5 Apéndice de fórmulas

Vista previa del material en texto

Apéndice: 
Solución generar de una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal 
Homogénea de orden n con coeficientes constantes ������ � �����	�� � 
 � ��	��� � ��� � 0 ; 
 Polinomio característico ���� � ���� � ����	� � 
 � ��	�� � �� 
La solución general tendrá � sumandos que se determinarán con las siguientes reglas. 
a) Por cada raíz real simple � de ���� la solución general tendrá un sumando � ���. 
b) Por cada par de raíces complejas simples � � �� de ���� la solución general tendrá 2 
sumandos: ��� ��������� � ��� ���������. 
c) Por cada raíz real � de orden de multiplicidad de ���� la solución tendrá ! 
sumandos de la forma �"�#���; $ � 0,1, … , !-1. 
d) Por cada par de raíces complejas múltiples ( � )* de orden de multiplicidad k la 
solución general tendrá 2! sumandos del tipo �#� ��,-�������� � -��������. con $ � 0,1, … , !-1 . 
 
Obtención de la fórmula exponencial de un complejo. 
Recordando los desarrollos de ��; cos��� y sin ��� �� � 1 � � � ��2! � �63! � 
 � ���! � 
 � 8 ���!9�:� cos��� � 1 ; ��2! � �<4! ; �>6! … � �;1������2��! � 
 � 8 �;1������2��!9�:� sen��� � � ; �A6! � �BC! ; �DE! … � �	��F�GFHI���J��! � 
=∑ �	��F�GFHI���J��!9�:� 
Usando estas tres fórmulas es posible obtener la forma exponencial de un complejo de la siguiente 
manera: 
Usando el desarrollo de �� se encontrará el de �L" �L" � 1 � �� � ����2! � �6�63! � �<�<4! � �C�C5! � �>�>6! � �E�E7! � 
 
Usando las propiedades de la potencia de la unidad imaginaria O �� � �< � �<� � 1 �� � �C � �<�J� � � �� � �> � �<�J� � ;1 �6 � �E � �<�J6 � ;� P; �L" � 1 � �� ; LG �! ; LA6! � � LQ<! � LB C! � ; LR >! ; LDE! � � 
 
 Reordenando los términos de la serie es posible descomponerla en dos. La primera agrupando los 
términos reales y la segunda la que contiene imaginarios puros. �L" � 1 ; LG �! � LQ<! � ; LR >! � 
 �� ; LA6! � � LB C! � ; LDE! � � 
 
Sacando factor común de la segunda serie la unidad imaginaria, puede notarse que cada una de las 
series involucradas son el desarrollo de ������ y cos ��� �L" � S1 ; LG �! � LQ<! � ; LR >! � 
 TUVVVVVVVVWVVVVVVVVXYZ[ L �� S� ; L
A6! � LB C! ; LDE! � 
 TUVVVVVVVWVVVVVVVX \]�L = �L" � cos � � � ���� (fórmula de Euler) 
Finalmente, usando las propiedades de la potencia ��J^=���^ se llega a la forma exponencial de 
un complejo �_JL" � �_�L" � �_�cos � � � ����� �_JL" � �_�cos � � � ����� 
 
Matriz exponencial. 
Usando similitud con e` � 1 � a � ��! a� � �6! a6 � 
 � �b! ab � 
 se define ec � I � A � 12! A� � 13! A6 � 
 � 1n! Ab � 
 � 8 1n! Ab9b:� 
 Usando dicha definición 
• Puede mostrarse que esta serie de matrices converge para todo A 
• e� � I y �ec�	� � e	c 
• 
• Sea f � g��� 00 ��� 
… 00h i h0 0 
 ���j k e
l � m e�11 00 e�22 
 00h h i h0 0 
 e���n 
• Sea f una matriz Diagonal - � ofo	� k �p � o�qo	� 
• r : matriz de Jordan k s - t u�v� w r, C / - � oro	� k �p � o�yo	� 
Si -\ t u�v� no diagonalizable (z � z� � z�); {|� � �-\ ; z }� {|� r � S z 10 zT, y �y~ � � �� ~ � �� ~0 �� ~ � 
 
Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de 
primer orden. ��: matriz cuadrada. 
1- ���|��� � ec� ����| es solución de �����|��� � -\ �|��� 
2- �|��� � �p��~	��������| es solución de ������|��� � -\ �|��� �|���� � �����| P 
3- �|��� � �p� ~, ���| � � �	p�~�|��� ��. es solución de �����|��� � -\ �|��� � �|��� 
4- �|��� � �p��~	~�� ������| � � �p��~	 \� �|�����~~� es solución de ��
����|��� � -\ �|��� � �|��� �|���� � ������|
P 
 
Tabla Resumen (solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de 2x2 ) 
 
������������= S 
��� ������ ���T �
��������� 
 
 ����; ���� con forma 
 
A
ut
ov
al
or
es
 
 
u����� z� z� 
z� � z� - ��I~ � ���G~ 
z� � z� - ��I~ � � � ��I~ 
o�������� z�.� � � � �� �_~,- ������� � ��������.