4 CV seccion 3

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Cátedra Análisis Matemático II Cálculo Vectorial Sección 3 
 
Redactado por: Ing Humberto Pampiglioni - Año 2009-Revisado 2011 Página 
 
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Sección 3: Teoremas sobre independencia del camino-Función potencial 
 
3.1 Conjuntos Conexos 
Se dice que un conjunto D es conexo si todo par de puntos de D pueden unirse mediante un camino 
regular a trozos totalmente incluido en D. Un conjunto es no conexo si es la unión de conjuntos no 
vacíos disjuntos. 
Para ciertos teoremas interesa incorporar en D una condición más específica, la de ser simplemente 
conexo. En 2ℜ se dice que D es simplemente conexo si toda curva cerrada simple en D encierra 
puntos que sólo están en el interior de D. Podemos visualizarlo diciendo que la región no presenta 
“agujeros” o “lagunas”. 
 D� � A � B no conexo 
� múltiplemente conexo 
� simplemente conexo 
 
En 3ℜ no presenta “huecos” o “túneles”. Caso contrario se dice que D es múltiplemente conexo. 
3.2 Independencia del camino 
Para un campo vectorial F
r
 continuo en un conjunto conexo D, la integral de línea a lo largo de 
cualquier camino seccionalmente suave, o suave a trozos C, contenido en D, depende del camino 
elegido para ir desde el punto inicial A hasta B. 
Ya lo hemos comprobado en los ejemplos dados. Sin embargo, para ciertos campos vectoriales la 
integral depende sólo de los puntos extremos y no del camino que los une. 
 
Decimos que ∫C rdF
rr
. es independiente del camino en D, si su valor no depende de la trayectoria que une 
los puntos A y B y es válido para todo par de puntos en D 
 
Nos preguntamos, ¿qué campos vectoriales tienen integrales independientes del camino? Los 
teoremas que trataremos a continuación nos responden el interrogante. 
 
3.3 Campos Gradientes e independencia del camino 
 
Teorema I: “ Los campos gradientes son los únicos con ∫C rdF
rr
. independientes del camino” 
Sea un campo vectorial kzyxRjzyxQizyxPzyxF
rrrr
),,(),,(),,(),,( ++= cuyas componentes son 
funciones continuas en un conjunto abierto y conexo D. Entonces la integral de línea ∫C rdF
rr
. es 
independiente del camino que une los puntos extremos A y B si y sólo si existe en D una función 
diferenciable ),,( zyxf tal que fF ∇=
rr
, o sea F
r
 es un campo vectorial gradiente 
 
Es decir: ∫C rdF
rr
. es independiente de C en D ⇔ ),,( zyxf∃ tal que DzyxfF ⊂∀∇= ),,(
rr
 
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Demostración: 
a.- Sentido de demostración ⇐ 
Consideremos que existe ),,( zyxf tal que F
r
 es un campo vectorial gradiente, esto es 
DzyxfF ⊂∀∇= ),,(
rr
 , demostraremos que ∫C rdF
rr
. es independiente de C. 
Sea C una curva suave o suave a trozos que une los puntos A y B 
 
ktzjtyitxtrC
rrrr
)()()()(: ++= , extremos: )(;)( brBarA rr == 
Siendo fF ∇=
rr
 escribimos: ∫ ∫ ∇=C C rdfrdF
rrrr
.. 
Calculamos sobre la curva )(tr
r
, entonces ))(),(),(())(( tztytxftrf =r 
∫C rdF
rr
. ∫ ′∇=
b
a
dttrtrf )()).((
rrr
 ( )( )dtktzjtyitxkfjfifb
a zyx
rrrrrr
)()()(. ′+′+′++= ∫ 
Tengamos en cuenta que 
dt
dz
tz
dt
dy
ty
dt
dx
tx =′=′=′ )(;)(;)( entonces 
 .
b
C a
f dx f dy f dz
f dr dt
x dt y dt z dt
 ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∫ ∫
r r
 
Por regla de la cadena vemos que la función integrando es dt
df , entonces: 
 . .
b
C C a
df
F dr f dr dt
dt
= ∇ =∫ ∫ ∫
r rr r
 
Aplicamos el teorema fundamental del cálculo: 
[ ]. ( ( ), ( ), ( )) baC f dr f x t y t z t∇ =∫
r r
 
. ( ( )) ( ( ))
C
f dr f r b f r a∇ = −∫
r r r
 
 o bien . ( ) ( )
C
f dr f B f A∇ = −∫
r r
 
 
Las expresiones anteriores nos muestran que el resultado no depende del camino sino de los puntos 
extremos, y algo muy importante, también nos proporciona una buena manera de evaluarla si 
conocemos la función ),,( zyxf (situación análoga al teorema fundamental del cálculo y la regla de 
Barrow) que suele denominarse “ Regla de Barrow generalizada”. 
Oportunamente veremos la forma de obtener la función f . 
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b.- Sentido de demostración ⇒ 
Consideremos ahora que la integral es independiente del camino C DC ⊂∀ , demostraremos que 
el campo F
r
 es un campo vectorial gradiente, es decir, fF ∇=
rr
. 
 Para demostrarlo tengamos en cuenta que siendo kRjQiPzyxF
rrrr
++=),,( y 
kfjfiff zyx
rrrr
++=∇ , entonces debemos probar que: 
( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )
f f f
P x y z Q x y z R x y z
x y z
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
 Dzyx ∈∀ ),,( (1) 
Consideremos un punto fijo ),,( cbaA y un punto 
arbitrario ),,( zyxS . 
Siendo ∫C rdF
rr
. independiente del camino, entonces la 
integral entre A y S será función del extremo variable 
S. 
Podemos indicarlo de la siguiente manera: 
∫ ∫ ==C AS SfrdFrdF )(..
vrrr
 
O también 
∫=
),,(
),,(
.),,(
zyx
cba
rdFzyxf
rr
 (2) 
 
Expresado en su forma diferencial: 
 dzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxf
zyx
cba
),,(),,(),,(),,(
),,(
),,(
++= ∫ 
Tengamos en cuenta que debemos probar las igualdades (1) . 
Entonces, para ),,( zyxP
x
f =
∂
∂
 , debemos hallar la derivada parcial de f respecto de x (límite del 
cociente incremental). 
Incrementamos a la variable x manteniendo zy ,
constantes (gráficamente el camino es paralelo al eje 
X), es decir, vamos desde ),,( zyxS hasta 
),,(* zyxxS ∆+ , de manera que la integral entre A y 
*S es función de *S : 
( , , )
( , , )
( , , ) .
x x y z
a b c
f x x y z F dr
+ ∆
+ ∆ = ∫
r r
 (3) 
 
Por ser independiente del camino podemos escribir: 
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) . .
x y z x x y z
a b c x y z
f x x y z F dr F dr
+∆
+ ∆ = +∫ ∫
r rr r
Teniendo en cuenta la expresión (2) y pasando al 
primer miembro: 
( , , )
( , , )
( , , ) ( , , ) .
x x y z
x y z
f x x y z f x y z F dr
+∆
+ ∆ − = ∫
r r
 
Resolvamos la integral del segundo miembro, tengamos en cuenta que el camino *SS es un 
segmento de recta donde varía sólo x : 
 x varía de x a xx ∆+ ; 0,;0, ====== dzctezzdycteyy 
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Entonces: ∫
∆+
=−∆+
xx
x
dxzyxPzyxfzyxxf ),,(),,(),,( 
Recordemos el teorema del valor medio del cálculo integral para funciones de una variables 
continuas en ],[ ba ( ) ( )( )
b
a
f x dx f c b a= −∫ siendo bca ≤≤ 
Lo aplicamos a la integral del segundo miembro, resulta:( , , ) ( , , ) ( , , )( )f x x y z f x y z P c y z x x x+ ∆ − = + ∆ − xxcx ∆+≤≤ 
Despejando 
( , , ) ( , , )
( , , )
f x x y z f x y z
P c y z
x
+ ∆ − =
∆
 
Luego, formamos el cociente incremental, tomamos límite para 0→∆x (lo que implica c x→ ) y 
siendo P una función continua en S, resulta: 
0
( , , ) ( , , )
lim lim ( , , ) 
x c x
f x x y z f x y z
P c y z
x∆ → →
+ ∆ − = ⇒
∆ 
)z,y,x(P
x
f =
∂
∂
 
Procedemos de la misma manera incrementando la variable y y luego la variable z se obtendrá: 
)z,y,x(Q
y
f =
∂
∂
 
),,( zyxR
z
f =
∂
∂
 
� 
Conclusión: Si ∫C rdF
rr
. es independiente del camino en el conjunto abierto y conexo D, entonces F
r
 
es un campo vectorial gradiente, por otra parte si F
r
 es un campo vectorial gradiente, la integral
∫C rdF
rr
. es independiente del camino. 
3.4 Función Potencial 
En este caso, o sea cuando fF ∇=
rr
, se dice que el campo F
r
 es conservativo. La función f se llama 
función potencial para F
r
 (también se la conoce como primitiva de F
r
) 
 
El potencial eléctrico es un campo escalar 
cuyo campo gradiente es un campo vectorial 
eléctrico. La Ley de Coulomb expresa que la 
fuerza que actúa sobre una carga e situada en 
la posición r
r
,bajo el efecto de una carga Q 
situada en el origen, es 3
Qe
F r V
r
ε= = −∇
r rr
r , ε 
es una constante y 
r
Qe
V s
ε= . Para 0>Qe 
(cargas de igual signo) la fuerza es repulsiva, y para 0<Qe (cargas de signo contrario) la fuerza es 
atractiva. 
Sobre las superficies de nivel V es constante y se llaman superficies 
equipotenciales y el campo es ortogonal a estas superficies. 
De igual manera el campo vectorial gravitacional es el gradiente de 
un campo potencial gravitatorio. 
Vr
r
GmM
F ∇−=−=
rr
r
r
3
 siendo 
r
GmM
V r−= el potencial 
gravitatorio. F
r
 apunta hacia en la dirección hacia la que V 
decrece. 
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3.5 Obtención de la Función Potencial 
Para obtener la función potencial f utilizaremos cualquiera de los métodos que se desarrollan con 
el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo 1 
Siendo ����, �, �� � � � ! ��"#$���� ! ��%� ! � "#$���� &'� un campo conservativo, hallar la función 
potencial (��, �, ��. 
Resolución 
• Método I: 
Se basa en el procedimiento utilizado en la 
demostración del teorema anterior. Al ser 
conservativo y, por lo tanto, independiente del 
camino, elegimos trayectorias paralelas a los ejes 
coordenados partiendo desde un punto fijo - 
 
(��, �, �� � . �� · 01� ��2,3,4��5,5,5� 
. � 0� ! ��"#$���� ! ��0��2,3,4��5,5,5� ! � "#$���� 0� 
 6 � 6� � 6� � 6� (��, �, �� � . !78 . !79 . 7: 
 
 
Parametrizamos en ;: 
Camino 6�: � � ; ; � � 0; � � 0 ? 0� � 0; ; 0� � 0; 0� � 0 
Camino 6�: � � 0 ; � � ;; � � 0 ? 0� � 0; 0� � 0; ; 0� � 0 
Camino 6�: � � 0 ; � � 0; � � ; ? 0� � 0; 0� � 0; 0� � 0; (��, �, �� � @ �� · 01� ��2,3,4��5,5,5� @ 0 0� !25 @ �0"#$��0� ! ��0�35 +@ � "#$���� 0�45 (��, �, �� � @ �0�35 +@ � "#$����0� � �� ! sen����45 
 
Para darle generalidad al resultado, independientemente de la elección del punto de partida, 
incorporamos una constante: (��, �, �� � �� ! sen���� ! A 
Verificación 
Si queremos comprobar que la función hallada es la función potencial del campo �� debemos hallar 
su gradiente, entonces: �� � B'�( � C(2; (3; (4D � �� ; � ! �"#$���� ; �"#$����� 
• Método II: es, por su sencillez el utilizado frecuentemente. 
Dado que existe el potencial ( ? �� � �E; F; G� � B'�( se debe cumplir que: H(2 � E��, �, ��(3 � F��, �, ��(4 � G��, �, �� I
 
 
Así este problema se reduce a solucionar el sistema: H(2 � E��, �, �� � � (3 � F��, �, �� � � ! �"#$���� (4 � G��, �, �� � � "#$���� I 
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Se la primera ecuación del sistema 
JKJ2 � � se obtiene (��, �, �� � @ �0� � � � ! L�y;z) 
Notar que L��, �� es constante con respecto a la variable � de integración. 
De la igualdad del sistema resulta 
MNMO � x ! MP�O,Q�MO � x ! zcos�yz� . Luego 
 
MP�O,Q�MO � zcos�yz� ? h�y, z� � @ z cos�y z� dy � sen �y z� ! g�z� 
En la anterior g�z� es constante con respecto a la variable y de integración. 
Reemplazando, resulta (��, �, �� � �� ! sen���� ! W��� 
Usando la tercera ecuación del sistema 
JKJ4 � � cos���� ! WX��� � � cos���� 
De donde gX�z� � 0 entonces g�z� � C. 
Finalmente (��, �, �� � �� ! sen���� ! A 
 
Ejemplo 2 
Dado el campo conservativo �� � �Z2 cos � ! �� � � ! �� � [ Z2$Z\ � � %� ! � � &'�, hallar la función 
potencial. 
Resolución 
 Siendo ]''�( � �� ? H ^� (2 � E��, �, �� � Z2 cos � ! �� _� (3 � F��, �, �� � � � [ Z2$Z\ � "� (4 � G��, �, �� � � � I 
De la expresión a) obtenemos (��, �, �� � @�Z2 cos � ! ��� 0� � Z2 cos � ! ��� ! L�� , �� L�� , �� es constante con respecto a la variable � de integración. 
De la igualdad b) resulta: (3 � � � [ Z2$Z\ � � J�`a bcd 3e234ef�3 ,4� � J3 � [Z2$Z\ � ! � � ! JfJ3 
Entonces 
JfJ3 � 0 ? L��, �� � W���
 
 
Reemplazando (��, �, �� � Z2 cos � ! ��� ! W��� . 
De la igualdad c) resulta (4 � �� ! WX��� � � � ? WX��� � 0 ? W��� � 6. 
Concluimos que (��, �, �� � Z2 cos � ! ��� ! 6 
Verificación: ]''�( � �Z2 cos � ! �� � � ! �� � [ Z2$Z\ � � %� ! � � &'� � �� 
 
Ejemplo 3 
Dado el campo conservativo ����, �� � �4�� ! 9���� � � ! �6��� ! 6�j �%� , calcular @ �� · 01�7 , 
donde C es cualquier trayectoria de �0 ; 0� ^ �1 ; 2� 
Resolución: ^� JKJ2 � 4�� ! 9���� _� JKJ3 = 6��� ! 6�j 
 
 
 
 
De la expresión a) obtenemos (��, �� � @�4�� ! 9�����0� � �m ! 3���� ! L��� 
De la igualdad b) y de la expresión anterior resulta JKJ3 � 6��� ! 6�j=6��� ! LX��� 
Entonces LX��� � 6�j ? L��� � �o ! 6 
Luego la función potencial es (��, �� � 
Luego la función potencial es (��, �� � �m ! 3���� ! �o ! 6 
Según la Regla de Barrow generalizada @ ]''�( · 01� � I(|qr � (�s� [ (�t�qru , 
 @ �� · 01�7 � @ ]''�( · 01� � I�m ! 3���� ! �o ! 6 v�5,5
��,�� � 777 
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3.6 Independencia del Camino y Caminos Cerrados
 
Teorema II: Independencia del camino 
Sea un campo vectorial kzyxRjzyxQizyxPzyxF
rrrr
),,(),,(),,(),,( ++= cuyas componentes son 
funciones continuas en un conjunto abierto y conexo D y sea O un camino cerrado en D. La integral 
∫C rdF
rr
. es independiente del camino en D, si y sólo si ∫ ⊂∀=O DOrdF 0.
rr
 
Demostración 
 
a.-Sentido de demostración ⇒ 
Considerando que se satisface que la integral es independiente del camino, entonces se cumple: 
 
∫ ∫=
1 2
..
C C
rdFrdF
rrrr
 ⇒ 0..
1 2
=−∫ ∫C C rdFrdF
rrrr
 
Cambiamos sentido de recorrido de 2C : 0..
1 2
=+∫ ∫−C C rdFrdF
rrrr
 
Pero )( 21 CC −∪ es un camino cerrado O, arbitrario en D, entonces: x � '''�. 01�y � 
b.- Sentido de demostración ⇐ 
Utilizando ahora que, para todo camino cerrado en D, resulta x � '''�. 01�y . 
Adoptando un camino cerrado arbitrario y sobre él dos puntos arbitrarios A y B que lo dividen en 
dos caminos (ver en el croquis anterior el camino cerrado y los puntos): 
 x � '''�. 01�y � @ � '''�. 01�78 ! @ � '''�. 01�z79 
Cambiando sentido de recorrido de [6� , utilizando la propiedad @ � '''�. 01�z79 � [ @ � '''�. 01�79 
 Resulta: @ � '''�. 01�78 [ @ � '''�. 01�79 � 0 ? @ � '''�. 01�78 � @ � '''�. 01�79 
Lo cual prueba que es independiente del camino ya que la elección del camino cerrado, y en 
consecuencia 1C y 2C , ha sido arbitraria.� 
 
Según este teorema, el trabajo realizado por un campo conservativo, por ejemplo campos 
gravitacionales y campos eléctricos, al mover una partícula en torno de una trayectoria cerrada es 
cero. 
De los dos teoremas anteriores tenemos tres condiciones equivalentes válidas en el conjunto D: ( con derivadas parciales continuas en D, conjunto abierto y conexo; O todo camino cerrado en D 
fF ∇=
rr
(conservativo) ∫⇔ C rdF
vr
. independiente de C ⇔ ∫ =O rdF 0.
rr
 
Conocemos hasta aquí propiedades y beneficios en el cálculo de integrales de líneas si el campo es 
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conservativo, pero queda pendiente determinar, cómo determinamos si un campo vectorial F
r
 es o 
no conservativo. Es lo que vamos a resolver a continuación. 
3.7 Condición necesaria y suficiente para que un Campo Vectorial sea conservativo 
a-Campo Vectorial definido en 
2ℜ⊂D 
Teorema III: condición necesaria y suficiente para que � '''���, �� sea conservativo 
Sea un campo vectorial jyxQiyxPyxF
rrr
),(),(),( += , con componentes continuas y con derivadas 
continuas en el conjunto abierto y simplemente conexo D. El campo F
r
 es conservativo ( fF ∇=
rr
) en 
D , si y sólo si 
x
Q
y
P
∂
∂=
∂
∂
 Dyx ∈∀ ),( 
Demostración 
a.- Sentido de demostración ⇒ 
Consideramos que � '''���, �� es conservativo en D, es decir � '''���, �� � ]''�(, entonces: 
x
f
yxP
∂
∂=),( y 
y
f
yxQ
∂
∂=),( 
Derivamos parcialmente ),( yxP y ),( yxQ con respecto a y y x respectivamente 
xy
f
y
P
∂∂
∂=
∂
∂ 2
 , 
yx
f
x
Q
∂∂
∂=
∂
∂ 2
 
Por teorema de Clairaut se tiene 
x
Q
y
P
∂
∂=
∂
∂
 Dyx ∈∀ ),( 
b.- Sentido de demostración ⇐ 
Se cumple que 
x
Q
y
P
∂
∂=
∂
∂
 Dyx ∈∀ ),( . 
Siendo válido el teorema de Green para cualquier camino O cerrado en D. Sea E la región cerrada 
por O, entonces x � '''�. 01� � @ E��, ��0� ! F��, ��0� � { |J}J2 [ J~J3� 0t��y 
Pero las derivadas cruzadas en el segundo miembro son iguales, por lo tanto x � '''�. 01� � 0y para 
cualquier camino E cerrado en D y, según teoremas I y II la integral ∫C rdF
rr
. es independiente del 
camino y por lo tanto el campo vectorial F
r
 es conservativo. 
 
Ejemplo 4 
Mostrar que ����, �� es conservativo mientras que ����, �� no lo es siendo: ����, �� � �2 Z3 [ � Z2� � ! �2 �Z3 [ Z2�%� ����, �� � 4�� cos�� ��� � ! 8 � cos�� ��� %� 
Resolución 
Para ����, �� se tiene J~J3 � 2Z3 [ Z2 ; J}J2 � 2Z3 [ Z2. 
Dado que 
J~J3 y J}J2 son iguales, � '''� es conservativo �� 
Para ����, �� se tiene: J~J3 � 8�"#$����� ! 4���2��[$Z\����� y J}J2 � 8 "#$����� ! 8����[$Z\����� . Dado que J~J3 y J}J2 son distintas, � '''� es no conservativo �� 
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b- Campo Vectorial definido en 
 � �� 
Teorema IV: condición necesaria y suficiente para que � '''���, �, �� sea conservativo 
Sea un campo vectorial kzyxRjzyxQizyxPzyxF
rrrr
),,(),,(),,(),,( ++= , con componentes continuas 
y con derivadas continuas en el conjunto abierto y simplemente conexo D. El campo F
r
 es 
conservativo ( fF ∇=
rr
) en D , si y sólo si 0
rr
=Frot Dzyx ∈∀ ),,( 
Demostración 
a.- Sentido de demostración ⇒ 
Consideramos que F
r
 es conservativo, es decir fF ∇=
rr
. La demostración es muy simple ya que, por 
lo que hemos comprobado en la sección 1 el rotacional del gradiente es nulo, es decir: 
0)(
rr
=∇frot 0
rr
=⇒ Frot 
También se puede comprobar usando el mismo recurso que utilizamos en la demostración del 
teorema III, parte a) Realizar esta comprobación. 
b.- Sentido de demostración ⇐ 
La demostración que si 1#; �� � 0'�, entonces el campo Fr es conservativo se realiza más adelante, 
cuando dispongamos de un importante teorema llamado teorema de Stokes (ver página 63). 
 
Ejemplo 5 
Comprobar que el campo ����, �, �� � ���� ! ��� � ! ���� ! ���%� ! �Z4 ! ���&'� es conservativo y 
que ����, �, �� � ���� ! ��� � ! � ���%� ! �Z4 ! ���&'� no lo es 
Resolución 
1#; �� � ��
 � % ''� &'''�� �� � �� � ����� ! �� ��� ! �� Z4 ! ���
� � �� [ �� � [ �� [ ��%� ! �2�� ! � [ �2�� ! ���&'� � 0'� 
1#; �� � ��
 � % ''� &'''�� �� � �� � ����� ! �� �� Z4 ! ���
� � �� [ �� � [ �� [ ��%� ! �� [ 2�� [ ��&'� � 0'� 
 Luego �� es conservativo y �� no lo es. 
Ejemplo 6 ����, �, �� � ���� ! ��� � ! ���� ! ���%� ! �Z4 ! ���&'� , calcule @ �� · 01�7 para C: 
a) 6�: � � cos�;� ; � � $Z\�;� ; � � $Z\�2;� ; 0 � ; � 2� 
b) 6�: � � cos�;� ; � � �� ! $Z\�;� ; � � $Z\�2;� ; 0 � ; � 2� 
Resolución: 
Note que el campo es conservativo (ver ejemplo anterior), entonces �� � ]''�( = 
a) Dado que la curva es cerrada, @ �� · 01�78 � x ]''�( · 01� � I(|qq � (�t� [ (�t� � 0 . 
b) Al ser la integral independiente del camino, se evalúa, no sobre la trayectoria dada sino sobre 
una rectilínea (a los efectos de simplificar los cálculos). 1��0� � �1,0,0� � 1'''��2�� � �1,2,0) 6�: � � 1; � � 2; ; � � 0 ; 0 � ; � 1; luego . �� · 01�79 � . �� · 01�7: � . �2; 1��20; � I2 ;�|5� � 2
�
5 
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Ejercicios Propuestos Sección 3: 
1) Determine si F es o no es un campo vectorial conservativo. Si lo es, encuentre una función f , tal 
que fF ∇= 
a). jxyiyxyxF )32()32(),( −+−= . Rta: Kyxyxyxf ++−= 22 3),( 
b). jxiyxyxF 22 )(),( ++= Rta: No conservativo 
c). jyxiyxyxF 2433 3)41(),( ++= Rta: Kxyxyxf ++= 34),( 
d). jyxiyxseneyxF x )cos()(),( 22 ++= Rta: No conservativo 
e). jyxeiysenyeyxFxx )cos()(),( +++= Rta: ( , ) xf x y y e x sen y K= + + 
2) (a) Determine una función f tal que fF ∇= 
 (b) utilice el inciso (a) para evaluar ∫c drF. a lo largo de la curva dada C. 
i). yjxiyxF +=),( C es el arco de la curva 2xy = de (-1,1) a (3,9). Rta:a) 2 2( , ) 0,5( )f x y x y= + b) 44 
ii). jyxixyyxF 223 32),( += C : 2/0,)1()( 2 π≤≤++= tjtitsentr 
Rta: a). 32),( yxyxf = b). [ ]32 )4/(1 π+ 
iii). ykjzxyizyxF +++= )(),,( C es el segmento de recta que va desde (2,1,4) a (8,3,-1). 
Rta: a). yzxyzyxf +=),,( b). 15 
iv). kxjyxiysenxzzyxF 2)cos()2(),,( +++= C: π20,cos)( ≤≤++= tktjsentittr . 
Rta:a). yxsenzxzyxf += 2),,( b). π2 
3). Mostrar que la integral de línea es independiente de la trayectoria y evalúe la integral. 
 
∫ −+c dyyyxdxysenx )3cos(2
22 C es cualquier trayectoria desde (-1,0) hasta (5,1). Rta: 1125 −)(sen 
 
4). Calcule el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F al mover un objeto de P a Q. 
 
jyxiyxyxF )()(),( 2332 += ; P(0,0) ; Q(2.1). Rta: 8/3 
5). ¿Es conservativo el campo de fuerza que se muestra en la siguiente figura? Dé razones. 
Rta: No. 
6). Sea fF ∇= , donde )2(),( yxsenyxf −= . Determine un par de curvas 21 CyC que no sean cerradas 
y que satisfagan la ecuación. 
a) ∫ =
1
0.
C
drF b) ∫ =
2
0.
C
drF 
 Rta: a) una opción es C1: Segmento de recta del (0,0) al (2,1) b) 
C2: segmento de recta del (0,0) al (π,0). Pero hay infinitas soluciones.