3 - Ecuacion_de_onda_modelo_y_solucion

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Ecuación de onda: 
Un problema físico importante y
que modela las vibraciones de una cuerda 
Vamos a deducir la EDP que gobierna las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda 
elástica, la cual se estira hasta la longitud 
la cuerda se deforma transversalmente y después de cierto insta
deja vibrar. El problema es determinar las vibraciones de la cuerda, es decir su deformación 
cualquier punto x y en cualquier instante
Las suposiciones simplificadoras
demasiado complicada son: 
1- La cuerda es homogénea (la masa de la cuerda por unidad de longitud
perfectamente flexible (no ofrece resistencia alguna a la flexión y las tensiones serán tangenciales 
y constantes en todo punto). 
2- La tensión causada al estirar la cuerda antes de fijarla en los ptos extremos es tan grande que la 
acción de la fuerza gravitacional sobre la cuerda puede despreciarse
actúa sobre la cuerda. 
3- La deformación y la pendiente de la cuerda son en todo punto pequeñas en valor absoluto, lo 
cual nos permite despreciar la componente horizontal del movimiento, 
cuerda se mueve estrictamente en sentido vertical 
Denotando con � a la magnitud de la tensión 
pequeña porción de cuerda de longitud 
 
 u(x,t) 
 
 
Ecuación de onda: el modelo 
importante y diferente a los anteriores, que involucra otra clase de EDP es el 
que modela las vibraciones de una cuerda o membrana elástica. 
Vamos a deducir la EDP que gobierna las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda 
elástica, la cual se estira hasta la longitud L y, a continuación se fija en los puntos extremos. Luego 
la cuerda se deforma transversalmente y después de cierto instante, digamos t= 0, se suelta y se 
deja vibrar. El problema es determinar las vibraciones de la cuerda, es decir su deformación 
y en cualquier instante t > 0. 
s que consideraremos para que la ecuación resultante no quede 
la masa de la cuerda por unidad de longitud, ρ es constante
(no ofrece resistencia alguna a la flexión y las tensiones serán tangenciales 
a tensión causada al estirar la cuerda antes de fijarla en los ptos extremos es tan grande que la 
acción de la fuerza gravitacional sobre la cuerda puede despreciarse y, ninguna otra fuerza externa 
endiente de la cuerda son en todo punto pequeñas en valor absoluto, lo 
cual nos permite despreciar la componente horizontal del movimiento, así cada partícula de la 
cuerda se mueve estrictamente en sentido vertical u = u(x,t) (llamada función de onda
a la magnitud de la tensión en cada punto, ilustramos la situación en una 
pequeña porción de cuerda de longitud ∆s en el intervalo [x, x + ∆x] . 
 cuerda 
Cuerda en equilibrio
, que involucra otra clase de EDP es el 
Vamos a deducir la EDP que gobierna las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda 
y, a continuación se fija en los puntos extremos. Luego 
nte, digamos t= 0, se suelta y se 
deja vibrar. El problema es determinar las vibraciones de la cuerda, es decir su deformación u en 
resultante no quede 
es constante ) y 
(no ofrece resistencia alguna a la flexión y las tensiones serán tangenciales 
a tensión causada al estirar la cuerda antes de fijarla en los ptos extremos es tan grande que la 
ninguna otra fuerza externa 
endiente de la cuerda son en todo punto pequeñas en valor absoluto, lo 
cada partícula de la 
función de onda). 
en cada punto, ilustramos la situación en una 
 perturbada 
Cuerda en equilibrio 
 
Aplicando la segunda ley de Newton (m.a = F ) para las componentes verticales de las fuerzas que 
actúan sobre ese pequeño segmento de la cuerda, adimensionalizando el área de la sección 
transversal (A = 1) y usando 	∆�	 ≈ ∆� (por suposición 3-) resulta: 
�	∆�	 �	
��	 ��, �� = 	�	�����´	� − �	�����	� 
Además, para � y �´ pequeños esta fuerza neta vertical que actúa en el segmento de cuerda ∆� 
puede expresarse en términos de las correspondientes funciones tangentes, con lo cual 
�	∆�	 �	
��	 ��, �� = 	�	������´	� − �����	�� = 	�	�	
��� + ∆�, �� − 
���, ���	 
Ahora dividiendo ambos miembros por ∆� y tomando el límite para ∆� → 0	, obtenemos la 
ecuación unidimensional de onda, donde 			�	 =	 �� es el cuadrado de la velocidad de 
propagación de la onda (rapidez con la que se propaga la perturbación por la cuerda) 
	�	
��	 =	�	 	�	
��	 
Observaciones: 
1- Esta ecuación no sólo gobierna las vibraciones de una cuerda perturbada (onda elástica) sino 
también las ondas mecánicas (sonido) y las ondas electromagnéticas (radio, televisión, internet) 
2- Conociendo la función u, podemos calcular el desplazamiento, la velocidad ut con que se 
mueven las partículas cuando son perturbadas por la onda (no confundir con c), su aceleración utt 
en cualquier instante de tiempo y la forma de la cuerda ( su pendiente= ux y su curvatura = uxx) 
3- Dado que la ecuación de onda tiene derivada de segundo orden para x, se deben imponer dos 
condiciones de borde (para el caso de extremos fijos son u(0,t) = 0 = u (L, t)) y como también hay 
derivada de segundo orden para t, son dos las condiciones iniciales necesarias (posición inicial 
u(x,0) y velocidad inicial ut(x,0)) 
4- Dado que la EDP de onda el lineal y homogénea, cuando las condiciones de borde también lo 
sean será posible obtener la solución del (PVB) aplicando la técnica de separación de variables. 
Más aún, si las condiciones iniciales fueran combinación lineal de las autofunciones del problema, 
obtendremos solución exacta para el problema. Por ejemplo: 
 
 
 
Separación de variables para un (PVB) con ecuación de onda 
Si la cuerda es de longitud L = π y es liberada desde el reposo dado por f(x) = sen(x), las 
ecuaciones que modelan la situación son: 
����� ∶ 	 !"#�	 ∶ 				 
$$ = 	�	. 
��				; 								0	 < 	� < 		π		; 			t > 0															+�1,2:			
�0, �� = 0			; 									
�	π	, �� = 0		; 					�	 ≥ 0																			+01,2:			
�	�, 0� = ������			; 							
$�	�, 0� = 0		; 		0	 ≤ �	 ≤ 2 3 
Paso 1) Proponer 			
��, �� = 	∅���5���	 reemplazando en la EDP y separando variables, 
5 ´´����	. 5��� = 	∅´´���∅��� = 	−7 ⇒ 9∅´´��� = −7∅���					5 ´´��	� = −7�	. 5���3 
Paso 2) Resolver el problema para ∅�:� con las cond de borde homogéneas dadas por CB1,2 
!∅´´��� = −7. ∅���∅�0� = 0																∅�π� = 0																3 . Ya resolvimos este problema para la ecuación del calor y obtuvimos que, 
∅��� = ;. �<�	����		�=�	�	 = 	1,2, … son las autofunciones no triviales correspondientes a los 
autovalores positivos ? = @A (dado que L = π� 
Paso 3) Resolver la EDO con 5��� para los autovalores hallados (o mejor, el PVI con la cond inicial 
que proporciona la CI homogénea del problema original): 
(PVI) : B5 ´´��	� = −�	�	. 5���5´�0� = 0																					 3 
Entonces 		5��� = � cos��. � . �� + ; sin��. �. ��			 ⇒ 		5´(0) = b. cos(n.c.0) = b = 0. 
Por lo tanto 5��� = � cos��. � . ��		�=�		� = 1,2, … . 
Paso 4) Aplicar el principio de superposición (extendido) a las soluciones producto halladas: 
��, �� = 	 H IJ cos��. � . ��. sin��. ��KJLM 
Paso 5) Determinar los coef. An a partir de la aplicación de la CI no homogénea del (PVB): 
�	�, 0� = 	 H IJ. sen��. ��KJLM = ������ OPQP		JLMRSSSSSST	IM = 1		U		IJ = 	0		V�W�	� = 2,3, …		 
Por lo tanto 		
��, �� = ������ cos��. �� es la solución exacta para este (PVB) 
Material elaborado por Adriana Frausin (2014)