los restos que quedan al dividir un
entero por m) se de�ne la operación suma de clases, como sigue:
+ : Zm � Zm ! Zm
([a]; [b]) 7! [a+ b]
O sea la operación suma de clases residuales está de�nida por:
[a] + [b] = [a+ b]:
Se puede demostrar que el conjunto Zm, con la operación +, es un grupo abeliano. Este grupo recibe
el nombre de grupo de congruencias.
7.3. Subgrupos de un grupo
De�nicion 13 Sea (G; �) un grupo y H � G un subconjunto no vacío del grupo G, si (H; �) también es
un grupo, a éste se lo llama subgrupo de (G; �): Es decir:
Sea G un grupo y H � G un subconjunto no vacío del grupo G, cerrado bajo la operación binaria de
G. Si H es en sí mismo un grupo bajo la operación binaria de�nida en G, entonces se dice que H es un
subgrupo de G.
Notación: H es un subgrupo de G se denota (H, �) < (G, �), o bien simplemente: H < G.
¿Qué propiedades de � en G, hereda su restricción � en H?
Cuando se trata de veri�car si un subconjunto dado de un grupo es o no un subgrupo, no es preciso
comprobar la ley asociativa, ya que esta operación es asociativa en G, entonces es asociativa en cualquier
subconjunto H de G. La asociatividad en G, la hereda en H.
Con el mismo argumento, si (G, �) es abeliano, entonces � es conmutativa en H.
Ejemplo 26 (Z;+) < (R;+)
Notamos que la operación +, aplicada a los enteros m y n como elementos de Z, produce el mismo
resultado n+m que si se pensara a m y n como elementos de R.
Ejemplo 27 (Q+; �) � (R;+)
Se observa que Q+ � R y sin embargo (Q+; �) no es subgrupo de (R;+), ya que las operaciones no
producen los mismos resultados.
Subgrupos impropios y propios Todo grupo (G, �) posee al menos dos subgrupos, estos son:
el subgrupo formado por el elemento neutro o identidad de G, y el subgrupo formado por todos los
elementos de G. Estos subgrupos se llaman triviales y reciben el nombre de subgrupos impropios de G:
A los subgrupos que no son triviales se los denomina subgrupos propios de G:
Comentario 2 El elemento neutro de un subgrupo coincide con el del grupo; por otra parte, el inverso
en el subgrupo de un elemento del subgrupo, coincide con su inverso en el grupo.
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7.3.1. Condiciones para subgrupos
Teniendo en cuenta la de�nición de subgrupo, podemos decir que (H, �) es un subgrupo de G (H � G)
con H 6= ; si se cumplen las siguientes condiciones:
i. La operación � restringida a H �H es una ley de composición interna en H: (H es cerrada bajo la
operación binaria de G)
ii. el elemento neutro de G pertenece a H:
iii. si x pertenece a H entonces su inverso x�1 también pertenece a H
Ejemplo 28 Sea Z4 = f0; 1; 2; 3g con la operación suma:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
a. Veri�que que los subgrupos de Z4 son: H1 = f0g H2 = f0; 2g H3 = Z4
b. ¿Hay otros subconjuntos H � Z4 que no se hayan incluido y que sean grupos? Justi�que.
7.3.1.0.1. Condición su�ciente y necesaria para subgrupo
Proposicion 8 Sea (G, �) un grupo y H un subconjunto de G, con H 6= ;. Entonces H es un subgrupo
de G si y sólo si x � y�1 2 H, para todo x; y 2 H.
Demostración
a. )) Supongamos que H es un subgrupo de G, dados x; y 2 H, y�1 2 H y por tanto x � y�1 2 H.
b. () Veamos que se cumplen las tres condiciones enunciadas para subgrupos: (condición 7.3.1)
Como H 6= ;; existe x 2 H y por H), x � x�1 2 H ) e 2 H (existencia del elemento neutro de H;
condición ii.)
Sea y 2 H, e 2 H ) e � y�1 2 H ) y�1 2 H (condición iii.)
Veamos que la operación � es cerrada en H: sean x, y 2 H ) y�1 2 H, realicemos x � y =
x � (y�1)�1 2 H (por H)) (condición i.)
En consecuencia H es un subgrupo de G:
Ejemplo 29 Para cada entero positivo n el conjunto H = fk � n j k 2 Zg es un subgrupo de (Z;+).
Se observa que H es el subconjunto de los múltiplos de n con n 2 Z.
Para probar que H < Z, consideremos la proposición 8.
(i) a) H 6= ;, ya que 0 2 fk:n j k 2 Zg
(ii) Sean x; y 2 H se debe probar que x� y 2 H
x = k1:n 2 H, y = k2:n 2 H: Luego x� y = k1 � n� k2 � n =
= k1 � n� k2 � n = (k1 � k2) � n con (k1 � k2) 2 Z, luego x� y = k3 � n y así x� y 2 H.
En consecuencia H es un subgrupo de Z. Se denota con hni.
7.3.2. Subgrupo generado por un elemento
De�nicion 14 Si x es un elemento de G, el subgrupo generado por x (operación producto) es el conjunto
de las potencias enteras de x:
Notación: El subgrupo generado por x se denota con hxi
hxi = fxn, n 2 Zg
De�nicion 15 Si x es un elemento de G, el subgrupo generado por x (operación suma) es el conjunto
de los múltiplos enteros de x.
hxi = fnx, n 2 Zg
Ejemplo 30 Si Z es el grupo aditivo, encontrar el subgrupo generado por 3:
El subgrupo generado por 3, debe contener a 3; 3 + 3; 3 + 3 + 3; 3 + 3 + 3 + 3; etc. Es decir:
< 3 >= f� � � � 9;�6;�3; 0; 3; 6; 9; � � � g
El subgrupo generado por 3 consiste en todos los múltiplos de 3, positivos, negativos y el cero. Este
subgrupo también se denota con 3Z.
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7.3.3. Grupos cíclicos
De�nicion 16 Sea (G, �):Un elemento g 2 G se llama generador de G si todo elemento de G se puede
expresar en términos de g y de g�1, usando la operación �. Si un grupo contiene un generador se llama
cíclico.
Ejemplo 31 Sea Z4 = f0; 1; 2; 3g y la operación suma +. Decidir si Z4 es cíclico.
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Solución:
1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 1 + 1 = 0
El elemento 1 genera a todos los elementos de Z4:Por lo tanto Z4 es cíclico.
Veamos si tiene otro generador: veamos que pasa con el elemento 3:
3 = 3
3 + 3 = 2
3 + 3 + 3 = 1
3 + 3 + 3 + 3 = 0
El elemento 3 genera a todos los elementos de Z4:
Ejemplo 32 Si en Z4 tomamos el elemento 2, veamos que genera:
2 = 2
2 + 2 = 0
2 + 2 + 2 = 2
2 + 2 + 2 + 2 = 0
Se observa que este elemento 2 genera un subgrupo de Z4: Se llama el subgrupo generado por 2:
De�nicion 17 Un grupo (G, �) se dice cíclico si existe al menos un elemento x perteneciente a G tal
que el subgrupo generado por x coincide con G:
< x >= G
En este caso x es un generador de G.
De�nicion 18 Un grupo cíclico es el que puede ser generado por un solo elemento.
Como vimos:
< x >= fxn, n 2 Zg
si la operación es la multiplicación, por lo tanto, podemos decir que G es cíclico, con generador x; si G
es el conjunto formado por las potencias enteras de x:
G = fxn; n 2 Zg
Si la operación es la adición, G es un grupo cíclico, con generador x perteneciente a G; si G es el conjunto
de los múltiplos enteros de x:
hxi = fnx, n 2 Zg
G = fnx; n 2 Zg
Ejemplo 33 (Z, +) es un grupo cíclico generado por 1 y por el �1:
El elemento 1 genera todos los elementos positivos de Z: 1; 1 + 1; 1 + 1 + 1, y así sucesivamente.
Sabemos que el inverso de 1, que es �1 participa en el proceso de generación; y así podemos obtener al 0
como 1 + (�1) y todos los números negativos: �1; (�1) + (�1); (�1) + (�1) + (�1) y así sucesivamente.
Lo mismo con el elemento �1:
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Ejemplo 34 Hallar todos los generadores de (Z6, +):
< 0 >= f0k, k 2 Z = f0g < 1 >= f1k, k 2 Zg = f0; 1; 2; 3; 4; 5g
< 2 >= f2k, k 2 Zg = f0; 2; 4g < 3 >= f3k, k 2 Zg = f0; 3g
< 4 >= f4k, k 2 Zg = f0; 2; 4g < 5 >= f5k, k 2 Zg = f0; 1; 2; 3; 4; 5g
Los generadores de Z6 son 1 y 5: Con esto también seconcluye que Z6 es cíclico.
Ejemplo 35 Probar que (Z�5, �) es cíclico:
< 1 >= f1n, n 2 Z = f1g < 2 >= f2n, n 2 Zg =f1; 2; 3; 4g
< 3 >= f3n, n 2 Zg = f1; 2; 3; 4g < 4 >= f4n, n 2 Z = f1; 4g
Por lo tanto el 3 y el 2 son generadores. Luego Z�5 es cíclico.
7.4. Anillos
Sabemos que un grupo es un sistema algebraico que consta solamente de una operación y que no es
necesario que sea conmutativo. Ahora consideraremos otro objeto algebraico que es un anillo, donde se
tiene un conjunto y dos operaciones.
De�nicion 19 Un anillo es un conjunto R dotado de dos operaciones binarias, que escribiremos + y �
si se cumplen las siguientes leyes:
i. a) (R;+) es un grupo abeliano. Es decir, se cumple que:8>><>>:
8a; b 2 R: a+ b = b+ a
8a; b; c 2 R: (a+ b) + c = a+ (b+ c)
90 2 R : 8a 2 R j a+ 0 = 0 + a = a
8a 2 A; 9 � a 2 A j a+ (�a) = �a+ a = 0
ii. El producto es asociativo: 8a, b, c 2 R: (a � b) � c = a � (b � c)
iii. Se cumplen las propiedades distributivas, es decir: 8a, b, c 2 R: a � (b+ c) = a � b+a � c (distributiva
a izquierda del producto con respecto a la suma)
(b+ c) � a = b � a+ c � a (distributiva a derecha del producto con respecto a la suma)
Se observa que hay dos leyes distributivas y que la segunda operación distribuye sobre la primera.
Esto es porque al producto no se le impone la condición de ser conmutativo.
Es claro que en el caso de que el producto sea conmutativo, los dos tipos de distributividad antes
de�nidos coinciden entre sí.
Comentario 3 La operaciones se representaron con los signos + y �. No deben confundirse con las
operaciones habituales de suma y producto con los números; en todos los casos se deberá respetar la
de�nición que corresponda a cada operación.
De�nicion 20 Si además de las leyes de anillos se cumple la condición adicional de que el producto sea
conmutativo, el anillo se llama conmutativo: es decir 8a; b 2 R: a:b = b:a:
De�nicion 21 Se dice que un anillo tiene identidad, si tiene un neutro para la multiplicación, el cual
denotaremos con 1. Es decir, si existe un elemento, tal que 8a 2 R: a � 1 = 1 � a = a, se dice que R es un
anillo con identidad. El elemento 1 es único.
La de�nición de elemento identidad requiere que ambos a � 1 = 1 � a = a, 8a 2 R:
Hay anillos que no poseen neutro o identidad para la multiplicación.
Comentario 4 Las leyes distributivas, en un anillo funcionan en forma parecida a la aritmética que
estamos acostumbrados en Z, debiendo tener cuidado con los elementos no conmutativos.
(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = a(a+ b) + b(a+ b) = aa+ ab+ ba+ bb
pero esto no es a2 + 2ab+ b2 a menos que ab = ba
También la otra ley conocida, a2 � b2 = (a+ b)(a� b) no siempre es válida.
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Ejemplo 36 (Z;+; �) es un anillo conmutativo con identidad.
Ejemplo 37 (Zn;+; �) con las operaciones de suma y producto módulo n: En particular Z7 es un anillo
conmutativo con identidad 1
Ejemplo 38 El conjunto de los enteros pares bajo las operaciones de suma y producto habituales. Es un
anillo conmutativo, pero no tiene elemento identidad.
7.4.1. Anillos de división
De�nicion 22 Un anillo R con identidad 1, se dice que es un anillo de división si todo elemento, distinto
de cero, perteneciente al anillo es inversible, es decir si sus elementos distintos de cero forman un grupo
bajo la multiplicación.
Ejemplo 39 El anillo Z es un dominio de integridad, el cual no es de división.
Ejemplo 40 Q; R; C son dominios de integridad que además son anillos de división.
7.4.2. Cuerpos
De�nicion 23 Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, con identidad. O sea un anillo conmu-
tativo con identidad (R;+; �) se dice que es un cuerpo si el conjunto R� formado por todos los elementos
de R, excepto el neutro de la suma, es un grupo con respecto a la operación producto.
Notación: Denotamos a un cuerpo con K:
Ejemplo 41 Z3 es un cuerpo.
Ejemplo 42 Q; R; C son ejemplos de cuerpos, con las operaciones habituales de suma y producto.
Ejemplo 43 (Z;+; �) no es un cuerpo, porque los únicos elementos no nulos que admiten inverso multi-
plicativo son 1 y �1.
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