Apéndice de fórmulas utilizadas 1

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Apéndice: 
Obtención de la fórmula exponencial de un complejo. 
Recordando los desarrollos de ��; cos��	 y sin ��	 �� 
 1 � � � ��2! � ��3! � � � ���! � � 
 � ���!���� cos��	 
 1 � ��2! � ��4! � ��6! … � ��1	�����2�	! � � 
 � ��1	�����2�	!���� sen��	 
 � � �#�! � �$%! � �&'! … � �()	*�+*,-���.)	! � �=∑ �()	*�+*,-���.)	!���� 
Usando estas tres fórmulas es posible obtener la forma exponencial de un complejo de la siguiente 
manera: 
Usando el desarrollo de �� se encontrará el de �01 �01 
 1 � 23 � 2�3�2! � 2�3�3! � 2�3�4! � 2%3%5! � 2�3�6! � 2'3'7! � � 
Usando las propiedades de la potencia de la unidad imaginaria 6 3� 
 3� 
 3�� 
 1 3) 
 3% 
 3��.) 
 3 3� 
 3� 
 3��.� 
 �1 3� 
 3' 
 3��.� 
 �3 7; �01 
 1 � 23 � 0+ �! � 0#�! 3 � 08�! � 0$ %! 3 � 09 �! � 0&'! 3 � � 
 Reordenando los términos de la serie es posible descomponerla en dos. La primera agrupando los 
términos reales y la segunda la que contiene imaginarios puros. �01 
 1 � 0+ �! � 08�! � � 09 �! � � 23 � 0#�! 3 � 0$ %! 3 � 0&'! 3 � � 
Sacando factor común de la segunda serie la unidad imaginaria, puede notarse que cada una de las 
series involucradas son el desarrollo de :���2	 y cos �2	 �01 
 ;1 � 0+ �! � 08�! � � 09 �! � � <=>>>>>>>>?>>>>>>>>@ABC 0 �3 ;2 � 0
#�! � 0$ %! � 0&'! � � <=>>>>>>>?>>>>>>>@ DE�0 = �01 
 cos 2 � 3 :��2 (fórmula de Euler) 
Finalmente, usando las propiedades de la potencia ��.F=���F se llega a la forma exponencial de 
un complejo �G.01 
 �G�01 
 �G�cos 2 � 3 :��2	 �G.01 
 �G�cos 2 � 3 :��2	 
Matriz exponencial. 
Usando similitud con eH 
 1 � a � )�! a� � )�! a� � � � )J! aJ � � se define eK 
 I � A � 12! A� � 13! A� � � � 1n! AJ � � 
 � 1n! AJ�J�� 
 Usando dicha definición 
• Puede mostrarse que esta serie de matrices converge para todo A 
• e� 
 I y �eK	() 
 e(K 
• 
• Sea N 
 OP)) 00 P�� �… 00R S R0 0 � P��T U e
V 
 W eP11 00 eP22 � 00R R S R0 0 � eP��X 
• Sea N una matriz Diagonal Y 
 ZNZ() U �[ 
 Z�\Z() 
• ] : matriz de Jordan U ^ Y _ `�a� b ], C / Y 
 Z]Z() U �[ 
 Z�eZ() 
Si YD _ `�a� no diagonalizable (f 
 f) 
 f�); gh) 
 �YD � f i	 gh� ] 
 ; f 10 f<, y �ej 
 k �l j m �l j0 �l j n