4 CV seccion 1

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Cátedra Análisis Matemático II 
Redactado por: Ing Humberto Pampiglioni
 
Sección 1: Funciones vectoriales 
rotacional 
1.1 Funciones Vectoriales 
El concepto de función se ha ido generalizando desde que 
Cálculo, generalización que continúa durante el desarrollo del presente tema.
Sea f una función tal que f :
imagen mXf ℜ∈)(
r
. 
Si 1=m , f es una función con 
vectoriales. 
Hasta aquí, nuestro estudio consistente 
centrado en las siguientes funciones:
a.- Funciones de una variable real con valores reales : 
Por ejemplo la función y =
b.- Funciones de una variable real con valores vectoriales: 
Utilizamos 3,2 == mm . Por ejemplo el vector velocidad de una partícula en el espacio en el 
instante t viene dado por 
(V
r
c.- Funciones de varias variables reales con valores reales: 
Utilizamos, en general, =n
asignan un número real a cada punto del dominio.
Campo escalar en 2ℜ o campo escalar en 
Son ejemplos de campos escalares la temperatura y la densidad en un punto.
Por ejemplo en un placa que ocupa una región D del plano la temper
inversamente proporcional a su distancia al origen de coordenadas, entonces la función 
temperatura viene dada por 
A partir de ahora nos dedicamos principalmente a funciones con valores vectoriales 
vectoriales- es decir: 
 :⊂DF
r
Para la característica de la función vectorial, es decir, para identificar la función, usaremos letras 
mayúsculas con el vector en la parte superior.
Observación: algunas bibliografías 
 prescindiendo del vector y escribiendo en 
negrita F. 
Por ejemplo, para describir el movimiento 
de un fluido de forma tal que en el punto 
),,( zyxP y en el instante t , la velocidad es
, utilizamos una función con valores 
vectoriales tal que ,( yxVV
rr
=
trata de una función con cuatro variables 
independientes: 34: ℜ→ℜ⊂DV
r
zyx ,, indican la posición y la variable 
el tiempo. 
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Funciones vectoriales - Líneas de flujo - Campo vectorial gradiente 
El concepto de función se ha ido generalizando desde que comenzamos su estudio en los cursos de 
Cálculo, generalización que continúa durante el desarrollo del presente tema. 
mnD ℜ→ℜ⊂ , es decir, f asigna a cada 
es una función con valores escalares ; si 1>m , f es una función con 
Hasta aquí, nuestro estudio consistente en operaciones del cálculo y métodos de visualización, estuvo 
centrado en las siguientes funciones: 
Funciones de una variable real con valores reales : (: ℜ→ℜ⊂Df
xe
x
)x(f = 
es de una variable real con valores vectoriales: : ℜ⊂Df
Por ejemplo el vector velocidad de una partícula en el espacio en el 
><=++= −− tttt e,e,tkejeit)t( 22
rrr
 
Funciones de varias variables reales con valores reales: : ℜ→ℜ⊂Df n
3,2 == n . Estas funciones definen un campo escalar
asignan un número real a cada punto del dominio. 
o campo escalar en 3ℜ , según que estemos en el plano o en el espacio. 
Son ejemplos de campos escalares la temperatura y la densidad en un punto.
Por ejemplo en un placa que ocupa una región D del plano la temperatura en un punto (x,y) es 
inversamente proporcional a su distancia al origen de coordenadas, entonces la función 
 
22 yx
K
)y,x(T
+
= 
A partir de ahora nos dedicamos principalmente a funciones con valores vectoriales 
1,1 >>ℜ→ℜ⊂ mnconmn 
Para la característica de la función vectorial, es decir, para identificar la función, usaremos letras 
mayúsculas con el vector en la parte superior. 
algunas bibliografías escriben 
prescindiendo del vector y escribiendo en 
Por ejemplo, para describir el movimiento 
de un fluido de forma tal que en el punto 
, la velocidad es 
, utilizamos una función con valores 
),, tzy . Se 
trata de una función con cuatro variables 
3 donde 
indican la posición y la variable t , es 
 Sección 1 
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Campo vectorial gradiente - Divergencia y 
comenzamos su estudio en los cursos de 
asigna a cada )...,( 21 nxxxX =
r
 una 
es una función con valores 
en operaciones del cálculo y métodos de visualización, estuvo 
)1,1( == mn 
)1,1( >=ℜ→ℜ mnm
Por ejemplo el vector velocidad de una partícula en el espacio en el 
)1( >ℜ n 
campo escalar ya que 
, según que estemos en el plano o en el espacio. 
Son ejemplos de campos escalares la temperatura y la densidad en un punto. 
atura en un punto (x,y) es 
inversamente proporcional a su distancia al origen de coordenadas, entonces la función 
A partir de ahora nos dedicamos principalmente a funciones con valores vectoriales –funciones 
Para la característica de la función vectorial, es decir, para identificar la función, usaremos letras 
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Llamamos campos vectoriales a las funciones vectoriales donde mn = , es decir: 
)mn(nconD:F nn =>ℜ→ℜ⊂ 1
r
 
Si 2=n , F
r
 se denomina campo vectorial plano o en 2ℜ ; si 3=n , campo vectorial en el espacio 
o en 3ℜ . 
Ejemplos de gran aplicación lo constituyen los campos de fuerzas, campos eléctricos, campos 
magnéticos, etc. 
Si en una función vectorial, tal como ),,,( tzyxVV
rr
= , la imagen es independiente de t (tiempo), 
entonces decimos que se trata de un campo vectorial estacionario, sólo es función de la posición. 
Un campo vectorial en el plano 22: ℜ→ℜ⊂DF
r
 puede expresarse en términos de sus funciones 
componentes: 
jyxQiyxPyxF
rrr
),(),(),( += 
Análogamente, para un campo vectorial en el espacio 33: ℜ→ℜ⊂DF
r
 
kzyxRjzyxQizyxPzyxF
rrrr
),,(),,(),,(),,( ++= 
Si Indicamos ),,( zyxX = , un campo en 3ℜ resulta 
)(XF
r
 y puede ser visto de la siguiente manera: 
 
Las funciones componentes P, Q, R son funciones con valores 
escalares. Si P, Q, R son funciones continuas, decimos que el 
campo vectorial F
r
 es continuo, del mismo modo si P, Q, R 
tienen derivadas continuas diremos que el campo F
r
 tiene 
derivadas continuas. 
 
Ejemplo 1 
Un campo vectorial en �� está definido por ����, �	 
 �� 
� � � ��. 
Describir �� trazando algunos de los vectores de campo. 
Solución 
Algunos vectores son: ���1,0	 
 �0,1	 
 �� , lo dibujamos aplicado en el punto �1; 0	 ���0,1	 
 ��1,0	 
 �
� , lo dibujamos aplicado en el punto �0; 1	 ����2,2	 
 ��2, �2	 
 �2
� � 2 ��, lo dibujamos a partir de ��2; 2	 
Note que �� · �����	 
 ��, �	. ���, �	 
 0 lo que indica que cada flecha 
es tangente a una circunferencia con centro en el origen. Además a 
medida que aumenta la distancia al origen de ��, �	, el módulo del 
campo ���� 
 ����	� � �� aumenta. 
 
Ejemplo 2 
Sea campo vectorial en �� definido por ����, �, �	 
 � ��� . 
Describir �� trazando algunos de los vectores de campo. 
Solución 
Los vectores están sobre rectas paralelas al eje Z. Apuntan hacia 
arriba las que están arriba del plano XY y hacia abajo los que están 
debajo del dicho plano. 
 
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Ejemplo 3 
La Ley de Newton de la gravitación establece la magnitud 
de la fuerza gravitacional entre dos objetos con masas m y 
M (por ejemplo laTierra) 
Supongamos al objeto de masa M (por ejemplo la Tierra) 
localizado en el origen de coordenadas y el objeto de masa 
m a una distancia �� 
 � 
� � � �� � � ��� , entonces la 
magnitud de la fuerza gravitacional es 
 
���� 
 ���|!�|" 
La fuerza gravitacional sobre el objeto de masa m actúa 
con sentido hacia el origen, es decir, la dirección del vector 
unitario 
 
� !�|!�| El campo vectorial resultante, llamado 
campo gravitacional, es
 
����, �, �	 
 � ���|!�|# �� 
Si lo expresamos en función de sus componentes: 
( ) ( ) ( )3/2 3/ 2 3/22 2 2 2 2 2) 2 2 2
( , , )
G m M x G m M y G m M z
F x y z i j k
x y z x y z x y z
− − −= + +
+ + + + + +
rr r r
 
1.2 Líneas de Flujo 
 
Si F
r
 es un campo vectorial, llamamos línea de flujo de F
r
 a una trayectoria )(tr
r
, tal que 
 ))(()( trFtr
rrr =′ 
Es decir, para un campo vectorial F
r
, una línea de flujo es una curva tal que el vector tangente a la 
curva en cada punto coincide con el campo vectorial. 
 
Para el caso de un fluido, si asignamos a cada punto la velocidad en él, obtenemos el campo de 
velocidades estacionario ),,( zyxVV
rr
= . La línea de flujo es la trayectoria seguida por una partícula 
y, geométricamente, el vector velocidad es tangente a la línea de flujo. 
 
Las líneas de flujo suelen denominarse líneas de corriente o curvas integrales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 4 
Demostrar que la trayectoria ���$	 
 �cos $ , ()* $	 es una línea de 
flujo para el campo vectorial ����, �	 
 �� 
� � � �� 
Solución 
Debemos verificar que ��+�$	 
 ��� ���$		. 
Siendo:, ��+ �$	 
 �()* $ 
� � cos $ �� ��� ���$		 
 ���cos $ , ()* $	 
 �()* $ 
� � cos $ �� - 
 
Lo cual verifica la expresión, por lo tanto tenemos una línea de flujo, 
la que se aprecia en el gráfico. El mismo permite intuir que todas las 
trayectorias serán circunferencias con centro en el origen. 
 
1.3 Campo Vectorial Gradiente 
Los campos vectoriales no necesariamente deben estar representando una cantidad física (fuerza, 
velocidad, magnetismo, etc.), tal es el caso de un campo vectorial que hemos generado y que tiene 
variadas aplicaciones: el campo vectorial gradiente. 
Recordemos que si ),,( zyxf es una función diferenciable con valores escalares, definimos 
gradiente de f como: 
kzyx
z
f
jzyx
y
f
izyx
x
f
f
rrrr
),,(),,(),,(
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ 
Vemos que se trata de un campo vectorial en ��. 
Análogamente para una f�x, y	 obtenemos un campo vectorial en �� 
jyx
y
f
iyx
x
f
f
rrr
),(),(
∂
∂+
∂
∂=∇ 
 
Ejemplo 5 
Hallar el campo vectorial gradiente para la función 1��, �, �	 
 )2 � ln ��� � ��	 . 
Solución 
El campo vectorial es 5���1��, �, �	 
 � �66"78" 
� � �86"78" �� � )2 ��� 
 
Ejemplo 6 
Suponer que la temperatura T en cada punto 9��, �, �	 de cierta región del espacio es T�x, y, z	 
100 � �� � �� � �� . Se define el campo vectorial ����, �, �	 
 5���<��, �, �	. Mostrar 5���< 
 �2�� 
Solución 
 ����, �, �	 
 5���<��, �, �	 
 �2� 
� � 2� �� � 2� ��� 
Si el vector posición del punto 9��, �, �	 es r��$	 
 � 
� � � �� � � ��� entonces resulta 5���< 
 �2�� 
El campo es análogo a un campo de fuerzas centrales, todos los vectores están dirigidos hacia el 
origen. Sobre puntos de una superficie esférica de radio R, el módulo de los vectores del campo es 
igual al doble del radio y normal a la superficie isotérmica correspondiente. 
 
Si un objeto sólido es calentado en un extremo y la temperatura en cada instante está dada por una 
función escalar ),,( zyxT el flujo de calor se puede representar por un campo vectorial que se llama 
campo vectorial flujo de calor o energía y está dado por TkJ ∇−=
rv
, donde 0>k es una 
constante llamada de conductividad del material. El calor fluye desde las regiones más calientes hacia 
las frías ya que T∇−
r
 apunta en la dirección que T decrece. 
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1.4 Divergencia y Rotacional de un Campo Vectorial 
 
Operador Nabla: Se llama operador Nabla u operador de Hamilton a la expresión: 
k
z
j
y
i
x
rrrr
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ 
El operador nabla permite definir operaciones en forma simple ya que aplicamos el mismo como si 
se tratara de un vector. Veamos entonces como “operamos” sobre campos escalares y vectoriales. 
 
1.- Aplicación al campo escalar f : (equivalente al producto de un escalar por un vector) 
 
),,(. zyxfk
z
j
y
i
x
f 





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
rrrr
 
fgradkzyx
z
f
jzyx
y
f
izyx
x
f
f =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
rrrr
),,(),,(),,( 
obtenemos el campo vectorial gradiente. Igual aplicación vale para ),( yxf . 
 
2.- Aplicación escalar al campo vectorial kzyxRjzyxQizyxPzyxF
rrrr
),,(),,(),,(),,( ++= 
 (equivalente al producto escalar entre vectores) 
[ ]k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P.k
z
j
y
i
x
F.
rrrrrrrr
++





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ 
Fdiv
z
R
y
Q
x
P
F
rrr
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇. 
obtenemos el campo escalar llamado divergencia de F
r
. 
 
3.- Aplicación vectorial al campo vectorial kzyxRjzyxQizyxPzyxF
rrrr
),,(),,(),,(),,( ++= 
 (equivalente al producto vectorial entre vectores) 
RQP
zyx
kji
F ∂
∂
∂
∂
∂
∂=×∇
rrr
vr
 
Frotk
y
P
x
Q
j
x
R
z
P
i
z
Q
y
R
F
rrvrrr
=





∂
∂−
∂
∂+





∂
∂−
∂
∂+





∂
∂−
∂
∂=×∇ 
obtenemos un campo vectorial llamado rotacional o rotor de F
r
. 
 
 
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Ejemplo 7 
Para el campo ����, �, �	 
 ��� � 
� � 3� � �� �� � ��� � ��	 ��� , determinar la ?@A F�� y �C$ F��. 
Solución 
?@A ����, �, �	 
 5��� · �� 
 D���� �	D� � D�3 � � ��	D� � D��� � ��	D� 
 2��� � 3��� � 2� 
2 3 2 23 ( )
i j k
rot F xF x y z
x yz xyz x z
∂ ∂ ∂= ∇ = ∂ ∂ ∂
−
rr r
r rv
2 2 3 29 (2 ) (3 )xyz i x x y j yz x z k= − − − + −
vr r
 
 
Interpretaciones 
 
Interpretación del Gradiente 
Algunas aplicaciones de f∇
r
(gradiente) hemos visto durante el desarrollo del cálculo diferencial en 
funciones de varias variables con valores escalares: derivada direccional y plano tangente. 
También veremos la utilización, tanto del campo gradiente como la divergencia y el rotacional, en 
los teoremas que se desarrollan con las integrales del cálculo vectorial. Sin embargo, podemos 
visualizar estos últimos a partir de las siguientes interpretaciones físicas. 
 
Interpretación de la Divergencia 
Si suponemos que F
r
 es el campo de velocidades de un fluido, entonces Fdiv
v
 en un punto P indica 
el comportamiento del fluido y representa la razón de cambio con respecto al tiempo de la masa del 
fluido por unidad de volumen. Si Fdiv
v
>0 la tendencia del fluido es a alejarse de P, hay expansión. 
Si Fdiv
v
<0 la tendencia es a acumularse en P, el fluido se está comprimiendo. 
Cuando nos encontramos con un fluido para el cual Fdiv
v
=0 decimos que el mismo es 
incompresible, es la situación de los líquidos bajo condiciones normales. Los campos con 
divergencia nula suelenllamarse solenoidales (nombre tomado de los campos magnéticos). 
Todo lo dicho será justificado luego de desarrollado el teorema de la Divergencia, en la sección 4. 
 
Ejemplo 8 
Comprobar que si el campo vectorial para un fluido es ����, �	 
 � 
� � � ��, entonces se está 
expandiendo para todo (x,y). 
Solución ?@A �� 
 2 E 0, por lo tanto se expande. 
 
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Ejemplo 9 
Comprobar que si el campo vectorial de un fluido es ����, �	 
 �� 
� � � �� , entonces éste se 
comprime en todo punto. 
Solución ?@A �� 
 �2 F 0, por lo tanto se comprime, las líneas de flujo apuntan al origen. 
 
 
Ejemplo 10 
Comprobar que si el campo vectorial de un fluido es ����, �	 
 �� 
� � � �� , entonces ni se 
comprime ni se expande. 
Solución 
Basta con probar que la divergencia es nula. Efectivamente: ?@A �� 
 0 
 
Interpretación del Rotacional 
 
a.- Rotación de un cuerpo rígido 
Consideremos un cuerpo rígido D que gira en torno a un 
eje. Su movimiento de rotación se describe mediante un 
vector w
r
 a lo largo del eje cuyo módulo es ww =
r
 y 
recibe el nombre de velocidad angular. A cada punto P 
podemos asociar un vector velocidad tangencial v w r= ×r r r
, cuyo módulo está dado por θsenrwv = (ver textos de 
física).Por lo tanto obtenemos un campo de velocidades 
v
r
. En física se demuestra que 2rot v w=
r r
, es decir, el 
rotacional del campo de velocidades es un nuevo campo 
vectorial contenido en el eje de rotación de magnitud 
igual al doble de la velocidad angular y orientado según 
la regla de la mano derecha. 
b.- Rotación de un fluido 
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Si F
r
 es el campo de velocidades en el flujo de un 
fluido, entonces FrotFx
rrr
=∇ en un punto P es el 
doble de la velocidad angular de una partícula que 
rota de la misma manera que el fluido en ese punto. 
De esta forma si en el movimiento de un fluido 
resulta 0
rr
=Frot la partícula está libre de rotación 
sobre su eje, el flujo se llama irrotacional y no hay 
remolinos ni turbulencias, es decir, si una pequeña 
rueda con paletas flota en el fluido se mueve con él 
sin rotar sobre su eje. 
 
1.5 Rotacional del Campo Gradiente 
 
TEOREMA I – Los campos gradientes son irrotacionales 
H) Si ),,( zyxf es un función con valores escalares con derivadas continuas hasta las de 
segundo orden, entonces: 
T) 0)()(
rrr
=∇∇= fxfgradrot 
Es decir, el rotacional del gradiente de f es el vector nulo. 
Demostración 
Siendo fgradk)z,y,x(
z
f
j)z,y,x(
y
f
i)z,y,x(
x
f
f =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
rrrr
, o bien >=<∇ zyx f,f,ff
r
 
por definición resulta: 
zyx fff
zyx
kji
)f()f(rot ∂
∂
∂
∂
∂
∂=∇×∇=∇
rrr
rvr
 
 k
xy
f
yx
f
j
zx
f
xz
f
i
yz
f
zy
f rrr






∂∂
∂−
∂∂
∂+





∂∂
∂−
∂∂
∂+





∂∂
∂−
∂∂
∂=
222222
 
teniendo en cuenta que cada componente es nula según el teorema de Clairaut, resulta 
0)(
r
=fgradrot 
Bajo ciertas hipótesis que analizaremos más adelante, podemos decir que el recíproco también se 
cumple. Entonces: 
Si un campo vectorial tiene rotacional nulo, entonces es un campo gradiente: 
fFFrotSi ∇=⇒=
rrvr
0 
 
Ejemplo 11 
Para el campo escalar ( , , ) cosyf x y z xe z= , comprobar que ( ) ( ) 0rot grad f x f= ∇ ∇ =
rr r
 
Solución 
 cos cosy y yf e z i xe z j xe sen z k∇ = + −
rr r r
 
 ( ) ( )
cos cosy y y
i j k
rot grad f x f x y z
e z xe z xe senz
∂ ∂ ∂= ∇ ∇ = ∂ ∂ ∂
−
rr r
r r
 
 ( ) ( ) ( cos cos )
y y y y y yxe senz xe senz i e senz e senz j e z e z k= − + − − + + −
rr r 
 0�� 
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1.6 Divergencia del Campo Rotacional 
 
TEOREMA II Los campos rotacionales son solenoidales 
H) El campo vectorial F
r
 en 3ℜ tiene derivadas continuas hasta las de segundo orden, entonces: 
T) 0=×∇⋅∇= )F()Frot(div
rrrr
 
Es decir, la divergencia de cualquier rotacional es nula. 
 
Demostración 
Según las definiciones de rotacional y divergencia tenemos: 






∂
∂−
∂
∂
∂
∂+





∂
∂−
∂
∂
∂
∂+





∂
∂−
∂
∂
∂
∂=×∇∇
y
P
x
Q
zx
R
z
P
yz
Q
y
R
x
)F.(
rrr
 
 
yz
P
xz
Q
xy
R
zy
P
zx
Q
yx
R
∂∂
∂−
∂∂
∂+
∂∂
∂−
∂∂
∂+
∂∂
∂−
∂∂
∂=
222222
 ; por teorema de Clairaut se cancelan 
 .( ) 0F∇ ∇× =
r r r
 
Ejemplo 12 
Hemos visto en un ejemplo anterior que el campo ����, �, �	 
 ���� � ; 3���� ; �� � ��	 tiene �C$ �� 
 ��9�� �� ; ��� � 2� ; 3� �� � ���	 . Comprobar que ?@A H�C$ ��I 
 5��� · 5��� J �� 
 0 
Solución 
2 2 2 2( ) .( ) 9 9 0div rotF F yz x yz x= ∇ ∇× = − + + − =
r r r r
 
Ejemplo 13 
Demostrar que el campo vectorial ����, �, �	 
 ��� ; ��� ; ���	 no es el rotacional de otro campo 
vectorial, es decir, �� K �C$ L� 
Solución div F�� 
 z � xz K 0, de modo que F�� no puede ser �C$ L� para ningún L� 
Ejemplo 14 
Demostrar que el campo vectorial P����, �, �	 
 ��; � ; �	 no es el rotacional de otro campo vectorial, 
es decir, P�� K �C$ �� 
Solución 
3 0divV = ≠
r
, de modo que P�� no puede ser �C$ �� para ningún �� 
 
1.7 Laplaciano 
Si calculamos la divergencia del gradiente de un campo ),,( zyxf resulta: 
2
2
2
2
2
2
).()(
z
f
y
f
x
f
ffgraddiv
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇∇=
rr
 
En la descripción de múltiples leyes de la física se utiliza la expresión anterior, por tal motivo 
generamos el operador de Laplace que se aplica sobre una función con valores escalares f :
2
2
2
2
2
2
2.
zyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇=∇∇
rr
 
NOTA: Se llama ecuación de Laplace a 0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
f
y
f
x
f
 (o expresión equivalente en 2ℜ ). 
Una función ),,( zyxf se dice función armónica si tiene derivadas parciales continuas y satisface 
la ecuación de Laplace. 
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Se deja como ejercicio comprobar que: 
• la función 23 3),( xyxyxf −= es armónica. 
• función potencial gravitacional, o potencial newtoniano 
r
GmM
V −= siendo 222 zyxr ++= , 
satisface la ecuación de Laplace. 
 
1.8 Identidades Vectoriales 
Considerando lo que hasta aquí hemos definido: gradiente, divergencia, rotor y laplaciano, podemos 
establecer identidades básicas. A continuación se exponen algunas de ellas. Se supone que se 
cumplen las condiciones de existencia de las derivadas parciales y continuidad. 
 
1.- fcfc ∇=∇
rr
)( c constante 6.- fFFdivfFfdiv ∇+=
rrrr
.)( 
2.- gfgf ∇+∇=+∇
rrr
)( 7.- GrotFFrotGGFdiv
rrrrrr
..)( −=× 
3.- fggfgf ∇+∇=∇
rrr
).( 8.- FfFrotfFfrot
rrrr
×∇+=)( 
4.- GdivFdivGFdiv
rrrr
+=+ )( 9.- 0)( =∇×∇ gfdiv
rr
 
5.- GrotFrotGFrot
rrrr
+=+ )( 10.-gf)f(g)g(f)]gf([ ∇∇+∇+∇=∇ 2222 
 
Ejemplo 15 
Demostrar la identidad 6. 
Solución 
 1�� 
 19 
� � 1Q �� � 1R ��� S ?@AH1��I 
 ?@AH19 
� � 1Q �� � 1R ��� I S 
?@AH1��I 
 D�19	D� � D�1Q	D� � D�1R	D� S 
Por regla de derivación del producto: ?@AH1��I 
 169 � 1 96 � 18Q � 1 Q8 � 12R � 1 R2 
Agrupando en el segundo miembro: ?@AH1��I 
 1 96 � 1 Q8 � 1 R2 � 169 � 18Q � 12R 
 ?@AH1��I 
 1 �96 � Q8 � R2	 � �16 , 18 , 12	�9, Q, R	 
 ?@AH1��I 
 1 ?@A �� � �� · 5���1 ó bien 5��� · H1��I 
 1 ?@A �� � �� · 5���1 
 
Ejemplo 16 
Utilizando la identidad 6, demostrar para �� 
 � 
� � � �� � � ��� K 0��, cuyo módulo es � 
 |��| 
��� � �� � �� , que 5� TU!V 
 0. 
Solución 5��� TU!V 
 5��� W U�6"78"72"X 
 � 6�6"78"72"	#" 
� � 8�6"78"72"	#" �� � 2�6"78"72"	#" ��� 
Pero por definición de �� � � 
 |��| se tiene 
 5��� TU!V 
 � 6|��|# 
� � 8|��|# �� � 2|��|# ��� 
 � ��|��|# Luego 5��� TU!V 
 � ����3 
 
Según la identidad 6 5��� · H1��I 
 1 5��� · �� � �� · 5���1 5���� TU!V 
 5��� · 5��� TU!V 
 5��� · T� !�!#V 
 5��� · T� U!# ��V 
 � U!# 5��� · �� � �� · 5����� U!#	 
Notar que: 
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5��� · �� 
 5��� ��, �, �	 
 3 
5��� W�1�� X 
 5��� Y �1��� � �� � ��	��Z 
 
32 1��� � �� � ��	[� �2�; 2�; 2�	 
3�5 �� 
5���� TU!V 
 � U!# 3 � �� · 3�5 �� =
 � �!# � 3�5 �� · �� 
 � �!# � 3�5 �� 
 � �!# � �!# 
 0 
 
1.9 Uso de SAC para graficar Campos Vectoriales 
Graficar Campos Vectoriales puede utilizar un SAC. Mathematica 5.2 necesita que se cargue 
previamente el paquete PlotField para campos de R� y PlotField3D para campos de R�, a través de 
las sentencias <<Graphics`PlotField` o <<Graphics`PlotField3D` para cada caso. 
Siguientemente se muestran ejemplos. La sentencia que carga el paquete debe ser ejecutada sólo una 
vez en cada sesión de trabajo. 
 
 
Ejercicios Propuestos Sección 1 
Del ejercicio 1 al 5 graficar los campos vectoriales. Para verificar las gráficas use un SAC. 
1. ����, �	 
 � 
� � � ���� 
2. ����, �	 
 � 
� � ���� 
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3. ����, �	 
 8 ]�76 �̂���6"78" 
4. ����, �, �	 
 ���� 
5. ����, �, �	 
 � ���� 
6 a 12. Se dan las gráficas de 6 campos vectoriales y las 6 ecuaciones de los mismos. 
Establezca que ecuación pertenece a cada gráfico. Justifique la elección. 
 
6. ����, �	 
 �
� � ��� 
7. ����, �	 
 �2� � 3�	
� � �2� � 3�	�� 
8. ����, �	 
 ()* � 
� � ()* � �� 
9. ����, �	 
 ln�1 � �� � ��	 
� � � �� 
10. ����, �	 
 �
� � ��� 
11. ����, �	 
 ��
� � ��� 
 Rta: G1-F9 ; G2-F6; G3-F8 ; G4-F7 ; G5- F11 ; G6-F10 
12. Utilice un SAC para graficar ����, �	 
 ��� � 2��	
� � �3�� � 6��	�� Encuentre el conjunto de puntos (x,y), tal que ����, �	 
 0�� 
 Rta: La línea y=2x 
Del 13 al 16 Halle el campo vectorial gradiente de 1 
13. 1��, �	 
 )�6`C(4� Rta: 51��, �	 
 3)�6`C(4�
� � 4�6()*4��� 
14. 1��, �	 
 ()*�2� � 3�	 Rta: 51��, �	 
 2`C(�2� � 3�	
� � 3`C(�2� � 3�	�� 
15. 1��, �, �	 
 ��� � ��� Rta: 51��, �, �	 
 ��
� � �2�� � ��	�� � 3������ 
16. 1��, �, �	 
 �b*�� � �	 Rta: 51��, �, �	 
 Tb*�� � �	; 68c2 ; 62c8 V 
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17. Determine el campo vectorial gradiente de 51 de 1��, �	 
 �� � �� y grafíquelo junto a un 
mapa de contorno de la función. 
 Rta: 
 51��, �	 
 2�
� � 2��� 
Del 18 al 20 Use un SAC para graficar el campo vectorial gradiente de 1 junto a un mapa de curvas 
de nivel de 1. Explique la forma en que se relacionan. 
18. 1��, �	 
 ()*� � ()*� 
19. 1��, �	 
 �� 
20. 1��, �	 
 �� � �� 
21. Las líneas de flujo (o trayectorias de flujo ) de un campo vectorial son las trayectorias 
que sigue una partícula cuyo campo de velocidad es el campo vectorial dado. 
a) Utilice un diagrama del campo vectorial ���, �	 
 �
� � ��� para dibujar algunas de las 
líneas de flujo. De éste, ¿puede deducir las ecuaciones de las líneas de flujo? 
b) Si las ecuaciones paramétricas de una línea de flujo son � 
 ��$	, � 
 ��$	, explique 
porqué satisfacen las ecuaciones diferenciales 
d6de 
 � ; d8de 
 ��. Después resuelva estas 
últimas para determinar una ecuación de la línea de flujo que pasa por el punto (1,1). 
 Rta: 
 a) ; b)� 
 U6 , � f 1 
Rotacional y Divergencia 
22. Compruebe que para todo su dominio el rotor del campo Tb*�� � �	; 68c2 ; 62c8 V es nulo 
23. Compruebe que ����� 
 T� 62 ; )682� � � 82 ; �)682� � � cos �� � �	 V es incompresible en su 
dominio 
Del 24 al 29 Determine (a) rotacional. (b) Divergencia del campo vectorial. 
24. F���x, y, z	 
 xy g� � xyz k�� Rta. RC$ �� 
 ���, ���, �	 i@A�� 
 � � �� 
25. F���x, y, z	 
 sen x ı� � cos x g� � z� k�� Rta. RC$ �� 
 �0,0, �()* �	 i@A�� 
 2� � cos � 
26. F���x, y, z	 
 �x � 3y � 5z	 ı� � �z � 3y	 g� � �5x � 6y � z	 k�� Rta: RC$ �� 
 �5; �10; �3	; i@A�� 
 �3 
27. ����, �, �	 
 �)8 
� � )8 �� � � b* � ��� Rta: RC$ �� 
 Tln �; � 86 , �� )8V ; i@A �� 
 0. 
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
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28. F���x, y, z	 
 elmn ı� � sen�x � y	 g� � lmn k�� Rta: i@A �� 
 682" � )682�� � cos�� � �	 . RC$ �� 
 �� 62 ; )682�� � 82 ; �)682�� � cos�� � �		 
29. ¿Existe un campo vectorial G sobre ��, tal que Rot L� 
 xy� ı� � yz� g� � zx� k�� ? Explique su 
respuesta. Rta: No; calcule i@A��C$ ��	 
30. Ídem 29, tal que Rot L� 
 yz ı� � xyz g� � xy k�� ? Rta: No; calcule i@A��C$ ��	 
31. Pruebe que cualquier campo vectorial de la forma F���x, y, z	 
 1�x	ı� � r�y	 g� � s��	 k��, donde 
f, g, h son funciones derivables, es irrotacional. 
32. Demuestre que cualquier campo vectorial de la forma 
 F���x, y, z	 
 1�y, z	ı� � r�x, z	 g� � s��, �	 k�� es incompresible. 
33. Pruebe ( ) ( )22 2 21 (1 ) ( ) 2 cos( )F y y y sen x i y x j→ −= + + −r r
 
es irrotacional. 
34. Sea f un campo escalar y �� un campo vectorial. Establezca si cada expresión es un campo 
escalar (ce), uno vectorial (cv) o si carece de sentido(cs). 
(a) rot f 
(b) grad f 
(c) div �� 
(d) rot (grad f) 
(e) grad �� 
(f) grad(div ��) 
(g) div(grad f) 
(h) grad (div f) 
(i) rot (rot �) 
(j) div (div �) 
(k) (grad f) x (div ��) 
(l) div(rot (grad f)) 
Rta: a)cs b)cv c) ce d)cv e)cs f)cv g)ce g)cs j)cs k)cs l)ce 
Del 35 al 41. Muestre la identidad, en la que �� 
 � 
� � � �� � � ��� y � 
 |��| 
35. 5r 
 x��x 
36. 5 · r� 
 3 
37. 5 J r� 
 0�� 
38. 5 TU!V 
 �
!�
!# 
39. 5 · �r r�	 
 4 r 
40. 5 ln r 
 x��x" 
41.5�r� 
 12r 
 
42. ¿La divergencia del campo vectorial es positiva, negativa o nula? Explique su respuesta. 
 
Rta: a) 5 · F�� F 0; b) 5 · F�� E 0 
43. Dadas las funciones; 1��, �	 
 �� �� � �� � y	�	z, ¿Existen valores de k ; a y b tales 
que 1��, �	 
 { califique como función potencia del campo gradiente 5���1? 
Rta: Si, por ejemplo: a) � 
 0; b F 0; y E 0; b) k 
 1; a 
 0; b 
 1