Ecuacion_de_Laplace

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Ecuación de Laplace
FAS – CA
FRSF – UTN
2014
Funciones armónicas
La ecuación diferencial parcial:
2 2
2
2 2
u u
u 0
x y
∂ ∂+ = ∇ =
∂ ∂
Se llama ecuación de Laplace en dos dimensiones.
Si u=u(x, y, z), sería la ecuación de Laplace en tres 
dimensiones.
Una función que satisface esta ecuación, en cierta región se 
llama armónica .
2
Esta ecuación se encuentra en problemas que involucran 
potenciales como: campos de fuerza en mecánica, 
electromagnetismo o campos gravitacionales.
También se la conoce como la ecuación de calor en el estado 
estacionario.
2u k u
t
∂ = ∇
∂
La ecuación de calor
En el caso estacionario, cuando t→∞, es independiente del 
tiempo y la ecuación de calor se transforma en la ecuación de 
Laplace: ∇2u=0.
Su solución es una u(x,y) = f(x,y) que satisface condiciones de 
frontera en una región D del plano con frontera ∂D.
El problema de hallar una función armónica, conociendo su valor 
en la frontera se conoce con el nombre de “problema de 
Dirichlet” y la f(x,y) se llama datos en la frontera.
Problema de Dirichlet para un rectángulo
Sea R: un rectángulo sólido consistente en los puntos (x,y) 
con 0≤ x ≤ L ; 0 ≤ y ≤ K.
Estamos buscando una función armónica u(x,y) en el 
interior de R que tome valores prescritos en los lados de R 
(“la frontera de R: ∂R”).
Este tipo de problemas se puede resolver con el método 
de separación de variables si los valores en la frontera son 
todos diferentes de 0 en un solo lado de R.
Hallemos la solución de:
∇2u(x,y) = 0 para 0≤ x ≤ L ; 0 ≤ y ≤ K
Con las condiciones de frontera:
u(x, 0)=0; u(x, K)=f(x)
u(0, y) = u(L, y) = 0
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� La solución de la eddp planteada es una función armónica 
u(x,y) en cada punto (x,y) ∈ [0; L] x [0; K]
� Proponemos la solución u(x,y) = X(x).Y(y) que cumple con:
Condiciones de frontera: 
u(0,y) = u(L,y) = u(x, 0) = 0 y u(x, K) = f(x)
� Derivando respecto a x y a y, reemplazando en la eddp
Problema de Dirichlet para un rectángulo
Problema de Dirichlet para un rectángulo
2
2
''
( ) ( ) ( ) ( )( . ) .x y x yx X Y X Y
∂
∂
=
2
2 ( ) ( ) ( ) ( )( . ) . ''x y x yy X Y X Y
∂
∂
=
'' ''
( ) ( ) ( ) ( ) 0x y x ykX Y X Y+ =
'' ''
( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
X Y
k
X Y
− = = Con k una constante
Quedan dos edo, una que depende de x y otra de y
''
( ) ( ). 0x xX k X+ =
''
( ) ( ). 0y yY k Y− =(1) (2)
4
Problema de Dirichlet para un rectángulo
La ecuación (1) tiene soluciones no triviales si la 
constante k, es negativa. 
Entonces, la solución general de la edo (1), con raíces 
complejas conjugadas
( ) 1 2cos( ) ( )xX C k x C sen k x= +
x ki= ±
Nos queda:
Problema de Dirichlet para un rectángulo
2
n
n
kL n k
L
π = π ∴ =  
 
Que debe satisfacer las condiciones de frontera u(0, y) 
= u(L,y) = 0
De donde surge que:
( 0) 1 2 1cos( 0) ( 0) 0 0xX C k C sen k C= = + = ⇒ =
( ) 2 2( ) 0 0 ( ) 0x LX C sen kL si C sen pL= = = ≠ ⇒ =
)()( xsenX L
nn
x
π=
5
Problema de Dirichlet para un rectángulo
Con este valor de k, debemos resolver ahora la edo (2)
2
''
( ) ( ). 0y y
n
Y Y
L
π − = 
 
Cuya solución general surge de resolver la ecuación 
algebraica
( )22 0n nL Lr rπ π− = → = ±
Entonces:
( ) 1 2
n n
L Ly y
yY C e C e
π π−= +
0 0
(0) 1 2 1 2 0
n n
L LY C e C e C C
π π−= + = + = 1 2C C= −
( ) 1( ) ( )
n n
L Ly y n
y n LY C e e b sh y
π π− π= − =
Problema de Dirichlet para un rectángulo
Volviendo a la eddp original, la función armónica que 
estamos buscando, para cada n entero es
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n
x y x y n L Lu X Y b sen x sh y
π π= =
Si queremos la solución para cualquier n, surge:
( , ) ( ) ( )
1 1
( ) ( )n n n nx t x y n L L
n n
u X Y b sen x sh y
∞ ∞
π π
= =
= =∑ ∑
Que debe satisfacer la última condiciones de frontera, 
u(x,K)=f(x)
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Problema de Dirichlet para un rectángulo
Entonces: 
Vemos entonces que los Bn deben ser los coeficientes 
del desarrollo senoidal de Fourier de f(x).
( , ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( )n n n n Kx K x K n L L
n n
u X Y b sen x sh f x
∞ ∞
π π
= =
= = =∑ ∑
)()(
1
xfxsenB
n
L
n
n
=∑
∞
=
π
dxxsenxfB
L
n
L
Ln
)()(
0
2 π∫=
( )n Kn nLb sh B
π =
Problema de Dirichlet para un rectángulo
Resumiendo, la solución de 
Con condiciones de frontera: u(0, y)=u(L,y) = 0 
u(x,0)= 0 y u(x,L)= f(x) es:
2 2
2 2( , ) ( , ) 0x yu x y u x y
∂ ∂
∂ ∂
+ =
Con
2
0
( ) ( ) ( )
n
L
n K n
n L L LB b sh f x sen x dx
π π= = ∫
0≤ x ≤ L ; 0 ≤ y ≤ K
( , )
1
( ) ( )n nx y n L L
n
u B sen x sh y
∞
π π
=
=∑
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Problema de Dirichlet para un rectángulo
Si se dan valores diferentes de cero en los cuatro lados de 
R, se definen cuatro problemas de Dirichlet. En cada 
uno de ellos los valores de frontera son distintos de cero 
solo en un lado.
Cada uno de estos problemas se resuelve por separación 
de variables y la solución del problema original sale 
como suma de las cuatro soluciones halladas.
Problema de Dirichlet para un rectángulo
Hallar la solución de 
Con condiciones de frontera: 
u(0, y) = u(π,y) = 0
u(x,0)= 0 y 
u(x, π)= (π -x)sen(x)
2 2
2 2( , ) ( , ) 0x yu x y u x y
∂ ∂
∂ ∂
+ =
0≤ x ≤ π ; 0 ≤ y ≤ π