COMPLEMENTO TEMA 8

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I
 TEMA 8
 COMPLEMENTO
AÑO 2016
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
TEMA 8 
COMPLEMENTO 
AÑO 2016 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
 
 
______________________________________
 
 
 
 
CONTACTO DE CURVAS PLANAS
 
Definición: dos curvas tienen contacto en un punto, si y sólo si dicho punto es común a ambas. 
Entonces, si 1C es la representación gráfica de 
de contacto, la condición analítica de contacto será: 
Orden de Contacto entre dos curvas
ser ( ) ( )agaf = es ( ) ('ga'f ≠
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) orden.er
contacto
a"ga"f
a'ga'f
agaf
1




≠
=
=
 
Generalizando: si 
(
(f
f
..........
'f
f
 
Definición: dos curvas representativas de las funciones 
abscisa ax = un contacto de orden 
valor en el punto, siendo distintas las derivadas de orden (
 Tema 8: Sucesiones y Series
 
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CONTACTO DE CURVAS PLANAS 
: dos curvas tienen contacto en un punto, si y sólo si dicho punto es común a ambas. 
es la representación gráfica de ( )xf y 2C la de ( )xg y P
de contacto, la condición analítica de contacto será: ( ) ( ) ayagaf == . 
 
Orden de Contacto entre dos curvas: Si en el punto P de abscisa ax = hay contacto y además de 
( )a se dice que el contacto es de orden cero. Análogamente si es:
de
orden
contacto 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
orden.do
contacto
a'"ga"'f
a"ga"f
a'ga'f
agaf
2







≠
=
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
de
norden
contacto
aga
aga
......................
a'ga
aga
nn
nn









≠
=
=
=
++ 11
 
: dos curvas representativas de las funciones ( )xg y ( )xf tienen en el punto
un contacto de orden n si ambas funciones y sus n primeras derivadas tienen igual 
valor en el punto, siendo distintas las derivadas de orden (n+1). 
x 
 y 
a 
ya 
g(x) 
 C 1 
 C 2 
 P 0 
f(x) 
Tema 8: Sucesiones y Series 
Complemento 
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: dos curvas tienen contacto en un punto, si y sólo si dicho punto es común a ambas. 
( )ay,aP0 es el punto 
hay contacto y además de 
se dice que el contacto es de orden cero. Análogamente si es: 
de
orden
contacto 
tienen en el punto oP de 
primeras derivadas tienen igual 
 
 
______________________________________
 
 
 
 
Propiedad: Puede demostrarse que si el orden de contacto es 
punto: si es impar las curvas no se atraviesan en el punto de contacto.
 
EJEMPLO 1: Determinar el orden de contacto de 
( ) xsenxf 3= 
( ) xcosxsenx'f 23= 
 ( ) 00 ='f 
( ) xsenxcosxsenx"f 32 36 −= 
 ( ) 00 ="f 
( ) −−= xcosxsenxcosx'"f 23 9126
 xcosxsenxcos 23 216 −= 
 ( ) 60 ='"f 
( ) xsenxsenxcosxf iv 2 4218 −−=
 ( ) 00 =ivf 
( ) +−= xsenxcosxcosxf v 23 3618
 xsenxcosxsen 22 6384 ++
 ( ) 600 −=vf 
 
 
 
 
Veremos ahora como se resuelve el problema de cierta manera, inverso al punto anterior. 
Dada una función ( )xf y un punto 
contacto de orden cualquiera en 
de contacto de orden n con f (x) en 
general de un polinomio en potencias de (
está dado por: 
( )n xP =
Como nuestra intención es que el polinomio tenga, con la función, un contacto de orden 
que no cualquier juego de coeficientes 
x 
 y 
a 
f(a)=g(a) 
g(x) P 0 
f(x) 
Orden cero 
 Tema 8: Sucesiones y Series
 
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: Puede demostrarse que si el orden de contacto es par, las curvas se atraviesan en el 
las curvas no se atraviesan en el punto de contacto. 
: Determinar el orden de contacto de ( ) xsenxf 3= ∧ ( ) xxg =
( ) 3xxg = 
( ) 23xx'g = 
 ( ) 00 ='g son iguales, debemos proseguir
( ) xx"g 6= 
 ( ) 00 ="g son iguales, debemos derivar 
nuevamente 
=xcosxsen29 ( ) 6=x'"g 
 ( ) 60 ='"g son iguales, debemos proseguir
xsenxcosx 32 21+ ( ) 0=xg iv 
 ( ) 00 =ivg son iguales, debemos proseguir
+− xcosx 342 
xcosx 
( ) 0=xg v 
 ( ) 00 =vg Son distintas, entonces el 
orden de contacto
curvas se atraviesan en el 
punto de abscisa
POLINOMIO DE TAYLOR 
Veremos ahora como se resuelve el problema de cierta manera, inverso al punto anterior. 
y un punto ax = debemos encontrar otra función que tenga con 
quiera en ax = . Dicha función será polinómica y se denominará 
) en x=a, o simplemente Polinomio de Taylor de
polinomio en potencias de (x – a) con coeficientes indeterminados 
( ) ( ) ( )n axbaxbaxbb −++−+−+= L2210
Como nuestra intención es que el polinomio tenga, con la función, un contacto de orden 
que no cualquier juego de coeficientes vi permitirá que esto suceda. Por lo tanto, determ
 y 
f(a)=g(a) 
x 
 y 
a 
f(a)=g(a) 
g(x) 
 P 0 
f(x) 
IMPAR 
Tema 8: Sucesiones y Series 
Complemento 
______________________ 
 
, las curvas se atraviesan en el 
3x en 0=x . 
son iguales, debemos proseguir 
son iguales, debemos derivar 
son iguales, debemos proseguir 
son iguales, debemos proseguir 
Son distintas, entonces el 
contacto es 4 y las 
curvas se atraviesan en el 
abscisa x = 0 
Veremos ahora como se resuelve el problema de cierta manera, inverso al punto anterior. 
debemos encontrar otra función que tenga con ( )xf un 
. Dicha función será polinómica y se denominará Polinomio 
Polinomio de Taylor de f (x). La forma 
coeficientes indeterminados bi y grado n 
)n 
Como nuestra intención es que el polinomio tenga, con la función, un contacto de orden n, es obvio 
tanto, determinemos los 
x a 
g(x) P 0 
f(x) 
PAR 
 
 
______________________________________
 
 
valores de los coeficientes bi de manera tal que 
ax = . Deberá ser entonces: 
 ( ) faPn =
 ( )a'Pn =
 ( )a"Pn =
 ( ) faPn "' =
Generalizando: ( ) ( )aP nn =
Los primeros miembros valen: 
 
( ) 0baPn = ( 1’) 
 
( ) ( ) 321' 2. +−+=n baxbbxP
 
( ) ( )32" 2.3.2 +−+=n axbbxP
 ( ) 2" 2baP n = (3’
 
( ) (43 23423 −+='"n ax...bb.xP
( ) 323 b.aP '"n = (4’) 
Los primeros miembros de (1) ∧ 
 
( )afb =0 ; ( )a'fb =1 ; b2 =
Reemplazando los bi en la expresión general de 
 
( ) ( ) ( ) ( )' faxafafxPn +−+=
 
EJEMPLO 2: Hallar el Polinomio de Taylor de 
 
( ) xlnxf = 
( ) 11 −== x
x
x'f ; ( ) 2−−= xx"f
( ) 01 =f ; ( ) 11 ='f ; ( )1 −="f
 
( ) ( ) ( ) (
!
x
!
x
xxP
3
1
2
2
1
1
2
5
−
+
−
−−=
( ) ( ) ( ) ( )
3
1
2
1
1
32
5
−
+
−
−−=
xx
xxP
 
 Tema 8: Sucesiones y Series
 
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de manera tal que Pn (x) tenga con ( )xf un contacto de orden 
( )af ( 1 ) 
( )a'f ( 2 ) 
( )a"f ( 3 ) 
( )af "' ( 4 ) 
( ) ( )af n= 
( ) ( ) 12 .3. −−++− nn axnbax L de donde P
( ) ( ) ( )24 1.3.4. −−++−+ nn axnnbaxb L
’ ) 
) ( ) ( ) (25 21345 −−++−+ n n.nn.bax...ba L
 (1’); (2) ∧ (2’); (3) ∧ (3’); (4) ∧ (4’) son iguales, luego es: 
( )
!
a"f
2
= ; 
( )
!
a'"f
b
33
= y generalizando será: 
en la expresión general de Pn (x) es: 
( ) ( ) ( )( ) ( )
!!2
"
2
n
ax
af
ax
af
n
n −++− L 
Polinomio de Taylor de 
(f
x =
Hallar el Polinomio de Taylor de ( ) xlnxf = de orden 5 en =x
 ; ( ) 32 −= xx'"f ; ( ) 46 −−= xxf iv ; f v
1− ; ( ) 21 ='"f ; ( ) 61 −=ivf ; ( )1 =vf
) ( ) ( )
!
x
!
x
5
1
24
4
1
6
1 543 −
+
−
− finalmente es
( ) ( )
5
1
4
1 543 −
+
−
−
xx
 
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Complemento 
______________________ 
un contacto de orden n en 
( ) 1ba'P n = (2’) 
2−n de donde 
)( ) 32 −− nax de donde 
(4’) son iguales, luego es: 
y generalizando será: 
( )( )
!n
af
b
n
n = 
Polinomio de Taylor de 
( )x de orden n en 
a= . 
1= . 
( ) 524 −= xx 
24= 
finalmente es 
 
 
______________________________________
 
 
 
POLINOMIO DE MC LAURIN
 
Si el punto de contacto es de abscisa nula, esdecir 
de x y se denomina Polinomio de Mc Laurin
 
( )xPn =
 
EJEMPLO 3: Hallar el polinomio de Mc Laurin de 
( ) xexf = 
( ) ( ) ( ) (iv xfx'"fx"fx'f ===
( ) ( ) ( ) ( )0000 ==== '"f"f'ff
( )
!
x
!
x
!
x
xxP
432
1
432
4 ++++= 
Observar que el polinomio de contacto de orden 2 es:
y el de orden 3: ( ) xxxP
2
13 ++=
Sus correspondientes gráficas y las de la función son las siguientes.
 
 
 
Se desprende que a medida que el polinomio de contacto es de orden mayor, el acercamiento con la 
gráfica representativa de la función es también mayor en las inmediaciones del punto 
 
Observación: de las gráficas de los ejemplos podemos apreciar como el 
función ( )xf en los alrededores del punto de contacto a medida que crece 
para valores de n convenientes es 
 
EJEMPLO 4: Queremos hallar un 
a = 0. 
 
 
Calculemos los coeficientes: 
( ) xtgxf = 
P 2 
ex
P 3
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POLINOMIO DE MC LAURIN 
Si el punto de contacto es de abscisa nula, es decir 0=a , el polinomio de contacto es en potencias 
Polinomio de Mc Laurin de ( )xf de orden n. Su expresión es:
( ) ( ) ( ) ( )( )
n
x
f
!
x
"fx'ff n 0
2
000
2
++++ L
: Hallar el polinomio de Mc Laurin de ( ) xexf = de orden n = 4.
) xe= 
( ) 10 =ivf 
Observar que el polinomio de contacto de orden 2 es: ( )
!
x
xxP
2
1
2
2 ++= 
!
x
! 3
32
+ 
 
Sus correspondientes gráficas y las de la función son las siguientes. 
 
Se desprende que a medida que el polinomio de contacto es de orden mayor, el acercamiento con la 
gráfica representativa de la función es también mayor en las inmediaciones del punto 
: de las gráficas de los ejemplos podemos apreciar como el 
en los alrededores del punto de contacto a medida que crece 
convenientes es ( ) ( )xPxf n≅ para valores de x próximos a 
Queremos hallar un Pn (x) que tenga con ( ) xtgxf = un contacto de orden 3 en 
00 =b 
x
y
3 
Tema 8: Sucesiones y Series 
Complemento 
______________________ 
, el polinomio de contacto es en potencias 
. Su expresión es: 
!n
x n
 
= 4. 
 
Se desprende que a medida que el polinomio de contacto es de orden mayor, el acercamiento con la 
gráfica representativa de la función es también mayor en las inmediaciones del punto a. 
: de las gráficas de los ejemplos podemos apreciar como el Pn (x) se acerca a la 
en los alrededores del punto de contacto a medida que crece n. Puede decirse que 
próximos a a. 
un contacto de orden 3 en 
 
 
______________________________________
 
 
( ) xsecx'f 2= 
( ) xtg.xsecx"f 22= 
( ) secxtg.xsecx'"f 22 24 +=
Entonces: ( ) 33 3
1
xxxP += 
Construyamos las gráficas de la función y el polinomio:
 
 
 
 
Sea ( )xf una función continua, con derivadas hasta el orden 
ax = y existe la derivada de orden 
El único punto de contacto entre 
para todo otro punto del ( )aE r e
 
aumentando el orden de contacto.
 
De (1) obtenemos ( ) ( )xPxf n=
 
( ) ( ) ( ) ( axafafxf −+= '
 
f(x) 
y
f(a) 
Pn(x)
a 
P0
y
x 
P 3 
tg x 
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1021 == secb 
0
2
002 2
2 == !
tg.sec
b 
xsec4 
3
2004 22
3
+
=
sectg.sec
b
Construyamos las gráficas de la función y el polinomio: 
Como se observa, las curvas se cruzan en el origen de 
coordenadas lo cual implica que el contacto sería de orden par. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÓRMULA DE TAYLOR 
una función continua, con derivadas hasta el orden n también continuas en un entorno de 
y existe la derivada de orden n + 1 en el mismo entorno. 
El único punto de contacto entre ( ) ( )xPxf n∧ en un entorno de a , es precisamente el punto 
es ( ) ( )xPxf n≠ . 
 
Sea ( )xPn el polinomio de Taylor de 
orden n en ax = . 
Designemos con ( )xRn la diferencia entre los 
valores de la función y su polinomio de contacto 
en un punto x próximo a a. 
( ) ( ) ( )xPxfxR nn −= 
( )xRn es una función de x
varía con la posición del punto 
punto a. Para un valor fijo x 
( )xRn disminuya aumentando 
 
aumentando el orden de contacto. 
) ( )xRn+ y desarrollando el polinomio (xPn
) ( ) ( )
( ) ( ) (
n
axafaxaf
a
n −++−+
!!2
" 2
L
x
y=f(x) 
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Complemento 
______________________ 
3
1
6
204 ==
sec
 
Como se observa, las curvas se cruzan en el origen de 
coordenadas lo cual implica que el contacto sería de orden par. 
también continuas en un entorno de 
, es precisamente el punto 0P ; 
 
el polinomio de Taylor de ( )xf de 
la diferencia entre los 
valores de la función y su polinomio de contacto 
 
 ( 1 ) 
x puesto que su valor 
varía con la posición del punto x con respecto al 
x podemos hacer que 
disminuya aumentando n, es decir, 
)x : 
) ( )xRa n
n
+ ( 2 ) 
 
 
______________________________________
 
 
Expresión que recibe el nombre de 
( )xRn es el término complementario o resto.
 
 
 
( ) ( ) ( )
!n
axaf nn −
 se denomina 
 
Observación: En la fórmula de Taylor la elección del punto 
que en él, tanto la función como sus 
fácil y exacto cálculo. 
 
Forma de Lagrange del término complementario
 
Para valores de x próximos a a y 
decir, ( )xR n es pequeño. Podemos decir que para valores de 
 
Es evidente que si calculamos el valor de una función en 
polinomio de contacto ( )( Pxf ≅
 
 
Es importante entonces encontrar una expresión analítica para 
al menos acotarlo. Esto fue lo que hizo Lagrange y obtuvo la expresión analítica de 
conocida como forma de Lagrange del término complementario
 
 ( )
( ) ( ) ( )
( )!1
11
+
−=
++
n
axcf
xR
nn
n 
 
xca << ó acx << . 
 
La fórmula de de Taylor queda entonces
 
( ) ( ) ( ) ( )axa'fafxf +−+=
donde xca << ó acx << . 
 
Puede observarse que ( )xR n tiene la misma estructura que los restantes términos de la fórmula 
con la sola diferencia de tomar la derivada en el punto 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ).xPxfxR nn −=
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Expresión que recibe el nombre de Fórmula de Taylor de ( )xf con centro en 
es el término complementario o resto. 
se denomina término general de la fórmula. 
: En la fórmula de Taylor la elección del punto ax = es de suma importancia, puesto 
que en él, tanto la función como sus n derivadas, deberán ser no sólo continuas, sino también de 
Lagrange del término complementario 
y n convenientemente grande, hemos visto que es 
es pequeño. Podemos decir que para valores de n crecientes, R
Es evidente que si calculamos el valor de una función en algún punto del 
( ) )xPn estamos cometiendo un error el cual está dado por:
Es importante entonces encontrar una expresión analítica para ( )xRn para poder, sino calcularlo, 
al menos acotarlo. Esto fue lo que hizo Lagrange y obtuvo la expresión analítica de 
forma de Lagrange del término complementario. 
 Forma de Lagrange del resto ó término complementario, 
La fórmula de de Taylor queda entonces 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!n
axaf
!
axa"f n
2
2 −
++
−
+ L
tiene la misma estructura que los restantes términos de la fórmula 
con la sola diferencia de tomar la derivada en el punto c que es interior al [ x,a
FÓRMULA DE MC LAURIN 
Tema 8: Sucesiones y Series 
Complemento 
______________________ 
con centro en ax = , donde 
es de suma importancia, puesto 
derivadas, deberán ser no sólo continuas, sino también de 
convenientemente grande, hemos visto que es ( ) ( )xPxf n≅ es 
( ) 0→xR n . 
algún punto del ( )aE r mediante su 
estamos cometiendo un error el cual está dado por: 
para poder, sino calcularlo, 
al menos acotarlo. Esto fue lo que hizo Lagrange y obtuvo la expresión analítica de ( )xRnForma de Lagrange del resto ó término complementario, 
) ( ) ( ) ( )
( ) !n
axcf nnn
1
11
+
−
+
++
tiene la misma estructura que los restantes términos de la fórmula 
]x . 
 
 
______________________________________
 
 
Si en la fórmula de Taylor tomamos 
( ) ( ) ( ) (fxffxf ++=
2
0"
0'0
,0<< cxó que es la Fórmula de Mc Laurin 
 
En este caso, ( )
( ) ( )
( )1
1
+
=
+
n
cf
xR
n
n
Si deseamos calcular aproximadamente el valor de una función en un punto determinado 
convendrá elegir como a el punto más próximo a 
sean de fácil cálculo. ¿Cuáles son los motivos para elegir el punto 
 
EJEMPLO 5: Hallar la fórmula de Taylor de la función 
expresión del resto. (Aprovechar el ejemplo 2 del polinomio de Taylor). También hallar la fórmula 
de Taylor con expresión del resto para un 
término ( 5=n ) para calcular (ln
 
( ) 51 === n;a;xlnxf 
( ) xlnxf = 
( ) 11 −== x
x
x'f 
( )
2
1
x
x"f −= 
( ) ( ) ( )
3
21
x
x'"f
−−
= 
( ) ( ) ( ) ( )
4
321
x
xf iv
−−−
= 
…………………………… 
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
n
x
!n
xf
11 1 −−
=
−
 
( ) ( ) ( )
1
1 1
+
+ −=
n
n
n
x
!n
xf 
( ) ( )
!
x
xxln
2
2
11
110
2
+
−
−−+≅
Simplificando es: 
( ) ( )
3
1
2
1
1
32 −
+
−
−−≅
xx
xxln
La expresión de Taylor para un n
( ) ( )xx
xxln
3
1
2
1
1
32 −
+
−
−−=
Simplificando es: 
 Tema 8: Sucesiones y Series
 
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Si en la fórmula de Taylor tomamos 0=a nos queda: 
) ( ) ( ) ( ) ( )
( )n
xcf
n
xfx nnnn
+
+++
++
;
!1!
0
!2
0 112
L
órmula de Mc Laurin de ( ).xf 
)
) ,!
1+x n
con xc <<0 ó .0<< cx 
Si deseamos calcular aproximadamente el valor de una función en un punto determinado 
el punto más próximo a 1x donde la función y sus 
Cuáles son los motivos para elegir el punto a lo más próximo a 
: Hallar la fórmula de Taylor de la función ( ) xlnxf = en =a
expresión del resto. (Aprovechar el ejemplo 2 del polinomio de Taylor). También hallar la fórmula 
de Taylor con expresión del resto para un n cualquiera. Utilizar la fórmula obtenida en primer 
( )21, . 
 
( ) 01 =f 
( ) 11 ='f 
( ) 11 −="f 
( ) 21 ='"f 
( ) 61 −=ivf 
………………….. 
( ) ( ) ( ) ( )!nf nn 111 1 −−= − 
( ) ( ) ( )
1
1 1
+
+ −=
n
n
n
c
!n
cf 
( ) ( ) ( )
!
x
!
x
!
x
5
124
4
16
3
12 543 −
+
−
−
−
 
( ) ( )
5
1
4
1 54 −
+
−
−
xx
 (1) 
Fórmula de Taylor de 
( ) xlnxf =
n cualquiera: 
( ) ( ) ( ) ( ) (
c
!n
!n
x
c
!n
n
nn
n
n 1111
1
1 −
+
−−−
+− +
−
L
Tema 8: Sucesiones y Series 
Complemento 
______________________ 
xc <<0 
Si deseamos calcular aproximadamente el valor de una función en un punto determinado 1x , 
donde la función y sus n primeras derivadas 
lo más próximo a 1x ? 
1= y para 5=n con la 
expresión del resto. (Aprovechar el ejemplo 2 del polinomio de Taylor). También hallar la fórmula 
cualquiera. Utilizar la fórmula obtenida en primer 
Fórmula de Taylor de 
x en 1=a con 5=n 
( )
( )!n
x n
1
1 1
+
− +
 
 
 
______________________________________
 
 
( ) ( )xx
xx
3
1
2
1
1ln
32 −+−−−=
Si utilizamos la fórmula obtenida en (1) para calcular 
( ) ( ) (0
2
121
12121
2,
,,ln +
−
−−≅
El error que cometemos está dado por 
 
EJEMPLO 6: Hallar la fórmula de Mc Laurin de la función 
( ) 40 === n;a;exf x 
( ) xexf = 
( ) xex'f = 
( ) xex"f = 
…………………………… 
( ) ( ) xn exf = 
( ) ( ) xn exf =+1 
!
x
!
x
!
x
xe x
432
1
432
++++≅ (1) 
 
Para un n cualquiera es: 
!4!3!2
1
432
++++++≅ xxxxex L
Utilizando (1) para calcular e es 
712
24
1
6
1
2
1
21 ,e ≅+++≅ 
 
 
SERIE DE TAYLOR Y DE MC LAURIN
 
Si ( )xf es una función que admite derivadas de todos los órdenes en un intervalo que contiene al 
punto ax = , entonces la serie de potencias centrada en 
necesariamente, aquellas cuyos coeficientes se
Taylor en ax = , es decir 
f
bn =
ax = . 
 
 Tema 8: Sucesiones y Series
 
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( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
44 344 21
L
xR
n
n
nnn
n
n
x
cnc
x
1
11!11 1
1
1
+
−−+−−+−
+
+
−
Si utilizamos la fórmula obtenida en (1) para calcular ( )21,ln 
) ( ) ( )
182330
5
20
4
20
3
20 543
,
,,,
=+− 
El error que cometemos está dado por ( )xR5 
: Hallar la fórmula de Mc Laurin de la función ( ) xexf = ∧ =n
 
( ) 10 0 == ef 
( ) 10 ='f 
( ) 10 ="f 
………………….. 
( ) ( ) 10 =nf 
( ) ( ) cn ecf =+1 
 es la fórmula de Mc Laurin de ( ) xexf =
( ) 0;!1!
1
<<<<
+
++
+
cxóxce
n
x
n
x c
nn
 
SERIE DE TAYLOR Y DE MC LAURIN 
es una función que admite derivadas de todos los órdenes en un intervalo que contiene al 
, entonces la serie de potencias centrada en ax = que la representa será, 
necesariamente, aquellas cuyos coeficientes sean los coeficientes del polinomio de contacto de 
( )
!n
af n
, y se la denomina Serie de Taylor de 
Tema 8: Sucesiones y Series 
Complemento 
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(2) 
 
xca << ó 
acx << 
 
4= . Calcular e. 
con 4=n 
0< 
es una función que admite derivadas de todos los órdenes en un intervalo que contiene al 
que la representa será, 
an los coeficientes del polinomio de contacto de 
de ( )xf con centro en 
 
 
______________________________________
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) +=−=∑
∞
=
afax
!n
af
xf n
n
n
0
 
(Expresado en una manera no formal la serie de Taylor vendría a ser como un polinomio de 
contacto de Taylor con infinitos términos).
 
 
Condición de convergencia de la serie de Taylor / Mc Laurin
 
La igualdad (3) es válida para aquellos valores de 
 
a) x ∈ intervalo de convergencia
 
 b) ( ) 0=
∞→
xRlím n
n
 
 
 
Queda claro que si ( ) =
∞→
xRlím n
n
de convergencia. 
 
La serie puede ser convergente y el 
valores de la función y se dice que la función no se desarrolla en serie de Taylor.
 
Caso particular: si la serie está centrada en 
 
 
Las funciones que pueden ser desarrolladas en series de potencia se denominan “analíticas”.
 
 
 
 
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 Tema 8: Sucesiones y Series
 
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−+−+−+
!
axa'"f
!
axa"f
axa'f
32
2
 
(Expresado en una manera no formal la serie de Taylor vendría a ser como un polinomio de 
de Taylor con infinitos términos). 
Condición de convergencia de la serie de Taylor / Mc Laurin 
La igualdad (3) es válida para aquellos valores de x que cumplen las dos condiciones siguientes:
intervalo de convergencia 
donde ( )xRn es el resto ó término complementario de la 
fórmula de Taylor correspondiente a (xf
 
0 ⇒ la serie converge a la función ∀ x que pertenece al intervalo 
La serie puede ser convergente y el ( )xRn no tender a cero, en tal caso la serie no converge a los 
valores de la función y se dice que la función no se desarrolla en serie de Taylor.
: si la serie está centrada en 0=a se denomina Serie de Mc Laurin
( ) ( ) ( ) n
n
n
x
!n
f
xf ∑
∞
=
=
0
0
 
Las funciones que pueden ser desarrolladas en series de potencia se denominan “analíticas”.
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Prof. Mercedes Moreno Díaz en base a los Apuntes de la Cátedra 2014
Tema 8: Sucesiones y Series 
Complemento 
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( ) ( ) ( )
LL +−+
!n
axaf nn3(3) 
(Expresado en una manera no formal la serie de Taylor vendría a ser como un polinomio de 
que cumplen las dos condiciones siguientes: 
es el resto ó término complementario de la 
)x con centro en ax = 
 
que pertenece al intervalo 
no tender a cero, en tal caso la serie no converge a los 
valores de la función y se dice que la función no se desarrolla en serie de Taylor. 
Serie de Mc Laurin de ( )xf . 
Las funciones que pueden ser desarrolladas en series de potencia se denominan “analíticas”. 
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Elaboración: 
 
Díaz en base a los Apuntes de la Cátedra 2014