2018-11-10

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2° PARCIAL 
 10-11-2018 
 
 
I II III IV V TOTAL 
20 25 20 25 20 
 
 
APELLIDO Y NOMBRE............................................................................................................................... 
CARRERA: .................................................................................................................................................. 
Realizar un ejercicio por hoja. Trabajar en forma prolija y ordenada. Numerar todas las hojas sobre 
el total de hojas entregadas. En todas las hojas colocar: nombre, apellido y especialidad. 
 
 
Ejercicio 1: (20 puntos) 
a) Calcular un punto del intervalo ]3,1[ en el que la recta tangente a la función 2)( 23  xxxf sea paralela 
a la recta determinada por los puntos A(1;2) y B(3;20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho 
punto? Enunciar el teorema correspondiente. RESOLUCIÓN: 9 – ENUNCIADO: 5 
b) Definir función cóncava hacia abajo en un intervalo. ¿Cómo es )(xf  en ese intervalo? 4-2 
 
 
Ejercicio 2: (25 puntos) 
 Indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justificar analíticamente las respuestas. 
a) Si la función )(xg es continua en ],[ ba y derivable en ),( ba entonces ),( bac tal que .0)(' cg 5-F 
b) Si la función )(xf tiene un punto de inflexión en ))(,( afaPI entonces no existe ).('' af 8 - F 
c) La función )4ln()(
2xxh  tiene un máximo absoluto en su dominio, )4ln(aM en .0x 12 - V 
 
Ejercicio 3: (20 puntos) 
 
a) a1) ¿Qué condición debe cumplir una función para que resulte integrable en ],[ ba ? a2) El resultado de una 
integral definida, ¿puede ser negativo o nulo? Justificar las respuestas. 2-2 
b) Enunciar tres propiedades de la integral definida. 2-2-2 
c) Sean u y v dos funciones derivables. Deducir la fórmula para la integración por partes. 10 
 
 
 
Ejercicio 4: (25 puntos) 
Dada la función :
2
32
)(
23
2
xxx
x
xg


 
a) ¿Qué método de integración aplicarías para hallar la  dxxg )( ? ¿Por qué? 3 - 3 
b) Calcular  dxxg )( 10 
c) Suponiendo que tienes que resolver: 
c1) ,
)(
1
 dxxg
¿podrías usar el método de integración mencionado en el inciso a)? Justificar la respuesta. 5 
c2) 
1
0
)( dxxg ¿qué tipo de integral resulta? ¿Por qué? 2 - 2 
 
 
Ejercicio 5: (20 puntos) 10 - 10 
a) Calcular (si es posible) y graficar el área encerrada por: 1)(  xxf y
.ln)( xxg  
b) En la figura adjunta, la región A rota alrededor del Eje y, la región B 
rota alrededor del Eje x. ¿Los volúmenes de los sólidos de revolución 
generados son iguales? Justificar analíticamente la respuesta. 
Nota: Luego de realizar el planteo del ejercicio, los cálculos de la 
resolución de las integrales se pueden realizar calculadora.