4 CV seccion 2

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Cátedra Análisis Matemático II Cálculo Vectorial Sección 2 
 
Redactado por: Ing Humberto Pampiglioni - Año 2009. Revisado 2011 Página 15
Sección 2: Integrales de línea de campos escalares y vectoriales-Teorema de Green 
 
2. Integrales de Línea 
Hasta aquí hemos definido el cálculo integral de funciones escalares: 
a) funciones f de una variable sobre un segmento de recta en ℜ , es decir, sobre un intervalo 
[ ]ba, : ∫=
b
a
dxxfI )( 
b) funciones f de dos variables sobre un recinto E en 2ℜ : ∫∫E dAyxf ),( 
c) funcionesf de tres variables sobre un recinto E en 3ℜ : ∫∫∫E dAzyxf ),,( 
Generalizaremos el concepto integrando funciones de varias variables sobre curvas en 2ℜ o en 3ℜ a 
las cuales denominaremos Integrales de Línea. 
 
2.1 . Integral de Línea de Funciones con Valores Escalares 
 
I: Integrales en �� 
Consideremos la curva C de ecuación vectorial ktzjtyitxtr
rrrr
)()()()( ++= , suave para [ ]bat ,∈ y 
),,( zyxf función continua en alguna región D ⊆ 3ℜ que contiene a C. 
Para [ ]bat ,∈ se genera el arco AB que se recorre una sola vez cuandot varía de A a B. 
Punto inicial de C : ))(),(),(( azayaxA = ))(( arA
r
. 
Punto final de C : ))(())(),(),(( brBbzbybxB
r= . 
Consideremos la partición P del intervalo [ ]ba, obtenida mediante los puntos 
btttta ni =<<<<= ......10 . Esta partición produce una subdivisión del arco AB en n subarcos 
ii PP 1− de longitud is∆ 
 
Elegimos un punto arbitrario en cada sub-arco, genéricamente, para un it el punto sobre la curva es �������, 	��, 
���, evaluamos la funciónf en el punto y formamos el producto elemental 
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�����, 	��, 
���∆��. 
Realizamos la suma para todos los subintervalos (sumas de Riemann) y tomamos límite para 
0→∆ (Donde ∆ es la norma de la partición dada por el mayor is∆ ). La existencia del límite 
queda asegurada por ser continua la función en puntos de la curva C. Por lo tanto definimos integral 
de línea de f a lo largo de C en 3ℜ , al límite: 
lim�∆��� � �����, 	��, 
���∆��
�
���
� � ���, 	, 
���
�
 
Podemos interpretar físicamente este concepto si consideramos que C es un alambre delgado cuya 
densidad es variable, es decir ),,( zyxf=ρ . 
Para el trozo ii PP 1− consideramos que la densidad es constante e igual a la calculada en iP : 
),,( *** iiii zyxf=ρ , por lo tanto su masa aproximada será iiii szyxf ∆),,(
*** . La sumatoria nos 
aproxima a la masa del alambre y el límite nos da el valor exacto: 
∫∫ == CC dszyxfdsm ),,(ρ 
 
Cálculo de la Integral de Línea 
Teniendo en cuenta que la función f está evaluada en puntos de la curva C, entonces f es función 
de t : ( ))t(z),t(y),t(xf 
 Hemos visto que dttztytxds )()()( 222 ′+′+′= 
por lo tanto resolvemos la integral de línea como una integral definida simple de variable t : 
dtzyxtztytxfdszyxf
C
b
a∫ ∫ ′+′+′=
222))(),(),((),,( 
Si consideramos que ( ) ))t(r(f)t(z),t(y),t(xf r= y )(222 trzyx ′=′+′+′ r 
También podemos expresar la integral de la forma: 
dttrtrfdszyxf
C
b
a
)())((),,( ′=∫ ∫
rr
 
II: Integrales en �� 
El desarrollo anterior que condujo a la definición y posterior forma de cálculo de la integral de línea 
en 3R se puede aplicar si la curva C es jtyitxtr
rrr
)()()( += suave para [ ]bat ,∈ y ),( yxf 
función continua en alguna región 2ℜ⊂D que contiene a C. 
Por lo tanto, definimos integral de línea de f a lo largo de C en 2ℜ , al límite: 
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lim�∆��� � �����, 	���∆��
�
���
� � ���, 	���
�
 
Análogamente, su forma de cálculo es: 
 dtyxtytxfdsyxf
C
b
a∫ ∫ ′+′=
22))(),((),( 
 
 
Para estas integrales de línea existe una interesante interpretación geométrica. Si 0),( ≥yxf en 
puntos de C entonces ∫C dsyxf ),( representa el área de una “cortina” o “valla” que es la porción de 
superficie cilíndrica comprendida entre la curva C y la superficie ),( yxfz = . 
 
 
 
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Propiedades de la Integral de línea de Campos Escalares 
1.- El resultado de la integral de línea no depende de la parametrización de la curva 
Ejemplo 4 
Calcular � ��	 ��! donde C es un arco de circunferencia dado por las ecuaciones paramétricas 
 � � 3 cos�&� ; 	 � 3 �() & para 0 + & + , � y mostrar que utilizando la parametrización � � -9 / 	� ; 	 � 	 con 0 + 	 + 3 el resultado es el mismo. 
Solución: 
Resolviendo con la parametrización � � 3 cos�&� ; 	 � 3 �() & ; para 0 + & + , � � ��	 ��! � � �3 cos &���3 �() &� -�/3 sen &�� 2 �3 cos &���&3 4� = 
81 � cos� & �() & �&3 4� 23
0
81
cos 27
3
t
π
 = =  
 
Resolviendo con la parametrización -9 / 	� ; 	 � 	 con 0 + 	 + 3 
 �� � 78/ 9-:;94 <� 2 1 �	== 94:;94 2 1 �	 ==94;:;94:;94 dt = > ?9-:;94 
Reemplazando en la integral, resulta: 
� ��	 ��! � � -9 / 	�
�	 3 �	-9 / 	�
>
� � � -9 / 	�	 �	 � @/�9 / 	��
>�A�
> � 27>� 
2.- El resultado de la integral no depende de la orientación de la curva. 
Sólo es válido para estas integrales ya que en la sumatoria 0>∆ is . Por lo tanto si denotamos con C 
una orientación y –C la orientación contraria, resulta: ∫ ∫−=C C dszyxfdszyxf ),,(),,( 
 
Ejemplo 5 
Evaluar en ambos sentidos la integral � �	� ��! siendo C el 
segmento de recta que une los puntos (-5,-3) , (0,2). 
Solución 
- Desde (-5,-3) a (0,2). 
La ecuación paramétrica del segmento es � � /5 2 5& ; 	 � /3 2 5 & ; 0 + & + 1 
Luego la integral queda 
� �	� �� � ! � �/5 2 5&��/3 2 5 &�� -5� 2 5��&
�
�� / 9512 √50 
- Desde (0,2) a (-5,-3). 
La ecuación paramétrica del segmento es � � /5& ; 	 � 2 / 5 & ; 0 + & + 1 
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 y la integral de línea correspondiente 
3.- Si la curva C es la unión de un número finito de tramos suaves, entonces podemos ampliar la 
definición. Por ejemplo 1CC ∪=
∫ ∫=C Cdsf
 
Centro de masa de un alambre 
La interpretación física de la integral de línea 
función f. Si ),(),( yxfyx =δ es la función densidad de un alambre
integral de línea es la masa del mismo. El 
∫= C dsyxxm
x ),(
1 δ
Ejemplo 7 
Un alambre tiene la forma de un semicírculo
es más grueso en la parte inferior que en la superior. Hallar el centro de 
masa del alambre si la densidad en cualquier punto
a su distancia desde la recta 
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y la integral de línea correspondiente ( ) ( )
212
0
2 5 5 50
C
y x ds t t dt= − − = −∫ ∫
Si la curva C es la unión de un número finito de tramos suaves, entonces podemos ampliar la 
32 CC ∪∪ 
∫∫∫ ++ CCC dsfdsfdsf 321 
 
La interpretación física de la integral de línea ∫C ds)y,x(f depende de la interpretación de la 
es la función densidad de un alambre en el punto
integral de línea es la masa del mismo. El centro de masa ),( yx del alambre está dado por: 
∫= c dsyxym
yds ),(
1 δ 
Un alambre tiene la forma de un semicírculo y 
es más grueso en la parte inferior que en la superior. Hallar el centro de 
masa del alambre si la densidad en cualquier punto (x,y) es proporcional 
 . 
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95 50
2 5 5 50
12
y x ds t t dt= − − = − 
Si la curva C es la unión de un número finito de tramos suaves, entonces podemos ampliar la 
 
 
depende de la interpretación de la 
el punto ),( yx , entonces la 
del alambre está dado por: 
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Solución 
La parametrización de la curva es � � cos &; 	 � �() & ; 0 + & + F ds � -�/�() &�� 2 �cos &�� �& � �& 
La densidad es H��, 	� � I�1 / 	� 
J � � I �1 / 	� �� �! � I �1 / �() &� �& �
,
�
@I�& 2 cos &�|�, � I�F / 2� 
Entonces: �L � 0, por simetría del alambre y la función densidad. 	M � �N � 	O��, 	��� �! �N � 	 I �1 / 	� �� �! �P�,;�� � �() & I �1 / sin &� �& �,� 
	M � @ 1�F / 2� �/ cos & / 12 & 2 12 sin & cos &�A�
, � 4 / F2�F / 2� R 0.38 
Por lo tanto, el centro de masa es �0 ; 0.38� 
 
 
Ejemplo 8 
Determinar la masa de un alambre de densidad H��, 	, 
� � I 
 si tiene la forma de una hélice � � 3 cos & ; 	 � 3 �() & ; 
 � 4 & ; 0 + & + F. 
Solución 
J � � H��, 	, 
� �� �! � I 4 & -�/3 sen &�� 2 �3 cos &�� 2 4��& � 20 I
,
� � &�&
,
� � 10 I F� 
 
2.2 -Integral de Línea de Campos Vectoriales 
Consideremos un campo vectorial kzyxRjzyxQizyxPzyxF
rrrr
),,(),,(),,(),,( ++= continuo, 
3ℜ⊂D y una curva C contenida en D. 
Para introducir la definición de este tipo de integrales vamos a considerar el campo vectorial como 
un campo de fuerzas y una partícula que se mueve siguiendo la trayectoria dada por la curva C 
mientras F
r
actúa sobre ella. 
Recordemos el concepto de trabajo realizado por una fuerza F
r
 sobre una partícula cuando recorre 
una trayectoria. Si el desplazamiento s
r
 es rectilíneo y F
r
 es constante a lo largo del mismo, entonces 
el trabajo realizado es: 
 
Si la fuerza no es constante y el desplazamiento no es rectilíneo, podemos aproximar el cálculo del 
trabajo subdividiendo la trayectoria en tramos rectilíneos y en cada uno de ellos consideramos la 
fuerza constante. 
Es decir, particionamos el arco AB de la misma forma que lo hicimos anteriormente en la integrales 
de línea de funciones escalares. Elegimos un punto arbitrario * * * *( , , )i i i iP x y z en cada subarco y 
evaluamos el campo vectorial en dicho punto * * * *( , , )i i i iF F x y z=
r r
 
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El versor tangente a la curva en *iP es el vector tangente unitario 
* *( )i iT T t=
r r
, el cual existe y es 
distinto de cero, porque se trata de una curva suave. 
Definamos el vector *i iT s∆
r
: producto escalar de un versor por un escalar, por lo tanto tiene igual 
longitud que is∆ (recorrido de la partícula de ii PaP 1− ) y consideremos 
*( )iF P
r
 constante en dicho 
recorrido, entonces la expresión (1) nos permite obtener un valor aproximado del trabajo: 
* *.( )ii i iW F T s≅ ∆
ur r
 
Por lo tanto, un valor aproximado del trabajo total está dado por: ( )* * * *
1
( , , ). ( )
n
i i i i i
i
W F x y z T t s
=
≅ ∆∑
r r
 
Tomando límite y reescribiendo el producto según la propiedad del producto escalar
.( ) ( . )u v u vα α=r r r r 
( )* * * *
0 1
( , , ). ( ) .
n
i i i i i c
i
W l i m F x y z T t s F T ds
∆ → =
= ∆ =∑ ∫
r r r r
 
Es decir “el trabajo realizado por F
r
 es la integral con respecto a la longitud del arco de la 
componente tangencial de la fuerza”. 
Otras expresiones. 
Siendo 
)(
)(
)(
tr
tr
tT
′
′
= r
r
r
 y dttrds )(′= r , entonces el integrando depende sólo de t , por lo tanto 
tenemos una integral definida de variable t y podemos escribir: dttr
tr
tr
trFW
b
a
)(
)(
)(
)).(( ′
′
′
= ∫
r
r
r
rr
 
∫ ′=
b
a
dttrtrFW )(.))((
rrr
 
o bien ∫= C rdFW
rr
. siendo dttrrd )(′= rr 
 
Definición - Si F
r
 es un campo vectorial continuo sobre una curva suave C, entonces la integral de 
línea de F
r
a lo largo de C, es: ∫∫ ′=
b
aC
dttrtrFdsTF )(.))((.
rrrrr
∫= C rdF
rr
. 
 
También podemos expresar las integrales de líneas de la siguiente manera: 
∫∫ ′=
b
aC
dttrtrFrdF )(.))((.
rrrrr
( ).( )
b
a
P i Q j R k x i y j z k dt′ ′ ′= + + + +∫
r rr r r r
 
Siendo dtxdx ′= , dtydy ′= , dtydz ′= resulta 
∫ ∫ ++=c c dzzyxRdyzyxQdxzyxPrdF ),,(),,(),,,(.
rr
 (2) 
 
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Que se conoce como “integral de línea en forma diferencial” 
Si observamos la expresión anterior vemos que tenemos las siguiente integrales: 
∫C dxzyxP ),,( , ∫C dyzyxQ ),,( , ∫C dzzyxR ),,( (3) 
Cada una de ellas constituye un tipo particular de integrales de línea que pueden ser definidas 
específicamente, sin embargo, sólo tengamos en cuenta su forma de cálculo, el cual se realiza 
mediante una integral definida tal como vemos a continuación 
Por ejemplo, consideramos ∫C dxzyxP ),,( sobre la curva C : 
 ktzjtyitxtr
rrrr
)()()()( ++= suave para [ ]bat ,∈ , entonces: 
( )∫∫ ′=
b
aC
dt)t(x)t(z),t(y),t(xPdx)z,y,x(P 
de la misma forma planteamos el cálculo de las restantes integrales: 
( )∫∫ ′=
b
aC
dt)t(y)t(z),t(y),t(xQdy)z,y,x(Q
 
y 
 
 ( )∫∫ ′=
b
aC
dt)t(z)t(z),t(y),t(xRdz)z,y,x(R 
 
Ejemplo 9 
Evaluar � � (9�� ! siendo C el arco de curva � � (9 desde T�1,0� U V�e, 1� 
Solución 
Parametrizamos tomando y como parámetro 	 � 	; � � (9 ; 0 + 	 + 1. Luego �� � (9�	 
 � � (9�� ! � � (9 (9(9�	 � �� � (>9�	 � @�> (>9W���� � �> �(> / 1� 
 
Ejemplo 10 
Dado el campo de fuerzas XY ��, 	, 
� � ��� / 	�ZY+�	� / 
�[Y+�
� / ��I\Y, hallar el trabajo realizado 
desde el origen al punto T�1,1,1� en cada uno de los siguientes casos: 
a.- segmento de recta que une los puntos. 
b.- sobre la curva � � & ; 	 � &�, 
 � &> ; 0 + & + 1 
Solución 
a.- la ecuación del segmento de recta es � � & ; 	 � &, 
 � & ; 0 + & + 1 
] � � XY · �_Y �! � ��� / 	��� 2 �	� / 
��	 2 �
� / ���
! 
Siendo �� � �&; �	 � �&; �
 � �& 
] � � XY · �_Y �! � �&� / &��& 2 �&� / &��&2 �&� / &��&
�
� � � 3�&� / &��& � /
12
�
� 
También pudo plantearse la solución teniendo en cuenta que la recta es � � 	 � 
, usamos 
parámetro x, resulta ] � � XY · �_Y � � �3�� / 3���� � / ����! 
b.- a lo largo de � � & ; 	 � &�, 
 � &> ; 0 + & + 1 tenemos �� � �&; �	 � 2&�&; �
 �3&��& entonces 
] � � XY · �_Y �! � ��� / 	��� 2 �	� / 
��	 2 �
� / ���
! 
� � �&� / &�� 2 �&` / &>�2& 2 �&a / &�3&��&�� � /
2960 
 
Observar que, en el ejemplo resuelto, el trabajo depende, además del los puntos extremos, del 
camino utilizado. Más adelante se verá bajo qué condiciones las integrales no dependen del camino. 
 
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Propiedades de la Integral de Línea de Campos Vectoriales 
Análogamente a lo visto en las integrales de líneas de funciones escalares podemos enunciar las 
siguientes propiedades: 
1.- Para curvas suaves que no se cruzan, el resultado de las integrales de línea de campos 
vectoriales no depende de la parametrización que se utiliza. 
2.- Las Integrales de campos vectoriales y las integrales (3) cambian de signo al cambiar la 
orientación sobre la curva: 
∫∫ −−= CC rdFrdF
rrrr
.. ; ∫∫ −−= CC dxPdxP ; ∫∫ −−= CC dyQdyQ ∫∫ −−= CC dzQdzR 
3.- Si la curva C es la unión de un número finito de tramos suaves, entonces podemos ampliar la 
definición. Por ejemplo 321 CCCC ∪∪= 
∫ ∫∫∫ ++=C CCC rdFrdFrdFrdF 321 ....
rrrrrrrr
 
Ejemplo 11 
 
Si observamos el gráfico vemos que el valor negativo del trabajo es razonable teniendo en cuenta que 
el sentido de recorrido es contra la orientación del campo. 
Ejemplo 12 
 
 
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2.3 Curvas simples y cerradas. 
 
Una curva es simple cuando no se cruza
Una curva es cerrada cuando tiene el mismo punto inicial y final : 
Por supuesto que si es cerrada y simple, salvo en los extremos del intervalo
de t originan puntos distintos de la curva.
Para las curvas cerradas consideraremos que el sentido positivo de recorrido es el sentido contrario a 
las agujas del reloj o, más general, una persona recorriendo el camino deja el reciento que encierra a 
su izquierda. Notación: ∫O dF
r
.
2.4 Teorema de Green 
El teorema de Green relaciona una integral de línea a lo largo de un camino cerrado simple C en 
con una integral doble extendida a la región encerrada por C.
Es necesario comprender lo que significa que una curva cerrada C es la frontera de una región 
cerrada simple, es decir x-simple , y
 
 
Región 
Toda recta paralela al eje Y que pasa por un 
punto interior del recinto
 
 
 
 
 
 
Región 
 
Toda recta paralela al eje X que con pasa por un punto 
recinto, corta a la frontera en no más de dos puntos.
 
 
 
 
En una 
por puntos interiores del recinto, corta a la frontera a lo sumo en dos 
puntos
 
TEOREMA DE GREEN
H) Sea C una curva cerrada simple, suave a trozos y orientada positivamente, frontera de
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Curvas simples y cerradas. Definiciones 
cuando no se cruza: [ ]bat ,∈∀ , es decir )()( 21 trtr
rr ≠
tiene el mismo punto inicial y final : )( rar
rr =
Por supuesto que si es cerrada y simple, salvo en los extremos del intervalo[
originan puntos distintos de la curva. 
Para las curvas cerradas consideraremos que el sentido positivo de recorrido es el sentido contrario a 
las agujas del reloj o, más general, una persona recorriendo el camino deja el reciento que encierra a 
rd
r
 ; ∫C rdF
rr
. 
 
El teorema de Green relaciona una integral de línea a lo largo de un camino cerrado simple C en 
con una integral doble extendida a la región encerrada por C. 
er lo que significa que una curva cerrada C es la frontera de una región 
simple , y-simple 
 
 
Región y-simple: [ ] )(;, 1 xhbax ≤∈∀
Toda recta paralela al eje Y que pasa por un 
punto interior del recinto, corta a la frontera en 
 
Región x-simple: [ ] )(;, 1 ygdcy ≤∈∀
 
Toda recta paralela al eje X que con pasa por un punto 
recinto, corta a la frontera en no más de dos puntos.
En una región simple toda paralela a los ejes coordenados que pasa 
por puntos interiores del recinto, corta a la frontera a lo sumo en dos 
puntos. 
 
TEOREMA DE GREEN 
cerrada simple, suave a trozos y orientada positivamente, frontera de
 Sección 2 
 Página 24
) para todo 21 tt ≠ 
)(br
r
. 
[ ]ba, , valores distintos 
 
Para las curvas cerradas consideraremos que el sentido positivo de recorrido es el sentido contrario a 
las agujas del reloj o, más general, una persona recorriendo el camino deja el reciento que encierra a 
El teorema de Green relaciona una integral de línea a lo largo de un camino cerrado simple C en 2ℜ 
er lo que significa que una curva cerrada C es la frontera de una región 
)(2 xhy ≤≤ 
 
, corta a la frontera en no más dos puntos. 
)(2 ygx ≤≤ 
Toda recta paralela al eje X que con pasa por un punto interior del 
recinto, corta a la frontera en no más de dos puntos. 
toda paralela a los ejes coordenados que pasa 
por puntos interiores del recinto, corta a la frontera a lo sumo en dos 
cerrada simple, suave a trozos y orientada positivamente, frontera de 
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una región simple D. Si ),(,),(,),(,),( yxQyxPyxQyxP xy son continuas sobre una región 
abierta de 2ℜ que contiene a D, entonces: 
T) 
 
c XY . �_Y! � c �� �� 2 d �	�! � e fghgi / gjg9k �Tl 
Demostración: 
Se probará en principio el teorema para regiones x e y simples, luego generalizaremos a otros tipos 
de regiones, para ello se mostrará 
(1) ∫ ∫∫ ∂
∂−=
C D
dA
y
P
dxyxP ),( para regiones y simples y 
(2) ∫ ∫∫ ∂
∂=
C D
dA
x
Q
dyyxQ ),( para regiones x simples. 
Luego la demostración será válida para regiones que son simultáneamente x e y simples (ejemplo un 
disco). 
(1) Para la demostración de ∫ ∫∫ ∂
∂−=
C D
dA
y
P
dxyxP ),( consideremos la curva cerrada que se 
indica en el gráfico. El camino C se compone de cuatro curvas suaves m�; m�; m> 	 m` 
La curva m� (	 � n���� ; U + � + o) puede ser 
parametrizada usando a � como parámetro: 
 m�: � � � ; 	 � n���� ; � q rU; os 
La curva m� (� � o ; n��o� + 	 + n��o�) puede ser 
parametrizada usando a 	 como parámetro: 
 m�: � � o ; 	 � 	 ; 	 q rn��o�; n��o�s 
Usando idénticos procedimientos (pero note para la 
variación del parámetro en cada caso la curva se 
recorre en sentido inverso, de ahí que en realidad se 
parametriza / m> y / m` 
 / m>: � � � ; 	 � n���� ; � q rU; os 
 /m`: � � U ; 	 � 	 ; 	 q rn��U�; n��U�s 
Planteamos y calculamos la integral doble del 
segundo miembro de la (1) : / e gjg9l �T. 
Siendo la región y simple se tiene /e gjg9l �T � / � � gjg9t4�i�tu�i�vw �	 ��.
 
 
Ésta se puede resolver parcialmente haciendo uso del teorema fundamental del cálculo ya que 
 � gjg9t4�i�tu�i� �	 � �x�, n����y / �x�, n����y. 
Luego / e gjg9l �T � / � � gjg9t4�i�tu�i�vw �	 �� � / � z�x�, n����y / �x�, n����y{vw �� / e gjg9l �T � / � z�x�, n����y / �x�, n����y{vw �� (*) 
Calculamos ahora la integral del primer miembro de la (1) c ���, 	���! . 
| ���, 	���
!
� � ���, 	���
!�
2 � ���, 	���
!�
2 � ���, 	���
!>
2 � ���, 	���
!`
 
 Usando las parametrizaciones de las cuatro curvas: 
 � ���, 	���!� � � ���, n������vw � ���, 	���!� � � P�b, y����4����u��� � 0 (dado que � � o � �� � 0� 
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 � ���, 	���!> � / � ���, 	���;!> � / � ���, n������vw � ���, 	���!` � / � ���, 	���;!` � / � ��U, 	���t4�w�tu�w� � 0 (dado que � � U � �� � 0� 
Luego c ���, 	���! � � ���, 	���!� 2 � ���, 	���!� 2 � ���, 	���!> 2 � ���, 	���!` c ���, 	���! � � ���, n������vw / � ���, n������vw . 
Reuniendo las dos integrales del segundo miembro en una única: c ���, 	���! � � r���, n���� / ���, n����s��vw , cambiándole el signo 
 c ���, 	���! � / � r���, n���� / ���, n����s��vw (**) 
Comparando la (*) y (**) puede notarse que los segundos miembros son iguales, luego los primeros 
también lo son, resulta entonces que se verifica la primera parte (1) de este teorema: 
∫ ∫∫ ∂
∂−=
C D
dA
y
P
dxyxP ),( 
(2) Para la demostración de ∫ ∫∫ ∂
∂=
C D
dA
x
Q
dyyxQ ),( consideramos la región D descrita 
por )()(, 21 ygxygdyc ≤≤≤≤ cuya frontera C se compone de cuatro curvas 
suaves m�; m�; m> 	 m` 
 
Se deja a cargo del lector verificar que bajo estas condiciones 
∫ ∫∫ ∂
∂=
C D
dA
x
Q
dyyxQ ),( 
 
 
 
 
 
 
Sumando miembro a miembro las ecuaciones recuadradas en (1) y (2) se prueba la tesis: 
dA
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP
C D∫ ∫∫ 





∂
∂−
∂
∂=+ ),(),( 
 
 
Ejemplo 13 
Verificar el teorema de Green (calcular ambos miembros y 
comprobar la igualdad) para c 2� 	> �� 2 4��	� �	! , 
siendo C la frontera de la región en el primer cuadrante 
determinada por 	 � 0; � � 1; 	 � �> . 
Solución 
Según teorema de Green: 
 c � �� 2 d �	! � e �di / �9� �Tl 
a.-Cálculo del primer miembro c � �� 2 d �	! : c �� � 2!u � 2!4 �!� 
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• m�: � � �; 	 � 0 ; 0 + � + 1 � �	 � 0 � � � � 0�� � 0��!u 
• m�: � � 1; 	 � 	 ; 0 + 	 + 1 � �� � 0; � � � � 4	��	 � @>̀ 	>W�� � >̀ ��!4 
• /m>: � � �; 	 � �> ; 0 + � + 1 , (orientada hacia el origen) � �	 � 3���� � 
� � /!� � � / � �2� �: 2 4 ���a3����� � 
�
� / � 14 ����� � @/14
���11 ��
� � / 1411 
�
�;!� 
Sumamos: c �� � 2!u � 2!4 � �!� 0 2 >̀ / �`�� � �>> � c XY . �_Y �
�>>! 
b. Cálculo del segundo miembro e �di / �9� �Tl 
 di � 8� 	� ; �9 � 6 � 	� 
 
 � e �di / �9� �Tl � e 2 � 	� �Tl 
 e �di / �9� �Tl � � � 2 � 	� �	 �� �i���� � 2 ��� @9�> W�i
� �� � � �> ����� �� � @�> iuu�� W�� ��>> 
 
c. Comparando los resultados obtenidos en a) y en b) se verifica el teorema 
 
Generalización del teorema de Green 
El teorema es aún válido para regiones simpes que no son x e y simples, pero que se pueden 
descomponer y expresar como la unión de regiones x e y simples. Por ejemplo, supongamos una 
región como la de la figura donde realizamos un “corte” como el indicado: 
 
21 DDD ∪= . La frontera de 1D es 1 2 4C C C∪ ∪ y la frontera de 2D es )( 23 CC −∪ . 
Aplicando teorema de Green a 1D : 
 
1 2 4C C C
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy+ + + + +∫ ∫ ∫ = dAy
P
x
Q
D∫∫ 





∂
∂−
∂
∂
1
 
Aplicando teorema de Green a 2D : 
∫∫ − +++ 23 CC QdyPdxQdyPdx = dAy
P
x
Q
D∫∫ 





∂
∂−
∂
∂
2
 
Sumando las dos expresiones y teniendo en cuenta que las integrales a lo largo de 2C y 2C− son 
opuestas y se cancelan, que por lo tanto sólo queda el camino cerrado 1 3 4C C C C= ∪ ∪ y en la 
integral doble 21 DDD ∪= , resulta la expresión de Green que hemos demostrado en el teorema: 
dA
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP
C D∫ ∫∫ 




∂
∂−
∂
∂=+ ),(),( 
De la misma manera, el teorema puede extenderse a regiones que contienen “hoyos” o “lagunas” en 
su interior, regiones que más adelante identificaremos con más precisión. 
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Como muestra el siguiente gráfico, la frontera C está constituida por dos curvas cerradas simples 1C 
y 2C , orientadas positivamente, es decir, recorriéndolas la región D siempre queda a la izquierda. 
Dividimos D mediante “cortes” de manera que 21 DDD ∪= y aplicamos el teorema de Green a 
cada una de ellas teniendo en cuenta que las integrales de líneas se cancelan en los tramos del 
“corte”. 
 
Para simplificar la identificación indicamos los extremos de las curvas con A, B,C,D teniendo en 
cuenta que siempre recorremos positivamente: 
Para 1D : . . . .AB BC CD DAF dr F dr F dr F dr+ + +∫ ∫ ∫ ∫
r r r rr r r r
= dA
y
P
x
Q
D∫∫ 





∂
∂−
∂
∂
1
 
Para 2D : . . . .BA AD DC CBF dr F dr F dr F dr+ + +∫ ∫ ∫ ∫
r r r rr r r r
= dA
y
P
x
Q
D∫∫ 





∂
∂−
∂
∂
2
 
Sumando m. a .m se cancelan en los tramos BC con CB y en DA con AD. Por lo tanto resulta: 
.
C
F dr∫
r r
=
1 2
. .
C C
F dr F dr+∫ ∫
r rr r
= dA
y
P
x
Q
D∫∫ 





∂
∂−
∂
∂
 
Note que la curva C� está recorrida en sentido antihorario, mientras que la m� en sentido horario. 
 
Ejemplos 14 
Utilizando el teorema de Green calcular c ��> / 	>��� � 2 ��> 2 	>��	 , C es la frontera de la 
región entre las circunferencias �� 2 	� � 1 y �� 2 	� � 9 
Solución 
Según el teorema de Green c ��� � 2 d�	 � e fghgi / gjg9k �Tl , por lo tanto utilizando el segundo 
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miembro de la igualdad y siendo 
ghgi � 3 �� ; gjg9 � /3	� se tendrá 
� XY · �_Y �! | ��� � 2 d�	 � � 3�� 2 3 	��Tl � � � 3 _
� _ �_ �� � 120 F>�
�,
� 
 
 
Ejemplo 15 
Sea _Y � /	Z \Y 2 �[ \\Y y XY��, 	� � �Y|�Y|4 � ;9� \\Y�i� \\Yi4�94 y sea C la curva cerrada 
suave a segmentos. Calcular � XY · �_Y! 
a) si la región D cerrada por C no incluye al origen 
b) si la región D cerrada por C incluye al origen (como la que se 
muestra en el gráfico) 
Solución 
a) Para este caso se cumplen todas las hipótesis de teorema de Green, 
luego es aplicable. 
 
 ghgi � 	2/�2�22	2 ; ���	 � 94;i4i4�94
 
 
c XY . �_Y! � e fghgi / gjg9k �Tl � e 0 �T � 0l 
b) Si bien en este ejemplo se propone una curva cerrada 
donde lasecuaciones de las fronteras se pueden obtener 
fácilmente, el mismo se puede extender a “cualquier 
trayectoria cerrada simple que incluya al origen”. El campo 
vectorial no está definido en el origen, por lo tanto no 
podemos hacer uso directo del Teorema de Green. Para 
usarlo consideremos una región como la mostrada en el 
gráfico, en la que se introduce una curva m�. 
Para simplificar consideremos una circunferencia m� centrada en el origen y radio r, de manera que esté en el 
interior de C. Sea D la región acotada por las curvas C y m� 
Según la generalización del teorema Green 
| XY . �_Y! 2 | XY . �_Y!� � � 8
�d�� / ���	< �Tl
� � 0 �T � 0l 
| XY . �_Y! � / | XY . �_Y!� � | XY . �_Y;!� 
Entonces resolvemos para la circunferencia / m�: � � U ��� & ; 	 � U �() & ; 0 + t + 2π: c XY . �_Y;! �
 
� ;w�����;w ��� ���w�����w ��� ��w4���4��w4���4��,� �& = � �& � 2F�,�
 
Luego, cualquiera sea la curva simple suave C, si ésta cierra al origen 
| XY . �_Y! � 0 
Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas 
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Teniendo en cuenta que el área de un recinto D está dada por ∫∫DdA , si elegimos P y Q de manera 
que 1=
∂
∂−
∂
∂
y
P
x
Q
, entonces el teorema nos permite calcular el área de D. 
Entre las infinitas elecciones posibles de P y Q consideremos las siguientes: 
∫=⇒== C xdy)D(Ax)y,x(Q;)y,x(P 0 
∫−=⇒=−= C ydx)D(A)y,x(Q;y)y,x(P 0 
ydxxdy)D(Ax)y,x(Q;y)y,x(P
C
−=⇒=−= ∫2122 
 
Ejemplo 16 
Calcular el área encerrada por la elipse i4w4 2 94v4 � 1 . 
 Solución 
Usaremos T��� � �� c ��	 / 	��! 
Las ecuaciones paramétricas de la elipse son � � U cos & ; & � U �() & ; 0 + & + 2F 
T��� � 12 � rU���&�o ���&� / o�()&�/U�()&�s�&
�,
� �
12 � Uo �& � Uo F
�,
� 
 
Ejemplo 17 
Calcular c ��> 2 2	��� � 2 �4� / 3	���	 donde la curva cerrada es la elipse i4w4 2 94v4 � 1 
Solución 
Utilizando el teorema de Green: di � 4 ; �9 � 2 
 c ��> 2 2	��� � 2 �4� / 3	���	 � e �4 / 2��T � 2T���l 
Según el resultado del ejemplo anterior, resulta: 
 c ��> 2 2	��� � 2 �4� / 3	���	 � e �4 / 2��T � 2Uo Fl . 
Ejercicios Propuestos Sección 2: 
1 a 7 Evalúe la integral de línea donde C es la curva dada: 
1. � � �� m: � � &>; 	 � & ; 0 + & + 1 ! Rta: �10√10 / 1�/54 
2. � 	 �� m: � � &>; 	 � &� ; 0 + & + 1 ! Rta �64 2 247√13�/1215 
3. � � 	` �� m: mitad derecha de �� 2 	� � 16 ! Rta: 1638.4 
4. � 
 � 	 �� m: � � 2&; 	 � 3 �() &; 
 � 3 ���& ; 0 + & + ,� ! Rta 
5. � ��
 �� m: � � �() 2&; 	 � 3 & ; 
 � cos 2 & ; 0 + & + ,̀ ! Rta �� 
6. � � 	�
 �� m: �(�J()&� �( _(�&U ��( �U �1,0,1�U �0,3,6� ! Rta: 3 √35 
7. � � 
 �� m: � � 6&; 	 � 3√2 &� ; 
 � &> ; 0 + & + 1 ! Rta: 864/35 
8. Determine el valor exacto de � �>	  �� ! donde C es la parte del astroide � � cos
> & ; 	 �
�()>& que está en el `primer cuadrante. Rta: :` 
�a¡¡¡��a
F 
9. A un alambre delgado se le da la forma de un semicírculo �� 2 	� � 4; � ¢ 0. Si la densidad 
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es constante, determine la masa y el centro de masa del alambre. Rta. Masa=2 I F; centro � `
,
; 0� 
10. Calcule la masa y el centro de masa de un alambre delgado que tiene la forma de un cuarto de 
circunferencia �� 2 	� � _� ; � ¢ 0 ; 	 ¢ 0 si la función densidad es H��, 	� � � 2 	. Rta. 
Masa=2I_� ; centro � ��,
£
_; ��,
£
_� R � 0,643_; 0,643_� 
11. Escriba fórmulas que permitan determinar el centro de masa de una alambre delgado de una 
curva en el espacio C con ecuación � � ��&�; 	 � ��&�; 
 � n�&�; U + & + o cuya 
densidad en cada punto (x,y,z) está dado por la función densidad H��, 	, 
� 
12. Use la fórmula anterior para determinar el centro de masa de la espira de la hélice � � &; 	 �
cos &; 
 � �() & formada con 0 + & + 2F y la densidad en cualquier punto es igual al 
cuadrado de su distancia al origen. 
 Rta. centro � >,
x���,4y
>�`,4
; a
>�`,4
; ;a,
>�`,4
� 
13. Sea XY el campo graficado; decida si � XY · �_Y! es positiva, 
negativa o nula si C es: 
a) el segmento de recta vertical que va de (-3;3) a (-3,3). 
b) la circunferencia con centro en el origen y radio 3, orientada 
en sentido antihorario. 
14. Sea XY � ���; �	� 
a) Mostrar que el trabajo para mover la una partícula bajo ese 
campo de fuerza sobre la trayectoria �� 2 	` � 4 es nulo 
b) Graficar el campo (puede usar un SAC) y explicar el resultado anterior. 
 
Rta: 
 
 
15. Dados T � �0,0,0�; V � �2,0,0�; C�1,3, /1� y D=�1,3,0�, calcular � �2� 2 	
��� 2!
�2	 2 �
��	 2 ��	 / 1��
; siendo C el camino compuesto por los segmentos de rectas 
U� m�: TVMMMM ¤ VmMMMM ¤ m�MMMM . b) m�: T�MMMM ; c) ¿era esperable que los ítem a) y b) arrojen el 
mismo resultado? Rta: a) 10 b) 10. 
16. Dados T � �0,0,0�; V � �0,1,1�; C�1,2,3� y D=�1,2,4�, calcular � 
��� / 
 �	 2 2	 �
! ; 
siendo C el camino compuesto por los segmentos de rectas: 
U� m� TVMMMM ¤ VmMMMM ¤ m�MMMM . b) m�: T�MMMM ; c) ¿son contradictorios los resultados a) y b)? 
Rta: a) 
¡¡
a
 b) 
�£
>
 
Del 17 al 20 evalúe � XY . �_Y! ; donde C está dada por la función _Y�&� 
17. XY��, 	� � ��	 ZY / �	 [Y y _Y�&�= &> ZY 2 &` [Y ; 0 + & + 1 Rta: ;�:�`> 
18. XY��, 	, 
� � 
�ZY / 
[Y 2 22	 I\Y y _Y�&� el segmento rectilíneo que une�0,1,1� 	 C�1,2,3�. Rta � > 
19. XY��, 	, 
� � �() � ZY 2 cos 	 [Y 2 �
 I\Y y _Y�&�=&> ZY / &� [Y 2 & I\Y ; 0 + & + 1 Rta: / a  2cos �1� / �()�1� 20. XY��, 	, 
� � �2� 2 	
�ZY 2 �	 2 �
�[Y 2 ��	 / 1� I\Y y C la parte de la trayectoria 
_Y�&�= �4&� 2 1�ZY 2 �¦)�F&� [Y 2 2&I\Y ; �( �2; /1; /1�U �2; 1; 1� Rta: 22 
21. Determine el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F\Y = z ıY 2 x °Y 2 y k\Y al mover 
una particular desde el punto �3,0,0� a �0;
,
�
; 3� a siguiendo: 
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a� una trayectoria rectilínea. Rta: 1.5 F / 4,5 
b) de la hélice � � 3 cos & ; 	 � &; 
 � 3�() &; Rta:/0,57 F / 4,5 
22. Determine el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F\Y � z ıY 2 x °Y 2 y k\Y al mover 
una particular sobre la circunferencia intersección entre la esfera �� 2 	� 2 
2 � 4 y el 
plano 
 � √3 	 orientada en sentido anti-horario si se la mira desde arriba Rta:2� 1 / √3)F 
 
Teorema De GreenTeorema De GreenTeorema De GreenTeorema De Green 
 
De 1 a De 1 a De 1 a De 1 a 5555:::: Evalúe la integral de línea mediante dos métodos: a) aplicando definición y b) Teorema 
de Green. Las curvas C están orientadas en sentido anti-horario 
1- c ��	 �� 2 � 	>�	! ; siendo m la curva que cierra al cuadrado con vértices en �0,0); �1,0);�1,1) y 
�0,1). Rta: / ��� 
2- c � �� 2 ����	! ; siendo m la curva que cierra al triángulo con vértices en �0,0); �1,1); y �0,1). 
Rta: 
3- c �� 2 2	)�� 2 �� / 2	)�	! ; siendo m es el arco de parábola 	 � �� desde �0;0) a �1,1) seguido 
por el segmento de línea de �1,1)a �0;0). Rta: / �a 
4- c � �� 2 ��	��	! ; siendo m la curva que cierra al triángulo con vértices en �0,0); �1,1); y �0,1) 
recorrido en ese orden. Rta: 0. 
5- � XY . �_Y! ; XY��, 	) � �/2�	; ��); m es la frontera de la cardioide _ � 1 2 cos � Rta:5F 
 
De De De De 6666 a a a a 11111111:::: Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva dada 
orientada de manera positiva. Graficar la curva C 
6- c � 	 �� 2 	 �	! ; siendo m la frontera del triángulo con vértices �0,0); �2,0); y �2,1). Rta: /
`
> 
7- c �	� / U_�&� �)�� 2 �3� 2 �() 	)�	! ; m es el arco de parábola 	 � �� y la recta 	 � 4 Rta:/
:a
  
8- c ���� 2 	��	! ; m es la curva �` 2 	` � 1 Rta:0 
9- c f	 2 (√i��k �� 2 �2� 2 �() 	�)�	! ; m la curva frontera que cierra 	 � �� e � � 	� Rta: 1/3 
10- c �	 2 ���))�� 2 n�	)�	! ; m la curva frontera de la elipse ��22	� � 4. Rta: /2√2F 
11- � XY . �_Y! ; XY��, 	) � �4�>	; �`); m es la curva �a 2 	a � 1 Rta:0 
 
¿À Á�  ÁÃ: Use una integral de línea para calcular el área cerrada por las curvas dadas 
en forma implícita o paramétrica. Usar un sac para graficar la región cuya área se evalúa. 
12- �� 2 	� ¢ 1� Ä �� 2 �	 / 1)� � 1 Rta:,> 2
√>
� 
13- ��/> 2 	�/> � U�/> Rta 0,375 U�F 
14- �` 2 	` � U` �debe usar SAC, para evaluar integral) Rta:3,70815 U� 
15- � � U ��� & ; 	 � o �()>&; 0 + & + 2F Rta:0,75 U o F 
Gráficos 12, 13, 14 y 15: 
16- Muestre que para una curva C cerrada suave simple el cociente de integrales de línea dadas 
permiten determinar el centroide de la región cerrada por C �L � c �?i�i
4?9 È
c i ?9;9?i È
 	M � ;�,  c 9
4 ?i È
c i ?9 È
 
17- Use el resultado del ejercicio anterior para mostrar que el centroide de la cardioide _ � 1 2
cos � (�&á () f a ; 0k 
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