Matemática con Mathematica

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Reuisitin de ltls dislinltls
Ctlniunftls numérictls
Tema 1: Números Naturales
Tema 2: Números Enteros
Tema 3: Números Racionales
Tema 4: Números Irracionales
Tema.S: Números Reales
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Tema 6: Números Complejos
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Introducción Teórica-
Ejercitación.-
Autoevaluación.-
Estudio con Mathematica.-
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TEMA 1: LOS NÚMEROS NA'fURAbE8- 1"--- f
Los Números Naturales son O. 1,2, 3,A •...,....
Al Conjunto de los Números Naturales lo simbolizamos con N
Expresándolo con Notación Conjuntista: N = { O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...,... }
Qué observamos?
1) Se parte de O ( cero ).
2) La sucesión no termina ni se ramifica.
J.) Tampoco se cierra sobre si misma.
4) No tiene puntos de confluencia.
5) No hay Números Naturales intercalados entre los de la sucesión.
Los conceptos primitivos son tresr
1) El conjunto N.
2) El objeto matemático O ( cero ).
3) Una relación en N.
Estos se vinculan entre sí por axiomas
1) El O EN.
2) Si x E N, existe y es único el siguiente de x E N ,0 sea: sig ( x) E N.
3) 'r:/ x E N se verifica que sig ( x ) :;:.O.
4) Si sig ( x) = sig ( y ) => x = y.
5) Si A es un subconjunto de N=>( aplicando el principio de Inducción
Completa) A e N y verifica que O EA.
x E A => sig ( x ) E A ( según 2 ) => A = N o sea:
todos los Números Naturales pertenecen al conjunto A.
OPERACIONES QUE VINCULAN A LOS NÚMEROS NATURALES
- PROPIEDADES -
Adición
Defirúción: 1) m + O = m
2) m + sig n = sig (m + n).
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
Las Propiedades que verifica la Adición de Números Naturales son:
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Clausura: v m /\ Vn E N ~ (m + n) E N
( se aplica el Principio de Inducción Completa para demostrarlo )
- si n = O
-m+O=m
- para n = h
H) m + h E N
T) m + sig ( h ) E N
m + sig ( h ) = sig ( m + h )
como m + h E N ~ ( por H )
sig (m + h) E N
con mEN
m+hEN
Asociativa: V m ; V n /\ V P E N : m + ( n + p ) = ( m 4- n ) + P
Existencia del Elemento Neutro:Vm E N: m + O = m /\ O + m = m
Conmutativa: m + n = n + m ; V m /\ V n E N
---,,'
Cancelativa: V m, V n /\ V P E N: m + n = m + p ~ n = p
Sustracción
Definición: V m /\ V n E N la sustracción solo es posible si m ¿ n
Es decir: m-n solo es posible si m ¿ n
l.~:_n = b <=> m ~n_~~_~_~ E N,
Esto nos dice que la sustracción es la operación inversa de la adición
....:_,./ Dado m-n = b
m se llama minuendo.
n se llama sustraendo.
b se llama diferencia entre m y n.
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Si m = n la diferencia es cero
Ejemplos: 9 - 7 = 2
5 - 1 = 4
2 - 5 =
pues' 9 = 7 + 2
pues 5 = 1 + 4
no tiene solución en N
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
Vm, \;j n 1\ \;j P E N tenemos las siguientes propiedades
m-n "* n-m No es Ccinmutativa
( m-n ) - p "* m - ( n - p ) No es Asociativa
Suma A1gebraica
Definición: Una Suma Algebraica de Números Naturales es una sucesión
de sumas y restas '
Ejemplo: 12 - 3 + 8 - 4 + 2
- -La-Suma-AIgebraica se puede plantear como una sustracción cuyo
minuendo es la suma de los términos positivos y cuyo sustraendo es la
suma de los términos negativos.
o sea que: 12 - 3 + 8 - 4 + 2 = ( 12 + 8 + 2 ) - ( 3 + 4 )
= 22 - 7
= 15
Ejemplo: 10 + 6 - 3 - 2 = ( 10+ 6 ) - ( 3 + 2 )
= 16 - 5
= 11
Transposición de términos: m-n=b<::::>m=n+b
Vemos que cualquier término de un miembro de una igualdad puede pasarse al
otro miembro con el signo que le precede cambiado.
Ejemplo: x + 2 = 7
Si transpongo 2 del primer miembro al segundo miembro resulta:
x = 7 - 2
x=5
Observación: En el ejemplo anterior x representa un número no conocido.
A x la llamamos incógnita. .
La expresión: x + 2 = 7 es UÍ1aecuación, pues figura en ella un
término no conocido.
x = 5 recibe el nombre de raíz de la ecuación y al despejar x
hemos resuelto la ecuación.
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Numeras Naturales -
Ejemplo: x - 2 = 4
x=4+2
x=6
ecuación
transponemos
es la solución de la ecuación dada.
Eliminación de paréntesis: De las propiedades de la adición y sustracción
vemos que:
m+(n+p)=m+n+p
m+(rt-p) =m+n-p
m -(n+p)=m-n-p
m -(n-p) =m-n+p
• Todo paréntesis .precedido por el signo + puede eliminarse. Los
términos que están dentro del paréntesis quedan con los signos que
-tenían;-
• Todo paréntesis precedido por el signo - puede eliminarse. Los términos
que están dentro del paréntesis cambiar los signos que tenían.
Ejemplos: 8+(5-2)=8+5-2= 13-2= 11
9- ( 5 - 1 ) = 9 - 5 + 1 = 9 + 1 - 5 = 5
12 + ( 6 + 3 ) = 12 + 6 + 3 = 21
13 - ( 2 - 1 + 3 - 5 ) = 13 - 2 + 1 - 3 + 5 = 14
6+(2+3)=6+2+3=11
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales
Siguiendo con el estudio de las operaciones que vinculan a los Números
Naturales:
Producto
Detinición:m x O = O
m x sig o = m (o +1) = m n + m Vm 1\ Vn E N
Las principales propiedades que satisfacen los Números Naturales son:
Clausura: V m 1\ V n E N: m x n E N
Conmutativa: V m E IV 1\ V n E N: m x n = n x m
El orden de los factores no altera el producto.
Existencia, del Elemento Neutro: V m E N: m x 1 = m v 1 x m = m
Distributiva: V m; V n 1\ V P E N:
m ( n + p ) = m n + m p a la izquierda
(m + n ) p = m p + n p a la derecha
m(o-p)=mo-mpl\(m-o)p=mp-np
Asociativa: vm: Vn 1\ Vp E N : ( m n) p = m ( o p)
Observación: V m 1\ vn E N
m e O => m>O
ln4--0 :::::> 111 + n >0
m+n=O =::- m=n=O
mxn=O"n;t.O:::::> m=O
m ;t. O 1\ n ;t. O => m x n ;t. O
Observación: m x n = m + m + ... + m
n veces
Ejemplo: 3 x 4 = 3 + 3 +3 + 3 = 12
nxm=n+n+ ... +n
m veces
4 x 3 = 4 + 4 + 4 = 12
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales
Múltiplos: Se llama múltiplo de W1 Número Natural n al producto de n ppr
cualquier Número Natural.
Ejemplo: 5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
O sea que 5; 10; 15 son múltiplos de 5.
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Factor común: p m + p q + P n - P s = P ( m + q + n-s )
En la suma algebraica planteada en todos los términos figura como factor el
natural p. Se dice que p es factor común de todos los sumandos.
Si lo escribo multiplicando al paréntesis que encierra a todos los sumandos he
extraído el factor común p.
Ejemplo: 3m+3n+3s-3q=3(m+n+s-q)
Ejemplo: 8a-3a+6a-4a=a(8-3+6-4)
=a[(8+6)-(3+4)]
= a [ 14 - ( 7 ) ]
= a [ 14 - 7 ]
=7a
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Producto de dos sumas: Dado: ( p + q + s ) x ( m + n) =
operando resulta: = ( p + q + s ) x m + ( P + q + s ) x n =
aplicando Propiedad Distributiva: = p m + q m + s m + p n + q n + s n
Observamos que para multiplicar dos sumas de Números Naturales se
multiplica cada sumando del multiplicador por todos los del
multiplicando, haciendo luego las sumas parciales.~
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Producto de dos diferencias: Dado: ( p - q ) x ( m-n ) =
operando resulta: = ( p - q ) x m - ( p - q )x n =
aplicando Propiedad Distributiva: = p m - q m - ( p n - q n )
eliminando el paréntesis precedido por el signo ( - )
= p m - q m - p n +q n
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales
Observamos que para multiplicar dos diferencias de Números Naturales
se multiplica cada sumando del multiplicador por cada término del
multiplicando, precediendo con el signo ( + ) a todos los productos cuyos
factores tienen igual signo y precediendo con el signo ( - ) a todos los
productos c-uyos factores tienen distinto signo.
Producto- de tma suma por una diferencia:
Dado: t P- + q )-x ( m -.n )-.=- t p + q )-x m - (JJ +q )-x n
=p m t qm v rp n r q n )
=pm+qm-pn-qn
Sigue la mis-ma regla que el caso- anterior.
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Definición: Vm, Vn /\ Vp E N
Se dice-que-p-es-etcociente exactoentre m yrr-cerrr=rprr-
Simbólicamente: m : n = p <=> m = p n
m se denomina dividendo
n se denomina divisor
p se denomina cociente
Ejemplo: ~ = 3 pues: 15 = 3 x 5 ; también lo podemos5-
expresar de otta manera: 15. + 5 = 3 pues: 15 =J x-5
Paf& que la divisiOO-en N se pBeGtt.realizar debe- ser ehftvieemle- ~ipID ael
divisor, es decir:
16 : 4 = 4
r 6 : J = sin solución en N, pues 16 no es rnúltiplo de J
Si el divisor es 1 el cociente es igual al dividendo, es decir.
m: 1 =m
Propiedades-de {a División de Números Naturales:
m: n:l: n : m No es conmutativa
( m : n) : s :1: m : ( n : s ) No es asociativa
10
Ejemplo: ( 15 + 6 - 9 ) : 3 = 15 : 3 + 6 : 3- 9 : 3
=5+2-3
= 4 +--- Bien
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos- - Números Naturales
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La división con respecto a una Suma Algebraica es distributiva solamente a
la derecha.
Es decir: ( m + n - p ) : s = m : s + n : s - p : s
s:(m+n-p)-:t:s:m+s:n-s:p
Ejemplo: 90 : ( 3 + 9 - 6 ) = 90 : 6 = 15 +--- Bien
90 90 90
90:J 3 + 9 - 6 ) -:t:3 + 9-6
90 90 903 + 9-6 = 30 + 10 - 15 = 40 - 15 = 25 +--- Mal
El error se comete al aplicar la propiedad distributiva a la izquierda.
Ejemplo: ( 14 + 8 - 6 + 2 ) : 2 =
Aplicando Propiedad Distributiva:
14 : 2 + 8 : 2 - 6 : 2 + 2: 2 = 7 + 4 - 3 + 1 = 9 +--- Bien
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Ejemplo: 60 : ( 2 + 4 - 3 ) -:t:60 : 2 + 60 : 4 - 60 : 3 ( paso incorrecto)
Se debe resolver así:
60 : ( 2 + 4 - 3 ) = 60 : ( 3 ) = 20 +--- Bien
Pasaje de divisores y factores de un miembro a otro de una igualdad:
Al definir cociente dijimos que: m: n = p <=> m = n p
Esto nos lleva a la conclusión que: un Número Natural que-esta como factor
en un miembro de una igualdad puede transponerse al otro miembro
como divisor y un Número Natural que esta como divisor en un miembro
pasa al otro como factor.
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Ejemplo: Resolver: 2 x = 6
El 2 que es factor en el primer miembro pasa al segundo como divisor.
Luego: x = 6 : 2
x=3
1\
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Ejemplo: Resolver: 5x + 2 = 7x - 6
Si transponemos 6 al primer miembro:
5x + 2 + 6 = 7x
Si transponemos 5x al segundo miembro:
8 = 7x- 5x
8 = 2x
El 2 es un factor en el segundo miembro, luego puede pasar al primer miembro
como divisor:
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales
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8: 2 = X
4=x => x=4
Ejemplo: Resolver: 6x - 5 = 2x + 15..
Transponemos 5 al segundo miembro
6x = 2x + 15 + 5
6x= 2x + 20
Transponemos 2x al primer miembro
6x - 2x = 20
4x= 20
El 4 es un factor en el primer miembro, luego pasa al segundo miembro como
divisor:
X = 20: 4
x=5
12
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
1 Potenciación f
----, -------
Definición: Va 1\ Vn E N si hacemos el producto de varios factores iguales al
Número Natural a , resulta: a x a x a x a x ... x a
n factores
El producto de los n factores iguales se simboliza: a"
Es decir: a x a x a x a x ... x a = a" con n z 2
Ejemplos: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
3 x 3 x 3 x 3 = 34
!
a x a = a-
a x a x a = a3
26 ( se lee dos elevado a la sexta)
34 ( se lee tres elevado a la cuarta )..,
a- ( se lee a elevado al cuadrado)
a3 ( se lee a elevado al cubo)
a'' ( se lee a elevado a la n-ésima potencia)
En a" => a recibe el nombre de base de la potencia
=> n recibe el nombre de exponente
Ejemplos: Calcular:
43 =3x3x3x3=81..,
8- = 8 x 8 = 64
52 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
Propiedades:
- En N la potenciación no goza de la propiedad conmutativa. Es decir: a'' :¡:. na
Ejemplo: {
34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 8 1} :¡:.
43 = 4 x 4 x 4 = 64
- En N la potenciación no es distributiva con respecto a la adición. Es decir:
( a + b )0 :¡:. aD + bU
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
Ejemplo: {
(2+3)3=S3=SX5XS=12S }
23+33=(2x2x2)+(3x3x3)::::8+27=3S :t:
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- En N la potenciación no es distributiva con respecto a la sustracción. Es
decir: ( a - b ) D :t: a D _ b D
Ejemplo: {e 4 - 2)3 = 2
3 = 2 x 2 x 2 = 8 }
43 - 23 = (4 x 4 x 4) - (2 x 2 x 2) = 64 - 8 = 56 :t:
- En N la potenciación no es distributiva con respecto a la Suma Algebraica. Es
decir: (a + b- ct ;!: an + _bn- en
Ejemplo: { ..,.., }(8 + 4 - 3)- = 9- = 9 x 9 = 81? ? ? :t:8- + 4 - - 3- = (8 x 8) + (4 x 4) - (3 x 3) = 64 + 16 - 9 = 71
- En N la potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación. Es
decir: (a x b x e)" = a" x b" x e"
Ejemplo: {
(2 x 3 x 4)2 = 242 = 24 x 24 = S76}_.., ? .., -
2 - x 3- x 4 - = 4 x 9 x 16 = 576
- En N la potenciación es distributiva con respecto a la división. Es decir:
n n bn(a : b) = a :
Ejemplo: {
(6:2)3=33=27 }
63 : 23 = 216 : 8 = 27 -
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- En el caso de potencias de igual base, se toma la misma base y se suman los
exponentes. Es decir: a n X a P = a n + P
Ejemplos: 23 x 22 = 23 + 2 = 25 = 32
32 x 34 = 32 + 4 = 36 = 729
21 -
Ejemplos: 25 : 23 = 25 - 3 = 22 = 4
35 : 31 = 35 -1 = 33 = 27
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
- En el caso de cociente de potencias de igual base, se toma la misma base y se
retan los exponentes. Es decir: a n : a P = a n- p
-¿ Que pasa si tenemos aO?( un Número Natural con exponente cero ).
Consideremos el cociente: a" an (como dividendo y divisor son iguales, el
cociente es 1). .
an::an= 1
Si 10 planteo como cociente de potencias de igual base tendré:
an : an= an-n =a o
de donde deducimos que: ao = 1.
Cualquier Número Natural elevado al exponente cero es uno.
Ejemplos:
-¿ Qué pasa si tenemos al ? (un Número Natural con exponente 1)
ao+1 : a" = a
ao+1 : a" = ao+1-0 = al => al = a
Concluimos que cualquier Número Natural elevado al exponente 1 es el
mismo Número Natural.
Ejemplos: i=7· , SI = s·,
-¿ Qué pasa si tenemos una potencia de un Número Natural elevada a otra
potencia?
(an)P = an x a" x anx .... xa" x a" = an+n+n+".+n+n = anxp
p veces
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Ejemplos: (23y~ = 23 x 4 =212
(32)4 = 32 x 4 =38
(S2i = 52 x 5 =510
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
Vemos que la potencia de otra potencia de un Número Natural es otra
potencia de ese número con exponente igual al producto de los exponentes.
Se debe prestar especial atención a diferenciar el caso de producto de
potencias de igual base con el caso de potencia de potencias.
Ejemplo: 23 x24 = 23+4 =27
( 2}) 4 = 23 x4 =i2
en cambio
Radicación
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V a, V n /\ V P E N . Si tenemos a n = p
Vemos que dados a y n se puede calcular p
Veamos qué pasa si tenemos el problema inverso, es decir: dado p y n calcular
a.
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Ejemplo: 43 = 64
a" = p
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o sea que a = 4
Si conocemos p = 64 /\ n = 3 ¿ Como calculo a ?
Esto se resuelve con una operación que recibe el nombre de Radicación.
'-ÓÓ; :
En nuestro ejemplo decimos que:
a = V64 (se lee: a es la raiz cubica de 64)
pues: a 3 = 64 ( o sea a = 4 )
,_o .
Defmición: Si consideramos los Números Naturales n /\ p se dice que el
Número Natural ª es la raíz n-ésima de l! sí y solo sí la n-ésima potencia de ª
es l!.
Simbólicamente: vp = a <=> a" = p
n recibe el nombre de índice
p recibe el nombre de radicando
a recibe el nombre de raíz n-ésima de p
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
Ejemplos: ~125 = 5 pues 53 = 125 (se dice que 5 es la raíz cúbica de 125 )
iJ36 = 6 pues 62 = 36 (se dice que 6 es la raíz cuadrada de 36)
Z!8I = 3 dado que 34 = 81 (se dice que 3 es la raíz cuarta de 81)
Si tenemos.JP (se lee raiz cuadrada de p)
.JP = a ~ a2 = p
Se debe observar que en N no siempre es posible encontrar "R/P.
Por ejemplo: .J24 1] N ( no hay ningún Número Natural que elevado al
cuadrado de 24 )
VI3 1] N (no hay ningún Número Natural que elevado al cubo
de 13 )
Propiedades:
- En N la radicación no goza de la propiedad conmutativa.
"R/P:f:PJñ
Ejemplo: V4 -4}V4 :f:VI" pues 4" - :f:
-V 1 = 1
- En N la radicación no es distributiva con respecto a la adición.
~p + q :f:"R/P + (q
Ejemplo: J9 + 16 = J2s = 5 }J9 + 16 :f:-J9 + Jl6 pues r: 117 :f:
'. ",9+",16=3+4=7
- En N la radicación no es distributiva con respecto a la sustracción.
rfFCi :f: rfP - !;jq
Ejemplo: ~ h/ J100 - 36 = J64; 8 }.JlOO-36:f:",100-",36 pues trx: r.=;7 :f:
'" 100 - '" 36 = 1O- 6 = 4
r.
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
- En N la radicación no es distributiva con respecto a la Suma Algebraica.
rJp - q + r - s ~ ifP - ifO.+ 1f - rfS
Ejemplo: J64 + 16+ 36- 100~.J64 + Jl6 + J36 - JlOO pues
J64 + 16+ 36- 100= Jl6 = 4 }
.J64+M+J36-.JlOO=8+4+6-10=8 ~
- En N la radicación es distributiva con respecto a la multiplicación.
~ =ifP x ifO.
Ejemplo:
J4 x 25 = .Jf06 = la}
J4 x 25= 14 x J25 pues r: ¡;:;-; =-v4x-v25=2x5=10
-,-
- En N la radicación es distributiva con respecto a la división.
~p: q = JjP: rjq
Ejemplo:
3 3 3 '}j729:27 =m = 3 }
JJ729:27 = J,)729 :m pues 31¡;:;;;;;; 31r;::::;:; =
=v729: =v27 = 9:3 = 3
'-
--..-.
-¿ Qué pasa si tenemos VP = ?
Vemos que: VP = p pues pl = P
'c..:
x.>
-¿ Qué pasa si tenemos la raíz n-ésima de p elevada al exponente n ?
'-...-.
Si tenemos que: rfP = a
Si a esta raíz la elevamos a la potencia n tendremos:
o sea
25
l:':-:;:-'-:'
rrflP =?
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J
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J
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
Ejemplo: (W4)3 = (4)3 = 64
(.J4)2 = (2)2 = 4
Lo mismo ocurre si tenemos: W = p
Ejemplo: ~(16)4 = ~65536 = 16
Esto nos lleva a la conclusión que podemos simplificar índices con
exponentes.
Ejemplo:
-¿ Qué pasa si tenemos la raíz de otra raíz?
Veremos que si llamamos: rrflP = x ; y recordando que: ifP = a <::::> an = p
puesto que: rrflP = rr¡;; = x <::::> xm = a
Si a ( x mt = X m x n = a" = p
1 . m xn mxnr::uego SI p = X =;> X = V P =;> IIj!fP = mx!fP
o sea que: una raíz de otra raíz se puede reducir a una sola raíz cuyo
índice es el producto de los índices.-
26
Divisibilidad - Números Primos - Máximo Común Divisor-
- Mínimo Común Múltiplo -
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
Definición: v rn , Vn 1\ vp E N se dice que m : n = p ~
Se dice entonces que: m es divisible por n.
m es múltiplo de o.
. n es divisor de m.
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Ejemplo:
m= o p
,
15 es divisible por 3
3 es divisor de 15
15 es múltiplo de 3
Número Primo: Se dice que un Número Natural es Número Primo sí y solo sí
sus únicos divisores son él mismo y uno.
Un número que 00 es primo se llama compuesto.
Los números primos son: 2, 3, 5, 7;" 11, 13, 17, ...
6 es un número compuesto pues es divisible por 1,2,3, Y 6.
Dos números son primos entre sí, si y solo sí el único divisor común el
número l.
Ejemplo:
r"> '_'
Descomposición de un Número Compuesto en sus factores primos:
v:.:,......; ...
"
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1200
600
300
150
75
25
5
1
Se divide 1200 por el menor primo mayor que 1 del que
es múltiplo, o sea 2: ..
obtenemos 600 que es divisible por 2;
obtenemos 300 que es divisible por 2;
obtenemos 150 que es divisible por 2;
obtenemos 75 que es divisible por 3;
obtenemos 25 que es divisible por 5;
obtenemos 5 que es divisible por 5;
obtenemos l.
2
2
2
2
3
5
5
Siendo 1200 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 2-+X 3 x 52
31
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Naturales -
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Ejemplos:
624 2 450 2 264 2
312 2 225
..,
132 2.J
156 2 75 3 66 2
78 2 25 5 33 3
39 3 5 5 11 11
13 13 1 1
1
,
624 = 24 x 3 x 13 ; 450 = 2 x 32 x 52 . 264 = 23 x 3 x 11,
J ,......."
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Máximo Común Divisor: (M.C.D,), Dados dos o más números naturales su
M.C.D. es el mayor divisor común (o sea es el mayor Número Natural que
los divide a todos).
Mínimo Común Múltinlo: (m.c.m.) Dados dos o más números naturales su
m.c.m. es el menor Número Natural que es divisible por todos ellos (o sea es el
menor de los múltiplos comunes),
-¡ Cómo se obtiene prácticamente el M.C.D. y el m.c.m.?
Primero descomponemos el número dado en sus factores primos y luego será:
M.C.D. el producto de los factores comunes con su menor exponente (si no
hay factores el M.C.D. es 1)
m.c.m. es el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor
exponente.
Ejemplos: HanareLM.c..n~y_eLm.c.m. de 30 ; 40 ; 60.
30
15 3
5 5
1
40
20
10
5 5
1
60
30
15
5 5
1
30 = 2x3x5 40 = 2 3 x5 60 = 2 2 x3x5
Entonces: M.C.D. = 5 x 2 = 10 y m.c.m. = 2 3 x3x5 = 120.
32
... - ..•~- ~.' ~.~ ~: "
TEMA 2: LOS NÚMEROS ENTEROS
Al plantear la sustracción de Números Naturales dijimos que: m-n = b que
solo era posible si m ~ n .
O sea que: m-n nos quedaba sin solución si n > m.
Esto nos dice que es necesario crear nuevos números que permitan dar una
solución a este problema.
Otros problemas se presentan por ejemplo: si tengo un termómetro y la
temperatura desciende de 5°C a, 4°C; luego a 3°C; luego a 2°C; luego a 1°C,
luego a O "C. ¿Y luego corno la mido si sigue bajando?
Si cuento en forma regresiva 5, 4, 3, 2, 1, O. ¿Qué viene después del cero?.' .
Para solucionar estos problemas los matemáticos inventaron un conjunto de
números nuevos -1, -2, -3, -4, -5, llamados Números Enteros Negativos, que
junto con los Números Naturales forman ei conjunto de losNúmeros Enteres.
Si tomamos una escala y consideramos una recta y en ella designamos con O un
punto cualquiera. Un segmento cualquiera tomado como unidad nos permite
representar a la derecha los Números Enteros Positivos y a izquierda los
Números Enteros Negativos.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7
I I I I I I I I I I I I I I I
Todo número que está a la izquierda de otro es menor que él.
Ejemplos: 1 < 2
4 < 6
-4 <-3
-6 <-2
-4 < O
-5 < 2
-3 < 2
-1 < 6
-6 < 1
0<2
(Se lee menos 5 menor que2)
Todo número que está a la derecha de otro es mayor que él.
Ejemplos: 4> 2
2> O
-1 >-2
-1 >-6
2 >-3
1 >-7
-10>-12
4>2
(Se lee 2 mayor que menos 3)
56
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Enteros -
El conjunto de los Números Enteros lo simbolizamos Z.
El conjunto de los Números Entero Positivos lo simbolizamos Z+.
El conjunto de los Números Enteros Negativos lo simbolizamos Z-.
o sea Z=Z-uOUZ+.
Z= {..., -3, -2, -1, O, 1,2,3,4, ... }
Cada entero tiene su opuesto.
Si considero el Número Entero a su opuesto es -a tal que:
a+(-a)=O
Se llama Valor Absoluto de a y se designa 1 al.
si a > O
si - a < O
101 = O
Ejemplos: 15 1= 5
1- 51 = 5
131 = 3
1- 61 = 6
(Se lee valor absoluto de cinco es cinco).
(Se lee valor absoluto de menos cinco es cinco).
Las principales Propiedades del Valor Absoluto son:
la+blS;lal+lbl
la/bl=lal/lbl
laxbl=lalxlbl
l a= b l z l a l v l b l
Nota: Las aplicaremos luego de estudiar las operaciones con Números Enteros.
OPERACIONES QUE VINCULAN NÚMEROS ENTEROS
- PROPIEDADES -
Adición
Definición: v n , vm Í\ Vp E Z se verifica que: m + n = p
57
'.~'
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- Si m /\ n son Números Enteros Positivos: m + n = p +r. peZ.
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Enteros-
- Si m 1\ n son Números Enteros Negativos: (-m)+(-n)= - (m+n)= - p 1\ P e Z-
- Si m 1\ n son de signo distinto pueden darse tres casos:
a)- Si I mi> I ni m + n tiene el signo de m.
b)- Si I mi = I ni m + n es cero.
c)- Si I mi < I ni m + n tiene el signo de n.
O sea tiene eÍ signo del de mayor módulo.
Ejemplos: 3+4=7
4 + (-2) = 4 - t";,, 2
3 + (-8) = 3 - 8 = -5
5 + (-5) = O
(-3) + (-10) = - (3 + 10) = -13
Pasamos a enunciar las principales propiedades:
Conmutativa:
Asociativa:
Existencia del neutro:
Existencia del opuesto:
m+n=n+m
(m + n) + p = m + (n + p)
n+O=n
n+(-n)=O
Si los sumandos son más de dos se suman todos los positivos, luego se
suman todos los negativos y luego se obtiene la suma de estas dos sumas
parciales.
Ejemplos: 4 + (-3) + 5 + (-6) + 3 = (4 + 5 + 3) - (3 + 6) =12 - 9 = 3
Sustracción
Definición: 'r;f n , 'r;f m /\ 'r;f peZ decimos que: m-n = p <=> m = n + p
Al introducir los Números Enteros se soluciona el problema que temamos con
los Números Naturales de no poder realizar algunas diferencias (si n> m).
Ejemplos: Si tenemos: ( + 3 ) - ( + 5 ) = 3 - 5 = -2
(+8)-(+2)=8-2=6
58
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Enteros -
Siempre es posible la Sustracción de Números Enteros.
Ejemplos: (+10)-(+5)=10-5=5
(+ 10)-(-5)= 10+5= 15
(- 10) - (+ 5) = - 10 - 5 = - 15
( - 10) - ( - 5 ) = - 10 + 5 = - 5
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r>. -
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r-
~
rr-, -'
Para restar dos Números Enteros al minuendo se suma el opuesto del
sustraendo.-
Multiplicación
-Hefi-nición: 't-m-, Vn E- Z
se verifica que m x O= O Y además: m x sig n = m x n + m
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Las principales propiedades son:
Clausura: vrn 1\ vn E Z
Asociativa: (m x n) x p = m x (n x p)
Corunutativa: m x n = n x m
Existencia del neutro: m x 1 = m
Distributiva con respecto a la suma algebraica:
(m+n)p=mxp+nxp
m(n+p)=mxn+mxp
m(n+p-s)=mxn+mxp-nxs
mxnEZ
pEZ
con s E Z
R~gla de los signos:
mxn=mxn
m(-n)=-mxn
(-m)n=-mxn
(-m)(-n)=mxn
El producto de dos Números Enteros de igual signo es otro Número
Entero Positivo, y el producto de dos Números Enteros de distinto signo es
otro Número Entero de signo negativo.
Ejemplos: 3 x (-4) = -12
3x(-5)=-15
(-5)x (-2) = 10
6 x 4 = 24
(-3) x 7 = -21
(-3) x (-10) = 30
59
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Enteros -
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Ejercicios teóricos:
1.- Demostrar que: - ( - m ) = m.
O) Un entero mas su opuesto es cero
(-m)+(m)=O
Si pasamos ( - m) al segundo miembro pasa afectado de un signo menos o sea:
m = - ( - m) o sea que
- ( - m ) = m con lo que queda demostrado.
2.- Demostrar la absorción del 'cero (o sea que cualquier número entero por
cero es cero) m x 0=0.
D) m x m + O = m x m = m x (m + O) = m x m + m x O
O sea que: m x m +J!..= m x ffi..fJ!Lx º
Vemos que: O= m x O o sea que
m x O= O ( Un número por cero es cero )
3,- Demostrar que: m x ( - n ) = - m x n
D) Un entero mas su opuesto es cero: n + ( - n ) = O
Si lo multiplicamos por m obtendremos:
m [ n + ( - n )] = m x O = O
m [n + ( - n )] = O
Aplicando la propiedad distributiva tendremos:
mxn+m(-n)=O
Si pasamos el primer sumando al segundo miembro, pasa cambiado de signo.
m ( - n ) = - ( m x n ) Con lo que queda demostrado.
4.- Demostrar que: ( - m ) x ( - n ) = m x n
D) Si tomo el primer miembro:
( - m) ( - n ) = - [ m ( - n )] = - [ - ( m x n ) ] = m x n
O sea que: ( - m) ( - n ) =vm x n
i.-.. D_1_'v_iS_i_ó_D ,;..-. 1
Definición: vrn , '\tn 1\ '\tp E Z
Se dice que p es el cociente exacto entre m y n <:=> m = p x n.
O sea: m: n = p <:=> m = p x n ( m debe ser divisible por o ).
Regla de los signos:
Si m> O 1\ n> O
Si m> O 1\ n < O
(m:n»O
(m:n)<O
60
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Enteros -
Si m < 01\ n> O
Si m < O 1\ n < O
(m:n)<O
(m:n»O
- Si dividendo y divisor son del mismo signo, el cociente es positivo.
- Si dividendo y divisor tienen distinto signo el cociente es negativo.
Ejemplos: 6 : (-3) = -2
lb : 2 = S
(-1S):(-3)=5
( - 20 ) : 2 = - 10
- Dado m : n = p siendo m = p x n.
Que pasa si: m = O 1\ n :;t;O
O : n = p siendo 0= p x n ~ p = O
O: n= O
Conclusión: '
Si el dividendo es cero, el cociente es cero.
- Dado m : n siendo m:;t; O Y n = O.
Si llamamos p al cociente será: m : O = p <=>m = O, lo que es un absurdo.
Conclusión: m : O= 11
No es posible la división por cero.
- Dado m: n siendo m = O Y n = O.
Si el cociente fuera p será: O : O= p<=>O = O x P
Esto se verifica Vp lo que nos dice que (O : O) es indeterminado.
Conclusión:
No está definida la división por cero.
Observación: La división no siempre es posible en los enteros: por ejemplo:
7 : 3 no existe en Z, pues 7 no es divisible por 3.
Ejemplo: Resolver: {(-3)(-2)(-S)+10} :(-2)=
{ ( - 30 ) + lO } : ( - 2) =
{ ( - 20 ) } : ( - 2) = 10
Ejemplo: Resolver: {(-6):(-3)+2-S[3-(-4)]+ l} :(2-7)=
{2+2-S[7]+1 }:(-S)=
{ 4 - 35 + 1 } : (- S) ={- 30 } : (- S ) = 6
61
Ejemplo: Para qué valores de x se cumple que Ixl < 3
Si Ixl < 3 por la definición de módulo tenemos que: -3 < x < 3
gráficamente vemos que x puede estar entre - 3 Y + 3 sin tomar
esos valores.
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Enteros -
Ejemplo: Resolver la ecuación: ( x + 2 ) [ 3 + ( - 8 )] = 5
(x+2)[3-8]=5
( x + 2 ) = 5 : [ - 5 ] si paso ( - 5 ) al 2° miembro
x+2=-1
x = - 2 - l. Es decir: x = - 3
-4 -3 -2 -1 o
1 1 1 1 1
234
1 1 1
o sea que x puede ser: t:::>x = -2; t:::>x = -1; t:::>x = O ; t:::>X = 1 ;
t:::>X = 2
Ejemplo: Para qué valores de x se cumple que:
Ix-21<3
Por la definición de módulo tenemos que: - 3 < x - 2 < 3
Si sumo 2 a todos los términos de la desigualdad tendremos:
-3+2 < x -2+2 < 3+2, resultando entonces: - 1 < x < 5
Vemos que x puede estar entre - 1 Y + 5 sin tomar esos valores.
-2 -1 o
1 1
2 3
1 1
4 5 6
1 1 1
7
1 1
o sea que x puede ser: t:::>x = O ; t:::>X= 1; t:::>X = 2 ; t:::>X = 3 ;
t:::>x =-4
Ejemplo: Para qué valores de x se cumple que:
Ix-ll~3
Por la definición de módulo tenemos que: -3 ~x - 1 ~ 3
Si sumo 1 a todos los términos de la desigualdad tendremos:
-3+1 ~x-l+1 ~3+1
-2 ~ x ~ 4
Vemos que x está entre - 2 Y 4.
-2 -1 o
1 1 1
2
1
3 4
1 1
o sea que x puede ser: t:::>x=-2;
t:::>x=2;
t:::>x=l;
=v x =ü ;
t:::>x=4;
t:::>x = 3
t:::>x=-I;
62
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Enteros -
Potenciación
Definición: Va E Z 1\ v n E Z a x a x a x .•• x a = a n.
n veces
Si tenemos ( - a ) será:
( - a ) x ( - a ) x ( - a ) X ••• X ( - a ) = ( - a )Il
n veces
Ejemplos: (- 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) = - 2 4
(-2)(-2)(-2)=-23
,( 2 ) ( 2 ) () ) ( 2 ) = 2 "
(2)(2)(2)= 23
1\
1\
1\
1\
(-2)4=16
(-2)3=_8
(2)4=16
(2)3=8
------
" -..
~
""'
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,-..,.
r-,
r-.
- Si elevamos un Número Entero Positivo a una potencia par o unpar, el
resultado es un Número Entero Positivo.
- Si elevamos un Número Entero Negativo a una potencia par, obtenemos un
Número Entero Positivo.
- Si elevamos un Número Entero Negativo a una potencia impar, obtenemos un
Número Entero Negativo.
-'
- Si decimos que q
q
Tendremos que q
q
q
q
2n es un número par
2n+ 1 es un número impar
( + a in es positivo
( + a in+1 es positivo
( - a )2n es positivo
( - a in+1 es negativo
- Qué pasa si tenemos a2 : a5
Por ser cociente de potencias de igual base, se deben restar los exponentes;
siendo entonces: a2: a5 = a2• 5 = a-3
También a2 : a5 = 1: a3 o sea que: a-3 = 1 : a3
Generalizando: a-n = 1 : a"
Ejemplos: 18x3-2~
18 x.I l : 3 2)=
18:32;:=18:9=2
•• .Ó:
\_.'
65
••....•..:
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Enteros -
Radicación
Definición: 'íf a, n /\ pEZ decimos que: r¡p = a <=> a" = p
{
2 n es un nú mero par }
- Si decimos que: 2 1 ' . siendon + es un nu rrero Impar
2 ~ = ± b pues ( + b ) 2n = a /\ ( - b ) 2n = a
2 n+.va = b pues ( + b ) ~n+I = a
2 f</ - a = ~ no hay entero que elevado a una potencia par ( 2 n ), de
como resultado ( - a ).
2n+~ _ a = _ b pues ( _b ) 2n + 1= - a
66
"'"'
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I~f)
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TEMA 3: LOS NÚMEROS RACIONALES'
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Dados m 1\ n dos Números Enteros cualesquiera. Simbólicamente: m 1\ n E Z
Decíamos que m : n = p ~ m = p x n
Vimos que la división no siempre era posible en Z.
Por ejemplo: 7 : 3 no existe en Z pues 7 no es divisible por 3. ( ó 7 no es
múltiplo de 3 ).
Los matemáticos se vieron en la necesidad de crear nuevos números que den
una solución a este problema.
Los nuevos números quedan expresados de la forma m (o m : n) y reciben eln .
nombre de Números Racionales o Números Fraccionarios.
m
En - a m se lo llamamos numerador y a n lo llamamos denominador,
n
siendo n*- O.
Al Conjunto de los Números Racionales lo denotamos mediante Q.
Si tenemos una soga y queremos dividirla en dos partes iguales, cada parte
tiene una longitud de ~. Si a esta misma soga la dividimos en 4 partes iguales y
2
tomamos dos de esas partes ( cada parte será ~ ) tendremos ~. Evidentemente4 4
I 2 . la mi dd 1 1 2 l mi ,- y - representan a rruta e a soga, o sea - y - son e rrusmo numero.
2 4 2 4
rl 2xl 2
O sea que' ~ 2 - 2 x 2 - 4 representan el mismo Número Racional. lm k x m-= . k ee O
n k x n '
( I 2 lmi r )- y - son e rrusmo numero .2 4
Ejemplo: 4 16 32 8-=-=-=-
5 20 40 10
Dado un Número Racional, por ejemplo: (~~), podemos simplificar su factor
común en el numerador y denominador, llevando a la fracción a lo que
llamamos su mínima expresión,
Es decir:
15 3 x 5 3
25 = 5 x 5 = 5"
72
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales·
E' I E d' , ' , , 32.jempto: xpresar me iante su rruruma expresion: 40
32 8 x 4 4
40 = 8 x 5 = 5
En la mínima expresión del Número Racional, el numerador y denominador, no
tienen divisores enteros comunes,
Los Números Racionales incluyen a los Números Enteros, pues por ejemplo:
2 7
-=2 -=7
1 mi (a 7 la llamamos fracción aparente)
Sin=l -=m1
- Para que dos Números Racionales sean iguales debe cumplirse que:
m r
-=-<=:>mxs=rxnn s
Ejemplo: Dados % y 182' ¿ Representan el mismo número 7.
Lo que debemos verificar es si: ~ = 1
8
2'entonces:
2XI2=24} 2 __ ~
8 x 3 = 24 o sea que 3 - 12
- ¿ Cómo leemos los Números Racionales 7
Si el denominador es 2 se lee medios, si es 3 se lee tercios, si es 4 se lee
cuartos, si es 5 se lee quintos, si es 6 se lee sextos, si es 7 se lee séptimos, si es
8 se lee octavos, si es 9- se lee novenos, si es l O.se.lee decimos, si es 100 se
lee centésimos, si es 1000 se lee milésimos, si es 10000 se lee diez milésimos,
etc.
Para cualquier otro número, después de leer el denominador se debe leer avos.
Ejemplos:
7
13
11
15 (se lee once, quince avos).
(se lee siete, trece avos).
El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el
numerador indica cuantas de esas partes se tomaron.
73
- 3
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2
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
- ¿Cómo determino si un Número Racional es mayor que otro? (Si es negativo
el signo se lo asigno al numerador).
Dados los números: m y .!:.. Se dice que: m ) .!:. <=> m x s ) r x nn s n s
m ( .!:. (<=> rn x s r x nn s
Ejemplos: Dados !/\;.¿ Cuál es el mayor?
1 2 ( 1 ( 24/\5" ~ 1x5 2x4 ~ 4 5
Dados 1/\ 120' ¿ Cuál es.·él mayor ?
1 2 1 23/\10 .~ 1x10)2x3 ~ 3) 10
Dados - ~ /\ - i. ¿ Cuál es el mayor?
2 3 2 3- 3/\ -8 ~ (-2) x 8 < (-3) x 3 ~ -16 < -9 ~ -3 <-8
Si lo representáramos gráficamente veríamos que (- ~) está a la izquierda de
(-%) ~ (-%) > (- ~)
-:2i3 -3i8
Reducción de dos o más fracciones a común denominador
Para ello, debemos calcular el rrúnimo común múltiplo de los denominadores y
luego debemos multiplicar numerador y denominador de cada fracción, por el
cociente que obtenemos al dividir el m.c.m. por el denominador de esa
fracción.
, d inad las si fracci 853Ejemplo: Reducir a común enornma or as siguientes acciones: '5; 2' ; 4
El m.e.m. de: 5 , 2 y 4 es 20.
En la primera fracción debo multiplicar numerador y denominador por
8 x 4 32
20 : 5 = 4 ;, 5 x 4 = 20
74
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:-.-:'.
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales-
En la segunda fracción debo multiplicar numerador y denominador por
5 x la 50
20 : 2 = la ; 2 x 10= 20
En la tercer fracción debo multiplicar numerador y denominador por
3 x 5 15
20 : 4 = 5 " 4 x 5 = 20
Vemos que las
32
quedando:-
20
tres fracciones
50 ' 15
- -
20 20
obtenidas, tienen el mismo, denominador;
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
El mínimo común múltiplo de 3, 4, Y 6 es 12.
2x4 8
12:3=4 => 3x4 = 12
1x 3 3
12:4=3 => 4x3= 12
5 x 2 10
12:6=2 => 6x2= 12
215-_._.-
3'4'6
OPERACIONES QUE VINCULAN NÚMEROS RACIONALES
Adición y Sustracción
a) Si tienen denominador común.
m r m-i-r
Será: -+-=--
n n n
m r m-r
---=--
n n n
m r s m+r-s
-+---=
n n n n
La Suma Algebraica de Números Racionales de igual denominador, es
otro Número Racional con el mismo denominador, y cuyo numeradores la
Suma Algebraica de los numeradores.
Ejemplos: ~+2.=3+5=~=2
4 4 4 4
3 5 3- 5 -2 1
4-4=-4-=4=-2
75
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,-..
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
b) Si no tienen denominador común.
m r p
-+---
n s q
El denominador de la Suma Algebraica será el mínimo común múltiplo de
los denominadores.
Para obtener el numerador, realizamos la: Suma Algebraica de cada uno de los
productos del resultado de dividir el m.c.m. por cada uno de los
denominadores, multiplicados por el respectivo numerador.
.' .
E· 1 7 5 5Jempo: ---+-=
6 4 12
El m.c.m. de 6, 4 Y 12es 12.
12:6 = 2 que debe ser multiplicado por 7
12: 4 = 3 """ " "5
12:12=1 """ " " 5
2x71
3 x 5 ~ la suma de estos
1x 5J
productos, es la Suma Algebraica. Luego:
7 5 5 2x7-3x5+1x5 14-15+5 4 1
6-4+12= 12 = 12 =12=}'
3 5 1
Ejemplo: Resolver: '5- 6 + 10=
El m.c.m. es 30. Entonces resulta:
3 5 1 6x3-5x5+3xl 4 2
'5- 6 +10 = 30 = - 30 = - 15
1 ( 5) 3Ejemplo: Resolver: "8- -6 + 4 =
El m.c.m. es 24. Entonces la operación resulta:
1 5 3 3x1+4x5+6x3 41
"8 + 6 + 4 = 24 = 24
Multiplicación
m r . m r m x r
Definición: Dados - 1\ - E Q. El producto será: - x - = --
n s n s n x s
76
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""
"
""
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"
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
El producto de dos Números Racionales es otro Número Racional, cuyo
numerador es el producto de los numeradores, y cuyo denominador es el
producto de los denominadores.
2 5
Ejemplo: Resolver 3" x "6 =
2 5 2xS 10 S-x--------3 6-3x6-18-9
./ 2 ( 3) 14Ejemplo: Resolver 5"x -7 x 3=
~ (~~) l± _ 2 x (-3) x 14 _ -84 __ 28 __ i
5 x 7 x 3 - S x 7 x 3 - lOS - 35 - 5
"
./
Dado un Número Entero a si lo multiplicamos por el Número Racional mn
. m axm
Es decir: a x -. El producto resulta: --on n
Ejemplos:
S 4 x S 20
4x-=--=-=10
2 2 2
3 x (_~) = 3 x (-2) = _~
555
-5X(-~)= -S~-2= l~
1 -7xl 7
7x-=--=--
3 3 3
División
m r mr a m a r
Definición: Dados - /\ - E Q. Resulta: -: - = - ~ - = - x -
n s ns b n b s
m r m s m x s s , r-:- = - x - = -- ( - se llama reclproco de - )
n s n r n x r r s
¡
'-
Ejemplo: Resolver ~:%=
2 5 2 6 12 4-·---x-----3'6-3 5-15-5
--., f'--
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RevisiÓn de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
Para dividir dos Números Racionales, se multiplica el dividendo por el
recíproco del divisor.
Ejemplo: Resolver{-¡){~)=
(-f}(~)=-fx ~=-~~
Si uno de los números es un Núm~ro Entero p se lo puede expresar como ~
r p s pxsP:s=Tx¡:-=-r-
m m 1 m-:p=-x-=--
n n p n x p
...
. 2
Ejemplos: Resolver:3: 5"
2 3 5 153·-=-x-=-. 5 1 2 2
5
Resolver: "7: 4 =
5 5 1 5--4=-x-=-7· 7 4 28
El Número Mixto es la adición de un Número Entero y una fracción propia.
i. Cómo lo obtenemos".
S· 1 fr . , 1
7 d' idI tengo a accion - IVI o:
5
17 ,1 5 S' b '1' Oun o icarnente:
2 3 R
d
---o Siendo D: divisor; d: dividendo;
C
C: cociente; R: resto de la división
Para el ejemplo: obteniendo un cociente que es el Número Entero 3 y un resto
que es el Número Entero 2,
d deci 1
7 3 2 S' b u ; O e RPo emos ecir entonces que: 5 = + 5"' im Ó icamente: d= + d'
2
Que se expresa como: 3 "5 '
78
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
E' 1 E ,,26jemp o: xpresar como numero mixto a 3'
26
2
3 26 2 2
-=8+-=8-3338
E' 1 E " 81Jemp o: xpresar como numero rruxto a - .
4
~=20+J.=20J.
4 4 4
81
1
4
20
- Si tenemos un número mixto, ¿ Cómo lo transformamos en fracción ?
Veamos con un ejemplo:
1 1 3 1 2x3+1xl 7 1 7
32 = 3 + 2 = l' + '2 = 2 = 2' por lo tanto resulta: 3'2 = '2
1 2x3+1 7
Se puede operar así: 32 = 2 - 2"
, .. ' m m nxp+m
En síntesis, SI tenemos: p - = resulta p - = -~--
n n n
Ejemplo: Expresar como Número Fraccionario: 6 ±.
. 1 4 x 6 + 1 25
Resolviendo: 6¡ = 4 = 4
Potenciación con Exponentes Enteros
Definición: Si.!:. E Q 1\ n E Z. Entonces: (.!:.)D =.!:. x.!:. x t,...x!' =
s s s s s s
n veces
Entonces resulta: (;r - ::
Ejemplos: (
3)3 33 27- ----4 - 43 - 64
(1)4 r' 12" = 24 = 16
',-"
79
'._"
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
Ejemplo:
Cuidado:
Ejemplo: r(2)2l3 (2)6 26 64l- J - - ----3 - 3 - 36 - 729
Radicación
Definición: Dado n E Z 1\ P E Q siendo n i: O. Entonces:
q
~ =~~(~)"=~ con ~ E Q.
Si decimos que (2 n) es un número par y (2 n + 1) o (2 n - 1) es un número
impar, entonces tenemos:
2~ = ±~
2nH
2n+l fE = r~q s
2n+v_~~-~
Ejemplos:
porque
porque
s
r
4{l6 = +~
V8f - 3
4~_ 16 Q
81 ~
3~27 = l
8 2
80
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Revisión e los - - Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
'edades que verifican las Operaciones con Números Racionales:
onmurativa
m + !:. = ms + m E Q
n s ns
m r r m-+-=-+-n s s n
.:'(m +~)+E. =m +(E.. +p)
n s q n s q
m O O m m-+-=-+-=-n n n n n
: +(- :)=0
Asociativa
Existencia del neutro
Opuesto
- Producto
Clausura
m r mx r
-x-=-- E Q
n s n x s
m r r m
-x-=-x-
n s s nConmutativa
Distri buti va
(m -: p = m(!:. x p)n s q n s q
m l m m
-x-=Ix-=-
n 1 n n
m n
-x-=I
n m
(m +!:.)p = p (m +!:.)= p x m +p x rn s q q n s q x n qxs
Asociativa
Existencia del neutro
Recíproco
- Cociente
Clausura
No asociativo
m r ms
-:-=- E ºn s nr
m r r m
,-'- :;z!: -,-
n . s s ' n
(::Ü~" l~Ü:~)
No conmutativo
i t :
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81
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'.:) ~
'.~
. '1 +-,.--..~
:..;;'
<.) ->,
~
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
Distributiva a la derecha (~ +~)~= ~: ~ +~:~
No distributiva a la izquierda ~:(~ + {) :;t: ~: ~ + ~:{
- Potencia (~r:;t: nr/s
No Distributiva con respecto a la Suma Algebraica
(!. _ E)n :;t: (!.)n _ (E)ns q :. S q
: .
(r p)n (r)n (p)n- +- :;t: - +-s q s q
No Conmutativa
Distributiva con respecto a la división y la multiplicación
(~x~r =(~rx(~r I\(~rx(~r =(~x~r
(~: ~)n = ({)n {~)n r.({)n: (~)n = (~: ~)n
No es Asociativa [(~rJ~Wm")
Producto de potencias de igual base
(~)n x(~Jx(~)U= (~r+t+u
... "
. r--.
'.~
Cociente de Potencias-de igual base,
(~)n{~J=(~)n-t
Diferencia de Cuadrados
82
.~
.~
.1
).'
<..:'
: .,':'-
":.--
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales ~
Exponente 1 (~)l_~
(~r~1 \;f (~) '" O ( O O es indeterminado)Exponente O
Potencia de O V n:;t:O
Exponente Entero Negativo:
Potencia de Potencia
s
r
1\
- Radicación
No distributiva con respecto a la Suma Algebraica
rrmy:;t:Jm_JpVn-e¡ Vn Ve¡
Vm + p '" JíTI +rlP
n q vr; Ve¡
Distributiva respecto al producto
r~=JmxJpVnxe¡ Vn Ve¡
Distributiva respecto al cociente
V~:~~~:~
Indice 1
Indice Negativo
Observaciones para operar y simplificar ]
L--- __ ----=----=---~__
Correcto
83
':;,:'-;'0''' .
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
1 F_r_3_c_c_io_n_es__ y_N_u_'m_e_r_o_s_D_ec_i_m_a_l_es f
Se llama Fracción Decimal sí y solo sí su denominador es la unidad seguida
de ceros.
Ejemplos:
4
la
15
100
206
1000
( se lee cuatro décimos)
(se lee quince centé simos)
(se lee doscientos seis milésimos)
Las Fracciones Decimales, se pueden escribir como Números Decimales,
escribiéndose el numerador de la Fracción Decimal con una coma que separa
tantas cifras a la derecha comoceros tiene el denominador, agregando si es
necesario ceros a la izquierda del número.
Ejemplos:
810 = 0,8; 27100 = 0,27;
215
100 = 2,15 ;
23
10000 = 0,0023
Las propiedades y operaciones con números decimales se han estudiado en la
escuela primaria. Aconsejamos trabajar con la calculadora científica, lo que
implica un importante ahorro de tiempo.
Errores en el cociente:
S· 1 h. • , 291 tenemos a rraccion -.
7
Si realizamos la división de 29 dividido 7, obtendremos un cociente que es 4 y
un resto que es en este caso 1. (Al ser distinto de cero el resto, el cociente no
es exacto).
29 1 7
1 4
Si seguimos dividiendo, tendremos que:
29 1_7_
4,1
"1""',
El error ( E ) es menor que una unidad, e < 1. .--..
la
3
Si seguimos dividiendo:
El error ahora será: E < 0,1
96
Revision de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
"~,
j
."'/
29 i 7
10 4,14
30
I
El error ahora será E < 0,01 Y así sucesivamente el
;--
error será cada vez menor.
Hay casos en que el cociente es exacto (cuando el resto es cero).
Ejemplo: Expresar mediante Números Decimales ~
17 4
10 4,25
20
O
El error cometido es de E = O
r""""\ Potencias de 10 y Notación Científica
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
1011= 10xlOx xIO= 1000 0
n veces n ceros
'-'
Toda potencia de exponente entero positivo de lOes la unidad seguida de
tantos ceros como unidades tiene el exponente.
\~
Qué pasa si consideramos las potencias enteras negativas.
-1 1
10 =-=0 110 '
_ 2 1
10 =-=0.01100 .
10-
3
= _1_ = 0.001
1000
'-o .~ Vemos que toda potencia de exponente entero negativo de 10, es la unidad
decimal cuyo orden está fijado por el número opuesto del exponente.
1O -5 = 0,0000 1
')7
1""".
----..J
.,...."
..J
"J
...---
. ../
j
,......,
.) '"'"'
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales-
En los problemas técnicos, los resultados que se obtienen pueden ser Números
Decimales cuya primera cifra significativa ocupa el octavo, décimo ( o más )
lugar después de la coma. También se obtienen resultados de muchas cifras
enteras.
Para ello se utiliza NOTACIÓN CIENTÍFICA.
Un número está expresado en notación científica cuando en lugar de ese
número, se escribe el producto de otro número (cuyo valor absoluto es mayor o
igual que 1 y menor que 10) por una potencia entera de 10.
Simbólicamente: a x 10° ; con a E 9{ 1\ n E Z ; siendo 1~ I a 1< 10
..» ,,-...
Ejemplos: 0.000056 = 5,6x.lO -5
727.800.000 = 2,78x10
-0,0000016 = -1,6xI0-6
-5.834.000.000 = -5,834x 109
..' ..-...
Para trabajar con notación científica es muy útil usar la calculadora
científica.
. •...•...
Conversión de un Número Decimal en su fracción
Generatriz:
Un Número Decimal puede tener un conjunto de cifras que se repite
indefinidamente; por ejemplo: ...-.,.. /-
0,3333 = 0,3
0,353535 = 0,35
4,151515 = 4,15
0,307444 = 0,3074
El conjunto que se repite, se llama período y el número se llama DECIMAL
PERIÓDICO.
¿Cómo transformamos el Número Decimal en su Fracción Generatriz?
Si es un Número Decimal no periódico y definido, basta dividirlo por la
potencia de 10 correspondiente.
Ejemplos:
2373---, - 10
35 7
0,35= 100 = 20
98
.' ,,:']-.
"-
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Revisrón de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Racionales -
853
8,53= 100
23075 923
23,075 = 1000 = 40
642 321
6,42 = 100 = 50
Si es un Número Decimal periódico, se debe proceder de la siguiente forma. Si
llamamos x al número:
Ejemplo 1:
,
x = 0,3333,,,,,,,,.,,.
Si x = 0,3
-0,3
-
Será 10~ 3,3
IOxex = 3
9x = 3
3 1 - 1
x='9=]=>0,3=3
Ejemplo l: x = 0,353535"",= 0,35
Será 1OOx= 35,35
IOOx - x = 35
99x = 35
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'-
r-
r--
r---
35 - 35
x = 99 => 0,35= 99
/}i!lIlp/o3:
-
x = 0,30744444.,,= 0,3074
Será IOOOOx= 3074,4
1000x = 307,4
Siendo 10000x -lOOOx = 2767
9000x= 2767
2767 "1 - 2767
x = 9000 => 0,-,074 = 9000
i.ieniplo-«: x = 4,1515""""""- -
x=4,15=4+0,l5=4+a 1\ a=0,15
Sia=0,15
100 a - a = 15
99a = 15
15 15 411
a = 99 siendo: x = .:1-99 = 99
.' : •.•: 1 .''',
.. ~.~
Por ejemplo: 14 = 2 ; J.J-8 = -2
.'
TEMA 4: LOS NÚMEROS IRRACIONAL ES
,,'
Al estudiar los Números Enteros y los Números Racionales, vimos que algunas
raíces se podían determinar.
Pero si tenemos por ejemplo .J2 no tenía solución en Q.
,.-'
Si suponemos que .J7 es un Número Racional entonces resulta 12= E. ( 1 )
q
=> P 1\ q son Números Enteros, primos entre sí siendo q 1= O.
Si elevamos miembro a miembro al cuadrado ( 1 ), resulta:
, ')
(J2F = p;
q
p2
Simplificando: 2 = 2:"
q
Escribiendo el segundo miembro de otra manera:
2=E.xP
q q
Dado que p es una fracción irreducible E. x E. tambien los es, por lo tanto 12
q q q
no es una fracción impropia. O sea 12 no es un Número Racional, ni es
Número Entero. Simbolicamente: .J2 ~ Q. '
.~
Números como .J2;J3;..Js;.J7;J8; zr; e; forman el Conjunto de los Números
Irracionales .
.~ .
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[09
r .:?.'"
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Formamos ahora con los Números Racionales y los Números Irracionales W1
nuevo conjunto que recibe el nombre de Conjunto de los Números Reales y
lo representamos con la letra 91.
El conjunto 91 tiene las mismas propiedades estudiadas para Q.
Exponentes Racionales
Definiremos primero blln donde n es W1 Número Entero Positivo y b > O.
Si lo elevamos a la n tendremos:
1
( bYnr = b n x n = b
Si recordarios la definición de: Qfb => bYn = ~.
Si ahora 10 elevamos a la m tendremos:
(bYn)m =(Wb)m = Wb x Wbx .... x .. xQfb = ~bm => b% = ~bm
m veces
''-.-'
o sea que si m es W1 Número Racional y n es W1 Número Entero Positivo y b
n
E 9t tal que existe ~b entonces: ~bm = b%
'- Se p.iede demostrar que las propiedades vistas en potenciación se
cumr.len para los Exponentes Racionales.
Las eplicaremos en algunos ejemplos.
\ ...;
1 4
- -
Ejemplo: Operar y simplificar: 8x3 x 4x3.
2 4 (2 4)
8x3 x4x3 = 32x 3+3 = 32x2
Eje mplo: Escribir la expresión )(a + b)5 con exponente fraccionario.
)(a+ b)5 = (a+ b)%
'-.'
115
v,.;..
',-
.:.,'
"
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos· Números Reales -
Dada la dificultad que hemos observado en los cursos de nivelación, por parte
de los ingresantes en la Resolución de Ejercicios con Radicales, presentamos a
continuación un conjunto de ejercicios resueltos y para resolver, Que
permitirán un mejor conocimiento del tema.
Operaciones con Radicales
• Calcular el valor numérico de: ~3ab2 + (2e + 1) para: a = 4 ; b = 3 ; e = 8.
~3 x 4 x 32 + (2 x 8 + 1) = ¿;l 08 + 17 = ¿;125 = 5
• Colocar bajo W1 solo signo radical: ~~X2y x l~ :2 =
~~x2yx l~ ~ = ~x2yx l~ 1, = 1~X4y2 x l~ 1, = 1~x4;2 = ~
x- x- x- x-
32x20y5z10r30
• Simplificar los radicales: 10 5 70 =
W s
25 x20y5z1 °r30
=
w5s20
• Reducir a mínimo común índice: ..fi; if3; lfti
..fi; if3; lfti el mínimo común índice es 6.-
• Extraer fuera del radical todos los factores posibles.
x3 +2x2 + x = x(x2 +2x+ 1) = x(x+ 1)2 _ (x+ 1) ~ X
• 37 7 ? - 1x +x- x-(x+1) x-(x+t) x x+
• ~16x4y3z6w7r2 = V24x4y3z6w7r2 = 2xyz2w2V2xwr2
• Introducir dentro del radical todos los factores posibles.
x2y3 ~=3(x2)3(y3)3z=~x6y9z
• Resolver ( reduciendo a la mínima expresión ).
• 2m + 3J50 - 2m = 2~ + 3~2 x 25 - 2.J2 x 36 =
= 2 x 3..fi + 3 x sJ2 - 2 x 6..Ji = (6 + 15 -12)J2 = 9J2
120
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TEMA 6: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Dado un par ordenado de Números Reales, expresados simbólicamente por
(x.y), llamamos Número Complejoa z = (x , y) y a su conjunto lo
simbolizamos con C.
El orden es importante pues no es lo mismo ( x , y ), que ( y , x ) o sea:
(x, y) "# (y , x)
(3 , 5)"# (5 ,3)
Los Números Complejos se crearon con el objeto de solucionar problemas
(entre otros) como: ~; J:4 que no tienen solución en 91.
• Definimos al Número Complejo cero: ( O , O ).
• Si Z = ( x, y ) entonces su opuestoserá : - z = ( - x, - y ).
• Dos Números Complejos: zl = (XI, YI ) Y Z2 = ( X2 , Y2 ), se dice que:
ZI = Z2 ~ XI = X2 /\ YI = Y2.
OPERACIONES QUE VINCULAN NÚMEROS COMPLEJOS
- PROPIEDADES -
Adición
Definición: Sean: ZI = (XI' YI) /\ Zz = (xz , Y2) entonces: ZI + Zz = (XI + XZ,YI
+Y2)
Ejemplos: (3 ,4) + (2 , 5) = (3 + 2 ,4 + 5) = (5 ,9)
(2, - 8) + (- 3 ,5) = (2 - 3, - 8 + 5) = (-1, - 3)
. ,,-..,
Propiedades:
Conmutativa: ZI + Z2 = Z2 + ZI
Asociativa: Sean Z¡ ; Z2 y' Z3 E e, entonces: (ZI + Z2) + Z3 = ZI + (Z2 + Z3)
.. "
Sustracción
I
I
I
Definición: Sean: ZI = (XI, YI) /\ Z2 = (X2 , Y2) entonces: Zl - Zz = (x¡ - Xz , YI -
Y2)
Ejemplos: (3,4) - (2 , 5) = (3 - 2 ,4 - 5) = (1 , - 1)
(2, - 8) - (- 3,5) = (2 - (- 3), - 8 - 5) = (5, - 13)
126
l', .¡;
I
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Multiplicación de un Número Complejo por un Número Real
Definición: Dado: a E g:{ Y Z¡ = (Xl, YI) con ZI E e, se define:
a x ZI = (a X¡ , a YI) y ZI x a = (x¡ a , Y¡ a) resultando: a x ZI = Z¡ x a E e
Ejemplo: 3 x (2 , 5) = (3 x 2 , 3 x 5) = (6 , 15)
(- 2,3) x 2 = «- 2) x 2,3 x 2) = (- 4,6)
[Multiplicación----~-----
f/efmición: Dados: Zl ;;'" (Xl, Yl) 1\ Z2 = (X2 , Y2) E e llamamos producto de los
r iismos, al Número Complejo:
';p = (x¡ x X2 - Yl x Y2 j x¡ X Y2 + X2 x YI) siendo zp = Zl X Z2
.¡erificándose: Z¡ x Z2 = Z2 X ZI = Zp
Ejemplos:
• Sea: Z¡ = (2 , 3) ; Z2 = (8 , 5)
zp = Z¡ X Z2 = (2 x 8 - 3 x5 ; 2 x 5 + 8 x 3) = (1 ,34)
• Sea: Z¡ = (- 1 ,2); Z2 = (3, - 4)
zp = Z 1 x Z2 = « - 1) 3 - 2 (- 4) ; (- 1) x (- 4) + 2 x 3) = (5 , 10)
• Sea: Z¡ = (1, 2); Z2 = (2,1)
zp = Z ¡ x Z:2 = (1 x 2 - 2 xl; 1 x 1 + 2 x 2) = (O , 5)
Definición: Dado: Z¡ = (x¡ , y¡) se llama conjugado de Z¡ y se denota por:
Z¡=(x¡;-y¡)
'...._.
/ ..,
Propiedades:
Conmutativa: Z¡ x Z2 = Z:2 X Z¡
Asociativa: Sean Z¡ ; Z2 Y Z3 E e, entonces: (Z¡ x Z2) X Z3 = Z¡ X (Z2 x Z3)
Distributiva: Sean Z¡ ; Z2 y Z3 E e, entonces: (z¡1- Z2) x Z3 = (Z¡ x Z3 )+(Z2 x Z3)
( . \
x..
,
'.~
División
l.-.. Definición: Dado Z2 :;t:. O ; ZI = (XI, y¡) 1\ z2 = (X:~ , y2) se llama cociente entre
Z¡ y Z2 Y se denota: (ZI / Z2) en ese orden, al Núme-ro Complejo (x., Yc) tal que:
<.;
¡27
.. :':
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J
..
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~
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)
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J
r--.,.- , ~
_o.'
J
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
De esto se deduce que: z, x Z2= ZI ; realizando la operación:
. {XCX2-YCY2=XI
(x, X2- YcY2 , Xc Y2+ YcXz) = (XI, YI) :::::>
XcY2 + YcX2 = Y¡
Resolviendo obtenemos que:
xlx2 +YIY2 x2YI-xIY2
Xc = 2 2 Ye = 2 2
x2 + Y2 x2 + Y2
~ __(lXlx2 + YIY2 . x2Yl - XIY21)De lo que concluimos que:
Z2 x22 + Y22 ' x22 + Y22
.:' r--
-;~
Ejemplos: ( 2 ; 1 ) : ( 2 ; 3 ) = (l2 x 2+ 1x 3; 2 x 1 - 2 x 3
1)= (~; _ ~)
22+32 22+32 13 13
( _ 1 ; 2 ) : ( 3; 1) = (l(-1) 3 + 2 xl; 2 x 3 - (-1) 11)= (__ 1 ;~)
32+12 32+12 1010
, . -
.' r--
El Número Imaginario i
Vamos a considerar los Números Complejos: z, = (x, ; O).
Cuando realizamos las operaciones, vemos que:
Siendo: Z¡ = (XI; O) 1\ Z2= (X2 ; O) si llamo: z, = ZI + Z2
z, = (XI +X2 ; 0+0) = (X¡+X2 ; O)
Si llamo z, = ZI X Zz
z, =(XI X2- O x O ; X¡ 0+ X2x O ) = (XI X2 ; O)
Zc= ZI : Z2 siendo X2 * O
Zc = l( xI x x2 + Ox O ; x2 x O- xl x 0jl = (Xl ;oJ
~2+~ ~2+~ ~
:~
I i
~ Si llamoi :
Vemos que estos números se comportan como Números Reales en las
operaciones comunes. Esto nos dice que podemos identificar al Número Real
Xr como el Número Complejo: (xr ; O).
... ~
:'-1
.;
Consideremos ahora el complejo: (O ; y).
Vamos a elevarlo al cuadrado: (O ; Y/ = (O; y) x (O; y) =
J 1 2
= (O x O - Y Y ; O Y + O y) entonces: (O; yt = (- y; O) = - y
128
j
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
) Vemos que obtenemos un Número Real Negativo al elevar (O ; y)2, Y esto nos
dice que no podemos .identificar (O ; y) con ningún Número Real, pues no
existe ningún Número Real que elevado al cuadrado, de negativo. Esto nos
sugiere escribir el Número Complejo: z = (x; y) de la siguiente forma:
z = x + y i ; llamada FORMA BINÓMICA, donde i NO ES UN NÚMERO
REAL
,..;.
Definiremos de esta forma la Unidad Imaginaria icomo el Número Complejo:
i= (O; 1)
Expresado en forma binómica: i=O+li
Calculemos ahora i2 : -Ó
i2 = i x i= (O; 1) x (O; 1) = (O x O - 1 xl; O x 1 + O xl)
¡2 = ( _ 1 ; O ) => i2 = -1
Los Números Complejos de la forma (O ; y) se denominan Números
Imaginarios Puros.
Si planteamos el
tendremos:
producto de un Número Real por la Unida d Imaginaria
x, x i= (x, ; O) x (O ; 1)
= (x, X O - O xl; x, x 1+ O x O)
= (O ; x, ) => (O ; x.) = x, x i
.........
Concluimos que: el Número Imaginario Puro es el producto de un Número
Real por la Unidad Imaginaria.
Si planteamos ahora la suma de un Número Real (x, ; O) mas un Número
Imaginan-o Puro obtenemos: (x, ; O ) + (O ; Y ) = (Xr+O ; O+y ) = (x, ; y)
Concluimos que: un Número Complejo es la suma de un Número Real y un
Número Imaginario Puro.
Ejemplo: (2 ; 3) = (2 ; O) + (O ; 3) en forma de par ordenado. Si
trabajamos en forma binómica será: 2 + 3 i.
r-
\...J
--.,
'-'
": 129.-,
..
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos-
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA
BINÓMICA
Adición
)
Definición: Si: Z¡ = X¡ + Y¡ i 1\ Z2 = X2 + Y2 i ; entonces:
Zs == Z¡ + Z2 = (x¡ + X2) + (y¡ + Y2) i
Ejemplo: Si: ZI = 2 + 3 i y Z2 = 3 - 2 i j' sumando miembro a miembro:
Zs = (2 + 3)+(3 - 2)i
z, = 5 + 1 i
Sustracción
Definición: Si Z¡ = X¡ + YI i 1\ Z2 = X2 + Y2 Lentonces: Zs = (x¡ - X2) + (YI - Y2) i ' ..- ---.,
Ejemplo: Si ZI = 2 + 3 i y Z2 = 3 - 2 i ;restando miembro a miembro:
z, = (2 - 3) + (3 - (-2») i
z, = -1 + 5 i
Multiplicación .~
Definición: Si Z¡ = Xl + YI i1\ Z2 = X2 + Y2 i ;entonces:
,,~
Ejemplo:
miembro:
Zp = Zl x Z2 = (x¡ X2 - Y¡ Y2) + (x¡ Y2 + X2 y¡) i
Si Z¡ = 2 + 3i Y Z2 = 3 - 2i ; multiplicando miembro a
zp = (6+6) + (-4+9) i
zp = 12 + 5 i
. r-.,
Vemos que el producto se puede obtener de la siguiente manera:
la parte real es la diferencia de los productos verticales.
XI + y¡ i
X2 + Y2 i
130
,,"""
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
~
.i
~~
~
r-e;
~
'"
la parte imaginaria es la suma de los productos cruzados.
XI + YI ¡
X2+ Y2¡
( ... )+(XI Y2+ X2yd i
• ¿Qué pasa si trabajamos con Complejos Conjugados?
Sea: ZI = XI + YI'l ; y su conjugado: zl = xl - Yl ¡
La suma será: zl + zl = (xl + xl) + (Yl - Y1) i ; es decir:
Z1 + ZI = 2 xl
r--
~~
_•••• J
~
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...:.. ..---
-r-,
--
El producto será: z¡ x Z¡ = (x¡ X¡ + Y¡ Y¡) + (xLYl - x¡ Yl)i ; es decir:
? ?
z¡ x zl = xc + YC
Observación: El producto de dos complejos ZI Y Z2 se puede obtener SI
multiplicamos como binomios ( aplicamos propiedad distributiva )
{
Xl + Y¡ i
x .
x1 + Y11
• • • J
XI X2+ X2YI 1 + Y2XI 1 + YI Y2 ¡-
Siendo i1= -1 ; obtenemos: (x¡ X2- YI Y2) + (XI Y2+ X2YI) i
r- DivisiónL- _
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'''..-
Definición: Si z¡ = XI + YI i 1\ Z2 = X2+ Y2 i ; entonces: z, = z¡ : Z2 1\ Z2 :;t: O
Esto se puede obtener operando algebraicamente como división de binomios.
xl + Y¡ 1 • . . dor nor el coni d d 1Ze = . = multiplico numerador y denomma or por e conjuga o e
X1 + Y11
denominador:
x¡+y¡i X1-Y1i (X¡X2+Y¡Y2)+(X1Y¡-X¡Y2)i
Ze = X2 + Y1 ix X2 - Y2 i = xi + Y22 =
131
..J
.J
')
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Xl x2 + YI y:z x2 YI - xI Y2 .
Zc = 7 ,+ , 7 1
X:z- + Y2- X:z- + Y2-
Ejemplo:Si z¡ = 2+3 i Y Z2= 3-2 i ; hallar z¡ : Z2 =
[2x3+3(-2)]+[3x3-2(-2)]i O 13. ..
Zc= 9+4 =13+131=0+11=1
Ejemplo: Si z¡ = 2+4 i y Z2= 3+5 i ; hallar z¡ : Z2 =
3 x 2 + 5 x 4 3 x.A - 2 x 5 . 26 2.
z, = z¡ : Z2 9 + 25 + 9 + 25 1= 34 + 341 ..~.-~.
Ejemplo: Resolver el ejemplo anterior. operando algebraicamente:
2 + 4i . lti li .: . 1 . d d 1 d . dZc= 3 + 5i = SI mu tip leamos por e conjuga o e enornrna or:
(Z+4i){3-5i) [2x3+4x5J+[2x(-j)+4x3]i 26 2.
Zc = =. =-+-1
(3+Si)(3-Si) 9+25 3434.
Representación Gráfica de Números Complejos
Si consideramos un sistema de coordenadas cartesianas, el Número Complejo:
z = X + Y i puede representarse gráficamente por un punto P de coordenadas
(x;y) en el plano cartesiano. A cada punto del plano corresponde un Número
Complejo, y a cada Número Complejo corresponde un punto ( relación
biunívoca ).
~y
I Z".yl - --1
I
I
I
I
En el eje horizontal representamos (a
escala) el coeficiente real y en el eje
vertical representamos el coeficiente. . .
unagmano.
El complejo z¡ = x(+y( i se representa como
muestra la gráfica.
____ ~-- __ --~ ~x
O
Ejemplos: Representar gráficamente los siguientes Números Complejos:
z(=2+3i z2=1-2i z, =-2+2 i ; z4=0+2i
Z5 = 3+0 i Z6 = -2-3 i
132
-----~~~-~ --~----
~
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~ -'
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'" j.-rr>;
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
. Zl,- .,.
I
El punto que representa al Número
Complejo en el plano se llama afijo
del Número Complejo,
I
-lO Z2
I26 -: -3
Módulo y Argumento de un Número Complejo----o
Dado el complejo Z¡ = X¡ + y¡ icuyo afijo es el punto P. Si unimos el origen de
coordenadas O con el punto P, obtenemos el
segmento OP.
y
yl
~. '.;-"
---1P
1 Si llamamos r a la medida del segmento OP
1 (referido a la escala de los ejes). Este valor r
: se llama MÓDULO del Número Complejo y
__ -::+ --''-- __ ~x su valor será: r = ~ x,' + y 12 (Teorema de
O
Pitágoras)
y
"'" :
'~,
........, ;f
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rr-; \_~.
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~ ,
.,.•.. -
.--.,
.--..
A
El ángulo rox-s recibe el
ARGUMENTO del Número
nombre de
Complejo.
--~r-~--*---~X ~
Adoptamos el semieje OX como lado origen de
los ángulos, y el sentido antihorario para los
ángulos positivos. El punto P queda determinado si
fijamos r y 8, pero a cada punto del plano le
corresponden infinitas formas r y 8 con el mismo módulo r y argumentos
congruentes. ( 8 , 8+360°, 8+2x360°, )
La forma r y 8 de un Número Complejo, se llama FORMA POLAR del
Número Complejo y se simboliza: r (8)
133
Para ello primero trazamos una semirecta
por el origen, que forme un ángulo de 45°
con el eje OX. Luego, sobre él medimos 2
unidades.
"
~
U ,.--.
J
........,
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.•.•...•
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Ejemplo: Representar gráficamente el Número Complejo: 2 (45°)
Ejemplo: Representar gráficamente, el Número Complejo: 3(120°)
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P 3
2
Ejemplo: Representar gráficamente el Número Complejo: 2(_30°)
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"" ~p
2
e¿Cómo pasar de la forma binómica a la forma polar o viceversa?
Si tenemos un complejo en forma binómica
z\ = X\+Yl i y pretendemos pasado a la forma
polar, debemos calcular r¡ Y81•
Si graficamos:
y
____+-~ __~ ~x
134
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Vemos que: rl = ) x ¡2 + Y12 por Pitágoras y además
Y¡ (y¡l
tg81 = - => 81 = are tgJ-j
Xl "X¡
o sea que dados x¡ 1\ Yl puedo obtener ri Y 81 por medio de:
rrl=~X12+y?
~ '(yll Esdecir:zl=xl+Yll=rl(OI)
181 = are tgJ-jl "xl
Si tenemos un Número Complejo expresado en forma polar Z¡ = r¡
pretendemos expresarlo en forma binómica, debemos calcular: X¡ 1\ YI.
Del gráfico vemos que:
xII
cos 81 = - => ~
rl
Xl = rl cosü¡
=>J
(01) Y
Ylsen 81 =-
rl
Yl = rl senO¡
Otra manera de simbolizar la Forma Polar es: rl ~ = X¡ + y ¡ 1
FORMA TRIGONOMÉTRICA
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Siendo: XI = r¡ cos 8¡ ; YI = r¡ sen 81, si lo reemplazamos en:
XI + Y¡ i= r¡ cos 81 + i rl sen 81 = r¡.(cos 8¡ + i sen 81)
Obtenemos: Z¡ = rl (cos 81 + i sen 81) que recibe el nombre de FORMA
TRlGONOMÉTRlCA del Número Complejo ZI.
Ejemplo: Dado el Número Complejo: ZI = 1+i expresarlo en forma polar y
trigonométrica.
r¡ = ~ X 12 + Y12 =)12 + 12 = Ji
8\ = are tt} are t~T)= are tg1= 45'
zl = Ji145° polar
Z1 = Ji (cos 45° + i sen 45° ) trigonométrica
135
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Ejemplo: Dado el Número Complejo Zl = 3130°; expresarlo en forma
binómica.
J3
Xl = rl cos 81 = 3cos300= J. 2"
1 3
Yl = [1 sen 81 = 3sen300= 3x 2"=2"
3.J3 3.
zl = -- + - 1 (forma binómica)2 2
136
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Multiplicación y División de Números Complejos expresados en
Forma Trigonométrica o Polar
Definición: Dados: Z¡ = r¡ (cos 8¡ + i sen 8¡) = rl~
Z2= r2 (cos 82 + i sen 82) = r 2182 __ o '"
Si multiplicamos Z¡ x Z2obtendremos r.
r¡ cos 81 + ¡ r¡ sen 81,
r2 cos 82 + ¡ f2 sen 82
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r = r¡ f2 cos 81 cos 82 + i r¡ r2 sen 81 cos 82 + ir¡ rz sen 82 cos 81 +
+ ¡2 r¡ r2 sen 81 sen 82
"" "
Agrupando y recordando que ¡2= -1
r=TI r2 (cosü¡ cos92 - senü, sen82)+i r¡ f2 (senü¡ cosü, + sen82 cosü.)
r = r¡ f2 cos(81 + 82)+i rl r2 sen(81 + 82)
r = rl r2 (cos (81 + 82)+i sen (81 + 82». ( forma trigonométrica)
Expresandolo en forma polar: r = rl x r21 81 + e2
El resultado de la multiplicación de dos Números Complejos es otro
Número Complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de los
Números Complejos dados, y el argumento es la suma de los argumentos.
Ejemplo: Dados.z¡= 31300 ; Z2= 2120° . Determinar Z = ZI XZ2
Será: Z = 3 x 2 (30 ° + zo 0) = 6 (50°)
Ejemplo: Dados ZI = 3 (-15 0) ; Z2 = 5 (130 0) Z3
Z=ZIXZ2XZ3
Será: 3x5x2 (_15°+ 130°+45°) = 30 (160°)
2(45 0) Determinar:
El cociente de dos Números Complejos ZI Y Z2 será otro Número Complejo Z
Z¡ r¡(81)
tal que: z = - = = r(8)
Z2 r2(82)
Por la definición de cociente debe verificarse que:
rl(81) = r( 8) x r2 (02)
Lo que implica:
rl(81) = r x f2 (8 + 82)
140
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Será entonces:
rl = r x r2 => r = 1..
r2
Luego:
El cociente de dos Números Complejos es otro Número Complejo, cuyo
módulo es el cociente de los módulos del dividendo y divisor y el
argumento es igual a la diferencia de los argumentos.
1 d 2· z¡Ejemp o: Da os: Z¡ = 3 (30°) Z2 = (20°)· Deterrnmar z =z2
Z = ; (30°-20°) ; z = ; (lO 0)
Ejemplo: Dados: Z¡ = 3 (_15°) Z2 = 5 (130°) z) = 2 (45°).
. Z¡ Z7Deterrrunar z =---Z3
3 x 5 15
Z = 2 (-1 5°+130°-4 5°) = 2(70°)
Potencia de un Número Complejo en forma polar
Para determinar la potencia n-ésimade un Número Complejo basta aplicar la
regla parad producto.
Dado: Z¡ = r¡ (81)' Hallar ZI n = Z
Z = (rl(81)t = rl x r¡ x r¡x ...xr¡18¡ +8¡ +81+ ...8¡
n veces n veces
Ejemplo: Dado: Z¡ = 2 (20°). Hallar Z = ZIIO
Z - Z 10 - 210- I - (10° x 20°)
Z = 1024 000°)
141
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Radicación de Números Complejos
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Ejemplo: Dado: Z¡ = 3 (l000). Hallar z = Z¡5
Z - Z 5 - 35- ¡ - (5xl000)
Z = 243 (500°)
z = 243 (140°)
Si el Número Complejo está expresado en forma trigonométrica su potencia
será: Z = Z¡ n = [ r ( cos 8¡ + i sen e¡ ) ] n . Simplificando:
z = r n (cos o 81:Ti seo o el) I
Esta formula se conoce con el nombre de FÓRMULA DE MOIVRE.
Ejemplos: (cos e¡ + i sen é;i = cos 28¡ + i sen 28¡
(cos e¡ + i sen 81)3 = cos 381 + i sen 381
Ejemplo: Dado: Z¡= (3(cos 30° + isen 30°)]4
Resultando: Z = ZI4 = 81 (cos 1200 + i sen 120°)
Para determinar las raíces n-ésimas de un Número Complejo z, debemos tener
en cuenta que si llamamos w a ese Número Complejo, deberá cumplirse lo
siguiente: r¡:¡ = w ::::> Z= w"
Si: z = r (cos 8 + isen 8) ; o z = a + b i
w= (3 (cos <p + isen rp) ; tendremos: w n = Z
Si lo expresamos en forma trigonométrica:
(311 (cos n rp + isen n <p)= r (cos 8+isen 8)
Esta igualdad implica que: (311 = r ::::> (3 =; iff
8 + 2k7t .,
si: n <p = 8 + 2 k 7t ::::> <p= para k = 1,2 n (k E Z)
n
Cada una de las raíces complejas se puede determinar por la siguiente
expresión:
ni {e+ 2k7t) . n(8 + 2k7t)
Wk = :.¡¡ rlco + I se. n n con k = 1 ; 2 ; .... n.
142
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Esto nos permite calcular las n raíces distintas del Número Complejo z.
Gráficamente vemos que todas las
e.i
raíces de un Número Complejo quedan
sobre una circunferencia de radio
8 = Vr e igualmente distribuidas.
.•...... --.
r
Por ejemplo si n=4 tenemos:
4
e.r-
r = I z I
si z = a + b i
r = )r-a-2-+-b-2
9= are t~:)
.4"
.......... --".,~"'
Si k = 4
4J (9+27t) . J9+27t)l
W 1 = ~ rL ea\. 4 + 1 se, 4 J
4J (8 + 47t). (8 + 47t)l
W 2 = =ti rlea\. 4 + 1 se, 4 J
4J (8 + 67t). (8 + 67t)l
W 3 = =ti rlea\. 4 + 1 sen 4 J
4J (8+87t). (8 + 87t)l
W 4 = =ti rL ea\. 4 + 1 se, 4 J
Si k = 1
Si k = 2
Si k = 3
Vemos que todas las raíces tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren
27t rr
en - = - (o sea 90°).
4 2
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Ejemplo: Calcular las raíces cúbicas de z = 2 + 2.J3i Y graficar.
Por lo tanto debemos calcular: w = ~2 -t2.J3i .
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Si z = 2 + 2.J3i entonces: a = 2 Y b = 2.J3i
El módulo de z será : r=lzl=)22 +22 x3=.Jf6=4
(2.f3JEl argumento de z será: 8 ~ are tg -2- = 60°
Las raíces cúbicas de z serán: W¡, W2, Y W3.
l·:!)
Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
~J (600+3600), (600+3600)l
1) W¡ =)j tCO\ 3 + 1 se~ 3 J para k = 1
w¡ = 1,5874(cos 1400+i sen 140°) = 1,5874(1400)
Expresado en forma binómica:
WI = 1~5874(-0,7660+i 0,6428)=-1,2160+i 1,0204
.,J (6oo+7200), (600+72oo)l
2) W:2= ~ 4l CO\ 3 + 1 se~ 3 J para k = 2
W:2= 1,5874(cos 260° +i sen 260°) = 1,5874(2600)
Expresado en forma binómica:
W2 = 1,5874 (-0,1736'1- i 0,9848) = -0,2746 + i 1,5633
.,J [600+108(0) , 'j6oo+108oo)l
3)W3=~4LCO\ 3 +lse~ 3 J parak=3
W} = 1,5874(cos 3800+i sen 380°) = 1,5874(cos 200+i sen Zü") =
= 1,5874(20°)
Expresado en forma binómica:
w3 = 1,5874 (0,9397 + i 0,3420) = 1,4917 + i 0,5429
360°
Sus argumentos difieren en -- = 1200
3
Si graficamos z y sus raíces:
Observación:
1) Todas las raíces están ubicadas en una
ircunferencia de radio 1,5874.~~----~~~--~~~
) El argumento de W3es el argumento de
z dividido 3, o sea 20°,
3) El argumento de W2 se obtiene
3600
sumando al anterior -- = 1200, o sea es
3
Conclusión: Las tres raíces de
W¡=1,S874( 140°)
W2=I,S 874(260°)
WA5700)
v.
:
"
';';'ó- ..... '
z = 2 + 2.J3i son:
120°+200= 140°,
4) El argumento de W¡ se obtiene sumando al anterior 1200, o sea es
140°+120°=2600,
144
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
Raíces de la unidad
• ¿Cómo calculamos la raíz cuadrada de 1?
Si consideramos a l como el complejo 1+Oi Y calculamos sus raíces W¡, y
w: tendremos:
z= l-s Oi
r = I~= ~12 + 02 = 1
Oe = are tg T = fJ3
Las raíces serán:
J (00+360,?) (00+3600)l
1) Wl =.JIl CO\ 2" + i se, 2 J
W 1 = 1(cos 18-0°+i sen 1-80°).= -1 + Oí= -1
parak=l
; Wl =-1
J ffJ3+72fJ3) . (fJ3+72fJ3)l
2) W'2 = .J IICO\ 2 + 1 se, 2 J
W2 = lícos 600+i sen óü") = 1+ Oi= 1
parak=2
• ¿Cómo calculamos la raíz cúbica de l?
Las raíces serán:
l)w 1 = VI[ co{ fJ3+~6fJ3) + i se{ fJ3+~6fJ3)] para k = 1
wl = lícos 1200+i sen 120°) = -~ + 1i= 1(120°)
r--. '__,
~J (fJ3+7200\ ~ (fJ3+7200)l
2)w2=;VllCO\ 3 )+!se, 3 J parak=2
W2 = llcos 240° +i sei 240°) = - ~ -1f. i = 1(240°)
'...:.•....
3
3J (0°+1 08fJ3). (0"+ 108fJ3\l
)w3 =V'llCO\ 3 +1 se~ 3 )J
W3 = lícos 3600+i sen 360°) = 1+ Oi= 1(0°)
parak=3
, .'
',•...~..
Si las representamos gráficamente, las tres raíces están ubicadas en una
circunferencia con centro en el origen y radio 1, separadas entre sí a 120°.
145
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Revisión de los distintos Conjuntos Numéricos - Números Complejos -
e.i,
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WI.··.,,,,,,
I •
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W.JI.,,,,,
• ¿Cuáles son las raíces que se obtiene de Vi?
1) w 1 = O+ 1 i= i o sea w 1=1(90°)
2) Wl = -1 + O i= -1 o sea W2=l(l800)
3)w3=O-1 i=-i o sea W3=1(2700)
4 )w4 = 1 + O i = 1 o sea w4= 1(0°)
Verificarlo.
146
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funciones
Tema 1: Desigualdades - Magnitudes - Dominio -
Tema 2: Conjuntos Puntuales - Variables -
Tema 3: Relaciones.-
Tema 4: Funciones.-
Tema 5: Funciones Pares - Funciones Impares -
- Funciones Periódicas -
Tema 6: Composición de Relaciones -
- Composición de Funciones - Desplazamientos -
Tema 7: Función Lineal.-
Tema 8: Función cuadrática.-
Tema 9: Función Inversa.-
TemalO: Sistemas de Inecuaciones.-
I ,',
Introducción Teórica."I
Ejercitación.-
Autoevaluación.-
Estudio con Mathematica.-
. Respuesta de los Ejercicios
Respuesta de las Autoevaluaciones
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( "
TEMA 1: DESIGUALDADES - MAGNITUDES - DOMINIO - ORDEN
r----
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"".....:
+-,Si recordamos que una relación de orden R se define mediante el concepto de
positividad.
Decimos que el número real a es 'menor que el número real b, si la diferencia b-a
es positiva. En ;:,;¡,.~10105: a < b Q b - a > O
Otras re lacíeees 5Q1f:
a>b
a~b
a~b
(se lee: a es mayor que b),
(se lee: a es menor o igual que b).
(se lee: a es mayor o igual que b).
Geométricamente se interpreta así:
a < b Significa que: "el número real a está situado a la izquierda del
número real b en la recta numérica"
a>b Significa que: "el número real '0 está situado a la derecha del
número real b en la recta numérica"
Los símbolos: < , > , ~ , ¿ representan desigualdades.
Los símbolos: < , > representan desigualdades estrictas.
Eje mp los: ..., < 5
iv > 2
> -3
7t >-5
-5 <-3
x > 2
x ~ 3
x < 2
x ~-5
Desigualdades
Sean a, b y e Números Reales.
Se pueden demostrar las siguientes propiedades:
196
Desigualdades - Magnitudes - Dominio -
1. El sentido de una~~igualdad no cambia si se suma o resta el mismo número.
real a ambos lados. .
S i a < b entonces a + e < b + e
a-e < b-e
Si a > b entonces a + e > b + e
Si a ~ b entonces, a - e ~ b - e
2. El sentido de una desigualdad
djviden gor el mismo número