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ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA−−−−Primer Examen Parcial−−−−09/05/08 
• Resuelve un ejercicio por hoja. Entrega las 4 hojas 
• Escribe en cada hoja: Apellido y Nombre; Comisión A- E- F; Problema Nº....: 
• Tiempo máximo: 2:00 horas 
 
1 2 3 4 Total 
28 (7 cada uno) 24 (8 cada uno) 32 (8 cada uno) 16 (8 cada uno) 100 
 
Problema Nº1: 
Determina si cada proposición dada es verdadera o falsa. Justifica cada respuesta (no se consideran las 
respuestas que no tengan justificación): 
a) Si la matriz A admite inversa, el sistema lineal AX = B tiene solución única para cada B. 
b) Si A, B son matrices cuadradas nxn, se verifica que (A – B) (A + B ) = A2 – B2. 
c) Si u, v son vectores no nulos y no paralelos, entonces el área del paralelogramo que ellos determinan es 
|u x v|. 
d) Si u, v son vectores no paralelos, entonces el producto mixto u. (u x v ) = 0 
 
Problema Nº2: 
a) Identifica y grafica el lugar geométrico que representa la ecuación x = 2 en R; R2 , y en R3 
b) Escribe una ecuación del plano π que es perpendicular al plano xy y que contiene a la recta 





−=
−=
+=
t3z
t2y
t2x
. 
c) Calcula la distancia de la recta r1: 



=
=−+
5z
06y3x2
 al origen de coordenadas. 
 
Problema Nº3: Resuelve las siguientes tareas: 
a) Dado el punto P1 (x1, y1) que no pertenece a la recta de ecuación L : a x + by + c = 0, deduce la expresión 
de la distancia de P1 a la recta L. ¿Cuál es la distancia de la recta dada al origen de coordenadas? 
b) Dado el sistema de ecuaciones lineales 



=++
=++
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
discutir las posibilidades de solución e 
interpretarlas geométricamente en R3. 
c) Si A es una matriz de tamaño nxn y det (A) = 3, calcula: 
 c1) det (4At) c2) det (−A)-1 c3) det (A . Adj A) 
d) Demuestra que si A es una matriz simétrica (A = At) con det(A) ≠ 0, entonces A–1(Bt A)t + B = 2B. 
 
Problema Nº4: 
a) Encontrar las componentes c1 y c3 de un vector )c 3, ,(cc 31=
r
 coplanar con los vectores 3) 4, (1,a =
r
 y 
2) 2, (1,b =
r
, que cumpla además con la condición de que el módulo de su proyección sobre el vector b
r
 es 
igual a 1. 
 
b) Un día una persona puede comprar en el supermercado 1 o en el supermercado 2. Si hoy una persona 
compró en el supermercado 1, la probabilidad de que mañana siga comprando en el supermercado 1 es del 
80%, y si hoy compró en el supermercado 2 la probabilidad de que mañana cambié de supermercado es del 
70%. 
 b1) ¿Cuál es la matriz de transición de estados? 
 b2) Si una persona compra en el supermercado 1 hoy, ¿cuál es la probabilidad de que dentro de 3 días 
siga comprando en el supermercado 1? 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA−−−−Recuperatorio Para Regularizar−−−−25/07/07 
• Resuelve un ejercicio por hoja. Entrega las 4 hojas. 
• No respondas en este temario. 
• Escribe en cada hoja: Apellido y Nombre: …… ; Comisión …… ; Problema Nº.... . 
• El examen finaliza en 2 horas (máximo) 
1 2 3 4 Total 
24 (14−10) 24 (16−8) 28 (7 puntos cada uno) 24 (6 cada uno) 100 
Problema Nº1: a.1) Las ecuaciones paramétricas 



+=
+=
ty
tx
 cos 57
 cos53
 , ∀ t ∈ R ¿Qué lugar geométrico 
representan? Explica y dibuja. 
a.2) Para el caso de estas ecuaciones paramétricas 



+=
+=
ty
tx
 sen 57
 cos53
 , ∀ t ∈ R ¿Qué lugar geométrico 
representan? Explica y dibuja. 
 
b) Identifica las curvas de ecuación x2 – y2 = k2 en R2, para cada k ∈ R y esquematiza. 
 
Problema Nº2: a) Esquematiza aproximadamente los lugares geométricos representados por las siguientes 
ecuaciones en R3: 
a.1) x
2
 + (z–1)
2
 = 1 a.2) x
2 
+ (y
2
/4)
 
+ z
2 
= 1 
 
b) Deduce las coordenadas de un punto diametralmente opuesto al punto (1, 2, 1) en la superficie esférica de 
ecuación x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4 = 0. ¿Cuál es el punto diametralmente opuesto a (1, 3, 0) ? 
 
Problema Nº3: Resuelve, justificando cada respuesta: 
a) Decide, cuál de los siguientes conjuntos no es subespacio vectorial de R2 y justifica: 
a.1) H1 = gen {(−2, 1)} 
a.2) H2 = gen {(0, 0)} 
a.3) H3 = {(−2, 1)} 
a.4) H4 =gen {(−1, 1)} ∪ gen {(−2, 1)} 
a.5) H5 = {(0, 0)} 
b) Escribe las coordenadas del vector 





−1
3
en la base B = 














−





−
1
2
,
0
1
 
c) ¿Por qué 



















−






− 0
0
,
2
2
,
1
1
no es un conjunto generador de R2? 
d) Expresa una base y la dimensión del subespacio vectorial H = 










==∈










5 ;3:
3 zxR
z
y
x
 
Problema Nº4: Demuestra las siguientes proposiciones, que son ciertas en todo espacio vectorial V 
a) Si r v = 0 entonces r = 0 o v = 0, r ∈ R, v ∈ V 
b) Si {v1, v2} es un conjunto de vectores linealmente independiente en V, entonces {v1−v2 , v1 + v2 }es 
también un conjunto de vectores linealmente independiente en V 
c) El conjunto {0} es linealmente dependiente, 0 ∈ V es el vector nulo. 
d) Si H1 y H2 son subespacios vectoriales de V , entonces H1 ∩ H2 es subespacio vectorial de V. 
 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA−−−−Examen Final−−−−07/07/04−−−− 
• Resuelve un ejercicio por hoja. 
• Escribe en cada hoja: 
Apellido y Nombre; Condición (regular o promocionado) y Comisión; Problema Nº....: 
• Alumno regular: resuelve los problemas 1,2,3,4 y 5 (entrega cinco hojas). Tiempo máximo: 2:30 
horas 
• Alumno promocionado: resuelve los problemas 4 y 5 (entrega dos hojas). Tiempo máximo: 1:30 
hora 
1 2 3 4 5 Total 
20 (5 cada uno) 20 (5 cada uno) 20 (10−5−5) 15 (5 puntos cada uno) 25 (10−15) 100 
 
Problema Nº1: Determina si cada proposición dada es verdadera o falsa. Justifica cada respuesta (no se 
consideran las respuestas que no tengan justificación): 
a) El sistema de ecuaciones lineales 





=−
=−+
=−
2
132
2
kzy
zyx
zx
admite infinitas soluciones para k = 1. 
b) Si A , B son matrices cuadradas nxn, se verifica que (A – B)2 = A2 – 2 AB + B2. 
c) Si A = 





11
11
entonces An = 
1
22
22
−






n
para todo n natural. 
d) El plano de ecuación 2x −−−− 2y + 4z = 3 y la recta 0;
1
5
1
3
=
−
−
=
−
−
z
yx
 se intersecan en un único punto. 
e) Si A es una matriz cuadrada nxn que tiene inversa entonces su determinante es no nulo y el sistema 
lineal AX = B admite solución única. 
 
 
Problema Nº2: a) 
Identifica y grafica el lugar geométrico que representan las siguientes ecuaciones en: 
I) En R2: a) 9x2 −−−− 4y2 −−−−36 = 0 b) x = t cos t ; y = t sen t, t ∈ [0, 2π). 
 
II) En R3: c) 9x2 −−−− 4y2 −−−−36 = 0 d) x2 + y2 = z2 
 
 
Problema Nº3: Resuelve las siguientes tareas: 
a) Dado el punto P1 (x1, y1) que no pertenece a la recta de ecuación L : a x + by + c = 0, deduce la expresión 
de la distancia de P1 a la recta L. 
b) Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, ¿qué condiciones necesarias y suficientes aseguran que 
el sistema es compatible determinado? 
c) Si A es una matriz de tamaño nxn y det (A) = 2, ¿Cuánto vale det (2A) ?, ¿Cuánto vale el det (−A)?. 
 
Problema Nº4: Determina si cada proposición dada es verdadera o falsa. Justifica la respuesta: 
a) Tres vectores de R3 son generadores de todo R3. 
b) El subespacio vectorial H de R3, H = {(x, y, z) / x + y + z = 0} tiene una base dada por B = { (1/2, −1; 1/2)} 
c) Si T : V → W es una transformación lineal y V, W son espacios vectoriales, entonces el núcleo de T, N(T) 
es un subespacio vectorial de V. 
 
Problema Nº5: 
I) 
a) Sea T : R2 →→→→ R3 la transformación lineal T (x, y) = (x, y, x−−−−y) . Encuentra Recorrido (T) o Im (T), expresa 
su dimensión y da una base. 
b) Expresa la matriz de T, MB1B2(T) en las bases B1 = {(1, 1) ; (1, 0)} y B2 = {(1, 1, 1); (1, 1, 0) ; (1, 0, 0)} 
II) 
a) Demuestra que si dos matrices A y B son semejantes (similares) entonces tienen determinantes iguales. 
b) Investiga si es posible diagonalizar las matrices siguientes. Cuando sea posible, diagonaliza: 
 b1) A = 










222
254
245
 b2) A= 





10
11
 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA−−−−Segundo Examen Parcial−−−−20/06/07 
• Resuelve un ejercicio por hoja. Entrega las 4 hojas. 
• No respondas en este temario. 
• Escribe en cada hoja: Apellido y Nombre: …… ; Comisión …… ; Problema Nº.... . 
• El examen finaliza en 2 horas (máximo) 
1 2 3 4 Total 
25 (15−10) 25 (18−7) 30 (6 puntos cada uno) 20 (5 cada uno) 100 
Problema Nº1: a) Dada la ecuación x2 + k y2 − 6x − 4 k y + 9 = 0 en R2 
 a.1) Analiza los lugares geométricos que representa la ecuación, para k ∈ R. Interpreta 
geométricamente y dibuja cuando encuentres algún lugar geométrico. 
 a.2) Identifica la curva y
2
 – 2y + 2x = 5 ; escribe su ecuación paramétrica utilizando la sustitución y 
= 1 + t, ∀ t ∈ R. 
 
Problema Nº2: a) Esquematiza aproximadamente los lugares geométricos representados por las siguientes 
ecuaciones en R3: 
a.1) y
2
 + z
2
 = x a.2) x
2 − 4 y2 +z2 = 0 a.3) 





=
=
=
tz
seny
x
α
αcos2
 ∀ α, t ∈ R 
 
b) Escribe la ecuación de una superficie esférica de radio 2 y centro (1, 2, 3) en coordenadas esféricas. 
 
Problema Nº3: Determina si las proposiciones son verdaderas o falsas, y justifica en cada caso la respuesta 
(no se considerarán puntos si la respuesta no está justificada) : 
a) En R2, el subespacio vectorial H = gen { 





2
1
; 





0
0
} tiene dimensión 2 
b) La matriz de transición de una base B1 = {u1, u2} a una base B2 = {v1, v2} es A= 





−− 32
21
 . 
Entonces B = 





−
−
12
23
 es la matriz de transición de la base B2 = {v1, v2} a la base B1 = {u1, u2}. 
c) 













−





−






− 0
3
,
3
2
,
1
1
es un conjunto linealmente independiente en R2. 
d) El subespacio vectorial H = 










=∈










xzR
z
y
x
2:
3 tiene un conjunto de generadores formado por tres 
vectores. 
e) Las coordenadas del vector 





−1
1
en la base B = 














−






1
2
0
1
son escalares opuestos. 
 
Problema Nº4: Demuestra las siguientes proposiciones, que son ciertas en todo espacio vectorial V 
a) 0 v = 0, ∀ v ∈ V 
b) {v} es un conjunto linealmente independiente, si v ≠ 0, v ∈ V 
c) El conjunto {u, −u } es linealmente dependiente ∀ u ∈ V 
d) Todo vector v de un espacio vectorial de dimensión finita , dim V = n, se escribe de manera única como 
combinación lineal de una base {v1, v2, …., vn } de V. 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA−−−−Examen Final−−−−06/07/05−−−− 
• Resuelve un ejercicio por hoja. 
• Escribe en cada hoja: 
Apellido y Nombre; Condición (regular o promocionado) y Comisión; Problema Nº....: 
• Alumno regular: resuelve los problemas 1,2,3,4 y 5 (entrega cinco hojas). Tiempo máximo: 2:30 
horas 
• Alumno promocionado: resuelve los problemas 4 y 5 (entrega dos hojas). Tiempo máximo: 1:30 
hora 
1 2 3 4 5 Total 
25 (5 cada uno) 22 (6-4-12) 13 (10−5−5) 20 (5 puntos cada uno) 20 (6-8-8) 100 
Problema Nº1: Determina si cada proposición dada es verdadera o falsa. Justifica cada respuesta: 
a) Si u , v , w son tres vectores de R3 que no están en el mismo plano, geométricamente |( u x v) . w | (el 
valor absoluto del triple producto escalar o producto mixto) representa el volumen del paralelepípedo que 
tiene a u, v, y w como aristas. 
b) La matriz A = ( aij ) de tamaño 3x3 / aij =



>−
≤
j i si 
j i si 
1
0
 tiene rango 2. 
c) El lugar geométrico del conjunto de puntos que se mueven de tal manera que su distancia a un punto (2, 
0) y a la recta de ecuación x + 4 = 0 es la misma, está dado por la ecuación x – 1 = 12 y2 
d) El determinante de una matriz cuadrada no cambia, si en las filas de la matriz se realiza un número finito 
de operaciones de renglón. 
e) El plano de ecuación x −−−− y + 2 z = 3 y la recta –x + 3 = y – 5 ; z = 0 se intersecan en un único punto. 
Problema Nº2: a) Describe geométricamente el conjunto de puntos H = gen 




















−









−









−
1
0
1
,
1
1
0
0
1
1
. 
b) Da una base y la dimensión de H ( del problema 2 a) 
c) Identifica y dibuja los siguientes conjuntos de puntos de R3 e indica si alguno de ellos es subespacio 
vectorial. Si alguno es subespacio vectorial da una base. 
 c1) x – y = 0 c2) x2 + (y –3)2 = 9 c3) x2 + y2 - 
z2 = 0 
Problema Nº3: Resuelve las siguientes tareas: 
a) Dado el punto P1 (x1, y1) que no pertenece a la recta de ecuación L : a x + by + c = 0, deduce la expresión 
de la distancia de P1 a la recta L. 
b) Si la matriz del cambio de base de B1 a B2 es M = 




 −
32
11
y B1 = 











−






0
1
,
1
1
, encuentra la base B2. 
Problema Nº4: Sea T una transformación lineal definida por T 





=










1
1
0
0
1
; T 





=










0
1
0
1
0
; T 





=










1
0
1
1
0
 
a) Ortonormaliza la base de R3. 
b) Explicita la matriz de la transformación lineal utilizando la base dada de R3 y la base 


















0
1
1
1
de R2. 
c) Calcular el Núcleo y la Imagen de T, expresar una base para cada uno y su dimensión. 
d) Demuestra que dos matrices AT y CT para una transformación lineal T : V → V expresadas en distintas 
bases son semejantes (similares). 
 
Problema Nº5: 
a) Una matriz cuadrada Q, es ortogonal si verifica Q Qt = I (Identidad). Si Q es una matriz ortogonal ¿A qué 
es igual Q-1?¿Cuánto vale |Q|? 
b) Investiga si es posible diagonalizar las matrices siguientes. Cuando sea posible, diagonaliza: 
 b1) A = 










111
032
113
 b2) A = 





40
44
 
c) Demuestra que si λ1, λ2, λ3 ..... λk, son valores propios de la matriz A entonces A
t tiene exactamente los 
mismos valores propios. 
 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA−−−−Segundo Examen Parcial−−−−19/06/06 
• Resuelve un ejercicio por hoja. Entrega las 4 hojas. 
• No respondas en este temario. 
• Escribe en cada hoja: Apellido y Nombre; Comisión ….. ; Problema Nº..... 
• El examen finaliza en 2 horas (máximo) 
1 2 3 4 Total 
25 (12- 13) 25 (13-12) 25 (10-15) 25 (9-8-8) 100 
Problema Nº1: 
 
a) Halla la ecuación de la hipérbola y las coordenadas de los focos si la hipérbola tiene por asíntotas 
 
las rectas: y = x e y = -x +2 y su eje focal es paralelo al eje x y el punto (2,1) le pertenece. Grafica. 
 
b) ¿Para qué valores de K la ecuación 4 x 2 + 9 y2 -16 x + 25 – k = 0 es una elipse con ejes paralelos 
 
a los ejes coordenados? Grafica 
 
 
Problema Nº 2: 
 
a) Escribe la ecuación rectangular del lugar geométrico en R3 cuya ecuación en coordenadas 
 
cilíndricas es r2 =1- z2/9. Identifica y grafica. 
 
b) Representa gráficamente la superficie 4z2 – x2 – y2 = 1 indicando sus intersecciones con los ejes 
coordenados y sus trazas con los planos x = 0 , y = 0 , z = k para k ∈R. 
 
 
Problema Nº3: 
a) Determina si el conjunto de vectores H = 










−=+=∈










y2z;1y3x:R
z
y
x
3 es un subespacio de R3. 
 
b) Da la expresión algebraica del subespacio de R3 generado por {(1, -2, 1), (1,0 , -1)} y descríbelo 
 
geométricamente. Demuestra que es un subespacio, indica una base y su dimensión. 
 
 
Problema Nº4: 
a) Sea A = 














−
−
1110
0411
0211
1101
, da un conjunto de vectores columnas de A que contenga el máximo número 
posible de vectores linealmente independientes. ¿Constituyen una base de R4? 
 
 
b) Sea V un espacio vectorial y u, v, w vectores de V. Si {u, v, w} es un conjunto linealmente 
 
independiente. Demuestra la independencia lineal del conjunto {u-v, v-w, w-u} . 
 
c) ¿ Cuál es la matriz de transición de la base canónica de R2 a la base 










−





−
1
3
,
2
1
? 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA−Examen Final−27/02/08 
• Resuelve un ejercicio por hoja. 
• Escribe en cada hoja: Apellido y Nombre; Condición (regular o promocionado) y Carrera; Problema Nº....: 
• Alumno regular: resuelve los problemas 1, 2, 3, 4 y 5 (entrega cinco hojas). Tiempo máximo: 2:45 horas 
• Alumno promocionado: resuelve los problemas 4 y 5 (entrega dos hojas). Tiempo máximo: 1:30 hora 
1 2 3 4 5 Total 
18 (6 cada uno) 16 (8-8) 16 (6−6−4) 20 (10-10) 30 (6 cada uno) 100 
 
Problema Nº1: Determina si cada proposición dada es verdadera o falsa. Justifica cada respuesta: 
a) El lugar geométrico del conjunto de puntos que se mueven de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos 
(0, 5) y (0, -3) es fija e igual a 12, está dado por la ecuación 1
36
)1y(
20
x 22
=
−
+ 
b) El determinante de una matriz cuadrada no cambia, si en las filas de la matriz se realiza un número finito de 
operaciones de renglón. 
c) Las rectas 



=+
=+−
2zy
1zyx
 y 



=
−=+−
0z
2y3x
 se intersecan en un único punto. 
 
Problema Nº2: Resuelve las siguientes tareas: 
a) Sean u y v dos vectores de R2 y ϕ el ángulo comprendido entre u y v. Partiendo del teorema del coseno, esto es | u – 
v |2 = | u |2 + | v |2 – 2 | u |.| v | cos ϕ y sabiendo que | w |2 = w . w , ∀ w ∈ R2, demuestra que: 
u . v = | u | | v | cos ϕ 
b) Describe geométricamente el conjunto de puntos H = gen 




















−









−









−
1
1
2
,
1
1
0
,
1
1
1
. Propone una base para H 
 
Problema Nº3: Resuelve las siguientes tareas: 
a) Un cubo tiene vértices en los 8 puntos de la forma (x, y, z) donde x, y , z toman valores 0 o 1. 
a1) Encuentra las ecuaciones de los planos que contienen a las 6 caras del cubo. 
a2) Demuestra que alguno de los planos encontrados es un subespacio vectorial de R3 y da una base. 
b) Describe y grafica el lugar geométrico más amplio que representan las ecuaciones 
b1) x2 = 4 en R y R2 . b2) x2 – y2 = 0 en R2 y R3 b3) 





=
α=
α=
tz
sen2y
cos2x
 en 
R3, 0 ≤ α ≤ 2π ; t ∈ R 
c) Sean H1 y H2 dos subespacios vectoriales de V. Indica cuál (o cuáles) de los siguientes conjuntos NO es subespacio 
vectorial de V, justificando la respuesta. 
c1) H = H1 + H2 c2) H = H1 ∪ H2 
 c3) H = H1 ∩ H2 
 
Problema Nº4: Sea T una transformación lineal definida por T 





=










0
0
0
1
1
; T 





=










0
1
0
1
0
; T 





=










0
2
1
1
0
 
a) Ortonormaliza la base de R3 dada. 
b) Calcula el Núcleo de T, expresando una base y su dimensión. 
 
Problema Nº5: 
a) Investiga si las matrices A = 





10
01
 y B = 





10
11
 son semejantes (similares). 
b) Demuestra que si λ1, λ2, λ3 ..... λk, son valores propios de una matriz A entonces A
t tiene exactamente los mismos 
valores propios. 
c) Sean P una matriz inversible ; A una matriz cuadrada, ambas nxn; demuestra que la función T(A) = P-1 A P es lineal. 
d) La matriz P que aparece en la definición de semejanza de dos matrices A y B ¿Es única? Justifica. 
e) Utiliza la diagonalización de la matriz A = 





12
10
 para calcular A20.