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Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 35 3.2 Resolución de SL de EDO usando matriz exponencial: uso del Álgebra Lineal Hay métodos muy sencillos que permiten transformar un sistema lineal de cualquier orden en uno de primer orden. De allí que trataremos solo éstos. 3.2.a Sistemas Homogéneos. Supongamos el sistema � ��� �t� � �����t� �����t� � � ���t���� �t� � �����t� �����t� � � ���t�… …��� �t� � ����t� ����t� � ���t��; donde �� � � (aunque podrían ser funciones continuas, solo trabajaremos con constantes reales). El mismo se puede escribir de la forma matricial ��� ������ � �= � �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � ������ � o en su forma vectorial ��������� � �� �����. Si X����������; X����������; …; X���������� son soluciones linealmente independientes de ��������� � �� ����� al conjunto formado por ellas se lo denomina conjunto fundamental de soluciones. Observar la similitud de ��������� � �� ����� con la ecuación de Abel ����� � ����, la que tiene por solución ���� � ! "# $ � !�1 � 2�22! 3�33! � )�))! � �. El segundo teorema de esta sección mostrará que una expresión similar es la solución del sistema de ecuaciones diferenciales. Se comenzará por la definir matriz exponencial e�+ � I �+ 12! �+� 13! �+- � 1n! �+� � e�+/ � I �+t ��! ��+t�� �-! ��+t�- � ��! ��+t�� �. Ejemplo: Calcular e0 � e� 0 00 0 � 00� � � �0 0 � 0� Resolución: e0 � I 0 ��! �0�� �-! �0�- � � I. El resultado del ejemplo anterior permite escribir e�+ � ∑ ��! �+�3�40 y e�+� � ∑ ��! �+�t�3�40 Ejemplo: Siendo D=� �� 00 �� � 00� � � �0 0 � � mostrar e 5/ � � e 11 � 00 e 22 � � 00� � � �0 0 � e )) ��. Resolución: En el caso que A sea una matriz diagonal D=� �� 00 �� � 00� � � �0 0 � �, calcular e 6/ es un problema sencillo, dado que D� � � 11 00 22 � 00� � � �0 0 � ))� ) � � 11) 00 22) � 00� � � �0 0 � )))�, luego e5/ � ∑ ��! �Dt��3�40 =∑ ��! D�t�3�40 � ∑ /8�! � 11 ) 00 22) � 00� � � �0 0 � )))� � 3�40 Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 36 e5/ � 9 ::; ∑ ��!3�40 � 11t�) 00 ∑ ��!3�40 � 22t�) � 00� � � �0 0 � ∑ ��!3�40 � 22t�)< ==> � � e 11 � 00 e 22 � � 00� � � �0 0 � e )) ��. Teorema: convergencia de la matriz exponencial e�+/ . H) e�+/ � I �+t ��! ��+t�� �-! ��+t�- � ��! ��+t�� � � ∑ ��! ��+t��3�40 T) e�+/ es convergente para todo t Sin demostración.H Teorema: Solución general de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales; forma matricial. H�H�H�H� �� � � J ; con coeficientes reales ����) función vectorial derivable sobre � ; Q��� � � cuyas componentes son constantes cualquieras T)T)T)T) V�����) � eW/ Q���� es solución de ��������) � �� ����) Demostración: Por hipótesis e�+/ � I �+t ��! ��+t)� �-! ��+t)- � ��! ��+t)� � � ∑ ��! ��+t)�3�40 . Usando el teorema que expresa que una serie de potencia puede derivarse término a término sin que por ello cambie su radio de convergencia se tiene: X Y"�+$Q����ZX� � X["�+$\X� Q���� � X Y] �+� 12! ��+�)� 13! ��+�)- � 1)! ��+�) � ZX� Q���� � X Y"�+$Q����ZX� � XX� ^ 1)! �+ � 3�40 Q���� � ^ XX� _ 1)! �+ � ` 3 �40 Q���� � ^ ))! �+ � a� Q���� 3 4� Notar que la derivada del primer término de la serie Ybcb$ Z es nulo, de allí que la última sumatoria comience desde ) � 1. Haciendo algunos simplificaciones se tiene: X Y"�+$Q����ZX� � ^ 1) d 1! �+ � a�Q����3 4� �efghijg�kl a�4m ^ 1n! �+mo��mQ����3m40 �epqg�kl �+rst4�+ �+r ^ 1n! �+ �+m�m3m40 Q���� � X�"�+�Q����)X� � �eugfg�kl vgf/lw flhú�ygq hg/wjz Wq { |}/wg{é�klyg v�|wg k| yg q�hg/lwjg; ík|h Q��� �+ � ^ 1n! �+m�m3m40 � Q���� �epqg�kl yg k|�j�jfjó� k|hg/wjz |}�l�|�fjgy �+ "�+ � Q���� Entonces bb$ �"�+ �Q�������V����$) � � �+ "�+ �Q�������V����$) ; lo que prueba que V���) es la general de la ecuación ��������) � �+ ������). H Observaciones: Si se conoce la condición inicial ���0) � ��1�0)�2�0)��3�0)� � ������� se puede determinar fácilmente el valor de Q ��� pues ������� � ���0) � e��0Q��� � ]Q��� � Q���. De forma similar mostrar la segunda afirmación del recuadro. Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 37 La solución (particular) de ���������� � �� ����� ���0� � ������� � es V���� � "��$������� y la de ���������� � �� ����� ������ � ������ � es V���� � "���$a��������� Este teorema anterior da el procedimiento para encontrar la solución general del sistema ��������� � �� ����� y si se conoce la condición inicial ���0�. El método se reduce a calcular la matriz "��$, denominada matriz fundamental del sistema o solución matricial fundamental. La complejidad de la determinación "��$ depende de ��. Por orden de complejidad trataremos los tres casos posibles: a) �� es diagonal; b) �� no es diagonal, pero es diagonalizable y c) �� no es diagonalizable. a) �� es diagonal; la solución es V���� � � e#tt $ 00 e#�� $ � 00� � � �0 0 � e#�� $� Q��� Ejemplo: Obtener la solución general del sistema � � � ��� � 2����� � d���-� � 0 � y la particular sabiendo que ���0� � ����0����0��-�0�� � � 345� Resolución: En forma matricial S: ��������-� � � � 2 0 00 d1 00 0 0� � �����-�. La solución general es � V�V�V-� � "��$ � ��!� =�"� $ 0 00 "a $ 00 0 "0$� � ��!� � � V�V�V-� � � �"� $�"a $! � y la particular � V�V�V-� � "��$ � 345� � � 3"� $4"a $5 � �� �� no es diagonal, pero diagonalizable. Tampoco es difícil utilizar el teorema anterior si la matriz �� es diagonalizable, esto es existe la matriz invertible ! tal que �� � !6!a�. Bajo estas condiciones �� � ! 6 !a� y ����� � ! �6�� !a� e�+/ � I �+t ��! ��+t�� �-! ��+t�- � ��! ��+t�� � Reescribiendo: eW/ � !]!d1 !6�!d1 C �6���2! !d1 C �6��-3! !d1 � C �6���n! !d1 � Notando que cada sumando de la serie tiene como primer matriz del producto a ! y última a !a�, se extraen ellas como factores comunes e�+/ � C �] 6 t ��! �6��� �-! �6��- � ��! �6��� � � !d1 e�+/ � ! "6�!d1. Luego V���� � ! � e#tt $ 00 e#�� $ � 00� � � �0 0 � e#�� $� !a�Q��� Ejemplo: Dado el sistema � � ���� � d2�� ����� � 5�� 2 �� � , obtener: a) la solución matricial fundamental del sistema Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 38 b) la solución general del sistema c) la particular tal que ���0� � 6 y ���0� � 7 d) la solución particular tal que ���1� � 0 y ���d1� � 3 Resolución: La forma matricial de S es Y�t �� Z � Yd2 15 2Z Y�t��Z. Los autovalores de A son tales que ¡d2 d ¢ 15 2 d ¢¡ � 9 d ¢� ¤ ¢ � ¥3. Para determinar los autovectores se resuelve � §� � ¢ §�. Luego ¢� � d3 ¤ §�� � Yd11 Z (notar que Yd2 15 2Z Yd11 Z � d3 Yd11 Z ). ¢� � 3 ¤ §�� � Y15Z (notar que Yd2 15 2Z Y15Z � 3 Y15Z ). Con estos datos es posible diagonalizar �� según Yd2 15 2Z � Yd1 11 5Z Yd3 00 3Z Yd1 11 5Za� � "�� $ � ! "¨$!a� � Yd1 11 5ZY "a-$ 00 "-$Z Yd1 11 5Za�=Yd1 11 5Z Y "a-$ 00 "-$Z �d ©ª �ª�ª �ª� "�� $ � �ª _ 5"a-$ "-$ d"a-$ "-$d5"a-$ 5"-$ "a-$ 5"-$ ` . �� La solución general es V���� � "�� $ Y��Z � �� Y ©ª "a-$ �ª "-$Z ��d �ª "a-$ �ª "-$�� Yd ©ª "a-$ ©ª "-$Z ���ª "a-$ ©ª "-$�� ; «� La solución particular se obtiene planteando YABZ � Y67Z ; luego V���� � Y®t®�Z � e�� / Y67Z; entonces V���� � Y®t®�Z � � �-ª "a-$ �-ª "-$d �-ª "a-$ ª©ª "-$� ; luego � V� � �-ª "a-$ �-ª "-$ X� � d �-ª "a-$ ª©ª "-$ � d� Del ítem b) �V���� � � Y©ª "a-$ �ª "-$Z � Yd �ª "a-$ �ª "-$ZV���� � � Yd ©ª "a-$ ©ª "-$Z � Y�ª "a-$ ©ª "-$Z� Usando las condiciones iniciales � V��1� � 0 � � Y©ª "a- �ª "-Z � Yd �ª "a- �ª "-ZV��d1� � 3 � � Yd ©ª "- ©ª "a-Z � Y�ª "- ©ª "a-Z� Resolviendo este sistema se obtendrá � � �0¯°±�©o°²�� y � � �¯°±©o°², por lo que la solución será: V���� � 108"-�5 "ª�� _56 "a-$ 16 "-$` 18"-5 "ª _d 16 "a-$ 16 "-$` V���� � 108"-�5 "ª�� _d 56 "a-$ 56 "-$` 18"-5 "ª _16 "a-$ 56 "-$` Nota: V���� µ V���� podrían simplificarse si se continua operando. Queda como ejercicio resolver este sistema usando el método de eliminación, debiendo llegar al mismo resultado. Ejemplo: Dado el sistema Y�t �� Z � Y 2 d1 5 d2Z Y �t ��Z, determinar: a) la matricial fundamental del sistema, b) la solución general del sistema, c) la solución particular si ���0� � 1 y ���0� � d1. d) la solución particular si ���0� � 1 y ���¶� � 0. Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 39 Resolución: En este caso los autolvalores son complejos ya que ¡2 d ¢ d15 d2 d ¢¡ � 1 ¢� � 0 � ¢ � ¥�. El espacio propio es ·") �¸�o�©1 ¹ , ¸�a�©1 ¹» La matriz �� es diagonalizable según Y2 d15 d2Z � ¸�o�©1 �a�©1 ¹ Y � 00 d�Z ¸�o�©1 �a�©1 ¹ a� "�� $ � ! "¨$!a� � =_�s¼½� �¾¼½� ` _ "�$ 00 "a�$` � a©��©�� �o����a��� �= Reemplazando "�$ � cos��� � +")��� y "a�$ � cos�d�� � +")�d�� � cos��� d � +")���, "�� $ � _�s¼½� �¾¼½� ` _cos��� �+")��� 00 cos��� d �+")���` �a©��©�� �o����a��� � ; luego Simplificando el producto matricial anterior "�� $ � Ycos � 2+") � d+") �5+") � cos � d 2+") �Z a) Y����Z � "�� $ Y ��Z � Y � cos � 2� +") � d �+") �5A sen � � cos � d 2�+") �Z � _ � cos � �2� d ��+") ��5A d 2B�sen � � cos �` b� _V�V�` � "�� $ Y 1d1Z � Ycos � 3 +") �7 sen � d cos �Z; � � V� � cos��� 3+")���V� � 7 sen��� d «�+���� . c� ¿ � � 1d� � 0� ¤ � V� � «�+��� 2+")��� V� � 5 +")��� � «� Àa matriz �� no es diagonalizable. Aquí es necesario recurrir a la forma canónica de Jordan de la matriz ��. Así puede mostrarse existe la matriz Á tal que �� � ! Á !a�. Trataremos sólo el caso �� � ��J�, no diagonalizable. El polinomio característico tiene dos raíces iguales ¢ y �� tiene un único autovector §��. Para determinar el segundo vector columna §�� de ! se resuelve el sistema §�� � ��� d ¢ ]� §��. Además Á � Y ¢ 10 ¢Z, y "Â$ � _ "à $ � "à $0 "à $ `. Finalmente "��$ � ! "Â$!a�. Luego V���� � ! "Â$!a�Q��� Ejemplo: Dado el sistema Y�t �� Z � Y3 d28 d5Z Y�t��Z, determinar: a) la matricial fundamental del sistema, b) la solución general del sistema, c) la solución particular si ���0� � 1 y ���0� � 2. Resolución: Aquí los autovalores son iguales ya que ¡3 d ¢ d28 d5 d ¢¡ � 1 2¢ ¢� � 0 � ¢ � d1. Para calcular §�� se resuelve la ecuación Y3 d28 d5Z §�� � d1 §�� ¤ §��=Y12Z Para calcular §�� se resuelve la ecuación Y3 1 d28 d5 1Z §�� � §�� � Y12Z ¤ §��=¸�Ä0¹ La matriz �� se reescribe bajo la forma de Jordan: Y3 d28 d5Z � ¸ 1 �Ä2 0¹ Yd1 10 d1Z ¸ 0 ��4 d2¹; a) "�� $ � ! "Â$!a� � ¸ 1 �Ä2 0¹ Y "a$ �"a$0 "a$ Z ¸ 0 ��4 d2¹= Y "a$ 4�"a$ d2�"a$8�"a$ "a$ d 4�"a$Z Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 40 b) _V�V�` � "�� $ Y ��Z � _��"a$ 4�"a$� d 2� �"a$�8�"a$ ��"a$ d 4�"a$� ` � � V� � �"a$ �4� d 2�� �"a$V� � �"a$ �8� d 4���"a$ � c) _V�V�` � "�� $ Y 12Z � � V� � "a$ V� � 2"a$ � 3.2.b Sistemas Inhomogéneos. Se verá un método para resolver los SL de EDO que respondan a la forma ��������� � �� ����� Å����. Teorema: H) ��������� y ���������� son soluciones del sistema no homogéneo ��������� � �� ����� Å���� (1) T) ��������� d ���������� es solución del sistema homogéneo ��������� � ������� (2) Demostración: Por hipótesis ������������ � �� ��������� Å���� y ������������ � �� ���������� Å����. Restando m.a m. estas ecuaciones se tiene ������������ d ������������ � �� ��������� Å���� d ��� ���������� Å����� � �� ���������� d �����������. Luego ��������� d ���������� verifica el sistema homogéneo (2) H Esto significa que ������ d ������� � �Ç���� ¤ ������ � ������� �Ç���� . Advierta la similitud del teorema con el desarrollado para ecuaciones diferenciales lineales no homogénea. Al igual que en su similar, este teorema permite concluir que la solución general del sistema no homogéneo (1) puede expresarse como V���� � VÇ�������� VÈ��������, denominando VÇ������ a la solución general del sistema homogéneo. Luego ��������� � VÇ�������� �������(t), lo que se interpreta que cualquier solución del sistema inhomogéneo puede expresarse como la suma de la del homogéneo más una propia. Así la solución general de sistema inhomogéneo ��������� � �� ����� Å���� será V�=VÇ�������� VÈ�����(t), siendo VÇ�������� � "�� $Q��� y VÈ�����(t) una solución propia. Resumiendo La solución de ��������� � �� ����� Å���� es V�= "�� $ Q��� �È�����(t) Para la determinación de la solución propia VÈ�������� de un sistema lineal de EDO de 1º orden se demostrará el siguiente teorema: Teorema: Método de variación de las constantes para determinar la solución propia H) Dada ��������� � �� ����� Å���� ; �� matriz cuadrada de tamaño n; Å���� con funciones componentes continuas. T) VÈ�����(t)= "�� $ É "a�� $Å���� X� es solución propia del sistema inhomogéneo Por las similitudes mencionadas anteriormente de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con las ecuaciones diferenciales lineales no será casual que se utilice el método de variación de parámetros o de constantes para determinar VÈ�����(t). Se supondrá entonces que VÈ�����(t)= "�� $ Ê�����; esto es: se varía el vector constante Q��� por la función vectorial Ê�������. Derivando miembro a miembro V�È�������=�� "�� $ Ê�� �Ë�Ë�®Ì�������/� "�� $ Ê��� . Así V�È�������=�� VÈ����� "�� $ Ê���. Por otro lado VÈ����� es solución de ��������� � �� ����� Å���� entonces V�È�������=�� VÈ����� Å����. Utilizando las dos fórmulas finales de los párrafos anteriores: "�� $ Ê���=Å����. Sabiendo que la inversa de "�� $ es "a�� $ (notar que "�� $"a��$ � "0 � ]) es posible despejar Ê��� � "a�� $Å���� . A partir de ésta calcular Ê�����= É "a�� $Å���� X�, siendo entonces la solución propia VÈ�����(t)= "�� $ É "a�� $Å���� X�. H Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 41 Resumiendo V���� � "� $ Q��� "� $ É "a� $Å���� X� es solución de ��������� � � ����� Å���� Ejemplo: resolver el sistema ���� � 4�� 2�� "$��� � 3�� 3�� "$ � Resolución: La forma matricial es _������ ` � Y4 23 3Z. Y����Z Y"$"$Z Los autovalores de Y4 23 3Z son 6 y 1 dado ambos son soluciones de ¡4 d ¢ 23 3 d ¢ ¡ ��4 d ¢��3 d ¢� d 6 � 0. Los el conjunto de autovectores es ¿Y11Z ; Yd23 ZÍ. Luego la diagonalización de la matriz expresa Y4 23 3Z � Y 1 d21 3 Z Y6 00 1 Z Y 1 d21 3 Za� Y4 23 3Z � Y 1 d21 3 Z Y6 00 1Z � 35 25d 15 15� La solución matricial fundamental es "�� $ � Y 1 d21 3 Z Y"ª$ 00 "$ Z � -© �©d �© �©� � "�� $ � "YÄ �- -Z $ � 15 _ 2"$ 3"ª$ d2"$ 2"ª$d3"$ 3"ª$ 3"$ 2"ª$ ` La inversa de la matriz fundamental es "a�� $ � Y 1 d21 3 Z Y"aª$ 00 "a$ Z � -© �©d �© �©� � "a�� $ � "aYÄ �- -Z $ � 15 _ 2"a$ 3"aª$ d2"a$ 2"aª$d3"a$ 3"aª$ 3"a$ 2"aª$ ` Usando estos datos: Solución complementaria: X���f � e�� / K���=�© _ 2"$ 3"ª$ d2"$ 2"ª$d3"$ 3"ª$ 3"$ 2"ª$ ` . Y��Z=_��2"$ 3"ª$� ��d2"$ 2"ª$���d3"$ 3"ª$� ��3"$ 2"ª$�`= X���f � _ �2� d 2��"$ �3� 2��"ª$�d3� 2��"$ �3� 2��"ª$` Solución propia: X���� � e�� / É ea�� / Å��t� dt X����= �© _ 2"$ 3"ª$ d2"$ 2"ª$d3"$ 3"ª$ 3"$ 2"ª$ ` É �© _ 2"a$ 3"aª$ d2"a$ 2"aª$d3"a$ 3"aª$ 3"a$ 2"aª$ ` Y"$"$Z X� X����= ��© _ 2"$ 3"ª$ d2"$ 2"ª$d3"$ 3"ª$ 3"$ 2"ª$ ` É Y"a©$"a©$Z X� � ��© _ 2"$ 3"ª$ d2"$ 2"ª$d3"$ 3"ª$ 3"$ 2"ª$ ` � °¾½Ïa©°¾½Ïa© � X���� � d �© Y"$"$Z. Luego X��� � X���f X���� � _X�X�` � �© _ �2� d 2��"$ �3� 2��"ª$�d3� 3��"$ �3� 2��"ª$` d �© Y"$"$Z . Finalmente �X� � ���a�Ñ�© "$ �-�o�Ñ�© "ª$ d �© "$ X� � �a-�o-Ñ�© "$ �-�o�Ñ�© "ª$ d �© "$ � Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 42 Ejemplo: Dado el sistema Y�t �� Z � Y2 d15 d2Z Y�t��Z Yd2� Z, determinar su solución general. Resolución: Del ejemplo resuelto en sistemas homogéneos se sabe "Y� a�© a�Z $ =_�s¼½� �¾¼½� ` _ "�$ 00 "a�$` � a©��©�� �o����a��� �=Ycos � 2+") � d+") �5+") � cos � d 2+") �Z "aY� a�© a�Z $ =_�s¼½� �¾¼½� ` _ "a�$ 00 "�$` � a©��©�� �o����a��� �=Ycos � d 2+") � +") �d5+") � cos � 2+") �Z Solución complementaria: X���f= "�� $ Y��Z X���f=Ycos � 2+") � d+") �5+") � cos � d 2+") �Z Y��Z � _ � cos��� �2� d �� +")����5A d 2B�sen��� � «�+���` Solución Propia: V�È � "�� $ É "a�� $Å���� X� X���� � Ycos � 2+") � d+") �5+") � cos � d 2+") �Z É Ycos � d 2+") � +") �d5+") � cos � 2+") �Z Yd2� Z dt= X���� � Ycos � 2+") � d+") �5+") � cos � d 2+") �Z Ò Y d cos � 4+") � � +") �10+") � � cos � 2� +") �Z dt X���� � Ycos � 2+") � d+") �5+") � cos � d 2+") �Z _ d sen � d �4 �� «�+ ��2 ��+") � d �9 2�� cos �` � Y d4 d �d9 d 2�Z Solución general: Solución complementaria X��� � X���f X���� X��� � X���f X���� � _ � cos��� �2� d �� +")����5A d 2B�sen��� � «�+���` Y d4 d �d9 d 2�Z Finalmente �X� � � cos � �2� d ��+") � d 4 d � X� � �5A d 2B�sen � � cos � d 9 d 2t� Si se quiere resolver el sistema inhomogéneo ��������� � �� ����� Å���� con valor inicial ����0� � ������� , no es difícil comprobar que la solución será V���� � "���$a$Ó� ������� É "a���$a �� Å��+�X+$�0 . Notar que: "a���$a �� � "a��$ "��� ; entonces É "a�� $ "�� � Å��+�X+$�0 � "a�� $ É "�� � Å��+�X+$�0 , ya que "a��$ es una constante para la integral. Así V���� � "���$a$Ó� ������� "��$ É "a�� � Å��+�X+$�0 • si se deriva m.am se tiene, usando las reglas de derivación de la exponencial y la derivada de un producto V� ���� � bb$ ["���$a$Ó� \�������+ bb$ � "�� $ � É "a�� � Å��+�X+ $�0 + "�� $ bb$ YÉ "a�� � Å��+�X+�$Ó Z Por el teorema fundamental de las integrales de�inidas bb$ É "a�� � Å��+�X+�$Ó ="a�� $ Å���� V� ����=�� "�� �$a$Ó�������� �� "�� $ É "a�� � Å��+�X+$�0 + "�� $"a�� $ Å���� Sacando factor común la matriz �� entre los dos primeros sumandos y considerando que la inversa de "��$ es "a�� $ V� ���� � �� ¸"���$a$Ó�������� "�� $ Ò "a��� Å��+�X+ $ �0 ¹�ËËËËËËËËËËË�ËËËËËËËËËËË� ®���$� ]Å���� V� ���� � �� V���� Å����; luego verifica la ecuación ��������� � �� ����� Å���� . • si se evalúa V���� en �0 Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 43 V���0� � "���$Õa$Ó� ������� "a�� $Õ É ea�� q f��s�ds/Õt0�ËËËË�ËËËË�40 kgkl Ö�| yg yl�×j/�k k|y j�/|wØgyl k| j�/|×wgfjó� |q ��yl � "0Ùc ������� "a�� $Õ 0 � �������. V���0� � �������; entonces verifica la ecuación (2) La solución de la ecuación con valor inicial ���������� � �� ����� Å���� ����0� � ������� � es V���� � "���$a$Ó� ������� É "���$a �� Å��+�X+$�0 Ejemplo: Dado el sistema del ejemplo anterior Y�t �� Z � Y2 d15 d2Z Y�t��Z Yd2� Z, expresar simbólicamente las soluciones propia es: a) la solución si ���0� � 1 y ���0� � d1. b) la solución propia si ���¶� � 1 y ���¶� � 0. Resolución: a) tl � 0 ; xo����� � Y 1d1Z ; luego V���� � "�� $ Y 1d1Z "�� $ É "a�� � Å��+�X+$0 V���� � _ d4 d � 5 cos��� 2 +")���d9 d 2t 9 sen��� 8 «�+���` b) tl � ¶ ; xo����� � Y10Z ; luego V���� � "�� �$aÛ� Y10Z "�� $ É "a�� � Å��+�X+$Û V���� � _ d4 d � d �5 ¶�«�+��� d +")���d9 d 2� d �9 2¶�«�+��� d �7 ¶�+")���` Nota: Los cálculos se realizaron utilizando un SAC, usando (del ejemplo anterior): "�� $ � Ycos � 2+") � d+") �5+") � cos � d 2+") �Z y ea �� q =Ycos � d 2+") � +") �d5+") � cos � 2+") �Z Ejemplo: resolver el sistema � ��� � d�� �� d �-��� � 4�� d 3�� �-� � �� d 3�- t � Resolución: La forma matricial del sistema es ��������-� � � � d1 1 d14 d3 01 0 d3� � �����-� � 00�� Primero se resolverá el sistema homogéneo. La diagonalización de la matriz arroja el resultado �d1 1 d14 d3 01 0 d3� � � d1 0 34 1 41 1 1� � d4 0 00 d3 00 0 0� 9 :: ;d 14 14 d 140 d 13 4314 112 d 112< == > Así e�� / � C e5/Ca� � �d1 0 34 1 41 1 1� � eaÄ/ 0 00 ea-/ 00 0 e0 /� 9 :; d �Ä �Ä d �Ä0 d �- Ä-�Ä ��� d ���< => Y la solución complementaria será: Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 44 xf�����t� � �x�x�x-�f � e�� / � ABC� � 9: ; �Ä �3A B d C� �Ä �A d B C�eaÄ/�- �3A B d C� d �A d B C�eaÄ/ �- �dB 4C�ea-/��� �3A B d C� d �Ä �A d B C�eaÄ/ �- �dB 4C�ea-/<= > Notar que sin perder generalidad, cambiando la expresión de las constantes K� � �Ä �3A B dC�; K� � �Ä �A d B C� y K- � �- �dB 4C� la solución anterior se puede expresar en forma más sencilla como xf�����t� � �x�x�x-�f � 9; K� K� eaÄ/Ä- K� d 4K� eaÄ/ K-ea-/Üt- d K� eaÄ/ K-ea-/ < > Para determinar la solución propia se resuelve la ecuación e�� / É ea�� /f��t� dt. Recordando la propiedad de la matriz exponencial “siendo e��/ � C e5/Ca� entonces su inversa es �e��/�a� � ea��/ � C ea5/Ca�; esto es, los autovalores son opuestos, y sus autovalores no cambian” ea�� / � C ea5/Ca� � �d1 0 34 1 41 1 1� � eÄ/ 0 00 e-/ 00 0 e0 /� 9: ;d �Ä �Ä d �Ä0 d �- Ä-�Ä ��� d ���<= > ea�� / Å�����t� � �d1 0 34 1 41 1 1� � eÄ/ 0 00 e-/ 00 0 1� 9: ;d �Ä �Ä d �Ä0 d �- Ä-�Ä ��� d ���<= > . �00t � � 9: ; d /Ä �Ä t eÄ/d /- Ä- t e-/ d t eÄ/d /�� Ä- te-/ d �Ä teÄ/<= > . Luego x������ � e�� / É ea�� /Å��t� dt � x������ � �d1 0 34 1 41 1 1� � eaÄ/ 0 00 ea-/ 00 0 1� 9: ;d �Ä �Ä d �Ä0 d �- Ä-�Ä ��� d ���<= > �ËËËËËËËËËËËËËËË�ËËËËËËËËËËËËËËË�|ÝÞ É 9: ; d /Ä �Ä t eÄ/d /- Ä- t e-/ d t eÄ/d /�� Ä- te-/ d �Ä teÄ/<= > �ËËËËËË�ËËËËËË�|¾ÝÞv��/� dt x������ � 9: ; d �ªÄ /�ª d/�¯d -ßÄ-� ß/-ª d /�ªd ��à�ß�¯ ©©/�ÄÄ d /��Ä< => Finalmente x������ � x������ xf�����t� �x�x�x-� � 9; K� K� eaÄ/Ä- K� d 4K� eaÄ/ K-ea-/Üt- d K� eaÄ/ K-ea-/ < > 9: ; d �ªÄ /�ª d /�¯d -ßÄ-� ß/-ª d /�ªd ��à�ß�¯ ©©/�ÄÄ d /��Ä< =>. Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 45 Luego la solución áâã âäx��t� � K� K� eaÄ/ d �ªÄ /�ª d /�¯ x��t� � Ä- K� d 4K� eaÄ/ K-ea-/ d -ßÄ-� ß/-ª d /�ªx-�t� � Üt- d K� eaÄ/ K-ea-/ d ��à�ß�¯ ©©/�ÄÄ d /��Ä � Resta verificar la solución y compararla con la obtenida por el método de reducción (las que en una primera mirada podrían parecer distintas). Solución lograda por método de reducción: áâã âäx��t� � A BeaÄ/ ��ª t d �̄ t� x��t� � Ä- A d 4BeaÄ/ ea-/C d ß�0¯ ß-ª t d �ª t�x-�t� � W- d BeaÄ/ Cea-/ ©©�ÄÄ t d /��Ä d ©©Ä-� � Los ejercicios desarrollados aquí usando el álgebra lineal seguramente plantean interrogantes al lector. Uno de ellos es que las fórmulas demostradas requieren tediosos cálculos entre matrices, especialmente si éstas son de orden mayor que dos. Sin embargo ésta es muy útil ya que los cálculos pueden eludirse al traducirlos en un algoritmo sencillo de programar en un sistema algebraico de cómputos. Otro interrogante es que dicha fórmula solo permite resolver el problema si las condiciones iniciales con la se cuenta valorizan todas las incógnitas (compontes de V�) en el mismo valor de �å. Si se conocen los valores iniciales de las componentes (o incluso de una derivada) en distintos valores de la variable distintos el problema se resuelve determinando primero la solución general del problema, para luego encontrar las constantes. El siguiente ejemplo ilustra tal situación. Ejemplo: Dado el sistema Y�t �� Z � Y2 d15 d2Z Y�t��Z Yd2� Z, expresar simbólicamente las soluciones particulares: a) la solución particular si ���0� � 1 y ���¶� � 0. b) la solución particular si ��� YÛ�Z � d1 µ ���0� � 1 y. Resolución: La solución general de S es �X��t� � � cos � �2� d ��+") � d 4 d � X��t� � �5A d 2B�sen � � cos � d 9 d 2t� (resuelto ya en un ejemplo). Usando este resultado y los datos para cada ítem: a) �X��0� � 1 � � cos�0� �2� d ��+") �0� d 4 d 0 � � d 4 X��¶� � 0 � �5A d 2B�sen �¶� � cos�¶� d 9 d 2¶ � d� d 9 d 2¶� ; Queda así planteado el sistema ¿ � � 5 B � d9 d 2¶� (en este caso ya resuelto). Reemplazando los valores de los parámetros hallados X��t� � 5 cos � �19 2¶�+") � d 4 d � X��t� � �43 4¶�sen � d �9 2¶� cos � d 9 d 2t c) X�� �t� � d� sen � �2� d ��«�+ � d 1 æ X�� YÛ�Z � d1 � d� sen YÛ�Z �2� d ��«�+ YÛ�Z d 1 � d� d 1 X��0� � 1 � �5A d 2B�sen�0� � cos�0� d 9 d 2�0� � � d 9 � Resolviendo ¿ � � 0 B � 10 �. Reemplazando los valores de los parámetros hallados X��t� � d10 +") � d 4 d � X��t� � d20sen � 10 cos � d 9 d 2t Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 46 Ejercicios propuestos sección 3 Utilizando los dos métodos (eliminación y matricial) resolver. 1. Dado S: � ��� � �� ����� � d3 �� d �� � ; siendo ���0� � 1; ���0� � 0 a) Dar la matriz fundamental; b) resolver el sistema. Rta: a) �� � �cos[√2t\ �√� sen[√2t\ �√� sen[√2t\d -√� sen[√2t\ cos[√2t\ d �√� sen[√2t\� �� áã ä�� � cos[√2t\ �√� sen�√2t� �� � d -√� sen[√2t\ � 2. Dado S � ��� � k������ � k��� k� �; siendo k� y k� constantes; a)dar la solución matricial fundamental; b) resolver el sistema. Rta: a)_ eét/ 0d1 eét/ 1` �� ��� � Aeét/ �� � k�t eét/A B � 3. Dado S: � ��� � �� 8�� sen�t)��� � �� d �� � ; siendo ���0) � 0 ; ���0� � 1 a) Dar la matriz fundamental; b) resolver S. Rta: � �ed3t 2 e3t3 d4ed3t 4e3t3ded3t e3t6 2 ed3t e3t3 � �� ë �� � d1,3 ea-/ 1,4e-/ d 0,1 cos�t� d 0,1sen�t� �� � 0,65 ea-/ 0, 35e-/ d 0,1sen�t� � 4. Dado el sistema ���� � d4�� d ����� � �� d 2�� � (necesita usar forma de Jordan) a) Calcular la solución general. b) Mostrar que ì���t�, ���t�í � ì�1 d ��"a-$, �"a-$í es solución Rta: � ��� � B Aea-/ d �A B�t ea-/ �� � B ea-/ �A B�tea-/ � b� A � 1; B � 0 5. Encontrar la solución general.���� � 2�� d �� ea-/ ��� � 5 �� d 2�� � (autovalores imaginarios) Rta: � �� � d0,1 ea-/ A cos t �2A d B�sen t �� � 0,5 ea-/ B cos t �5A d 2B�sen t � 6. Dado S: ���� � 2�� d �� ea-/ ��� � 5 �� d 2�� � (autovalores complejos). Calcular a) la solución general; b) la solución particular que verifica ��(0)=0 y ���π� � e-ï Rta: � � �� � A e-/ cos �2t� �2A d B�e-/ sen �2t� �� � B e-/ cos �2t� �5A d 2B�e-/ sen �2t� � b�Idem A � 0; B � 1 7. Dado S: ��������-� � � � d3 3 d3d4 3 d40 d1 0 � � �����-�, calcular la solución a) general y b) particular siendo ��(0)=0; ��� (0)=0; �-(0)=3; Rta: a) � �� � �4A d 3B 3F� �d3A 3B d 3F�e/ �� � �d2A 2B d 2F�e/ �2A d B 2F�ea/ �- � �d4A 3B d 3F� �2A d 2B 2F�e/ �2A d B 2F�ea/ �; también puede ser expresado � �1 � A d 4B 2C 9 B et �2 � 6Bet 3C edt �3 � dA 4B d 2C d 6 B et 3Cedt �. b) � �1 � d3 3 et �2 � 2 et 2�3 � 3 d 2 et 2edt �
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